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(课堂设计)2014-2015高中数学 1.2.3 空间中的垂直关系(1) 直线与平面垂直学案 新人教B版必修2


1.2.3

空间中的垂直关系(1)——直线与平面垂直
自主学习

学习目标 1.掌握直线与平面垂直的定义. 2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理及性质定理,并能灵活应用定理证明 有关问题. 自学导引 1.如果直线 l 与平面 α 内的________________________,我们就说直线 l 与平面 α 互 相 垂 直 , 记 作 ________ , 直 线 l 叫 做 ____________________ , 平 面 α 叫 做 ________________,它们的唯一公共点叫做________.垂线上任一点到垂足之间的线段,叫 做这个点到这个平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到这个平面的距离. 2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与平面内的两条________直线垂直,则 这条直线与这个平面________. 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么________________________. 4.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线________. 5.垂直于同一条直线的两个平面________. 对点讲练 知识点一 线面垂直的判定

例1

如图所示,直角△ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的中

点. (1)求证:SD⊥平面 ABC;

(2)若 AB=BC,求证:BD⊥面 SAC.

点评 (1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路.

(2)线面垂直的定义,给出了线面垂直的必备条件,即直线垂直于平面内的所有直线, 是直线垂直平面的必要条件.作为直线与平面垂直的判定并不实用. 变式训练 1

如图所示, 已知空间四边形 ABCD 的边 BC=AC, AD=BD, 引 BE⊥CD, E 为垂足, 作 AH⊥BE 于点 H.求证:AH⊥平面 BCD.

知识点二 证明线线垂直 例2

如图所示,四边形 ABCD 为正方形,SA 垂直于四边形 ABCD 所在的平面,过点 A 且垂直 于 SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于点 E,F,G. 求证:AE⊥SB,AG⊥SD.

点评 本题的证明过程很具有代表性,即证明线线垂直,可先证线面垂直,而已知的线 面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直, 在线线垂直和线面垂直的相互转化中, 平面在其 中起着至关重要的作用,由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在平面的特征, 以顺利实现证明需要的转化. 变式训练 2

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 B1C1、B1B 的中点. 求证:CF⊥AE.

知识点三 直线与平面垂直的性质定理的应用 例3

已知,如图所示,直线 a⊥α ,直线 b⊥β ,且 AB⊥a,AB⊥b,平面 α ∩β =c. 求证:AB∥c.

点评 判断线线、线面的平行或垂直关系,一般依赖于判定定理和性质定理,有时候也 可以放到特征几何体(如正方体,长方体,正棱柱等)中,判断它们的位置关系.

变式训练 3

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,EF⊥AC,EF⊥A1D,求证:EF∥BD1.

1.直线与平面垂直的判定方法:(1)定义,(2)判定定理.由直线和平面垂直的判定定 理知,把线线垂直关系转化为线面垂直关系.在判定定理中,注意“两条”和“相交直线” 的重要性.判定线面垂直关键在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直.(3)如果两条平 行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面. 这个命题也可作为线面垂 判定定理 直的一个判定方法.证明时常用的转化关系:线线垂直???? 定义 线面垂直. 2.直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合,利用垂直关系可判 断平行,反过来由平行关系也可判定垂直,即两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另 一条直线也垂直于这个平面. 课时作业 一、选择题 1.下列命题中正确的个数是( ) ①如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥α ; ②如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α ; ③如果直线 l 不垂直于 α ,则 α 内没有与 l 垂直的直线;

④如果直线 l 不垂直于 α ,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 2.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 3.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”, 在一个正方体中, 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个 数是( ) A.12 B.24 C.36 D.48 4.如果直线 l 与平面 α 不垂直,那么在平面 α 内( ) A.不存在与 l 垂直的直线 B.存在一条与 l 垂直的直线 C.存在无数条与 l 垂直的直线 D.任意一条直线都与 l 垂直 5.若 m、n 表示直线,α 表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为( ) ① m∥n ? ?
??n⊥α ; ? m⊥α ?



m⊥α ? ? ??m∥n; ? n⊥α ? m∥α ? ? ??n⊥α . ? m⊥n ? C.3 2 3 D.4 4 5

③ A.1 题 答

m⊥α ? ?

??m⊥n; ? n∥α ?



B.2 号 案 1

二、填空题 6. 点 P 为△ABC 所在面外一点, 若 PA=PB=PC, 且 PO⊥面 ABC, 则 O 为△ABC 的________ 心. 7.已知 P 是△ABC 所在平面外的一点,点 P 与 AB、AC、BC 的距离相等,且点 P 在△ABC 上的射影 O 在△ABC 内,则 O 一定是△ABC 的________心. 8 .在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, BC = CC1 ,当底面 A1B1C1 满足条件 ________ 时,有 AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况). 三、解答题 9.

如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别 是 AB,PC 的中点,PA=AD. (1)求证:CD⊥PD; (2)求证:EF⊥平面 PCD.

10.

如图所示,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上的动点,过动点 C 的直线 VC 垂直于圆 O 所 在平面,E 是 VC 的中点,D 是 VA 上的点,若 DE⊥平面 VBC,试确定 D 点的位置.

【答案解析】 自学导引 1.任意一条直线都垂直 l⊥α 平面 α 的垂线 直线 l 的垂面 垂足 2.相交 垂直 3.另一条也垂直于这个平面 4.平行 5.平行 对点讲练 例 1 证明 (1)∵SA=SC,D 为 AC 的中点, ∴SD⊥AC, 在 Rt△ABC 中,则 AD=DC=BD. 又 SA=SB,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD. 又 AC∩BD=D,∴SD⊥面 ABC. (2)∵BA=BC,D 为 AC 中点,∴BD⊥AC. 又由(1)知 SD⊥BD. ∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面 SAC. 变式训练 1 证明 取 AB 中点 F,连接 CF、DF,

∵AC=BC,∴CF⊥AB.

又∵AD=BD,∴DF⊥AB, 又∵CF∩DF=F, ∴AB⊥平面 CDF,∴AB⊥CD. 又 BE⊥CD,且 AB∩BE=B, 直线 CD⊥平面 ABE. ∴CD⊥AH. 而 AH⊥BE,CD∩BE=E, ∴AH⊥平面 BCD. 例 2 证明 因为 SA⊥平面 ABCD, 所以 SA⊥BC. 又 BC⊥AB,SA∩AB=A, 所以 BC⊥平面 SAB, 又 AE?平面 SAB,所以 BC⊥AE. 因为 SC⊥平面 AEFG,所以 SC⊥AE. 又 BC∩SC=C,所以 AE⊥平面 SBC, 所以 AE⊥SB.同理可证 AG⊥SD. 变式训练 2 证明 在平面 B1BCC1 中, ∵E、F 分别是 B1C1、B1B 的中点, ∴△BB1E≌△CBF, ∴∠B1BE=∠BCF, ∴∠BCF+∠EBC=90°,∴CF⊥BE, 又 AB⊥平面 B1BCC1,CF?平面 B1BCC1, ∴AB⊥CF,AB∩BE=B,∴CF⊥平面 EAB. ∴CF⊥AE. 例 3 证明 过点 B 引直线 a′∥a, a′与 b 确定的平面设为 γ , 因为 a′∥a, AB⊥a,

所以 AB⊥a′, 又 AB⊥b,a′∩b=B,所以 AB⊥γ . 因为 b⊥β ,c?β ,所以 b⊥c.① 因为 a⊥α ,c?α ,所以 a⊥c. 又 a′∥a,所以 a′⊥c.② 由①②可得 c⊥γ ,又 AB⊥γ ,所以 AB∥c. 变式训练 3 证明 连接 AB1,B1C,B1D1,BD. ∵B1B⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, ∴AC⊥B1B. 又 AC⊥BD, BD∩BB1=B,

∴AC⊥平面 BDD1B1. 又∵BD1?平面 BDD1B1 ∴AC⊥BD1,同理可证 B1C⊥BD1. ∵B1C∩AC=C, ∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥A1D,A1D∥B1C, ∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC 且 AC∩B1C=C, ∴EF⊥平面 AB1C, 又 BD1⊥平面 AB1C,∴EF∥BD1. 课时作业 1.B 2.C 3.C [正方体的一条棱长对应着 2 个“正交线面对”,12 条棱长共对应着 24 个“正 交线面对”;正方体的一条面对角线对应着 1 个“正交线面对”,12 条面对角线对应着 12 个“正交线面对”,共有 36 个.] 4.C 5.C 6.外 7.内 解析

如图所示,过点 P 作 PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,分别交 AB、AC、BC 于点 D、E、F.O 是 点 P 在平面 ABC 内的射影,连接 OD、OE、OF.因为点 P 到 AB、AC、BC 的距离相等,且 PO⊥ 平面 ABC,所以 PD=PE=PF,PO=PO=PO,∠POD=∠POE=∠POF=90°, 所以 OD=OE=OF.因为 PO⊥AB, PD⊥AB 且 PD∩PO=P.所以 AB⊥平面 POD, 所以 AB⊥OD. 同理可以证得 OF⊥BC,OE⊥AC. 又因为 OD=OE=OF,所以点 O 到三角形三边的距离相等,故 O 为三角形 ABC 的内心. 8.∠A1C1B1=90° 解析

如图所示,连接 B1C,

由 BC=CC1,可得 BC1⊥B1C, 因此,要证 AB1⊥BC1,则只要证明 BC1⊥平面 AB1C, 即只要证 AC⊥BC1 即可,由直三棱柱可知,只要证 AC⊥BC 即可. 因为 A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证 A1C1⊥B1C1 即可. (或者能推出 A1C1⊥B1C1 的条件,如∠A1C1B1=90°等) 9.证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD,∴CD⊥PA. 又矩形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AD∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PD.

(2)取 PD 的中点 G,连接 AG,FG. 又∵G、F 分别是 PD,PC 的中点, ∴GF 又 AE 1 CD, 2 1 CD, 2

∴GF AE,∴四边形 AEFG 是平行四边形, ∴AG∥EF. ∵PA=AD,G 是 PD 的中点,∴AG⊥PD,∴EF⊥PD, ∵CD⊥平面 PAD,AG?平面 PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD. 10.解 ∵AB 是底面圆的直径, C 是圆上一动点,∴AC⊥BC. 又 VC⊥底面 ABC,AC?平面 ABC, ∴VC⊥AC.又 BC∩VC=C, ∴AC⊥平面 VBC.又 DE⊥平面 VBC, ∴直线 DE∥AC,又 E 在平面 VAC 内,E 为 VC 的中点,∴D 点为 VA 的中点


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