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初等数学研究(六)初等几何基础


第六讲 初等几何基础(一)

1

?
?

§1.

初等几何简介

一、初等几何的研究对象

二、初等几何的内容体系
①.初等几何研究的内容 ②.初等几何研究的方法
(1)论证: ? ? ( 2)作图: ④.初等几何研究问题的主要类型 ? ? ( 3)计算: ? ? ( 4)轨迹: ?

③.初等几何的内容体系

2

三、学习初等几何的重要性

1.培养人的逻辑思维能力 2.逻辑能力的培养不能被数学的其他科目完全取代 3.学习初等几何可发展人的空间想象能力和识图能力 4.学习初等几何有助于在生活现实中独立自主,提高动手 能力,更是继续学习的基础 5.你认为学习初等几何还有哪些重要性?(讨论题)
3

四、初等几何学发展简史
1.几何发展大约经过四个阶段 (1)实验几何(大约公元前七世纪前) (2)初步推理几何(大约公元前四世纪前)

(3)解析几何的产生与发展
(4)现代几何的发展 2.欧几里得《几何原本》中的不足
欧几里德(前330~ 前260)

3.欧几里得不可磨灭的贡献
(1)《几何原本》是人类第一次把丰富散漫的几何材料 整理成了系统严明的读本 (2)《原本》是人类历史上的一部杰作
毕达哥拉斯(约前 580~约前500)

(3)两千年来,人类对初等几何的研究仍以《原本》为 依据 (4)欧几里得成了“几何”的代名词

4

约前486~前376

5

4.《几何原本》译成中文简介 (1)明万历年间(明万历三十五年(1607))徐光启(1562-1633) 与意大利传教士利玛窦(R· Matte 1552-1610)首次合译前6卷 [“几何学”一词由徐光启引入]; (2)清人李善兰(1810-1882)与英人伟烈亚力(W· Lexanbler

1805-1887)于1852-1856年合译后9卷。
5.公理化方法 从尽可能少的无定义的原始概念和一 组不证自明的命题(基本公理)出发,利用 徐光启(1562-1633)

逻辑的法则,把一门数学建成为演绎系统
的方法。
6

? 《几何原本》的每一卷都以一些概念的定、公设、和公理为基础。 第一卷以23个定义、5个公设和5个公理开始的。 ? 定义 ? (1) 点是没有部分的。 ? (2) 线是只有长度而没有宽度的。 ? (3) 线的界限是点。 ? (4) 直线是这样的线,它对于它的所有各个点都有同样的位置。 ? (5) 面是只有长度和宽度的。 ? (6) 面的界限是线。 ? (7) 平面是这样的面,它对于它的所有直线有同样的位置。 ? (8) 平面上的角是在一个平面上的两条相交直线相互的倾斜度 ? (9) 当形成一角度的两线是一直线的时候,那角度成为平角。 …… ? (23) 平行线是在同一平面上而且尽管向两侧延长也决不相交的直 线。 7

6.希尔伯特的公理体系
? ? ? ? ? ? 基本对象(元名) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 基本概念(元词) ? ? ? ? ? ? ? 基本关系(元谊) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ⅰ ? 结合公理 (Ⅰ 1 ? ? 8 ) ? ? ? ? 顺序公理 (Ⅱ 1 ? ?Ⅱ 4 ) ? ?公 理 ? 合同公理 (Ⅲ 1 ? ? Ⅲ 5 ) ? ? 连续公理 (Ⅳ 1 ? ? Ⅳ 2 ) ? ? ? ? 平行公理 (Ⅴ) ? ? ? ? ? 点 ? ? 直线 ? 平面 ? ? ? ? ? ?根 ? ?据 ? 这 ? ?些 ? 基 ? ?

本 概 念 来 定 义 所

有 概 念 和 关 系

希 尔 伯 特 公 理 系 统

? ? 点在直线上 ? 结合关系: ? ? 点在平面上 ? ? ? 顺序关系:一点介与两 ? ? 两线段合同 ? 合同关系: ? ? ? 两角合同 ? 理 ? ? 根 ? ? ?据 ? 这 ? ?些 ? 公 可 逻 辑 地 推 理 出 所 有 定 理

点之间

8

希尔伯特(1862~1943)

§2.几何证明概述
一、现行中学几何教材的逻辑结构特征
1.扩大公理系统,删减繁杂内容,适应中学生接受
2.利用图形直观降低几何学习入门难度

二、几何证明的要求和特点
1.充分利用一般数学证明的方法、思路、技巧 2.严格规范证题的基本要求

3.作一般图形,尽量避免将特殊图形的某些直观特征
引入几何证题 4.作图准确,帮助启发探索证题思路
9

三、几何证题的步骤
1审题:2.寻求思路: 3.选择证法:4.叙述证明:
E F
Q

K P

M A

H G C

四、几何证题的基本思路
B

1.如何选择适当的定理 2.怎样创造条件用好选用的定理 3.定理选择的多样性和特殊性 4.引用定理的相关性和灵活性

D

10

§3.几何证明的一般方法
一、直接证法与间接证法
1.直接证法 (1)叠合法
(2)合一法 2.间接证法 (1)反证法: ①归谬法 ②穷举法 (2)同一法
证明方法 一法,? ) ? 直接证法(叠合法,合 ? ? ? 归谬法 ? ? 反证法 ? ? ? 穷举法 ?间接证法 ? ? ? 11 ?同一法 ?

证明方法小结:

☆ 二、综合法与分析法
1.综合法(由因导果)
从题设的已知出发,
A C1 C2 C3 D5

通过逻辑推理,导出所
给命题的结论,即“由 因导果”的思维方法。

D1 D2 D3 D4 B

12

? 2.分析法(执果索因)
是指从待证的结论 出发,寻找结论成立的充
A C1 C2 D1 C3 D2 B
13

分条件,如此逐步往追溯,
一直到已知条件为止,即
C4 D3 C5

“执果索因”的方法。

三、演绎法与归纳法
? 1.演绎法(三段论法)
是由演绎推理组成的 证明方法,要求演绎推理 中的三段论的大、小前提 都是正确真实的,是一种 由一般原理推出特殊事实

平时证题我 们用简略的 三段论。

例1.题略 证明: 同圆半径相等(大前提) OA、OB都是⊙O的半径(小前提) ∴OA=OB(结论)

∵线段中点平分线段(大前提)
C、D分别是OA、OB的中点(小前提) ∴ OC= 2 OA,OD= 2 OB (结论)
1 1

∵等量的同分量相等(大前提)
OC、OD是等量OA=OB的同分量(小前提) ∴ OC=OD(结论)
14

结论的证明方法。

? 2.归纳法
是由归纳推理组成的证明方法。归纳法又分为 不完全归纳法、完全归纳法和数学归纳法。
(1)不完全归纳法--在研究事物的某些特殊情况所得到的共同 属性的基础上,作出一般性结论的推理方法。

注意:不完全归纳法有时不太可靠
如:x=1,2,3, ……,39时,式子x2+x+41的值都是 质数,若就此得出“当x ∈N+时,式子x2+x+41的值都是质数”

的结论便是错误的。其实当x=40时,402+40+41=412是合数 15

(2)完全归纳法--在研究事物的一切特殊情 况(通常只有有限多种)所得到的共同属性的基 础上,作出一般性结论的推理方法。(如圆周 角定理的证明)

(3)数学归纳法--在研究事物的一切特殊情况 (可数多种,即可用自然数来一一编号种情况) 所得到的共同属性的基础上,作出一般性结论 的推理方法。
16

§4.

度量关系与位置关系的证明

(1)何谓度量关系的证明?

(2)何谓位置关系的证明?
一、关于两线段(角)相等的证明

1.有关证明的主要定理
2.证明的一般思考方法

(1)(2)(3)(4)①②③(5)(6)
3.例题选讲
17

?

例2:题略 分析:因为a是一条直线,
OA⊥a,可联想到连OE、 OF.若能证得△OEF为等腰

三角形即可。 凭经验应连OB、OC,发现只要能证 Rt△EBO≌Rt△FCO即可。它有一边OB=OC, 设法再找一组锐角或另一条直角边对应相等。

B
2 1 3 1

O
3
4

E

C2 A

F

a

另外还有哪些证明的途径?
可分别在O、C、A、F和B、E、A、O共圆的条件下有:∠1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4 △OEF为等腰三角形或∠1= ∠ 2= ∠ 3(及

OB=OC)

△EBO≌ △ FCO,

OE=OF,

AE=AF

18

例3:已知B为线段AC内任一点, 分别以AB、BC为边在同一侧作

等边三角形ABD和BCE, BD与AE交于F, BE与CD交于G.

分析:

求证:BF=BG.

要证BF=BG,可在△BFE、
△BGC中考虑,它们已有∠1=∠2,

D
F

E
3

BE=BC,若再有∠3=∠4即可。这
时可考虑是否有△ABE≌△DBC. 这是易证的。

·

· G
1 2

A

·
B

4

C

当然也可由证得△BAF≌△BDG,BF=BG. 同时,此题可改造成求证:FG∥AC,或△BFG为正 三角形等。 上述问题可供大家课后研究。
19

二、关于线段(角)的和、差、倍、
分的证明 1.有关证明的重要定理

2.关于证明的一般思考方法
[通常有“截长”、“补短”、“加 倍”、“减半”、“n倍”、“1/n”

等。]
20

3.例题选讲

例4. 已知P是正 △ABC外接圆BC弧上任 一点. 求证:PA=PB+PC.
这是一个传统的题目,不少教 材都有这个例子。
不少书上通常使用截长 法、补短法 ,我们也可从不同的地方截长或补短。这

A

D
B · C

样可有8种不同的方法。
此外,在△PAB,△PAC中用余弦定理, 或正弦定理(
a sin A ? b sin B ? c sin C ? 2R

P

),或托

勒密定理(最简)等可解本题。
21

三、关于线段(角)不等的证明 ? 1.有关证明的重要定理 ? 2.关于证明的一般方法思考
A

? 3.例题选讲
例5.已知在△ABC中AB= AC,P是△ ABC内一点,且 ∠APB>∠APC. 求证:PB<PC.
B

P
小 大




P′

C

本题的结论也可改为 求证:∠BAP<∠CAP
22

四、关于平行线的证明

例6.若AD为△ABC的角平 分线,过A、D的圆切BC于D, 且与AB、AC分别相交于E、F. 试证:EF∥BC
E

A
1 2

分析: 本例思路:要证:EF∥BC(连ED) 只要证得∠3=∠4即可。 由图易知:∠3=∠1=∠2=∠4
B

4 3

F D C

23

五、关于垂直直线的证明

? 1.有关证明的重要定理 ? 2.有关证明的一般方法 ? 3.例题选讲
例7. 以△ABC的边AB和AC 为一边向外分别作正方形ABDE和 工ACFG,试证:BC的中线AM与 EG垂直。
B D

E
G

A F

M

C
24

? 例8. 设BD、CE为△ABC的 两条高线,若M为ED的中点,N 为BC的中点,试证NM⊥DE.

A
D

证法1.

连接ND、NE,
E

M

∵BN=NC,∠BDC=90°, ∠BDC=90°
∴ND= 2 BC=NE. 又∵DM=ME,∴NM⊥DE。
1

B

C N

证法2.

∵∠BDC=∠BEC=90°,

∴B、C、D、E四点共圆,且BC为圆的直径。 ∵BN=NC,∴N为圆心。

∵M为弦DE的中点,∴NM⊥DE。

25

六、关于共线点、共点线等的 证明
? 1.有关证明的重要定理
? 2.有关证明的一般思考方法(P49) (1)关于点共线的证明

喂!王老师, 线共点的证明方法 有哪些?

证明A、B、C三点共线的一般思考方法是:
(2)关于线共点的证明 证明a、b、c三线共点的一般思考方法是:

(3)关于点共圆的证明
证明A、B、C、D四点共圆的一般思考方法是: (4)关于圆共点的证明
26

? 3.例题选讲 例9. 已知:如图,X、Y、Z是
△ABC外接圆上一点P分别 在三边 (或三边 所在直线)上的射影. 求证:X、Y、Z共线。 [分析:思路,连XY、XZ 后,设法证明∠PXY+ ∠PXZ=180°] A

B Z

X

Y C

P

27

九点圆
例10. 三角形三边的中点, 三高线足,垂心与三顶点 连线段的中点,这九点共圆. 称为这个三角形的九点圆。
?

A

N

本例结论称为九 点圆定理。 Q


O

P

·
H

·
F
M

.

·

B

·
E

·
I R
28

C

作业:

1.在初等几何的发展中,贡献卓著的有 谁?欧几里德的什么著作成为几何经典名著?

这部著作的写作特点是什么?
2.已知梯形ABCD中,AD∥BC,对角 线AC和腰AB垂直且相等,对角线BD等于底 边BC,如果AC、BD交于E点,求证: CE=CD。

3.设ΔABC中,∠A=90°,AB=AC,M
是AC中点,自A点引AE⊥BM于E,且交BC 于D,求证:∠AMB=∠CMD。
29


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