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全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编9 圆锥曲线 理

2013 届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编 9:圆 锥曲线

一、选择题 1 . ( 2013 届全国大纲版高考压轴卷数学理试题)已知直线 l 交椭圆 4 x ? 5 y ? 80 于
2 2

M , N 两点,椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点,若 ?BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点
上,则直线 l 的方程是 A. 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 C. 5 x ? 6 y ? 28 ? 0 【答案】 B. 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 D. 5 x ? 6 y ? 28 ? 0 ( ) ( )

A . 设

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

, 又

B(0, 4), F (2, 0)

, 由 重 心 坐 标 得

0 ? x1 ? x2 4 ? y1 ? y2 ? 2, ?0 3 3
? x1 ? x2 ? 6 (1) ?? MN (3, ? 2) 的 中 点 为 . 因 为 点 ? y1 ? y2 ? ?4 (2) , 所 以 弦

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

在椭圆上,

2 2 ? ? 4 x1 ? 5 y1 ? 80 ? 2 ,作差得 2 所以, ? ? 4 x2 ? 5 y2 ? 80

4( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,将(1)和(2)代入得 kl ?

y1 ? y2 6 ? x1 ? x2 5 ,

6 y ? 2 ? ( x ? 3) 所以,直线 L 为: 5
2 . (2013 届山东省高考压轴卷理科数学) 已知抛物线 y =4x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) 的左顶点,且此双曲线的一条渐 近线方程为 y=2x,则双曲线的焦距等于 A. 5 B.2 5
2 2

x2 y2 a b

( C. 3 D.2 3



【答案】B 【解析】∵抛物线 y =4x 的准线 x=-1 过双曲线 2- 2 =1(a>0,b>0)的左顶
1

x2 y2 a b

点 ,∴a=1,∴ 双曲线的渐近线方程 为 y=± x=±bx.∵双曲线的 一条渐近线方程 为

b a

y=2x,∴b=2,∴c= a2+b2= 5,∴双曲线的焦距为 2 5.
3 . (2013 新课标高考压轴卷(一)理科数学)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的一条 a2 b2

渐近线的斜率为 2 ,且右焦点与抛物线 y 2 ? 4 3 x 的焦点重合 ,则该双曲线的离心率 等于 A. 2 B. 3 C.2 D.2 3 ( )

【答案】 B 【解析】 抛物线的焦点为 ( 3, 0) ,即 c ? 由

3 .双曲线的渐近线方程为 y ?

b x, a

b ? 2 , 即 b ? 2a , 所以 b 2 ? 2a 2 ? c 2 ? a 2 , 所以 c 2 ? 3a 2 , 即 e 2 ? 3, e ? 3 , 即 a
B.
2 2

离心率为 3 ,选

4 . (2013 届安徽省高考压轴卷数学理试题)双曲线 x ? y ? 8 的左右焦点分别是 F1,F2 ,

2, 3?? 在 其 右 支 上 , 且 满 足 | Pn ?1 F2 |?| Pn F1 | , P 点 Pn ? xn,yn ?? n ? 1, 1 F2 ? F 1 F2 , 则
x2012 的值是
A. 8040 2 B. 8048 2 C. 8048 D. 8040 ( )

【答案】C【解析】(方法一)? a 2 ? 8,b 2 ? 8, 即 x1 ? 4 ,又 | Pn ?1 F2 |?| Pn F1 | , ? c ? 4,
2 2 2 2 2 2 2 ? ( xn ?1 ? 4) 2 ? yn ?1 ? ( xn ? 4) ? yn,xn ?1 ? 8 xn ?1 ? 16 ? yn ?1 ? xn ? 8 xn ? 16 ? yn 2 2 即 xn ?1 ? xn ? 4( xn ?1 ? xn ) ? ( xn ?1 ? xn )( xn ?1 ? xn ) ? 4( xn ?1 ? xn ),由题意知, xn ? 0 ,

故 x2012 ? x1 ? (2012 ? 1) ? 4 ? 8048 . ? xn ?1 ? xn ? 4, (方法二)焦半径公式法: | Pn F1 |? e( xn ? 2), | Pn ?1 F2 |? e( xn ?1 ? 2) ? xn ?1 ? xn ? 4,

? x1 ? 4 ,故 x2012 ? x1 ? (2012 ? 1) ? 4 ? 8048 .选

C.

点评:本题考查双曲线的简单几何性质和等差数列前 n 项和的求法. 通过

| Pn ?1 F2 |?| Pn F1 | 得出 xn ?1,xn 的关系式解题的关键.
5 . (2013 届四川省高考压轴卷数学理试题)已知双曲线的方程为 则离心率的范围是

x2 y2 ? 2 ? 1(m ? 0) , m m ?4
( )

2

A. [ 3, ??) 【答案】B

B. [ 5, ??)

C. [1, ??)

D. [3, ??)

6 . (2013 届福建省高考压轴卷数学理试题) 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 , 4 3
( )

过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A, B 两点,则 BF2 ? AF2 的最小值为 A. 【

19 2
答 案

B. 11 】 B 【 解

C. 12 析 】 由

D.16 题 意 , 得 :

? AF2 ? AF1 ? 2a ? 4 ? ? BF2 ? AF2 ? 8 ? AF1 ? BF1 ? 8 ? AB ? BF ? BF ? 2 a ? 4 ? 2 1 ?
显然,AB 最短即通径, AB min ? 2 ? 7

b2 ? 3 ,故 ? BF2 ? AF2 a

?

min

? 11

. ( 2013 届 新 课 标 高 考 压 轴 卷 ( 二 ) 理 科 数 学 ) 已 知 双 曲 线 的 方 程 为

x2 y2 3 的直线交双曲线的右支于点 P,且 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,过左焦点 F1 作斜率为 2 3 a b
y 轴平分线段 F1 P ,则双曲线的离心率为 A. 3 【答案】A 8 . (2013 届湖北省高考压轴卷 数学(理)试题)若双曲线 x ? y ? a (a ? 0) 的左、右
2 2 2

( C. 2 D. 2 ? 3



B. 5 ? 1

顶点分别为 A, B , 点 P 是第一象限内双曲线上的点 . 若直线 PA, PB 的倾斜角分别为

? , ? ,且 ? ? k? (k ? 1) ,那么 ? 的值是





?
A. 2k ? 1

?
B. 2k

?
C. 2 k ? 1
2 2 2

?
D. 2k ? 2

【答案】D 【解析】:∵双曲线的方程为 x ? y ? a ,

x2 y 2 ? ? 1 ,∴双曲线的左顶点 a2 a2
n , 直线 PB m?a

为 A(? a, 0) , 右顶点为 B (a, 0) . 设 P (m, n) , 得直线 PA 的斜率 k PA ? 的斜率 k PB

n2 n 2 2 2 ,∴ k PA ? k PB ? 2 ①.∵ P (m, n) 是双曲线 x ? y ? a 上的 ? 2 m ?a m?a

点,∴ m 2 ? n 2 ? a 2 , 得 n 2 ? m 2 ? a 2 , 代人①式得 k PA ? k PB ? 1 .∵直线 PA, PB 的倾斜

3

角分别为 ? , ? ,所以 tan ? ? k PA , tan ? ? k PB ,∴ tan ? ? tan ? ? 1 .∵ P 是第一象限内 双曲线上的点,易知 ? , ? 均为锐角,∴ ? ? ? ? (k ? 1)? ?

?
2
2

,解得 ? ?

?
2k ? 2

.故选

D.

9 . (2013 新课标高考压轴卷(一)理科数学)抛物线 y ? 4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 ( )

3 D.0 4 1 1 【答案】B【解析】抛物线的标准方程为 x 2 ? y ,抛物线的焦点坐标为 (0, ) ,准线方 4 16 1 1 程为 y ? ? ,因为 M 到焦点的距离为 1,则 M 到准线的距离为 1,即 yM ? (? ) ? 1 ,所 16 16 1 15 以 yM ? 1 ? B. ? ,选 16 16
A. B. C. 10. (2013 届辽宁省高考压轴卷数学理试题) 已知双曲线

7 8

15 16

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐 a 2 b2

近线方程是 y= 3 x ,它的一个焦点在抛 物线 y ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为
2





A.

x2 y 2 ? ?1 36 108 x2 y 2 ? ?1 108 36

B.

x2 y 2 ? ?1 9 27 x2 y 2 ? ?1 27 9

C.

D.

?b ?a ? 3 ? x2 y 2 【答案】B 依题意知 ?c ? 6 ? a 2 ? 9, b 2 ? 27 ,所以双曲线的方程为 ? ?1 9 27 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?
11. (2013 届海南省高考压轴卷理科数学)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 ( A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 【答案】答案:C 考点:抛物线的简单性质. 分析:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|可由 y0 表达,由此可求 y0 的取值范围 解答:解:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=y0+2>4,所以 y0>2 (13) =1 (14)16 (15)m<-1 (16)
2



9? 10

4

12. (2013 届湖北省高考压轴卷 数学(理)试题)过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F ,
2

4 ??? ? ??? ? AF ? ? FB (? ? 1) ,则 ? 的值为 A , B 3 斜率为 的直线交抛物线于 两点,若 4 C. 3 5 D. 2





A.4

B.5

【答案】A 【解析】:据题意设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) . 由 AF ? ? FB ? (

????

??? ?

y p p ? x1 , ? y1 ) ? ? ( x2 ? , y2 ) ,则 ? y1 ? ? y2 ? ? ? ? 1 . 2 2 y2

4 p ? 3 ? y ? ( x ? ), 联立 ? 3 2 消去 x 得 y 2 ? py ? p 2 ? 0 ,则 2 ? y 2 ? 2 px, ?
y1 ? y2 ?


3 p, y1 y2 ? ? p 2 . 2

( y1 ? y2 ) 2 y1 y2 9 1 9 ? ? ? 2 ? ? , 即 ?? ? ? 2 ? ? , 即 4? 2 ? 17? ? 4 ? 0 , 解 得 y1 y2 y2 y1 4 ? 4
1 4
( )

? ? 4 或 ? ? (舍去).故选
A. 二、填空题 13. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 2 16,那么 C 的方程为________________. 点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 【答案】 + =1 【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 16 8 a b

x2 y2

x2 y2

2 2 b b 1 2 2 ,所以 = 1- 2,解得 2= ,即 a =2b . 2 2 a a 2 又 △ABF2 的 周 长 为 |AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a,, 因为离心率为 所以 4a=16,a=4,所以 b=2 2,所以椭圆方程为 + =1. 16 8

2

2

x2 y2

5

14. (2013 届北京市高考压轴卷理科数学) 抛物线 y 2 ? ?12 x 的准线与双曲线 两渐近线围成的三角形的面积为 【答案】 3 3 【 解 析 】 抛 物 线 y 2 ? ?12 x 的 准 线 为 x ? 3 , 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1的 9 3

x2 y 2 ? ?1 的两渐近线为 9 3

y?

3 3 x和y?? x , 令 x ? 3 , 分别解得 y1 ? 3, y2 ? ? 3 , 所以三角形的低为 3 3

1 3 ? (? 3) ? 2 3 ,高为 3,所以三角形的面积为 ? 2 3 ? 3 ? 3 3 . 2
15 . ( 2013 届 新 课 标 高 考 压 轴 卷 ( 二 ) 理 科 数 学 ) 过 点 M(—2,0) 的 直 线 m 与 椭 圆

x2 ? y 2 ? 1交于P1 , P2 两点,线段 P1 , P2 的中点为 P,设直线 m 的斜率为 k 1(k1 ? 0) ,直 2
线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为_______ 【答案】 -1/2 16 . ( 2013 届四川省高考压轴卷数学理试题) M 是抛物线 y ? 4 x 上一点 , F 是抛物线
2

y 2 ? 4 x 的焦点 .以 Fx 为始边, FM 为终边的角 ?xFM ? 60? , 则 ?MOF ( O 是坐标
原点)的面积为____________________. 【答案】 3 17 . ( 2013 届全国大纲版高考压轴卷数学理试题)抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为
2

F , A 、B 在抛物线上,且 ?AFB ?

?
2

,弦 AB 的中点 M 在其准线上的射影为 N ,则

MN AB

的最大值为

【答案】

2 1 1 MN ? ( AA1 ? BB1 ) ? ( AF ? BF ) , 2 . 如图, 2 2
2 2

( AF ? BF )2 AB ? AF ? BF ? , 2
2

当且仅当

AF ? BF

时取“=”号

6

? MN ? ? AF ? BF ? ?? ? ?? ? ? AB ? ? 2 AB ? 1

2

2

( AF ? BF )2 AB 1 ? ? ? ? 2 2 2 AB 2 2 AB

2

?

MN ? AB

1 2

18. (2013 届重庆省高考压轴卷数学理试题)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原

点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为 长为 16,那么 C 的方程为______.

2 .过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 V ABF2 的周 2

【答案】解析:由

?c 2 ? ? ?a 2 ?4a ? 16 ?

x2 y2 ? ?1 8 得 a=4.c= 2 2 ,从而 b=8, 16 为所求. ?

x2 y 2 19. (2013 届湖南省高考压轴卷数学(理)试题)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a b
右 焦 点 分 别 为 F1 、 F2, 且 | F1 F2 | =2c, 若 点 P 在 椭 圆 上 , 且 满 足

?????

???? ? ????? ???? ???? ? PF2 ? F1 F2 ? 0, PF1 ? PF2 ? c 2 ,则该椭圆的离心率 e 等于________
【答案】

5 ?1 2
届 海 南 省 高 考 压 轴 卷 理 科 数 学 ) 已 知 双 曲 线 和椭圆 有相同的焦点 , 且双曲

20 . ( 2013

线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_______ 【答案】考点:圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质. 分析:先利用双曲线 和椭圆有相同的焦点求出

c=

,再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出 a=2,即可求双曲线的方程.

解答:解:由题得,双曲线

的焦点坐标为

7

(

,0),(﹣

,0),c=

:

且双曲线的离心率为 2×

=

= ? a=2.? b =c ﹣a =3,

2

2

2

双曲线的方程为

=1.

故答案为: 三、解答题

=1.

21. (2013 届新课标高考压轴卷(二)理科数学)已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离 a2 b2

心率为

1 ,以原点 O 为圆心,椭圆的短半轴长 2

为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相

切 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程 (Ⅱ)若直线 L: y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 kOA ? kOB ? ? ?求证: ?AOB 的面积为定值 ?在椭圆上是否存在一点 P,使 OAPB 为平行四边形,若存在,求出 OP 的取 值范围,若不存在说明理由. 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号.

b2 a2

c 1 ? a 2 【答案】(Ⅰ)解:由题意得 c 2 ? a 2 ? b 2 0?0? 6 b? 2
? 椭圆的方程为

? ? ? ? 2 2 ? ? a ? 4, b ? 3 ? ? ? ?

x2 y2 ? ? 1. 4 3

? x2 y2 ? ? ?1 (Ⅱ)设 A( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) 则 A,B 的坐标满足 ? 4 3 ? ? y ? kx ? m
消去 y 化简得 3 ? 4k

?

2

?x

2

? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0

8

4m 2 ? 12 8km , , ? ? 0 得 4k 2 ? m 2 ? 3 ? 0 x x ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

y1 y 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? k 2 x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2
=k
2

4m 2 ? 12 8km 3m 2 ? 12k 2 2 . ? km ( ? ) ? m ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
3 4

? K OA ? K OB ? ?

y1 y 2 3 3 ? ? ,即 y1 y 2 ? ? x1 x 2 x1 x 2 4 4
?

3m 2 ? 12k 2 3 4m 2 ? 12 即 2m 2 ? 4k 2 ? 3 ? ? ? 2 2 4 3 ? 4k 3 ? 4k
2

? AB ? (1 ? k ) ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

?

?

48(4k 2 ? m 2 ? 3) ? (1 ? k ) ? (3 ? 4k 2 ) 2
2

=

48(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2 ? 2 (3 ? 4k 2 ) 2

?

24(1 ? k 2 ) . 3 ? 4k 2

O 到直线 y ? kx ? m 的距离 d ?

m 1? k 2
24(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2

? S ?AOB ?

1 1 d AB ? 2 2

m 1? k 2

1 m 2 24(1 ? k 2 ) 1 3 ? 4k 2 24 ? ? = = 2 2 2 1? k 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
= 3 为定值..

(Ⅲ)若存在平行四边形 OAPB 使 P 在椭圆上,则 OP ? OA ? OB 设 P ( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 ? x1 ? x 2 ? ?

8km 3 ? 4k 2

y 0 ? y1 ? y 2 ?

6m 3 ? 4k 2

由于 P 在椭圆上,所以

x0 y ? 0 ?1 4 3
9

2

2

从而化简得

16k 2 m 2 12m 2 ? ?1 (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4k 2 ) 2
4m 2 ? 3 ? 4k 2
(1)

化简得

由 K OA ? K OB ? ?

3 知 4

2m 2 ? 4k 2 ? 3

(2)

解(1)(2)知无解 不存在 P 在椭圆上的平行四边形. 22. (2013 届全国大纲版高考压轴卷数学理试题)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知 ?AOB 的顶点 A 在射线 l1 : y ? 3 x ? x ? 0 ? 上, A 、 B 两点关于 x 轴对称,0 为坐标 原点, 且线段 AB 上有一点 M 满足 AM ? MB ? 3. 当点 A 在 l1 上移动时,记点 M 的轨迹为 W. (Ⅰ)求轨迹 W 的方程; (Ⅱ)设 N ? 2, 0 ? , 是否存在过 N 的直线 l 与 W 相交于 P,Q 两点,使得 OP ? OQ ? 1? 若存 在, 求出直线 l ;若不存在,说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)因为 A,B 两点关于 x 轴对称, 所以 AB 边所在直线与 y 轴平行. 设 M ? x , y ? , 由题意,得 A x , 3 x , B x , ? 3 x ,? AM ? MB ? 3,

???? ?

????

??? ? ????

?

? ?

?

???? ? ????

?

?

3x ? y

??

3 x ? y ? 3, x 2 ?

?

y2 ? 1, 3

y2 ? 1? x ? 0? . 所以点 M 的轨迹 W 的方程为 x ? 3
2

(Ⅱ)假设存在,设 l : y ? k ? x ? 2 ? 或x ? 2,P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,

? 2 y2 ?1 ? x ? 当直线 l : y ? k ? x ? 2 ? 时,由题意,知点 P,Q 的坐标是方程组 ? 的解, 3 ? y ? k ? x ? 2? ?
消去 y 得

?3? k ? x
2

2

? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0,

所以 ? ? 4k 2

?

?

2

? 4 ? 3 ? k 2 ?? ?4k 2 ? 3 ? ? 36 ? k 2 ? 1? ? 0且3 ? k 2 ? 0

x1 ? x2 ?
?


4k 2 4k 2 ? 3 , x x ? , 1 2 k2 ? 3 k2 ? 3
线

l







线







(



W)









10

P,Q,? x1 ? x2 ? 即 k 2 ? 3. ①

4k 2 4k 2 ? 3 ? 0, x x ? ? 0, 1 2 k2 ? 3 k2 ? 3

? y1 y2 ? k ? x1 ? 2 ? ? k ? x2 ? 2 ? ? k 2 ? ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?

??? ? ??? ? ? OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? 1 ? k 2 ? x1 x2 ? 2k 2 ? x1 ? x2 ? ? 4k 2
4k 2 ? 3 4k 2 3 ? 5k 2 2 2 ? ?1 ? k ? ? 2 ? 2k ? 2 ? 4k ? 2 k ?3 k ?3 k ?3
2

要使 OP ? OQ ? 1, 则必须有

??? ? ??? ?

3 ? 5k 2 ? 1, 解得 k 2 ? 1, 代入①不符合. 2 k ?3

所以不存在直线 l ,使得 OP ? OQ ? 1, 当直线 l : x ? 2 时, P ? 2, 3 ? , Q ? 2, ?3 ? , OP ? OQ ? ?5, 不符合题意, 综上:不存在直线 l ,使得 OP ? OQ ? 1, 23. (2013 届海南省高考压轴卷理科数学)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦 点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

OP OM

=λ ,求点 M 的

2013 海南省高考压轴卷数学 【答案】(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得

?a ? c ? 1 , 解得a ? 4, c ? 3 , ? ?a ? c ? 7
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 16 7
OP OM
2 2

(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x ? ? ?4, 4? .由已知

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ?2 . 2 2 16( x ? y )

11

整理得 (16? ? 9) x ? 16? y ? 112 ,其中 x ? ? ?4, 4? .
2 2 2 2

(i) ? ?

3 2 时.化简得 9 y ? 112 4

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ? ? ?4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

当0 ? ? ? 部分. 当

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的 4

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部 4

分; 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆

x2 y2 24. (2013 届辽宁省高考压轴卷数学理试题) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 a b
A(?2,0) ,过右焦点 F 且垂直于长轴的弦长为 3 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 Q ,与 y 轴交于点 R ,过原点与 l 平行的直线与椭 圆交于点 P ,求证:

AQ ? AR OP
2

为定值.

【答案】 解:(1) a ? 2 ,设过右焦点 F 且垂直于长轴的弦为 MN ,将 M (c, y M ) 代入椭圆 方程
2 c 2 yM b2 , 解得 , ? ? 1 y ? ? m a a2 b2



2b 2 ? 3 ,可得 b 2 ? 3 a x2 y2 ? ?1 4 3

所以,椭圆方程为

(2)由题意知,直线 AQ, OP 斜率存在,故设为 k ,则直线 AQ 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直 线 OP 的方程为 y ? kx .可得 R(0,2k ) ,则 AR ? 2 1 ? k
2

12

? y ? k ( x ? 2) ? 设 A( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,联立方程组 ? x 2 , y2 ?1 ? ? 3 ?4
消去 y 得: (4k ? 3) x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 ,
2 2 2 2

x1 ? x 2 ? ?

16k 2 16k 2 ? 12 , , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
2 2

则 AQ ? 1 ? k x1 ? x 2 ? 1 ? k

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

12 1 ? k 2 4k 2 ? 3

? y ? kx ? 设 y ? kx 与椭圆交另一点为 M ( x3 , y 3 ) , P ( x 4 , y 4 ) ,联立方程组 ? x 2 , y2 ? ?1 ? 3 ?4
2 2 消去 y 得 (4k ? 3) x ? 12 ? 0 , x 4 ?

12 , 4k 2 ? 3

所以 OP ? 1 ? k x 4 ? 1 ? k
2

2

12 4k 2 ? 3



AQ ? AR OP
2

2 1? k 2 ? ( 1? k 2

12 1 ? k 2 4k 2 ? 3 ? 2 . 12 )2 2 4k ? 3

所以

AQ ? AR OP
2

等于定值 2

25. (2013 届海南省高考压轴卷理科数学) 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,过点 F
2

作直线 l 与抛物线交于 A 、 B 两点,抛物线的准线与 x 轴交于点 C . (1)证明: ?ACF ? ?BCF ; (2)求 ?ACB 的最大值,并求 ?ACB 取得最大值时线段 AB 的长. 【答案】解:(Ⅰ)由题设知,F (

p
2

,0),C (-

p
2

,0),

设 A (x1,y1),B (x2,y2),直线 l 方程为 x=my+ 代入抛物线方程 y =2px,得 y -2pmy-p =0. y1+y2=2pm,y1y2=-p2. 不妨设 y1>0,y2<0,则
2 2 2

p
2

,

13

tan ∠ACF=

y1 2py1 2py1 2p = = , 2= 2 y2 p y2 1 1+p y1-y1y2 y1-y2 x1+ + 2 2p 2 p
=

y1

tan ∠BCF=-

y2 p
2

=-

x2+

2p , y2-y1

∴tan ∠ACF=tan ∠BCF,所以∠ACF=∠BCF. (Ⅱ)如(Ⅰ)所设 y1>0,tan ∠ACF= 此时∠ACF 取最大值 并且 A ( 2py1 2py1 =1,当且仅当 y1=p 时取等号, 2≤ y2 2py1 1+p

π π ,∠ACB=2∠ACF 取最大值 , 4 2

,-p),|AB|=2p. 2 2 26. (2013 届上海市高考压轴卷数学(理)试题)本题共 3 小题,第(Ⅰ)小题 4 分,第(Ⅱ)小 题 6 分,第(Ⅲ)小题 6 分.

p

,p),B (

p

x2 y2 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的一点.斜率为 b a 2 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点,且 A 、 B 、 D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) ?ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由? (Ⅲ)求证:直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值.
已知点 A(1, 2 ) 是离心率为 【答案】本题共 3 小题 , 第(Ⅰ)小题 4 分 , 第 (Ⅱ) 小题 6 分 , 第(Ⅲ)小题 6 分 . 解:(Ⅰ)? e ?

2 c ? , 2 a
Y A

1 2 ? 2 ? 1, a 2 ? b2 ? c2 2 b a

D B O

X

? a ? 2,b ? 2 ,c ? 2 ?

x2 y2 ? ?1 2 4
2x ? b

(Ⅱ)设直线 BD 的方程为 y ?

? y ? 2x ? b ? 4 x 2 ? 2 2bx ? b 2 ? 4 ? 0 ?? 2 2 ?2 x ? y ? 4
14

? ? ? ?8b 2 ? 64 ? 0 ? ?2 2 ? b ? 2 2

x1 ? x2 ? ?

2 b, ----① 2

x1 x2 ?

b2 ? 4 -----② 4

? BD ? 1 ? ( 2 ) 2 x1 ? x2 ? 3
设 d 为点 A 到直线 BD : y ?

? 64 ? 8b 2 6 ? 3 ? 8 ? b2 , 4 4 2 b 3

2 x ? b 的距离, ? d ?

? S ?ABD ?

1 2 BD d ? (8 ? b 2 )b 2 ? 2 ,当且仅当 b ? ?2 时取等号. 2 4

因为 ?2 ? (?2 2 ,2 2 ) ,所以当 b ? ?2 时, ?ABD 的面积最大,最大值为 2 . (Ⅲ)设 D ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,直线 AB 、 AD 的斜率分别为: k AB 、 k AD ,则

k AD ? k AB ?
= 2 2 ? b[

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1

2 x1 ? b ? 2 2 x2 ? b ? 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1
将(Ⅱ)中①、②式代入*式整理得

x1 ? x2 ? 2 ] ------* x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

2 2 ? b[

x1 ? x2 ? 2 ] =0, x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

即 k AD ? k AB ? 0 27. (2013 届重庆省高考压轴卷数学理试题)已知点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是抛物线 y ? 4 x
2

上相异两点,且满足 x1 ? x2 ? 2 . (Ⅰ)若 AB 的中垂线经过点 P (0, 2) ,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M , 求 ?AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方 程.

15

【答案】解:(I)当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意, 所以可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,代入方程 y ? 4 x 得:
2

k 2 x 2 ? (2kb ? 4) x ? b 2 ? 0
∴ x1 ? x2 ? 得: b ?

4 ? 2kb ?2 k2
∴直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ?

2 ?k k

2 k

∵ AB 中点的横坐标为 1,∴ AB 中点的坐标为 (1, )

2 k

1 2 1 3 ( x ? 1) ? ? ? x ? k k k k 3 3 ∵ AB 的中垂线经过点 P (0, 2) ,故 ? 2 ,得 k ? k 2 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 2 6 1 3 (Ⅱ)由(I)可知 AB 的中垂线方程为 y ? ? x ? ,∴ M 点的坐标为 (3, 0) k k
∴ AB 的中垂线方程为 y ? ? 因为直线 AB 的方程为 k x ? ky ? 2 ? k ? 0
2 2

∴ M 到直线 AB 的距离 d ?

| 3k 2 ? 2 ? k 2 | k4 ? k2

?

2 k 2 ?1 |k|

由?

?k 2 x ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 ? y2 ? 4x

得,

k2 2 y ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 , 4

y1 ? y2 ?

4 8 ? 2k 2 , y1 ? y2 ? k k2

16

1 4 1 ? k 2 k 2 ?1 | AB |? 1 ? 2 | y1 ? y2 |? k k2
∴ S ?AMB ? 4(1 ?

1 1 ) 1? 2 , 2 k k

设 1?

1 ? t ,则 0 ? t ? 1 , k2
6 3

S ? 4t (2 ? t 2 ) ? ?4t 3 ? 8t , S ' ? ?12t 2 ? 8 ,由 S ' ? 0 ,得 t ?

S ? ?4t 3 ? 8t 在 (0,

6 6 6 时, S 有最大值 ) 上递增,在 ( ,1) 上递减,当 t ? 3 3 3
16 6 直线 AB 方程 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 9
2

得: k ? ? 3 时, S max ?

28. (2013 届广东省高考压轴卷数学理试题)动圆 P 在 x 轴上方与圆 F: x 2 ? ? y ? 1? ? 1 外 切,又与 x 轴相切. (1)求圆心 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知 A.B 是轨迹 C 上两点,过 A.B 两点分别作轨迹 C 的切线,两条切线的交点为 M, 设 线段 AB 的中点为 N,是否存在 ? ? R 使得 MN ? ? OF (F 为圆 F 的圆心); (3)在(2)的条件下,若轨迹 C 的切线 BM 与 y 轴交于点 R,A.B 两点的连线过点 F,试求 △ABR 面积的最小值. 【答案】解:(1)设 P(x,y)由题意知
y

???? ?

????

F N A
O

B x

M

x 2 ? ? y ? 1? ? y ? 1 ? x 2 ? ? y ? 1? ? ( y ? 1) 2
2 2

? y?

1 2 x 4

( x ? 0) .

即圆心 P 的轨迹 C 的方程为 y ? (2)设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 由 y' ?

1 2 x ( x ? 0) 4

1 1 x 得直线 AM 的斜率 k AM ? x1 2 2
17

直线 BM 的斜率 k BM ?

1 x2 2 1 x1 ( x ? x1 ) --------------① 2

∴直线 AM 的方程为 y ? y1 ? 直线 BM 的方程为 y ? y2 ?

1 x2 ( x ? x2 ) -------------② 2 1 1 1 1 1 2 1 2 由①②消去 y 得 y2 ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ? x2 ( x ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) x ? x2 ? x1 2 2 2 2 2 2 1 ∵ A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 在抛物线 y ? x 2 ( x ? 0) 上 4 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ∴ x2 ? x1 ? ( x1 ? x2 ) x ? x2 ? x1 4 4 2 2 2 2 1 ∴ x ? ( x1 ? x2 ) 2 x ? x2 1 即点 M 的横坐标 x ? ( x1 ? x2 ) ,又∵点 N 的横坐标为也为 1 2 2 ???? ? ???? ∴MN//y 轴,即 MN 与 OF 共线
∴存在 ? ? R 使得 MN ? ? OF (3)设点 B 的坐标为 (t ,

???? ?

????

t2 t2 t )(t ? 0) ,则轨迹 C 的切线 BM 的方程为 y ? ? ( x ? t ) 4 4 2

可得 R 的坐标为 (0, ?

t2 ), 4
2

?4 y ? x 2 t ?4 4 4 ? 2 直线 BA 的方程为 y ? 可得点 A 的坐标为 ( ? , 2 ) x ? 1 ,由 ? t ? 4 4t t t x ?1 ?y ? 4t ?
∴ S ?ABR ? ∵

1 t2 4 1 1 1 4 = |1 ? | ? | t ? | ? | t 3 ? 2t ? | | FR | ? | xB ? x A | 2 4 t 2 2 4 t

1 1 3 4 | t ? 2t ? | 是关于 t 的偶函数,∴只须考虑 t ? 0 的情况, 2 4 t 1 1 4 1 3 4 令 f (t ) ? ( t 3 ? 2t ? ) ( t ? 0 ) 则 f '(t ) ? ( t 2 ? 2 ? 2 ) , 令 f '(t ) ? 0 解 得 2 4 t 2 4 t

t?

2 3 3 2 3 2 3 ) 时, f '(t ) ? 0 ,当 t ? ( , ??) 时, f '(t ) ? 0 3 3

∵当 t ? (0,

18

∴当且仅当 t ?

2 3 2 3 16 3 时, f (t ) 取得最小值 f (t ) min ? f ( )? 3 3 9

29 . ( 2013 届 江 苏 省 高 考 压 轴 卷 数 学 试 题 ) 在 直 角 坐 标 系 xoy 上 取 两 个 定 点

A1 (?2, 0), A2 (2, 0) ,再取两个动点 N1 (0, m), N 2 (0, n) ,且 mn ? 3 .
(Ⅰ)求直线 A1 N1 与 A2 N 2 交点的轨迹 M 的方程; (Ⅱ)已知点 A(1, t ) ( t ? 0 )是轨迹 M 上的定点, E, F 是轨迹 M 上的两个动点,如果直 线 AE 的斜率 k AE 与直线 AF 的斜率 k AF 满足 k AE ? k AF ? 0 ,试探究直线 EF 的斜 率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由. 【答案】

19

30. (2013 届山东省高考压轴卷理科数学) 如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶 点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求直线 l 的方程.

【答案】 【解析】 (1)设所求椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),右焦点为 F2(c,0).因为
20

x2 y2 a b

△AB1B2 是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2 为直角,因此|OA|=|OB2|,得 b= . 2

c

c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 结合 c =a -b ,得 4b =a -b ,故 a =5b ,c =4b ,∴离心率 e= = a 5

5.

1 c 2 在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2,故 S△AB1B2= |B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|= ·b=b . 2 2 由题设条件 S△AB1B2=4,得 b =4,从而 a =5b =20. 因此所求椭圆的标准方程为 + =1. 20 4
2 2 2

x2 y2

(2)由(1),知 B1(-2,0),B2(2,0).由题意,知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程 2 2 为 x=my-2,代入椭圆方程,得(m +5)y -4my-16=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1,y2 是上面方程的两根,因此 y1+y2= → → 又B2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2), ∴ 4m 16 ,y1·y2=- 2 . m +5 m +5
2

B2P
2



· 16?

B2Q m2+1? m2+5
16m - 2 m +5
2



=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m +1)y1y2-4m(y1+y2)+16=16m -64 +16=- 2 . m +5 → → 2 由 PB2⊥QB1,得B2P·B2Q=0,即 16m -64=0,解得 m=±2. ∴满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x-2y+2=0.
2

31. (2013 届江苏省高考压轴卷数学试题) 抛物线 x ? ?2 y 上有两点 A( x1 , y1 ).B ( x 2 , y 2 ) 且
2

OA ? OB ? 0, OM ? (0,?2) ( O 为坐标原点)
(1)求证: AM ∥ AB (2)若 MA ? ?2 MB ,求 AB 所在直线方程.

【 答 案 】 抛 物 线

x 2 ? ?2 y 上 有 两 点

A( x1 , y1 ).B( x 2 , y 2 ) 且

OA ? OB ? 0, OM ? (0,?2) ( O 为坐标原点)
(1)求证: AM ∥ AB (2)若 MA ? ?2 MB ,求 AB 所在直线方程.

21

32. (2013 届四川省高考压轴卷数学理试题)如图, S (1,1) 是抛物线为 y ? 2 px( p ? 0) 上的
2

一点,以 S 为圆心,r 为半径( 1 ? r ?

2 )做圆,分别交 x 轴于 A,B 两点,连结并延长 SA、

SB,分别交抛物线于 C、D 两点.
(1)求证:直线 CD 的斜率为定值; (2)延长 DC 交 x 轴负半轴于点 E,若 EC : ED = 1 : 3,求 sin 2?CSD ? cos ?CSD 的值.

【答案】(1)将点(1,1)代入 y ? 2 px ,得 2 p ? 1
2

? 抛物线方程为 y 2 ? x
设 直线SA的方程为y ? 1 ? k ( x ? 1) , C ( x1 , y1 ) 与抛物线方程 y ? x 联立得: ky ? y ? 1 ? k ? 0
2 2

? y1 ? 1 ?

1 1 ? y1 ? ? 1 k k

?C(

(1 ? k ) 2 1 , ? 1) k2 k

22

由题意有 SA ? SB ,? 直线SB的斜率为 ? k

? D(

(1 ? k ) 2 1 ,? ? 1) k2 k
1 1 ?1? ?1 1 k k ? ?? 2 2 (1 ? k ) (1 ? k ) 2 ? 2 2 k k

? K CD

(2)设 E (t ,0)

(1 ? k ) 2 1 1 (1 ? k ) 1 1 ? t , ? 1) ? ( 2 ? t ,? ? 1) ? EC ? ED ? ( 2 k k 3 k k 3
1 1 1 ? 1 ? (? ? 1) k 3 k ?k ? 2

2

? 直线SA的方程为y ? 2 x ? 1
1 ? A( ,0) 2 3 同理 B ( ,0) 2

? cos ?CSD ? cos ?ASB ?
sin ?CSD ?


SA2 ? SB 2 ? AB 2 3 ? 2SB ? SA 5

4 24 sin 2?CSD ? 5, 25 , 39 25 7 . 25

sin 2?CSD ? cos ?CSD ?
因此:

33. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题)在周长为定值的?DEC 中,已知|DE|=8,动点 C 的运动轨迹为曲线 G,且当动点 C 运动时,cosC 有最小值 ?

(1) “以 DE 所在直线为 x 轴,线段 DE 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,求曲线 G 的方 程”. 2 2 2 2)直线 l 分别切椭圆 G 与圆 M:x +y =R (其中 3<R<5)于 A、B 两点,求|AB|的最大值. 【答案】 【解析】(1)设 |CD|+|CE|=2a (a>8)为定值,所以 C 点的轨迹是以 D、E 为焦点 的椭圆,所以焦距 2c=|DE|=8. 因为

cos C ?

| CD |2 ? | CE |2 ?82 (| CD | ? | CE |) 2 ? 2 | CD || CE | ?82 2a 2 ? 82 ? ? ?1 2 | CD || CE | 2 | CD || CE | | CD || CE |
23



2a | CD | ? | CE |? ( ) 2 ? a 2 , 所 以 2

cos C ? 1 ?

82 2a 2

, 由 题 意 得

1?

82 7 ? ? , a 2 ? 25 . 2 2a 25 x2 y 2 ? ? 1. 25 9

所以 C 点轨迹 G 的方程为

(2)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 ) 分别为直线 l 与椭圆和圆的切点, 直线 AB 的方程为: y ? kx ? m

? x2 y 2 ?1 ? ? 因为 A 既在椭圆上,又在直线 AB 上, 从而有 ? 25 , 9 ? y ? kx ? m ?
消去 y 得: (25k ? 9) x ? 50kmx ? 25(m ? 9) ? 0
2 2 2

由于直线与椭圆相切,故 ? ? (50km) ? 4(25k ? 9) ? 25( m ? 9) ? 0
2 2 2

从而可得: m 2 ? 9 ? 25k 2



x1 ? ?

25k m



? x2 ? y 2 ? R2 2 2 2 2 由? 消去 y 得: (k ? 1) x ? 2kmx ? m ? R ? 0 y ? kx ? m ?
由于直线与圆相切,得 m ? R (1 ? k )
2 2 2



x2 ? ?

kR 2 m



k (25 ? R 2 ) R2 ? 9 2 由②④得: x2 ? x1 ? 由①③得: k ? m 25 ? R 2
?| AB |2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x 2 ? x1 ) 2

?

m 2 k 2 (25 ? R 2 ) R 2 ? 9 (25 ? R 2 ) 2 225 ? ? ? ? 25 ? 9 ? R 2 ? 2 2 2 2 2 R m R 25 ? R R

? 34 ? 2 R 2 ?

225 ? 34 ? 30 ? 4 R2

即 | AB |? 2 ,当且仅当 R ? 15 时取等号,所以|AB|的最大值为 2. 34. (2013 届北京市高考压轴卷理科数学)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率

24



1 ,短轴长为 4 3 . 2

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)直线 x=2 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,A、B 是椭圆 O 上位于直线 PQ 两侧的动点,且直 线 AB 的斜率为

1 . 2

①求四边形 APBQ 面积的最大值; ②设直线 PA 的斜率为 k1 ,直线 PB 的斜率为 k2 ,判断 k1 + k2 的值是否为常数,并说明理 由.

x2 y2 【答案】解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
由已知 b= 2 3 离心率 e ?

c 1 2 ? , a ? b 2 ? c 2 ,得 a ? 4 a 2

所以,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 16 12

(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点 P、Q 的坐标为 P (2,3) , Q(2,?3) ,则 | PQ |? 6 ,

x2 y2 1 设 A ? x1 , y1 ?, B( x 2 , y 2 ),直线 AB 的方程为 y ? x ? t ,代人 ? ?1 16 12 2
得: x 2 ? tx ? t 2 ? 12 ? 0 . 由△>0,解得 ? 4 ? t ? 4 ,由根与系数的关系得 ? 四边形 APBQ 的面积 s ? 故当 t ? 0, S max ? 12 3

? x1 ? x 2 ? ?t 2 ? x1 x 2 ? t ? 12

1 ? 6 ? x1 ? x2 ? 3 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 3 48 ? 3t 2 2
②由题意知,直线 PA 的斜率 k1 ?

y1 ? 3 ,直线 PB 的斜率 x1 ? 2

k2 ?

y2 ? 3 x2 ? 2
25

1 1 x1 ? t ? 3 x2 ? t ? 3 y1 ? 3 y2 ? 3 2 2 则 k1 ? k 2 ? ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 1 1 ( x1 ? 2) ? t ? 2 ( x2 ? 2) ? t ? 2 t?2 t?2 =2 ?2 ?1? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
=1 ?

? x1 ? x 2 ? ?t (t ? 2)( x1 ? x2 ? 4) ,由①知 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? x1 x 2 ? t ? 12
(t ? 2)(?t ? 4) ? t 2 ? 2t ? 8 ? 1 ? ? 1?1 ? 0 t 2 ? 12 ? 2t ? 4 t 2 ? 2t ? 8

可得 k1 ? k2 ? 1 ?

所以 k1 ? k 2 的值为常数 0 35. (2013 届湖北省高考压轴卷 数学(理)试题)如图,已知 M ( m, m ) 、 N ( n, n ) 是抛物
2 2 线 C : y ? x 上的两个不同的点,且 m ? n ? 1 , m ? n ? 0 ,直线 l 是线段 MN 的垂直

2

2

2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, a ? 2) a 平分线.设椭圆 E 的方程为 2 .
(1)当 M 、 N 在 C 上移动时,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (2)已知直线 l 与抛物线 C 交于 A 、B 两点,与椭圆 E 交于 P 、Q 两点,设线段 AB 的中 点为 R ,线段 QP 的中点为 S ,若 OR ? OS ? 0 ,求椭圆 E 的离心率的取值范围.

??? ? ??? ?

【答案】(1)由题意知,直线 MN 的斜率为 k MN ? 又 l ? MN , m ? n ? 0 ,∴直线 l 的斜率为 k ? ?
2

m2 ? n2 ? m?n, m?n

1 . m?n
2 2 2

∵ m 2 ? n 2 ? 1 , 由 m 2 ? n 2 ? 2mn , 得 2( m ? n ) ? ( m ? n ) , 即 2 ? ( m ? n ) ( 当

m ? n 时,等号成立),∴ m ? n ? 2 .

26

∵ M 、 N 是不同的两点,即 m ? n ,∴ 0 ? m ? n ?

2 ,∴ k ?

2 , 2

即k ? ?

2 2 或k ? . 2 2 2 2 )?( , ?? ) . 2 2

∴直线 l 的斜率 k 的取值范围为 ( ??, ?

m ? n m2 ? n2 (2)由题意易得,线段 MN 的中点坐标为 ( , ). 2 2
∵直线 l 是线段 MN 的垂直平分线, ∴直线 l 的方程为 y ?

m2 ? n2 m?n ? k(x ? ), 2 2
1 1 ,即 m ? n ? ? , m?n k

又∵ m 2 ? n 2 ? 1 , k ? ?

∴直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 . 将直线 l 的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得,

x 2 ? kx ? 1 ? 0 , ①

( a ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 2 ? 2a ? 0 .②
易知方程①的判别式 ?1 ? k 2 ? 4 ? 0 , 方程②的判别式 ? 2 ? 8a( 2k 2 ? a ? 1) , 由(1)易知 k 2 ?

1 ,又 a ? 0 ,∴ 2k 2 ? a ? 1 ? a ? 0 ,∴ ? 2 ? 0 恒成立. 2

设 A( x A , y A ), B( xB , yB ), P( xP , y P ), Q( xQ , yQ ) ,则

x A ? xB ? k , y A ? yB ? kx A ? 1 ? kxB ? 1 ? k ( x A ? xB ) ? 2 ? k 2 ? 2 ,
∴线段 AB 的中点 R 的坐标为 ( , 又∵ xP ? xQ ? ?

k k2 ? 1) , 2 2

4k 2a , , yP ? yQ ? kxP ? 1 ? kxQ ? 1 ? k ( xP ? xQ ) ? 2 ? 2 a ? 2k a ? 2k 2 2k a ∴线段 QP 的中点 S 的坐标为 ( ? , ). 2 a ? 2k a ? 2k 2
∴ OR ? ( ,

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? k k2 ?2k a OR ? OS ? 0 得, ? 1) , OS ? ( , 由 , ) 2 2 a ? 2k 2 a ? 2k 2
27

? k 2 ? a(

k2 ? 1) k2 2k 2 2 2 , 即 , ∴ . ? k ? a ( ? 1 ) ? 0 a ? ? 0 2 k2 ? 2 a ? 2k 2

∵ k2 ?

2k 2 2 2 2k 2 4 1 ,∴ a ? 2 ? ? ,a ? 2 ? 2? 2 ? 2, k ? 2 1? 2 5 k ?2 k ?2 2 k2



2?a 2 ,? a ? 2 ? 2e 2 , ? a ? 2 .由题易知,椭圆 E 的离心率 e ? 2 5
2 5 2 4 . ? 2 ? 2e 2 ? 2 ,∴ 0 ? e 2 ? ,∴ 0 ? e ? 5 5 5 2 5 ). 5



故椭圆 E 的离心率的取值范围为 (0,

36 .( 2013 届 江 西 省 高 考 压 轴 卷 数 学 理 试 题 ) 如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , AB ? 8, BC ? 4, E , F , G , H 分 别 为 四 边 的 中 点 , 且 都 在 坐 标 轴 上 , 设

OP ? ? OF , CQ ? ? CF (? ? 0) .
(Ⅰ)求直线 EP 与 GQ 的交点 M 的轨迹 ? 的方程;
2 2 2 (Ⅱ) 过 圆 x ? y ? r (0 ? r ? 2) 上 一 点 N 作 圆 的 切 线 与 轨 迹 ? 交 于 S , T 两 点 , 若

?

?

?

?

NS ? NT ? r 2 ? 0 ,试求出 r 的值.
y D H A G M o E P C Q F B x

?

?

【答案】解:(I)设 M ( x, y ) ,由已知得 P (4? , 0), Q(4, 2 ? 2? ) ,

则直线 EP 的方程为

y?

x ?x ?2 y?? ?2 2? 2 ,直线 GQ 的方程为 ,

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 4 消去 ? 即得 M 的轨迹 ? 的方程为 16
28

y D H A G S o E C T F B x

N

(II)方法一:由已知得

NS NT ? ON

2

,又 ON ? ST ,则 OS ? OT ,





线

ST : y ? kx? m ( m? ?2)





x2 y 2 ? ?1 16 4



(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 16 ? 0 ,


S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 ) ,
x1 ? x2 ? ? 8km 4m 2 ? 16 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2



x x ? y1 y2 ? 0 , 由 OS ? OT 得 1 2


km( x1 ? x2 ) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? m 2 ? 0
2 2

,

则 5m ? 16(1 ? k ) ,

又 O 到直线 ST 的距离为

r?

m 1 ? k ,故
2

r?

4 5 ? (0, 2) 5 .

经检验当直线 ST 的斜率不存在时也满足 方法二:设

N ( x0 , y0 )

,则

x0 2 ? y0 2 ? r 2

,且可得直线 ST 的方程为

x0 x ? y0 y ? r 2

x2 y 2 ? ?1 ( y 2 ? 4 x0 2 ) x 2 ? 8r 2 x0 x ? 4r 4 ? 16 y0 2 ? 0 4 代入 16 得 0 ,
NS NT ? ON
2

(1 ?




x0 2 )( x2 ? x0 )( x0 ? x1 ) ? r 2 x ( x ? x2 ) ? x1 x2 ? r 2 y0 2 ,即 0 1 ,

8r 2 x0 2 ? 4r 4 ? 16 y0 2 4 5 ? r2 r? ? (0, 2) 2 2 y ? 4 x 5 0 0 则 ,故

29

2 y2 37. (2013 届天津市高考压轴卷理科数学)已知椭圆 C : x 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦距为 4,且 a b

y2 ? 1 有相同的离心率,斜率为 k 的直线 l 经过点 M(0,1),与椭圆 C 交于不 2 同两点 A、B.

与椭圆 x 2 ?

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围. 【答案】解:(1)∵焦距为 4,∴ c=2 又∵ x 2 ?
y2 2 ? 1 的离心率为 2 2

∴ e ? c ? 2 ? 2 ,∴a= 2 2 ,b=2 a a 2
2 y2 ?1 ∴标准方程为 x ? 8 4 (2)设直线 l 方程:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),

? y ? kx ? 1 ? 由 ? 2 y2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 6 ? 0 x ? ?1 ?8 4 ?

∴x1+x2= ?4k 2 ,x1x2= ?6 2 1 ? 2k 1 ? 2k 由(1)知右焦点 F 坐标为(2,0), ∵右焦点 F 在圆内部,∴ AF ? BF <0 ∴(x1 -2)(x2-2)+ y1y2<0 2 即 x1x2-2(x1+x2)+4+k x1x2+k(x1+x2)+1<0 ∴ (1 ? k 2 ) ? ∴k< 1 8 经检验得 k< 1 时,直线 l 与椭圆相交, 8 ∴直线 l 的斜率 k 的范围为(-∞, 1 ) . 8 38. (2013 届福建省高考压轴卷数学理试题)已知椭圆 C: 为
?6 ? (k ? 2) ? ?4k ? 5 ? 8k ? 1 <0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a 2 b2

3 1 ,右焦点到直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 0 的距离为 . 5 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 : y ? kx ? m(km ? 0) 与椭圆 C 交于 A、 B 两点,且线段 AB 中点恰好在直线

l1 上,求△OAB 的面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点).
【 答案】 【解析】 (I) 由 题意得 e ?

c 1 ? , c ? 1 , 所 以 a ? 2 , 所求椭 圆方程 为 a 2
30

x2 y2 ? ? 1. 4 3 x2 y2 (II)设 A? x1 , y1 ?, B? x 2 , y 2 ? ,把直线 l 2 : y ? kx ? m 代入椭圆方程 ? ? 1 得到 4 3
2 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 ,因此 x12 ? x 2 ?

4m 2 ? 12 ? 8km , , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
在 直 线 l1 上 , 得

所 以

AB 中 点 M (

3?

? 4km 3m ? 4? 2 ? 0, 2 4k ? 3 4k ? 3

? 4km 3m , 2 ) , 又 M 2 4k ? 3 4k ? 3

m? ? 0. ? k ? 1 , 故 x1 ? x 2 ?

4m 2 ? 12 ? 8m , x1 x 2 ? , 7 7 |m| 4 6 , 7 ? m 2 ,原点 O 到 AB 的距离为 d ? 7 2

所以 | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |?

得到 S ?

2 3 2 3 m 2 ? (7 ? m 2 ) 7 m 2 (7 ? m 2 ) ? ? ? 3 ,当且仅当 m 2 ? 取到等 7 7 2 2

号,检验 ? ? 0 成立. 39. (2013 新课标高考压轴卷(一)理科数学)给定抛物线 C : y ? 4 x , F 是抛物线 C 的焦
2

点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点. (Ⅰ)设 l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; (Ⅱ)设 FA ? 2 BF ,求直线 l 的方程. 【答案】(Ⅰ)解 : ? y ? 4 x,? F ?1, 0 ? , 又 ? 直线 l 的斜率为 1, ? 直线 ? l 的方程
2

为: y ? x ? 1 ,代入? y ? 4 x ,得: x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,由根与系数的关系得: ?
2

? x1 ? x2 ? 6 , ? x1 ? x2 ? 1

易得 AB 中点即圆心的坐标为 ? 3, 2 ? ,又 AB ? x1 ? x2 ? p ? 8,? r ? 4 ,

? 所求的圆的方程为: ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 16 .^
2 2

(Ⅱ)

??? ? ??? ? ? FA ? 2 BF ,? FA ? 2 BF ,



??? ? ??? ? ? x ? 1 ? 2 ?1 ? x2 ? FA ? ? x1 ? 1, y1 ? , BF ? ?1 ? x2 , ? y2 ? ,? ? 1 ,? 直线 l 的斜率存在,设直 ? y1 ? ?2 y2
线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为:

y ? k ? x ? 1? ,代入? y 2 ? 4 x ,得: k 2 x 2 ? ? 2k 2 ? 4 ? x ? k 2 ? 0 ,由根与系数的关系得:
31

? ?x ?2 2k 2 ? 4 ? x1 ? 1 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,? x1 ? 1 ? 2 ?1 ? x2 ? ,? ? 或? k 1 ,? k ? ?2 2 , ? x2 ? 1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 2 ?
? 直线 l 的方程为: y ? ?2 2 ? x ? 1?
40 .( 2013 届 湖 南 省 高 考 压 轴 卷 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 F1 , F2 分 别 为 椭 圆

C:

x2 y2 3 右两个焦点,若椭圆 C 上的点 A(1, )到 F1,F2 两点 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 2 2 a b

的距离之和等于 4. ⑴写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; ⑵过点 P(1,

1 )的直线与椭圆交于两点 D、E,若 DP=PE,求直线 DE 的方程; 4

⑶过点 Q(1,0)的直线与椭圆交于两点 M、N,若△OMN 面积取得最大,求直线 MN 的方程. 【答案】⑴椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.;

3 1 2 2 又点 A(1, ) 在椭圆上,因此 2 ? 4 ? 1. 得 b =1,于是 c =3; 2 2 2 b
所以椭圆 C 的方程为 x ? y 2 ? 1, 焦点F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0). , 4 ⑵∵P 在椭圆内,∴直线 DE 与椭圆相交, ∴设 D(x1,y1),E(x2,y2),代入椭圆 C 的方程得
2

3

x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0,相减得 2(x1-x2)+4×2×
∴DE 方程为 y-1= -1(x-

1 (y1-y2)=0,∴斜率为 k=-1 4

1 ),即 4x+4y=5; 4 2m 3 , y1y2=- 2 ,且△>0 成 2 m ?4 m ?4

(3)直线 MN 不与 y 轴垂直,∴设 MN 方程为 my=x-1,代入椭圆 C 的方程得 (m +4)y +2my-3=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=立. 又 S△OMN= S△OMN=
2 2

4m 2 ? 12(m 2 ? 4) 2 m 2 ? 3 1 1 2 |y1-y2|= × = ,设 t= m ? 3 ≥ 3 ,则 2 2 m ?4 m ?4 2 2
1 t
,(t+ )′=1-t >0 对 t≥ 3 恒成立,∴t= 3 时 t+ 取得最小,S△OMN 最大,
-2

2 t?

1 t

1 t

此时 m=0,∴MN 方程为 x=1 41. (2013 届陕西省高考压轴卷数学(理)试题)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离 a 2 b2

32

心率为

2 ,且椭圆 C 上一点与两个焦点构成的三角形的周长为 2 2 ? 2 . 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设过椭圆 C 右焦点 F 的动直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,试问:在 x 轴上是否存 在定点 M ,使 MA ? MB ? ?

???? ????

7 成立?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 16

【答案】 【解析】(I)由题意知: 解得 a ?

c 2 ,且 2a ? 2c ? 2 2 ? 2 , ? a 2

2, c ? 1 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,
x2 ? y2 ? 1 . 2

∴ 椭圆 C 的方程为

(II) 易 求 得 右 焦 点 F (1, 0) , 假 设 在 x 轴 上 存 在 点 M (t , 0) ( t 为 常 数 ), 使

???? ???? 7 MA ? MB ? ? . 16
①当直线 l 的斜率不存在时,则 l : x ? 1 ,此时 A(1,

2 2 ), B(1, ? ), 2 2

???? ???? 2 2 1 7 5 3 MA ? MB ? (1 ? t , ) ? (1 ? t , ? ) ? (1 ? t ) 2 ? ? ? ,解得 t ? 或 . 2 2 2 16 4 4
②当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立方程组 ? x 2 ,消去 y 整理得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 , 2 ? y ?1 ? ?2
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

???? ???? MA ? MB ? ( x1 ? t , k ( x1 ? 1)) ? ( x2 ? t , k ( x2 ? 1))
? ( k 2 ? 1) x1 x2 ? (t ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? k 2 ? t 2

2k 2 ? 2 4k 2 (4t ? 1)k 2 ? 2 2 2 2 2 ? ( k ? 1) ? 2 ? (t ? k ) ? 2 ?k ?t ?t ? 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1
2



???? ???? 4t ? 1 2 5 7 ? 即 t ? 时, MA ? MB 为定值: t 2 ? 2 ? ? 2 1 4 16

33

由①②可知,在 x 轴上存在定点 M ( ,0) ,使 MA ? MB ? ?

5 4

???? ????

7 成立. 16

42. (2013 届安徽省高考压轴卷数学理试题)已知椭圆的焦点坐标是 F1 (?1,, 0) F2 (?10) , 过点 F2 垂直与长轴的直线交椭圆与 P,Q 两点,且 | PQ |? 3 . (1)求椭圆的方程 (2)过 F2 的直线与椭圆交与不同的两点 M ,N , 则 ?F1MN 的内切圆面积是否存在最 大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 【答案】 【解析】(1)设椭圆的方程是

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

由交点的坐标得: c ? 1 ,--------------由 | PQ |? 3 ,可得 解得 a ? 2,b ?

2b 2 ? 3 ---------------a

3 ---------------

x2 y 2 故椭圆的方程是 ? ? 1 ----------4 3
(2)设 M ( x1,y1 ),N( x2,y2 ) ,不妨设 y1 ? 0,y2 ? 0 设 ?F1MN 的内切圆半径是 R ,则 ?F1MN 的周长是 4a ? 8 ,

S ?F1MN ?

1 ( MN ? F1M ? F1 N ) R ? 4 R , 2

因此 S ?F1MN 最大, R 就最大-----------------------

S ?F1MN ?

1 F1 F2 ( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 2

由题知,直线 l 的斜率不为 0,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得, (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ,-------------?1 ? ? 3 ?4
解得 y1 ?

?3m ? 6 m 2 ? 1 ?3m ? 6 m 2 ? 1 , y ? 2 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 1 12 m 2 ? 1 ? AB( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 ? ----------------2 3m 2 ? 4

则 S ?AMN

34

令t ?

m 2 ? 1, 则t ?1
1 12 m 2 ? 1 12 ? AB( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 ? ? -----------2 1 2 3m ? 4 3t ? t
1 t 1 t2

则 S ?AMN

令 f (t ) ? 3t ? ,f ?(t ) ? 3 ?

+? ? 上单调递增, 当 t ? 1 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 在 ?1,
12 ?3, 4 12 3 即当 t ? 1,m ? 0 时, S ?AMN ? 所以 Rmax ? , ? 3,S ?AMN ? 4 R, 4 4 9? 此时所求内切圆面积的最大值是 16 故 直 线 l : x ? 1 , ?AMN 内 切 圆 的 面 积 最 9? ----------------------------------16
有 f (t ) ? f (1) ? 4,S ?AMN ?







35


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