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条件概率与事件的独立性


1.【2012 高考真题广东理 17】 (本小题满分 13 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]. (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的 分布列。

2.在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别 为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列.

1 1 2 3.(12 分)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军的概率分别为 , , . 2 3 3 (1)求该高中获得冠军个数 X 的分布列; (2)若球队获得冠军,则给其所在学校加 5 分,否则加 2 分,求该高中得分 η 的分布列.

4.一名学生每天骑车上学, 从他家到学校的途中有 6 个交通岗, 假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立 1 的,并且概率都是 . 3 (1)设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 X 的分布列; (2)设 Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 Y 的分布列.

1

§ 2.2.1&2.2.2 条件概率与事件的独立性
知识点一.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫作条件概率,用符号 P(B|A)来 P?AB? 表示,其公式为 P(B|A)= (P(A)>0). P?A? n?AB? 在古典概型中,若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数,则 P(B|A)= . n?A? (2)条件概率具有的性质: ①0≤P(B|A)≤1; ②如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 二、典型例题 例 1.一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A,“第二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A)等于 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 6 8 例 2.设某种动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8,活到 25 岁的概率是 0.4,现有一个 20 岁的这种动物,问它 能活到 25 岁的概率是多少?

例 3.在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到 不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率为________.

例4. 1 号 箱 中 有 2 个 白 球 和 4 个 红 球 ,2 号 箱 中 有 5 个 白 球 和 3 个 红 球 ,现 随 机 地 从 1 号 箱 中 取 出 一 球 放 入 2号 箱 , 然 后 从 2号 箱 随 机 取 出 一 球 , 则 从 2号 箱 取 出 红 球 的 概 率 是

2 1

变式 1: 一张储蓄卡的密码共 6 位数字,每位数字都可从 0~9 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时, 忘记了密码的最后一位数字,求: (1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率

变式 2:甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录知道,甲、乙两地一年中雨天占的比例,分别为 20%和 18%,两地同时下雨的比例为 12%. 问: ① 乙地下雨时甲地也下雨的概率; ② 甲地下雨时乙地也下雨的概率.



知识点二.相互独立事件 (1)对于事件 A、B,若 A 的发生与 B 的发生互不影响,则称 A、B 是相互独立事件. (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B). (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立. (4)若 P(AB)=P(A)P(B),则 A 与 B 相互独立. 例 5. 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 1 次,甲射中的概率为 0.8 ,乙射中的概率为 0.9 求: (1) 2 人都射中目标的概率; (2) 2 人中恰有 1 人射中目标的概率; (3) 2 人至少有 1 人射中目标的概率; (4) 2 人至多有 1 人射中目标的概率?

3 1

1 变式 1:甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p,且乙投球 2 次均未命中的概率 2 1 为 . 16 (1)求乙投球的命中率 p; (2)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (3)若甲、乙两人各投球 2 次,求共命中 2 次的概率.

变式 2:(2011· 山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘.已 知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ).

例 6.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道题中,甲能答对其中的 6 道,乙能答对其中的 8 道,规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道进行测试,至少答对 2 题才算合格。 (1) 分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2) 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

变式 1:.在 5 道题中有 4 道理科题和 3 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求: (l)第 1 次抽到理科题的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; (3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.

4 1

§ 2.2.1&2.2.2 条件概率与事件的独立性同步练习
一、选择题 1.已知 P( B | A) ? A

5 6

1 3 , P ( A) ? , P( AB) ? 2 5 9 3 1 B C D 10 10 10


2.将一枚硬币任意抛掷两次,记事件 A=“第一次出现正面” ,事件 B=“第二次出现正面” ,则 P( B | A) =( A1 B

1 2

C

1 4 1 26 1 2

D

1 8


7.当掷五枚硬币时,已知至少出现两个正面,则正好出现 3 个正面概率为( A

5 13
1 3



6 13
2 3

C

D

1 4 1 4

3.一个家庭中有两个小孩。假定生男生女是等可能的。已知这个家庭有一个是女孩。问另一个也是女孩的概率是 ( ) A B C D

4.某地气象台统计,该地区下雨的概率为 为刮风,则 P( B | A) = A

4 2 1 ,刮风的概率为 ,既刮风又下雨的概率为 ,设 A 为下雨,B 15 15 10

1 4



1 2

C

3 4

D

2 5

5.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同) ,无放回的依次摸出 2 个球,在第一次摸出红球的条件下,第 二次也摸到红球的概率是( ) A

3 5



2 5

C

1 10

D

5 9

6.下列说法正确的是( ) A. P( B | A) ? P ? A ? B ?

B. P( B | A) ?

C. 0< P( B | A) <1 7.某机械零件加工有两道工序组成,第一道工序的废品率为 a,第二道工序的废品率为 b,假定这两道工序出废 品是彼此无关的,那么产品的合格率为( ) A.ab-a-b+1 B.1-a-b C.1-ab D.1-2ab

P ? B? 是可能的 P ? A? D. P( A | A) ? 0

8.甲盒中有 200 个螺杆,其中有 160 个 A 型的,乙盒中有 240 个螺母,其中 180 个 A 型的,现从甲乙两盒中各 任取一个,能配成 A 型螺栓的概率( ) A

1 20



15 16

C

3 5

D

19 20

二、填空题 9. 从一副不含大小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 2 次, 每次抽 1 张. 已知第 1 次抽到 A , 则第 2 次也抽到 A 的概率是 . 。

10.掷两颗均匀的骰子,在它们点数不同的条件下,至少有一颗出现 6 点的概率为

11.设 n 件产品中含有 m 件废品,今从中任取两件,在已知其中一件是废品的前提下,另一件也是废品的概率为
5 1

____________。 12. 若 P( B | A) = P( A | B) ?

1 1 P( A) ? ,则 P( B) ? ____。 2 3
2 1 P ( B )= 则 P( A ? B) ? 3 2
, P( A ? B ) ? 。

13. 已知A,B为相互独立事件,且 P ( A) ?

14. 有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是 1/5, 1/3 , 1/4 .则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是 三、解答题 15.在 10 个产品中有 7 个正品、3 个次品,进行无放回抽样,每次取 1 个,抽取 2 次,求: (1)两次都抽到次品的概率; (2)第二次才抽到次品的概率; (3)已知第一次抽到次品,第二次又抽到次品的概率。

16. 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约。乙、 丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 互不影响。求: (1)至少有一人面试合格的概率; (2)没人签约的概率。

1 ,且面试是否合格 2

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