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湖南省师范大学附属中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题


湖南师大附中 2016 届高三第一次月考 理科数学试题
时量 120 分钟 总分 150 分 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1、已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 iz ? 3 ? 4i ,则 z =( A.25 B. )

7
?? 1

C. 5

D.1

2、已知 sin ? ? ?

? ?

5? ? ? ? ,则 cos ? ? ? 4? 3 4 ?
C. ?

? ? 的值等于( ?
2 2 3



A. ?

1 3

B.

1 3

2 2 3

D.

3、设直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 与圆 C:x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 相交于 点 P , Q 两点, CP ? CQ ,则实数 a 的值为( A.1 B.2 ) D.3

C.1 或 2

? ? ? ? ? ? 4、命题 p : “非零向量 a , b , 若 a ?b ? 0 , 则 a , b 的夹角为钝角” ,
命题 q : “对函数 f ( x) , 若 f ?( x0 ) ? 0 , 则 x ? x0 为函数的极值点” , 则下列命题中真命题是( A. p ? q B. p ? q ) C. p ? (?q ) D. (?p) ? (?q)

5、 底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图,半球内有一内 接正四棱锥 S ? ABCD ,该四棱锥的体积为

4 2 ,则该半球的体积为。 3

8 2 32 2 64 2 ? ? ? C. D. 3 3 3 1 6、在二项式 ( x - )n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,则展开式中含 x 2 项的系数 x
A. B. 是( ). A.-56 B.-35 C.35 D.56

4 2 ? 3

7 、已知数列 ?a n ? 是等差数列,数列 ?bn ? 是各项为正数的等比数列,且公比 q ? 1 ,若

a2 ? b2 , a10 ? b10 ,则(
A. a6 ? b6 B. a6 ? b6

) C. a6 ? b6 D. a6 ? b6 或 a6 ? b6

( ) 1 ) 1n0 ? 8、 “ (m ?

? ”是“ logn m ? 0 ”的
B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

9、如图,已知圆 M 的半径为 2,点 P 与圆心 M 的距离为 4,正方形 ABCD 是圆 M 的内接 四边形,E,F 是边 AB,AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, PF ? ME 的取值 范围是 A. [?2,2] C. [?4.4] B. [?2 2 ,2 2 ] D. [?4 2 ,4 2 ]

?x ? y ? 1 ? 0 ? 10、若实数 x, y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为 a , b ,则 ?y ?1 ? 0 ?
z ? 2ax ? by 在点(2,?1) 处取得最大值的概率为(
A. )

2 1 5 C. D. 5 6 6 11、已知 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,给出下列三组数据
B. ① sinA,sinB,sinC ; ③ cos2
A B C ,cos2 ,cos2 ; 2 2 2

1 5

② sin 2 A,sin 2 B,sin 2 C ;

分别以每组数据作为三条线段的长,其中一定能构成三角形的数组的序号是 B.①③ C.②③ D.①②③ A .①② 12、 已知 f ?? x ? 是定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的导函数, 且 f ( x) ? f ?( x) , 则a ?

1 fn l( 2) , 2

1 f (1) , c ? f (0) 的大小关系为 e A. a ? b ? c B. b ? a ? c b?

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13、已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2 解集为
开始
x ?m

?1 ( m ? R )为偶函数,则不等式 f ( x) ? 1 的

14、执行如图所示的程序框图,则输出的结果是
2

.

S ? 0, n ? 1
S ? S ? log 2 n ?1 n?2

15、已知方程 x ? px ? q ? 0 ? p ? 0, q ? 0? 有两个不同的根 x1 , x2 , 且 x1 , x2 ,?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后

n ? n ?1

S ? ?3?
是 输出n 结束



成等比数列,则 p× q 的值等于 16、设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F (c,0) ,右顶点为 A(a,0) ,过 F 作 x 轴 a 2 b2

的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线交于点 D.,若 D 到直线 BC 的距离等于 a ? c ,则双曲线的离心率为 三、解答题(本题共 6 个小题,满分 70 分) 17、(满分 10 分)已知函数 f ( x ) ? sin??x ? ? ? ? ? 0 , 0 ? ? ? ? 为偶函数,且其图象 上相邻两对称轴之间的距离为 ? . (I)求函数 f ( x ) 的单调区间;

?

?

?? ? 2 sin? 2? ? ? ? 1 ? 2 4? (II)若 sin ? ? f (? ) ? ,求 的值. 1 ? tan ? 3
18、(满分 12 分)某品牌的汽车 4S 店,对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计,统 计结果如下表所示:已知分 3 期付款的频率为 0.2,4S 店经销一辆该品牌的汽车,顾客分 1 期付款,其利润为 1 万元;分 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元;分 4 期或 5 期付款,其利 润为 2 万元. 用 ? 表示经销一辆汽车的利润. (1)求下表中的 a , b 值; (2)若以频率作为概率,求事件 A:“购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有 1 位采用 3 期付款”的概率 P ( A) ; (3)求? 的分布列及数学期望 E? . 付款方式 频 数 分1期 40 分2期 20 分3期 分4期 分5期 10

a

b

19、(满分 12 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其中正视图为矩形,侧视 图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(I)求证: ?? ? 平面 C1?1? ; (II)设 ? 为直线 C1? 与平面 C??1 所成的角,求 sin ? 的值; (Ⅲ)设 ? 为 ?? 中点,在 ?C 边上求一点 ? ,使 ?? // 平面 C??1 ,求

?? 的值. ?C

20、(满分 12 分)已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项
2 和,且满足 an ? S2n?1 (n ? N * ) ;数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求 an 和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围;

21、(满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : 右顶点分别为 A1 ? 2,0 , A2

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左, a 2 b2

?

? ?

2,0 ,F1 , F2 为椭圆的左右焦点,若直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 上

?

有且仅有一个点 M ,使得 ?F1MF2 ? 90? .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 设圆 T 的圆心 T ? 0, t ? 在 x 轴上方, 且圆 T 经过椭圆 C 两焦点.点 P , Q 分别为椭圆 C 和圆 T 上的一动点.若

??? ? ??? ? 5 ,求实数 t 的值. PQ ? QT ? 0 时, PQ 取得最大值为 2

22、(满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x (其中 a 为参数). (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对任意 x ? (0,??) ,都有 f ( x) ? 0 成立,求实数 a 的取值集合; (3)证明: (1 ? ) ? e ? (1 ? )
n

1 n

1 n

n ?1

(其中 n ? N , e 为自然对数的底数)

?


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