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高二数学函数的单调性与导数测试题


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选修 2-21.3.1 函数的单调性与导数
一、选择题 1. f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0), f(x)为 R 上增函数的充要条 设 则 件是( ) B.b>0,c>0 D.b2-3ac<0

A.b2-4ac>0 C.b=0,c>0 [答案] D

[解析] ∵a>0,f(x)为增函数, ∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0 恒成立, ∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0,∴b2-3ac<0. 2.(2009· 广东文,8)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) [答案] D [解析] 考查导数的简单应用. f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令 f′(x)>0,解得 x>2,故选 D. 3. 已知函数 y=f(x)(x∈R)上任一点(x0, 0))处的切线斜率 k=(x0 f(x -2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为( A.[-1,+∞) C.(-∞,-1)和(1,2) [答案] B [解析] 令 k≤0 得 x0≤2,由导数的几何意义可知,函数的单调 减区间为(-∞,2]. 4.已知函数 y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中 f′(x)是函数 f(x) B.(-∞,2] D.[2,+∞) ) B.(0,3) D.(2,+∞) )

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的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(

)

[答案] C [解析] 当 0<x<1 时 xf′(x)<0 ∴f′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数 当 x>1 时 xf′(x)>0,∴f′(x)>0,故 y=f(x)在(1,+∞)上为增函 数,因此否定 A、B、D 故选 C. 5.函数 y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是( π? ? π? ? A.?-π,-2?和?0,2?
? ? ? ?

)

π? ? π ? ? B.?-2,0?和?0,2?
? ? ? ? ? ?

π? ?π ? ? C.?-π,-2?和?2,π?
? ? ? π ? ?π ? D.?-2,0?和?2,π? ? ? ? ?

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[答案] A π [解析] y′=xcosx,当-π<x<-2时, cosx<0,∴y′=xcosx>0, π 当 0<x<2时,cosx>0,∴y′=xcosx>0. 6.下列命题成立的是( )

A. f(x)在(a, 若 b)内是增函数, 则对任何 x∈(a, 都有 f′(x)>0 b), B.若在(a,b)内对任何 x 都有 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)上是增 函数 C.若 f(x)在(a,b)内是单调函数,则 f′(x)必存在 D.若 f′(x)在(a,b)上都存在,则 f(x)必为单调函数 [答案] B [解析] 若 f(x)在(a,b)内是增函数,则 f′(x)≥0,故 A 错;f(x) 在(a,b)内是单调函数与 f′(x)是否存在无必然联系,故 C 错;f(x) =2 在(a,b)上的导数为 f′(x)=0 存在,但 f(x)无单调性,故 D 错. 7.(2007· 福建理,11)已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(- x)=g(x),且 x>0 时,f′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0 时( A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 [答案] B [解析] f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对 B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 )

称的两个区间上单调性相同(反),∴x<0 时,f′(x)>0,g′(x)<0. 8.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+ f(x)≤0,对任意正数 a、b,若 a<b,则必有( A.af(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a) )

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C.af(b)≤bf(a) [答案] C

D.bf(a)≤af(b)

[解析] ∵xf′(x)+f(x)≤0,且 x>0,f(x)≥0, f(x) ∴f′(x)≤- x ,即 f(x)在(0,+∞)上是减函数, 又 0<a<b,∴af(b)≤bf(a). 9.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必 有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) [答案] C [解析] 由(x-1)f′(x)≥0 得 f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(- ∞,1]上单调递减或 f(x)恒为常数, 故 f(0)+f(2)≥2f(1).故应选 C. 10.(2010· 江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水 面垂直)匀速地升出水面, t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 记 S(t)(S(0)=0),则导函数 y=S′(t)的图像大致为 ( ) B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)

[答案] A [解析] 由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增→减→ 增→减,其中恰露出一个角时变化不连续,故选 A.
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二、填空题 1 11.已知 y=3x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调增函数,则 b 的范围为________. [答案] b<-1 或 b>2 [解析] 若 y′=x2+2bx+b+2≥0 恒成立,则 Δ=4b2-4(b+ 2)≤0,∴-1≤b≤2, 由题意 b<-1 或 b>2. 12.已知函数 f(x)=ax-lnx,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成 立,实数 a 的取值范围为________. [答案] a≥1 [解析] 由已知 a> 1+lnx x 在区间(1,+∞)内恒成立. (x>1),

1+lnx lnx 设 g(x)= x ,则 g′(x)=- x2 <0

1+lnx ∴g(x)= x 在区间(1,+∞)内单调递减, ∴g(x)<g(1), ∵g(1)=1, ∴ 1+lnx x <1 在区间(1,+∞)内恒成立,

∴a≥1. 13.函数 y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________. [答案] (-∞,-1) [解析] 函数 y=ln(x2-x-2)的定义域为(2, +∞)∪(-∞, -1), 1 令 f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得 x<2, ∴函数 y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1).
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14.若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值 范围是____________. [答案] [3,+∞) [解析] y′=3x2-2ax, 由题意知 3x2-2ax<0 在区间(0,2)内恒成 立, 3 即 a>2x 在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 三、解答题 15.设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相 切于点(1,-11). (1)求 a、b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. [解析] (1)求导得 f′(x)=3x2-6ax+3b. 由于 f(x)的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11),所以 f(1)=-11,f′(1)=-12,
?1-3a+3b=-11 ? 即? , ?3-6a+3b=-12 ?

解得 a=1,b=-3. (2)由 a=1,b=-3 得 f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3) =3(x+1)(x-3). 令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>3;又令 f′(x)<0,解得-1<x<3. 所以当 x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数; 当 x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数; 当 x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.

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1 16.求证:方程 x-2sinx=0 只有一个根 x=0. 1 [证明] 设 f(x)=x-2sinx,x∈(-∞,+∞), 1 则 f′(x)=1-2cosx>0, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 而当 x=0 时,f(x)=0, 1 ∴方程 x-2sinx=0 有唯一的根 x=0. b 17.已知函数 y=ax 与 y=-x 在(0,+∞)上都是减函数,试确 定函数 y=ax3+bx2+5 的单调区间. b [分析] 可先由函数 y=ax 与 y=-x 的单调性确定 a、b 的取值 范围,再根据 a、b 的取值范围去确定 y=ax3+bx2+5 的单调区间. b [解析] ∵函数 y=ax 与 y=-x在(0,+∞)上都是减函数,∴a <0,b<0. 由 y=ax3+bx2+5 得 y′=3ax2+2bx. 2b 令 y′>0,得 3ax2+2bx>0,∴-3a<x<0.
? 2b ? ∴当 x∈?-3a,0?时,函数为增函数. ? ?

令 y′<0,即 3ax2+2bx<0, 2b ∴x<-3a,或 x>0. 2b? ? ∴在?-∞,-3a?,(0,+∞)上时,函数为减函数.
? ?

18.(2010· 新课标全国文,21)设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2.

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1 (1)若 a=2,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 1 1 [解析] (1)a=2时,f(x)=x(ex-1)-2x2, f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当 x∈(-∞, -1)时, f′(x)>0; x∈(-1,0)时, 当 f′(x)<0; x∈(0, 当 +∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递 减. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令 g(x)=ex-1-ax,则 g′(x)=ex-a. 若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而 g(0) =0,从而当 x≥0 时 g(x)≥0,即 f(x)≥0. 当 a>1,则当 x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而 g(0) =0,从而当 x∈(0,lna)时 g(x)<0,即 f(x)<0. 综合得 a 的取值范围为(-∞,1].

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