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江苏省海门市2014届高三数学第一次诊断考试试题苏教版

2014 届高三第一次诊断考试 数学 I
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1.设集合 A ? {x | log 2 x ? 2, x ? Z } ,则集合 A 共有 ▲ 个子集.

2.已知角 ? 的终边过点 P(?4,3) ,则 sin ? ? 2cos? 的值是 ▲ . 3.已知 sin(? ?

?
12

)?

2 7? ,则 cos(? ? ) 的值等于 ▲ . 5 12

4.已知集合 A ? {x | y ? lg(2 x ? x 2 )} , B ? { y | y ? 2 x , x ? 0} ,则 A ? B ? = ▲ .
1 5.已知函数 f ( x) 是定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的偶函数,在 (0, ??) 上单调递减,且 f ( ) ? 0 , 2 f (? 3) ? 0 ,则函数 f ( x) 的零点个数为 ▲ 个.

6.给出如下命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p, q 均为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b, 则2a ? 2b ? 1 ”; ③命题“ ?x0 ? R, 2x0 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 2x ? 0 ”; ④ “ a ? 5 ” 是 “ ?x ? [1, 2], x 2 ? a ? 0 恒成立”的充要条件. 其中所有正确的命题的序号是 ▲ . 1 7.已知 sin ? ? ? ,则 cos(? ? 2? ) 的值等于 ▲ . 3 2 8. 已知 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,g ( x) ? kx ? 1 , 则“ k ? 2 ”是“ f ( x) ? g ( x) 在 R 上恒成立”的 ▲ 条件. (填“充分不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”之一) a 1 9.已知函数 f ( x) ? ln x ? , x ? (0, 4] ,若 y ? f ( x) 图像上任意一点的切线的斜率 k ? 恒 x 2 成立, 则实数 a 的取值范围是 ▲ . 10.设函数 f ( x) ?
ln x 在区间 (a, a ? 2) 上单调递增,则 a 的取值范围为 ▲ x

.

3 3 11.已知函数 f ( x) ? x sin x, x ?[? , ] ,若 f (3a ? 1) ? f (2a ?1) ,则 a 的取值范围为 ▲ . 2 2

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? ?log ( x ? 1), x ? 0, 若 ?x ? R, f ( x) ? ax ? 2(a ? R) , 则 a 的 最 大 值 为 ? 1 ? 2

▲ . 13.已知 a, b, c ? R , 2a ? 3b ? 6c , 14.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?
a?b ? (n, n ? 1), n ? Z ,则 n ? c

▲ .

x?a x ? 2a

7 在区间?0, 4? 上的最大值为 ,则 a 的值为 ▲ . 10

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤.
1

15. (本小题满分 14 分) 已知 ? , ? ? (0, ? ) ,且 sin(? ? 2? ) ? 7 sin ? . 2 5 (1)求证: tan(? ? ? ) ? 6 tan ? ; (2)若 tan ? ? 3tan ? ,求 ? 的值.

16. (本小题满分 14 分) 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ? cos x, x ?[0, ] 的最大值为 g(a). 2 (1)设 t ? sin x ? cos x, x ? [0, ] ,求 t 的取值范围,并把 f ( x) 表示为 t 的函数 m(t ) ; 2 (2)求 g(a).

?

?

17. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) 和 g ( x) 是定义在集合 D 上的函数,若 ?x ? D , f (g (x )) ? g ( f (x)) ,则称函数 f ( x) 和 g ( x) 在集合 D 上具有性质 P( D) .

2

1 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求集合 D ; 2 (2)若函数 f ( x) ? 2 x ? m 和 g ( x) ? ? x ? 2 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求 m 的取值范围.

(1)若函数 f ( x) ? 2 x 和 g ( x) ? cos x ?

18. (本小题满分 16 分) 某地发生某种自然灾害,使当地的自来水受到了污染.某部门对水质检测后,决定往水 中 投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为 m 个单位的药剂后, 经过 x 天该药剂在水 中
?log 2 ( x ? 4),0 ? x ? 4 ? 释放的浓度 y (毫克/升)满足 y ? m f ? x ? ,其中 f ? x ? ? ? 6 ,当药剂 ?x ? 2,x ? 4 ?

在 水中释放的浓度不低于 6(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于 .... 6 (毫克/升)且不高于 18(毫克/升)时称为最佳净化. .... (1)如果投放的药剂质量为 m ? 4 ,试问自来水达到有效净化一共可持续几天? .... (2)如果投放的药剂质量为 m ,为了使在 7 天(从投放药剂算起包括第 7 天)之内的自 来 水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量 m 的取值范围. ....

3

19. (本小题满分 16 分)
1 1 设 a ? R ,函数 f ( x) ? x3 ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a) x . 3 2 ?( x) f (1)若函数 g ( x) ? ( x ? 0) 为奇函数,求 a 的值; x (2)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,求 a 的值; (3)若 a ? ?1 ,试求 x ?[0,1] 时,函数 f ( x) 的最大值.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x , x ?[?2, a], a ? ?2 ,其中 e 是自然对数的底数. (1)若 a ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; 13 (2)求证: f (a) ? 2 ; e (3) 对于定义域为 D 的函数 y ? g ( x) , 如果存在区间 [m, n] ? D , 使得 x ? [m, n] 时, ? g ( x) y 的值域是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数 y ? g ( x) 的“保值区间”. 设 h( x) ? f ( x) ? ( x ? 2)e x , x ? (1, ??) ,问函数 y ? h( x) 是否存在“保值区间”?若存 在,请 求出一个“保值区间”; 若不存在,请说明理由.

4

2014 届高三第一次诊断考试 数学 II(附加题) 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........ 21. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ? lg(2 ? x) . (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)记函数 g ( x) ? 10 f ( x ) ? 3x ,求函数 g ( x) 的值域.

22. (本小题满分 10 分)
? 3 ? 设 ? 为锐角,若 cos(? ? ) ? ,求 cos(2? ? ) 的值. 4 5 6

23. (本小题满分 10 分)
x . 2a ? 2 (1)求函数 g(x)的解析式,并写出当 a=1 时,不等式 g(x)<8 的解集; (2)若 f(x),g(x)同时满足下列两个条件:① ?t ? ?1, 4? ,使 f (?t 2 ? 3) ? f (4t ) ;

已知函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ax ? 1 , g (log2 x) ? x2 ?

② ?x ? (??, a], g ( x) ? 8 .求实数 a 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? eax ? 3x ,其中 a ?R . (1)求 f ( x) 的极值; (2)若存在区间 I ,使 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上具有相同的单调性,求 a 的取值范围.

5

海门市 2014 届高三第一次调研考试 数学 I 参考答案与评分标准 2 7 1. 8;2. ?1 ;3. ? ;4. (1, 2) ;5. 2;6. ②③;7. ? ;8. 充分不必要;9. [4, ??) ; 5 9 1 1 10. [0, e ? 2] ;11. [? ,0) ;12. 2 2 ? 2 ;13. 4;14. . 4 2 15. (1)证明:?sin(? ? 2? ) ? 7 sin ? , 5 ?sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 7 sin[(? ? ? ) ? ? ] , 5 ?sin(? ? ? )cos? ? cos(? ? ? )sin ? ? 7 [sin(? ? ? )cos? ? cos(? ? ? )sin ? ] , 5 ???4 ?sin(? ? ? )cos? ? 6cos(? ? ? )sin ? ① 分 ? ? , ? ? (0, ? ),?? ? ? ? (0, ?) , 2 若 cos(? ? ? ) ? 0 ,则由① sin(? ? ? ) ? 0 与 ? ? ? ? (0, ?) 矛盾, ???5 分 ? cos(? ? ? ) ? 0 , ???7 ? ? ①两边同除以 cos(? ? ? )cos ? 得: tan( ? ? ) ? 6 tan? ; 分 tan ? ? tan ? (2)解:由(1)得 tan(? ? ? ) ? 6 tan ? , ???10 ? 6 tan ? , 1 ? tan ? tan ? 分 4 tan ? 1 ? 3 ? 2 tan ? ? tan ? ? 3tan ? ,? tan ? ? tan ? , 1 2 3 1 ? tan ? 3 ? ? ? ? (0, ? ) ,? tan ? ? 1 ,从而 ? ? . ???14 2 4 分 16. 解: (1) t ? sin x ? cos x ? 2 sin(? ? ), 4 ? ? ? 3? ? x ? [0, ],? x ? ? [ , ] , 2 4 4 4 2 ? ? ? sin(? ? ) ? 1 ,?1 ? t ? 2 ,即 t 的取值范围为 [1, 2] , 2 4

?

???3 分

( 另 解 : ? x ?[0, ] , ?t ? sin x ? cos x ? 1 ? sin 2 x , 由 2 x ? [ 0? 得 0 ? sin 2x ? 1 , , ] 2 ?1 ? t ? 2 ) t2 ?1 , ???5 分 ?t ? sin x ? cos x ,? sin x cos x ? 2 t2 ?1 1 1 ???7 分 ? m(t ) ? a ? ? t ? at 2 ? t ? a, t ?[1, 2] , a ? 0 ; 2 2 2 (2)由二次函数的图象与性质得: 1 1? 2 1 ①当 ? ,即 a ? 2( 2 ? 1) 时, g (a) ? m( 2) ? a ? 2 ; ???10 分 a 2 2 1 1? 2 1 ②当 ? ,即 0 ? a ? 2( 2 ?) 时, g (a) ? m(1) ? ? 2 ???13 分 a 2

?

6

?1 ? a ? 2, a ? 2( 2 ? 1), ? g (a) ? ? 2 ? ? 2,0 ? a ? 2( 2 ? 1). ?

???14 分

17. 解: (1)? f ( x) ? 2 x , g ( x) ? cos x ?

1 , 2

1 1 ? 由 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 得: 2(cos x ? ) ? cos 2 x ? , 2 2 变形得: 4cos 2 x ? 4cos x ? 3 ? 0 , 1 3 , ? cos x ? ? 或 cos x ? (啥去) 2 2 2? ? x ? 2k? ? ,k ?Z , 3 2? ? ? ? D ? ? x x ? 2k ? ? ,k ?Z ? ; 3 ? ? x (2)? f ( x) ? 2 ? m , g ( x) ? ? x ? 2 ,

???2 分

???5 分

???7 分

? 由 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 得: 2? x ? 2 ? m ? ?(2 x ? m) ? 2 , 4 变形得: 2 ? 2m ? 2 x ? x , 2 4 x ? D ? ? ,且 2 ? x ? 4 , 2 ? 2 ? 2m ? 4 ,? m ? ?1 ,即 m 的取值范围为 (??, ?1] . (其它解法参照上述评分标准给分) 18. 解: (1)由题设:投放的药剂质量为 m ? 4 , 自来水达到有效净化 ? 4 f ( x) ? 6 ....
? f ( x) ?

???9 分

???14 分

???2 分

3 2 ?x ? 4 ?0 ? x ? 4 ? ? 或? 6 ???4 分 ?? 3 3 log 2 ( x ? 4) ? ? ?x ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 0 ? x ? 4 或 4 ? x ? 6 ,即: 0 ? x ? 6 , 亦即:如果投放的药剂质量为 m ? 4 , 自来水达到有效净化一共可持续 6 天; ???8 分 ....

(2)由题设: ?x ? (0,7],6 ? mf ( x) ? 18 , m ? 0 ,
?log 2 ( x ? 4),0 ? x ? 4 ? , ? f ? x? ? ? 6 ?x ? 2,x ? 4 ?
??x ? (0, 4],6 ? m log 2 ( x ? 4) ? 18 ,且 ?x ? (4,7],6 ?

???10 分

6m ? 18 ,???12 分 x?2

?6 ? 2m ? 6 ? m?6 且?5 , ?? ?3m ? 18 ?3m ? 18 ? ?3 ? m ? 6 , ?5 ? m ? 6 , ?? ?5 ? m ? 6

???14 分

亦即:投放的药剂质量 m 的取值范围为 [5, 6] . 19. 解: (1) f ?( x) ? x ? (2a ? 1) x ? (a ? a) ,
2 2

???16 分 ???1 分

7

f ?( x) a2 ? a ? x? ? (2a ? 1), x ? 0 , x x f ?( x) ? g ( x) ? ( x ? 0) 为奇函数, x ??x ? 0, g (? x) ? g ( x) ? 0 ,即 2a ? 1 ? 0, 1 ?a ? ? ; 2 (2) f ?( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? (a 2 ? a) ? ( x ? a)[ x ? (a ? 1)] x (??, a) (a, a ? 1) g ( x) ?

???4 分

???5 分
(a ? 1, ??)

f ?( x)

?

?

?

? f ( x) 在 x ? a ? 1 处取得极小值,在 x ? a 处取得极大值, ???7 分 由题设 a ? 1 ? 2 ,?a ? 1 ; ???8 分 2 (另解:由 f ?(2) ? 0 得: a ? 3a ? 2 ? 0 ,?a ? 1 或 a ? 2 ,再验证得 a ? 1 ) (3)由(2)知: 1 ① a ? 1 时, f ( x) 在 [0,1] 上是增函数,?[ f ( x)]max ? f (1) ? a 2 ? ;???10 分 6 ② a ? 0 时, f ( x) 在 [0,1] 上是减函数,?[ f ( x)]max ? f (0) ? 0 ; ???11 分 ③ 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 [0, a] 上是增函数, f ( x) 在 [a,1] 上是减函数, 1 1 ???13 分 ?[ f ( x)]max ? f (a) ? a3 ? a 2 ; 3 2 ④ ?1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 [0, a ? 1] 上是减函数, f ( x) 在 [a ? 1,1] 上是增函数,
? f (1) ? f (0) ? a 2 ? ? (i) ? 1 ? a ? ? (ii) ? 1 6 6 ? (a ? )(a ? ), 6 6 6

6 1 时, f (1) ? f (0) ,?[ f ( x)]max ? f (1) ? a 2 ? ; 6 6

6 ? a ? 0 时, f (1) ? f (0) ,?[ f ( x)]max ? f (0) ? 0 ; 6 ? 2 1 6 或a ? 1, ?a ? , ?1 ? a ? ? 6 6 ? ? 6 ? 综上: [ f ( x)]max ? 0, ? ? ? a ? 0, 6 ? ?1 3 1 2 0 ? a ? 1. ?3 a ? 2 a , ? ? 20. 解: (1) f ?( x) ? ( x2 ? x)e x ? x( x ? 1)e x , x ?[?2, a], a ? ?2 , x (??,0) (0,1) (1, ??)

???15 分

???16 分

f ?( x)

?

?

?
???2 分

由表知道: ① ?2 ? a ? 0 时, x ? (?2, a) 时, f ?( x) ? 0 , ???3 分 ?函数 y ? f ( x) 的单调增区间为 (?2, a) ; ② 0 ? a ? 1 时, x ? (?2,0) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , ?函数 y ? f ( x) 的单调增区间为 (?2,0) ,单调减区间为 (0, a) ;???4 分 (2)证明: f (a) ? (a 2 ? 3a ? 3)ea , a ? ?2
f ?(a) ? (a 2 ? a)ea ? a(a ? 1)ea , a ? ?2 ,
8

a
f ?(a)

(?2,0)

(0,1)
?

(1, ??)

?

?
???6 分

[ f (a)]极小值 =f (1) ? e
5 ( )3 ? 13 13 e3 ? 13 ? f (1) ? f (?2) ? e ? 2 ? ? 2 2 ?0 e e2 e ? f (1) ? f (?2) 由表知: a ?[0, ??) 时, f (a) ? f (1) ? f (?2) ,

???7 分

a ? (?2,0) 时, f (a) ? f (?2) , 13 ? a ? ?2 时, f (a) ? f (?2) ,即 f (a) ? 2 ; e (3) h( x) ? f ( x) ? ( x ? 2)e x ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x , x ? (1, ??) ,
h?( x) ? ( x 2 ? 1)e x , x ? (1, ??) , ? x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , ? y ? h( x) 在 (1, ??) 上是增函数,

???8 分

???9 分

?n ? m ? 1 ? 函数 y ? h( x) 存在“保值区间” [m, n] ? ?h(m) ? m ? h( n) ? n ? ? 关于 x 的方程 h( x) ? x 在 (1, ??) 有两个不相等的实数根,???11 分

令 H ( x) ? h( x) ? x ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x ? x, x ? (1, ??) , 则 H ?( x) ? ( x2 ? 1)e x ? 1, x ? (1, ??) ,
[ H ?( x)]? ? ( x2 ? 2 x ? 1)e x , x ? (1, ??)

? x ? (1, ??) 时, [ H ?( x)]? ? ( x2 ? 2 x ? 1)e x ? 0 , ? H ?( x) 在 (1, ??) 上是增函数,
? H ?(1) ? ?1 ? 0, H ?(2) ? 3e2 ? 1 ? 0 ,且 y ? H ?( x) 在 [1,2] 图象不间断, ???13 分 ??x0 ? (1, 2), 使得 H ?( x0 ) ? 0 ,

? x ? (1, x0 ) 时, H ?( x) ? 0 , x ? ( x0 , ??) 时, H ?( x) ? 0 ,

? 函数 y ? H ( x) 在 (1, x0 ) 上是减函数,在 ( x0 , ??) 上是增函数, ? H (1) ? ?1 ? 0 ,? x ? (1, x0 ], H ( x) ? 0 , ? 函数 y ? H ( x) 在 (1, ??) 至多有一个零点, 即关于 x 的方程 h( x) ? x 在 (1, ??) 至多有一个实数根, ???15 分 ???16 分 ? 函数 y ? h( x) 是不存在“保值区间”. (其它解法参照上述评分标准给分)
海门市 2014 届高三第一次调研考试 数学 II 参考答案与评分标准 ?2 ? x ? 0 21. 解: (1)由 ? 得 ?2 ? x ? 2 , ?2 ? x ? 0 ?函数 f ( x) 的定义域为 (?2, 2) ; (2) g ( x) ? 10
f ( x) 2

???5 分

? 3x ? (2 ? x)(2 ? x) ? 3x ? ? x ? 3x ? 4, x ? (?2, 2) , 3 25 25 ,? 函数 g ( x) 的值域为 (?6, ] . ???10 分 g (?2) ? ?6, g ( ) ? 2 4 4 ? ? ? ?? 22. 解:?? ? (0, ) ,?? ? ? ( , ) , 4 4 4 2
9

? 3 ? 4 ? cos(? ? ) ? ,? sin(? ? ) ? , 4 5 4 5 ? 24 ? 7 , cos 2(? ? ) ? ? ? sin 2(? ? ) ? 4 25 4 25 ? cos(2? ? ) ? cos[2(? ? ) ? ] 6 4 3 1 ? 3 ? ? cos 2(? ? ) ? sin 2(? ? ) 2 4 2 4 ?7 ? 24 3 . ? 50 (其它解法参照上述评分标准给分) 23. 解: (1)令 t ? log 2 x ,则 x ? 2t , x ? g (log 2 x) ? x 2 ? a ? 2 ,? g (t ) ? 22t ? 2t ? 2? a 2 ? g ( x) ? 22 x ? 2 x ? 2 ? a ,

???2 分 ???6 分

?

?

?

???10 分

???2 分
x x

当 a=1 时,不等式 g ( x) ? 8 ? 2 ? 2
2x

x ?1

? 8 ? (2 ? 2)(2 ? 4) ? 0 ,

? 2 x ? 4 ,? x ? 2 ,即不等式 g(x)<8 的解集为 (??, 2) ;

???4 分
a 2 ???6 分

(2)? f ( x) ? 2 x ? ax ? 1 ,
2

? 由① ?t ? [1, 4] , f (?t 2 ? 3) ? f (4t ) 得: ?t ? [1, 4] , (?t 2 ? 3) ? 4t ? ?

即 ?t ? [1, 4] , a ? 2(t ? 2)2 ? 2 ,? a ? [?2,6] ; 4 8 由② ?x ? (??, a], g ( x) ? 8 得: ?x ? (??, a], a ? 2 x ? x 2 2 8 8 x x 令 ? ? 2 , x ? (??, a] ,则 y ? 2 ? x ? ? ? , ? ? (0, 2a ] , 2 ? 8 8 易知函数 y ? ? ? 在 (0, 2a ] 上是增函数,? ymax ? 2a ? a , ? 2 4 8 1 ???9 分 ? a ? 2a ? a ,? 2a ? 2 3,? a ? 1 ? log 2 3 , 2 2 2 1 综上,实数 a 的取值范围为 [?2,1 ? log 2 3) . ???10 分 2 1 ax ? 1 24. 解: (1) f ?( x) ? a ? ? x , ? 0, a ? R x x ① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 从而 f ( x) 没有极大值,也没有极小值. ???2 分 1 ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? , a 1 1 x (0, ) ( , ??) a a ? f ?( x) ? 1 ???4 分 ? f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 1 ? ln a ;没有极大值; a (2) g ?( x) ? aeax ? 3, x ? (??, ??), a ? R
(10 ) 当 a ? 0 时,显然 g ?( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 (??, ??) 上单调递增, 1 由(1)得,此时 f ( x) 在 ( , ??) 上单调递增,符合题意;???5 分 a

10

(20 ) 当 a ? 0 时, g ( x) 在 (??, ??) 上单调递增, f ( x) ? ? ln x 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题意. 1 3 (30 ) 当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 ,则 x ? ln(? ) , a a 1 3 1 3 x (??, ln(? )) ( ln(? ), ??) a a a a ? g ?( x) ? 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, ?a ? 0

???6 分

1 3 ?由题设得: ln(? ) ? 0 ,? a ? ?3 a a

???9 分 ???10 分

综上 a 的取值范围是 (??, ?3) ? (0, ??) .

11


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