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2016年全国高中数学竞赛湖北省预赛试题(word高二含答案)


2016年全国高中数学联赛湖北省预赛试题 (高二)
一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1.已知函数f (x)满足: f (1) ??2, f ( x ? 1) ? 答案:

1 ? f ? x? 对定义域内任意x都成立。 那么f (2016)= 1 ? f ? x?



1 。 3

2.从五个正整数a, b, c, d, e中任取四个求和,得到的和值构成集合{44, 45, 46, 47}则a ??b??c ??d ??e ?? 。 答案:57。 3.已知 ?ABC 是等边三角形,椭圆 ? 的一个焦点为 A ,另一个焦点 F 在线段上 BC ,如果椭圆 ? 恰好经过 B, C 两点, 则它的离心率为_____________。 答案:

3 。 3
x2 ? y 2 ? 1 ,则 P ? 2 x ? y ? 4 ? 4 ? x ? 2 y 的取值范围是 3


4.已知实数满足

答案: [2,14] 。 5.袋子中有5 个白球、4 个红球和3 个黄球,从中任意取出4 个球,各种颜色的球都有的概率为 。 答案:

6 。 11
个。(说明:全等的三角形视为形

6.以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有 状相同) 答案:14。

7.已知质数p,q满足q5 ??2p2 ?1,则p ??q ????????????????????????????。? 答案:14。 8.已知四面体的一条棱长为6,其余棱长均为5,则这个四面体的外接球的半径为 答案:



20 39 。 39

9.已知MN 是边长为 2 6 的等边△ ABC 的外接圆的一条动弦,MN =4, P 为△ ABC 的边上 的动点,则 MP ? PN 的最大值为 答案:4。 10.设[a]表示不大于a的最大整数,则方程

???? ????



?x? ? x? ? ? ? 1 的最大正整数解为 ? ?7? ? ? ?8?



答案:104。 二、解答题(本题满分60 分,每小题20 分。)
2 2 11.已知 A ? x x ? x , B ? x x ? log a x ,且 B ? A ,求实数 a 的取值范围。

?

?

?

?

1

12.已知定义在R上的函数f (x)满足: f ?1? ?

10 ,且对任意实数x, y,恒有 3 f (x) f (y) ??f (x ??y) ??f (x ??y) ①若数列{an}满足an????f (n) ? f (n ? 1),n?N*。

(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn ?

? 3an ? 8?

24an

2

,n?N*,Sn是数列{bn}的前n项和,求证:Sn??1。

2

13.过抛物线y =2px(p>0)外一点P向抛物线作两条切线,切点为M、N,F为抛物线的焦点。 证明:(1) | PF |2 ?| MF | ? | NF | ;(2)∠PMF=∠FPN。

2

3


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