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【山东省新人教B版数学(理科)2012届高三单元测试24:选修4-5《不等式的基本性质和证明的基本方法》


山东省新人教 B 版 2012 届高三单元测试 24 选修 4-5《不等式的基本性质和证明的基本方法》
(时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题。 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,有 一项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 M ? x x ? 4 , N ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则集合 M∩N 等于
2 2

?

?

?

?





A. x x ? ? 2 2.若

?

?

B. x x ? 3

?

?

C. x ? 1 ? x ? 2

?

?

D. x 2 ? x ? 3

?

?


1 1 b a ? ? 0 ,则不等式① a+b<ab; ② a ? b ; ③ a ? b; ④ ? ? 2 中正确的有( a b a b
B.2 个 C.3 个 D.4 个

A. 1 个

3.设 ab ? 0 ,下列 4 个不等式:① a ? b ? a ;② a ? b ? b ;③ a ? b ? a ? b ; ④ a ? b ? a ? b ,其中正确的是 A.①和② B.①和③ C.①和④ 4.已知 a、b、c∈R,下列命题正确的是 A. a ? b ? ac ? bc
2 2

( D.②和④ (





B. a ? b, a2 ? b2 ? 0 ? a?1 ? b?1
?1

C. a ? b , ab ? 0 ? a
3 3

? b?1

D. a ? b , ab ? 0 ? a
2 2

?1

? b?1
( )

5.不等式 1 ? x ? 1 ? 3 的解集为 A. (0,2) B. (—2,0)∪(2,4) C. (—4,0) D. (—4,-2)∪(0,2) 6.在下列函数中,当 x 取正数时,最小值为 2 的是 A. y ? x ?





4 x

B. y ? lg x ?

1 lg x

C. y ?

x2 ? 1 ?

1 x ?1
2

D. y ? x ? 2x ? 3
2

2 7.不等式 x ? 2 x ? 3 ? 3 x ? 1 的解集是

( C. x x ? 1或x ? 4 D. x 1 ? x ? 4



A. x x ? 1

?

?

B. x x ? 4

?

?
1 a

?

?

?

?


8.若 0 ? a ? 1 ,则不等式 ( a ? x )( x ? ) ? 0 的解集是



A. ? x

? 1 ? ? x ? a? ? a ? 1? ? a?
2 2 2

B. ? x a ? x ?

? ?

1? ? a?

C. ? x x ? a, 或x ?

? ?

D. ? x x ?

? ?

1 ? , 或x ? a ? a ?
( )

9.设 a,b,c,d∈R,且 a ? b ? 1 , c ? d ? 1 ,则 abcd 的最大值等于
2

A.

1 4

B. ?

1 4

C.

1 2

D. ?

1 2
( )

10.若 x∈R,则 x ? 2 是 x ? 1 ? 1 的什么条件 A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2 2 11.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 x ?1 ? x ? 2 ,则不等式 2 x ? bx ? a ? 0 的解集

?

?

为 A. ? x ?1 ? x ?





? ?

1? ? 2?

B. ? x x ? ?1, 或x ?

? ?

1? ? 2?

C. x ? 2 ? x ? 1

?

?
1 c 1 8

D. x x ? ?2, 或x ? 1

?

?


12.设 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1)且a ? b ? c ? 1 (a,b,c∈R+) ,则 M 的取值范围是( A. [0, )

1 a

1 b

1 8

B. [ ,1)

C. ?1,8?

D. ?8, ?? ?

二、填空题。 (本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分,把正确答案写在题中横线上。 ) 13.以下四个不等式① a ? 0 ? b, ② b ? a ? 0, ③ b ? 0 ? a, ④ 0 ? b ? a, 其中使 充分条件有 14. 设 f (x) ?2x ? 1 ?x ?3 .

1 1 ? 成立的 a b


2 ) = , 则 f (?
a b

) ? 5 , , 若 f (x 则 x 的取值范围是
. .

15.设 a,b∈R,且 a+2b=3,则 2 ? 4 的最小值是

16.若关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ?1 ? a 的解集为 ? ,则 a 的取值范围为

三、解答题。本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。 17. (12 分)解不等式 ?1 ? x ? 2 x ? 1 ? 2 .
2

18. (12 分)解下列不等式
2 (1) x ? 11x ? 21 ? x;

(2)

3x ? 1; x ?4
2

2 (3) x ? 4 ? x ? 3 ? 5 .

19.(12 分)已知 a,b 是正实数,求证:

a b ? ? a ? b. b a

20.(12 分) 求下列各式的最值:

x2 ? y 2 (1)已知 x>y>0 且 xy=1,求 的最小值及此时 x、y 的值; x? y
(2)已知 x>0,y>0,且 3x+4y=12,求 lg x ? lg y 的最大值及此时 x、y 的值.

21.(12 分) 设 x ? 0, y ? 0, 且x ? y,

求证: ( x ? y ) ? ( x ? y ) .
3 2

1 3 3

1 2 2

22.(14 分) 已知 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 ,当 x ?? ?1, ??? 时, f ( x) ? a 恒成立,求 a 的取值范 围。

参考答案
一、1.C 2.B 3.C 4.C 5.D 6.D 7.D 8.B 9.A 10.A 11.A 12.D 二、13.①②④ 14. 6

??1,1?

15. 4 2

16. a ? 3

三、17.解:原不等式等价于 ? 即 x2+2x-3≤0 x2+2x>0

2 ? ?x ? 2x ?1 ? 2 , 2 x ? 2 x ? 1 ? ? 1 ? ?

① ②

解① ( x ? 3)( x ? 1) ? 0,??3 ? x ? 1, 解② x( x ? 2) ? 0,? x ? ?2或x ? 0,

??3 ? x ? ?2或0 ? x ? 1,

? 原不等式的解集为 ? x ?3 ? x ? ?2或0 ? x ? 1? .
18.解: (1)原不等式 ? x ? 11x ? 21 ? x 或 x ? 11x ? 21 ? ? x ? 3 ? x ? 7
2 2

或 x ? 6 ? 15或x ? 6 ? 15,

? 原不等式的解集为 (??,6 ? 15) ∪ (3, 7) ∪ (6 ? 15, ??) .

(2)

3x 3x 2 ?1? ( 2 ) ? 1 ? 9x2 ? ( x2 ? 4)2 ( x ? ?2) x ?4 x ?4
2

? x4 ? 17 x2 ? 16 ? 0 ? x2 ? 1或x2 ? 16
? ?1 ? x ? 1或x ? ?4或x ? 4.

? 原不等式的解集为 ? x x ? 4或 ? 1 ? x ? 1或x ? ?4? .
(3)用零点分段法求解

x 2 ? 4 的零点为-2 和 2, x ? 3 的零点为-3,

? x ? ?3 ??3 ? x ? ?2 或? 2 ? 原不等式 ? ? 2 ? x ? 4 ? ( x ? 3) ? 5 ? x ? 4 ? ( x ? 3) ? 5
或?

? ?2 ? x ? 2
2 ? ?( x ? 4) ? x ? 3 ? 5

或?

?x ? 2
2 ? x ? 4x ? x ? 3 ? 5

? x ? ?3或 ? 1 ? x ? 2或x ? 2.

? 原不等式的解集为 (??, ?3) ∪(-1,2)∪ (2, ??) .
19.证明:

a b ? ? ( a ? b) b a

?

( a )3 ? ( b )3 ? ( a ? b ) ab ab ( a ? b )(a ? 2 ab ? b) ab ( a ? b )( a ? b )2 , ab

?

?

a ? b ? 0, ab ? 0,( a ? b )2 ? 0 ,
? a b ? ? ( a ? b) ? 0 , b a a b ? ? a ? b. b a

?

20.解: (1)

x ? y ? 0,? x ? y ? 0.

xy ? 1(定值),

?

x 2 ? y 2 ( x ? y)2 ? 2 xy 2 ? ? ( x ? y) ? ? 2 2. x? y x? y x? y

? ? 6? 2 ? x ? y ? 0, , ?x ? ? ? ? 2 解方程组 ? xy ? 1, 得? ? ?y ? 6 ? 2 . 2 ?x ? y ? ? ? 2 x? y ? ?

6? 2 6? 2 x2 ? y 2 取得最小值 2 2 . ?当x ? ,y? 时, 2 2 x? y
(2)

x ? 0, y ? 0,3x ? 4 y ? 12,
2

1 1 ? 3x ? 4 y ? ? xy ? ? 3x ? 4 y ? ? ? ? 3. 12 12 ? 2 ?
? lg x ? lg y ? lg( xy) ? lg 3.

? x ? 0, y ? 0, ? x ? 2, ? ? 由 ?3 x ? 4 y ? 12, 解得 ? 3 y? . ?3 x ? 4 y, ? ? 2 ?
3 ?当x ? 2, y ? 时, lg x ? lg y 取得最大值 lg 3. 2
21.证明:
3

x ? 0, y ? 0, 且x ? y,
1 3 3 2 1 2 2

? ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? ( x3 ? y3 )2 ? ( x2 ? y 2 )3

? 2x3 y3 ? 3x2 y 2 ( x2 ? y 2 ) ? 2 xy ? 3( x2 ? y 2 ) ? 2xy ? x2 ? y 2 .
x ? y ,? 最后一个不等式显然成立.? 原不等式成立.
22.解:方法一: f ( x) ? ( x ? a) ? 2 ? a , 此二次函数图象的对称轴为 x=a,
2 2

①当 a ? (??, ?1) 时,结合图象知,f(x)在 ? ?1, ?? ? 上单调递增,

f ( x)min ? f (?1) ? 2a ? 3,
要使 f ( x) ? a 恒成立,只需 f ( x)min ? a, 即 2a ? 3 ? a ,解得 a ? ?3 ,又 a ? ?1,??3 ? a ? ?1; ②当 a ?? ?1, ??? 时, f ( x)min ? f (a) ? 2 ? a2 ,

由 2 ? a ? a ,解得 ?2 ? a ? 1 ,又 a ? ?1,??1 ? a ? 1.
2

综上所述,所求 a 的取值范围为 ?3 ? a ? 1 . 方法二:由已知得 x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立,
2

?? ? 0 ? 即 ? ? 4a ? 4(2 ? a) ? 0 或 ? a ? ?1 , 解得 ?3 ? a ? 1 . ? f (?1) ? 0 ?
2


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