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浙江省温州市2009年摇篮杯高一竞赛试题(数学)2


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2009 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
本卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分。 1.已知 ? ABC 是钝角三角形,且角 C 为钝角,则点 P ? sin A ? sin B ? sin C , sin A ? cos B ? 落在 ( ▲ ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

? 2.已知集合 M ? ? 3, lo g2 x 4 ,N ? ? x , y? ,且 M ? N ? ? 2? ,函数 f : M ? N 满足:对任意的
x ? M , 都 有 x ? f ? x? 为 奇 数

,满足条件的函数的个数为 C.2 D.4

( ▲ )

A.0

B.1

3 . 在 等 差 数 列 ? a n ? 中 , 已 知 13 a 6 ? 19 a 9 , 且 a1 ? 0, s n 为 数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 , 则 在

s1 , s 2 , s 3 , ? , s 50 中,最大的一个是
A. s 15 B. s 16 C. s 25 D. s 30

( ▲ )

4.已知函数 f ? x ? 2 ? 为奇函数,且满足 f ? 6 ? x ? ? f ? x ? , f (3) ? 2 ,则 f ? 2008 ? ? f 2009 ? 的 ? 值为 A.0 5.已知函数 f ? x ? ? A.最大值为 2 C.一条对称轴为 x ? 6.已知函数 f ? x ? ? 题的是 A.存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; B.存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; C.存在实数 k ,使得方程恰有 6 个不同的实根; D.存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; 7.如图,在 ? O AB 中,点 P 是线段 OB 及 AB、AO 的延长线所围成的阴影区域内(含边界)
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2
x ?1

( ▲ ) B.2
sin x ? co s x ?
4 2

C. ? 2
1 4 sin 2 x co s 2 x ? x ? R ?

D.2009 ,则 f ? x ? ( ▲ )

B.最小正周期为 ?
?
4
?2 ,

D.一个对称中心为 ( ?

?

,

7

)

16 8

关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? 2 f ? x ? ? k ? 0 ,下列四个命题中是假命 . ( ▲ )

第 1 页 共 10 页

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的任意一点,且 O P ? x O A ? y O B ,则在直角坐标 平 面 上 , 实 数 对 ? x, y ? 所 表 示 的 区 域 在 直 线
y ? x ? 3 的右下侧部分的面积是(

??? ?

??? ?

??? ?

N P B

▲ )

A.

7 2

B.

9 2

C.4 8.已知函数
? 1? B ? 3, ? ? 3?
f

D.不能求

M

O 的 图 象 经 过 三 点 A ? 2,
? ?

A
1? ? , 2?

? x? ?
? ? 1? ? 4?

x ? ax ? bx ? cx ?
4 3 2

? d,

a b 为实常数 ? , , c d

, C ? 4,

,则 f ?1 ? ? f ? 5 ? 的值等于 B.1 C.
26 5

( ▲ ) D.25

A.0

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。 9.已知 ? , ? ? ? 0, ? ,且 sin ? ? 2 co s ? ? ? ? ? sin ? ,若 tan ? ?
? 2 ?
5

?

? ?

? ?

? ? 3, 则 tan ?

?



。.

10.若 ( x ? y ) ? x ? y ? 0 ,则 y ?
5



。 ▲ 。

11.函数 f ? n ? ? n ? 1 ? n ? 2 ? n ? 3 ? ? ? n ? 100 ? 50 n ? n ? N ? ? 的最小值等于 12.设函数 f ? x ? ? 的值域是
3
x x

1? 3

,若 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数,则函数 ? f ? x ? ?
?

?

1? ? 1? ? ? ? f ??x? ? 2 ? 2? ? ?





13 . 已 知 二 次 函 数 f ? x ? ? x 2 ? 2 m x ? 1 , 若 对 于 ? 0 ,1 ? 上 的 任 意 三 个 实 数 a , b , c , 函 数 值
f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 都能构成一个三角形的三边长,

则满足条件的 m 的值可以是



。 (写出一个即可)

14.如图是一个数表,第一行依次写着从小到大的正整 数, 然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正 中间的下方得到下一行,数表从左到右、从上到下 无限。则 2000 在表中出现 ▲ 次。

1 3

2 5 8 20

3 7

4 9

5

6 11 13 24 44 … …

7 … …



12 16 20 28 36 64 80 … … … 48

112 144 …

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2009 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛答题卷
2009 年 4 月 12 日 本卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟
题号 得分 一 二 15 三 16 17 总分

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分。

得分

评卷人

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

得分 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。 9. 10. 11. 12. 13. 14.

评卷人

得分
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三、解答题:本大题共 3 小题,共 54 分。 15. (本题满分 16 分)如图,已知 O 为 ? ABC 的外心, a , b , c分 别 是 角 A、 B、C 的对边,且满足 C O ? A B
???? ??? ? ???? ???? ? BO ? CA

。 C

(1)推导出三边 a , b , c 之间的关系式; (2)求
tan A tan B ? tan A tan C

的值。

O

A

B

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16. (本题满分 19 分)已知函数 f ? x ? ?
f1 ? x ? ? f

1 1? x

,对于n ?

N?

,定义
x ? 0?

得分 ,

评卷人

?x?,

f n ?1 ? x ? ? f ? f n ? x ? ? ? ? f 2009 ? x ?

,偶函数 g ? x ? 的定义域为 ? x

当x

?0

时, g ? x ? ?



(1)求 g ? x ? ; (2)若存在实数 a , b ? a ? b ? 使得该函数在 ? a , b ? 上的最大值为 ma ,最小值为 mb ,求非零 实数 m 的取值范围。

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17. (本题满分 19 分)数列 ? a n ? 满足: a1 (1)求数列 ? a n ? 的通项公式;

? 3 , a n ?1 ? a n ? 2 a n ? 2 ? n ? N * ?
2

得分

评卷人

(2)求证:数列 ? a n ? 中的任两项互质。 (3)记 b n ?
1 an ? 1 an ? 2

, S n 为数列 ? b n ? 的前 n 项和,求 S 2009 的整数部分;

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2009 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分。 1.D
A? B ?

解:由正弦定理
?
2 ? B

s i nA ?

s iB ? n

s Cn ? i

1 2R

?

a ? b ? ? c ? ,0角

C 为钝角得

?
2

,A?

,所以 sin A ? sin ?

??

? ? B ? ? cos B , 所以 sin A ? cos B ? 0 ,选 D ? 2 ?

2.B 解:由已知得 x ? 1, y ? 2 , M ? ? 3, 2? , N ? ?1, 2? ,对任意的 x ? M , 都 有 x ? f ? x ? 为 奇数,所以满足条件的函数只有一个即 f ? 3 ? ? 2, f ? 2 ? ? 1 。 3. 解: 13 a 6 A 由 又因为 a1
? 19 a 9

13 得, a 6 ? 19 ? a 6 ? 3 d ? , 所 以 2 a 6 ? 19 d ? 0 , 6 a

? a 25 ? a15 ? a16 ? 0



? 0, 所 以 d ? 0, a15 ? 0, a16 ? 0, 故 选 A

4.C 解:由已知得 f ? ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? 2 ? , 所 以 f ? x ? ? ? f ? 4 ? x ? , 又 f ? 6 ? x ? ? f ? x ? , 推出 f ? x ? 4 ? ? f ? x ? ,所以 f ? 2008 ? ? f ? 2009 ? ? f ? 0 ? ? f ?1 ? , f ?1 ? ? ? f ? 4 ? 1 ? ? ? 2 ,又由 上面关系式推得 f ? 0 ? ? f ? 4 ? ? f ? 2 ? ? 0 ,选 C 5.D 解:因为 f ? x ? ? =1 ?
1 4 sin 2 x ?
2

sin x ? 1 ? sin x ?
4 2

1 8

sin 4 x ? 1 ? sin x co s x ?
2 2

1 8

sin 4 x

1 8

sin 4 x ?

1 8

co s 4 x ?

1 8

sin 4 x ?

7 8

?

? ? 7 ? sin ? 4 x ? ? ? 8 4 ? 8 ?
2

,选 D

6.D 解:设 t ? f ? x ? , t 2 ? 2 t ? k ? 0, 因 为 对 称 轴 为 x ? 1, 所 以 当 t1 ? 3, t 2 ? ? 1 时,A 答案正 确; 当 t1
? 0, t 2 ? 2 ,B

答案正确;当 t1

?

1 2

, t2 ?

3 2

时,C 答案正确;选 D。 N

7.A 解:如图 过 P 作 MN // OB ,则
??? ? ???? ? ???? ???? ???? ? ???? ???? ???? ? OP ? OM ? M P ? m AO ? nM N ? m AO ? n AN ? AM ???? ??? ???? ? ? m A O ? n ?1 ? m ? A B ? A O ??? ? ??? ? ? ? m O A ? n ? 1 ? m ? O B ? m ? 0, 0 ? n ? 1 ?

?

?

P

B

?

?

A M O

?x ? 0 ?x ? ?m ? ? 所以 ? ? ? ? y ?1 ? y ? n ?1 ? m ? ? ?0 ? n ? 1? x ?

?x ? 0 ? ?y ? 0 ? ?x ? y ? 1

如图,选 A 8.D 解:由已知,设
? g ?x? ? ? f ?

?x? ?

1? 5 4 3 2 ? x ? x ? a x ? b x ? cx ? d x ? 1 x?

1 ? ? 2 ? ? x ? 2? ? x ? 3? ? x ? 4 ? ? x ? mx ? ? 24 ? ?

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www.canpoint.cn 所以 f ? x ? ?

? x ? 2? ? x ? 3?? x ? 4? ? x2
? x

?

? mx ?

1 ? ? 24 ?

?

1 x

,f ?1 ? ?

21 ? 25 ? ?6 ? ? m??1? ? ? 6m 24 4 ? ?



f ?5? ?

1 ? ? 6 ? 25 ? 5m ? 24 ? ? 5

?

1 5

?

121 4

? 6m

,所以 f ?1 ? ? f ? 5 ? ? 25 ,选 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。 9. 解: 1。 由知得 sin ? ? ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? 3 cos ? ? ? ? ? sin ?
? tan ? ? ? ?
5

? ? 3 tan ?

? tan ? ? 1

10.0。解:原方程可化为 ? x ? y ? ? ? x ? y ? ? x 5 ? x ? x ? y ? x ? y ? 0 11.4400。解:因为 f ? n ? 1 ? ?
?1 5 0, n ? 1 0 0 f ? n ? ? n ? n ? 100 ? 50 ? ? ? 2 n ? 5 0,1 ? n ? 1 0 0

所 以 f ? 1 ? ? f ? 2 ? ? ? ? f ? 25 ? ? f ? 26 ? ? f ? 27 ? ? ? 所 以 f ? n ? 的 最 小 值 为 f ? 25 ? ? f ? 26 ? ? 4400

12. 1}。 由已知得 0 ? {0, 解:
当0 ? f

f

? x ? ? 1, f ? x ? ?

f ? ? x ? ? 1, 所 以 当 f

?x? ?

f ??x? ?

1 2

时 , 值 为1;

?x? ?

1 2

时 , 值 为 0; 当

1 2

? f

? x ? ? 1时 , 值 为 0; 所 以 值 域 为 ? 0,1?

13. ? 0 ,
? ?

?

? f ? x ? m in ? 0 2 ? ? 内的任一实数。解:由题意当 x ? ?0 ,1? 时, ? ; ? ? 2 ? ? 2 f ? x ? m in ? f ? x ? m ax ?

当m

? f ? x ? m in ? f ? 0 ? ? 1 ? 0 ? ? 0 时, ? ? 2 f ? x ? m in ? 2 ? f ? x ? m ax ? f ? 1 ? ? 2 ? 2 m ? m ? 0, ? ? f ? x ? m in ? f ? 1 ? ? 2 ? 2 m ? 0 3 ? ? m ? ? 1 时, ? 4 ? 2 f ? x ? m in ? 4 ? 4 m ? f ? x ? m ax ? f ? 0 ? ? 1 ?
? m ? 1 2

不存在;

当m

,不存在;

当0

时, ?

?f ?

? x ? m in

? f ?m ? ? 1 ? m ? 0
2

?2 f ?
1 2

? x ? m in

? 2 ? 2m

2

? f

? x ? m ax

? f ?1 ? ? 2 ? 2 m

? 0 ? m ?1,

所以这时 0 当
1 2 ? m ?1

? m ?



时, ?
? m ?

?f ?

? x ? m in

? f ?m ? ? 1 ? m ? 0
2

?2 f ?

? x ? m in

? 2 ? 2m ? f
2

? x ? m ax
2 2

? f ?0? ? 1

? ?

2 2

? m ?

2 2



所以这时

1 2

2 2

;综上所述 0 ? m ?


n ?1

14.4。解:由数表推得,每一行都是等差数列,第 n 行的公差为 2 记第 n 行的第 m 个数为 f ? n , m ? ,则 f ? n ,1 ? ? f ? n ? 1,1 ? ? f ? n ? 1, 2 ?
? 2 f ? n ? 1,1 ? ? 2
n?2



?

f ? n ,1 ? 2
n?2

n

?

f ? n ? 1,1 ? 2
n ?1

?

1 4
n ?1

算得 f ? n ,1 ? ? ? n ? 1 ? ? 2
2
n?2

? f ? n , m ? ? f ? n ,1 ? ? ? m ? 1 ? ? 2
4 3

? 2

n?2

? 2 m ? n ? 1? ? n ? N ? ?

? 2 m ? n ? 1? ?

2000 ? 2 ? 5 , 当 n ? 1, 3, 5, 6时 符 合 。 答案为

4。 C

三、解答题:本大题共 3 小题,共 54 分。
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第 8 页 共 10 页

F O

www.canpoint.cn 15.解:(1)取 AB、AC 的中点 E、F,则
???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? 1 ??? ??? C O ? A B ? (C E ? E O ) ? A B ? C E ? A B ? CB ? CA ? CB ? CA 2

?

? ?

?

?

1 2

?a

2

?b

2

?? ? ? ? ? ? ? 4分
1 2

同理 BO ? CA ?
2 2

?c
2

2

?a

2

?;

所以 2 a ? b ? c ……………………………8 分 (2)
tan A tan B ? bc ? ? sin ? B ? C ? ? sin A co s C ? sin A ? co s B ?? ? ? ? ? ? ? ? 12分 ?? tan C sin C ? co s A sin B ? sin C ? co s A ? sin B tan A a
2 2 2 2

b ?c ?a 2bc

? 2? ? ? ? ? ? 16分

16.解: (1)因为
f1 ? x ? ? f

?x? ?

1 1? x

, f2 ? x ? ? f

? f ? x ?? ?
1

1 1? 1 1? x

?

x ?1 x

, f3 ? x ? ? f ? f2 ? x ?? ? ? ?

1 1? x ?1 x

? x

f 4 ? x ? ? f ? f 3 ? x ?? ?

1 1? x

, 所以迭代函数以

3为周期 ,f

2009

?x ? ?

f 2 ?x ? ?

x ?1 x

……(5

分) 设x
? 0, 则 ? x ? 0, g ? x ? ? g ? ? x ? ? ?x ?1 ?x ? 1? 1 x



? ?1? ? 所以 g ? x ? ? ? ?1? ? ?

1 x 1 x

,x ? 0

………………(9 分)
,x ? 0

图象如右:

(2)因为 a

? b , m a ? m b ? 0 ? m ? 0, a ? b ? 0 ;…………………………(12

分)

又因为 mb ? 0 ,所以 ? 1 ? [ a , b ] (否则 m ? 0 , mb ? ma ? 0 ,矛盾)
? ?1 ? ? 当 a ? b ? ? 1, 则 f ? x ? ? 1 ? 在 ( ? ? , ? 1]上 是 减 函 数 ? 由 题 意 ? x ?1 ? ? ? 1 1 a 1 b ? mb ? ma

所以 a , b 是 方 程 1 ?

1 x

? m x的 两 不 同 实 根 , ? x ?
2

1 m

x?

1 m

? 0在 ? ? ? , ? 1?

有两个不同实根,

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1 4 ? ?? ? m 2 ? m ? 0 ? 1 1 1 ? ? ? 0 ? ? ? m ? 0 ? ? ? ? ?1 5 分 ? ? g ? ? 1? ? 1 ? m m 4 ? ? 1 ? ?1 ? ? 2m

? ??1 ? 1 ? 当 ? 1 ? a ? b ? 0时 , 则 f ? x ? ? ? 1 ? 在 ( ? 1, 0 ) 上 是 增 函 数 ,由 题 意 ? x ??1 ? ? ? ? a ? b不 合 .

1 a 1 b

? mb ? ma

综上所述 ?

1 4

? m ? 0

。----------------------------19 分。
? 1 ? ? a n ?1 ? 1 ? ? ? a n ? 2 ? 1 ?
2
n ?1

17. (1)解:因为 a n
1 ?1

2

2

? ? ? ? a 2 ? 1?

2

n?2

? ? a1 ? 1 ?

2

n ?1

? 2

2

n ?1

当 n ? 1, a1 ? 1 ? 2 2 也成立,所以 a n ? 2 2 所以 a n 分。
? a n ? 1 a n ? 2 ? a 2 a1 ? 2

? 1 ;--------------------------------------------------5

分;

(2)因为 a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ? 1 ? 2 ? ? a n ? 1 a n ? 2 ? a n ? 2 ? 2 ? ? ? ? a n ? 1 a n ? 2 ? a 2 a1 ,------------------------------------------------------------------------9 分;
? 1, a n 与 前 面 项 a1 , a 2 , ? , a n ? 1

因为 a n 为奇数,所以对任意的 n

均互质。--------------------12
1 an 1 an ? 2

(3)解:因为 a n ? 1 ? 2 ? a n ? a n ? 2 ? ,所以 所以 b n ?
2 an ? 2 2 a1 ? 2 ? 2 a n ?1 ? 2 ? 2 a 2010 ? 2

2 a n ?1 ? 2

?

1 an ? 2

?

1 an

,又因为 b n

?

?



,---------------------------------------------------16 分;
? 2? 2 2
2
2010

所以 S 2 0 0 9 ?

?1

,所以 S 2009 的整数部分为 1。-----------19 分。

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