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苏教版高中数学选修(2-1)-3.2典型例题:空间向量处理夹角问题 (1)

空间向量处理夹角问题 1.求线线夹角 设 a ? (a1, a2, a3) , b ? (b1,b2,b3) ,? ?(0?,90?] 为一面直线所成角,则: a ?b ?| a | ? | b | ?cos ? a,b ? ; cos ? a,b ?? a ?b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; | a | ? | b | a12 ? a22 ? a32 b12 ? b22 ? b32 cos? ?| cos ? a,b ?| 。 例 1:已知正方体 ABCD ? A' B'C ' D',B ' E ' ? D ' F ' ? A' B ' ,则 BE ' 和 DF ' 所 4 成角的余弦值是多少? 解:不妨设正方体的边长为1,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则相关各点坐 标为 B(1,1,0) , E '(1, 3 ,1) , D(0,0,0) , 4 F '(0, 1 ,1) 。 4 ∵ BE ' ? (0, ? 1 ,1) , DF ' ? (0, 1 ,1) , 4 4 z F' D' C' E' A' B' ∴| BE ' |? 17 ,| DF ' |? 17 ,BE '? DF ' ? 15 , 16 16 16 cos ? BE ', DF ' ?? BE '? DF ' ? 15 , | BE ' || DF ' | 17 ∴ BE ' 和 DF ' 所成角的余弦值是 15 。 17 D A x Cy B 例 2:如图直三棱柱 ABC ? A' B'C ' 的底面 ABC 和 A' B'C ' 是全等等腰直角 三角形, ?ACB ? ?A'C ' B' ? 90?,侧棱 AA'垂直底面且 AA' ? BB' ? CC ' , AA'// BB'// CC ' , AC ? BC ?1, AA' ? 2,求 BA' 与 CB '所成角的余弦值。 z A C ' ' B ' yA C B x 解:如图所示,建立空间直角坐标系 C ? xyz ,则相关各点坐标为 A'(0,1, 2) , C(0, 0, 0) , B '(1, 0, 2) 。 ∵ BA' ? (?1,1, 2) , CB ' ? (1, 0, 2) , ∴| BA ' |? 6 ,| CB ' |? 5 , BA'?CB ' ? 3, cos ? BA',CB ' ?? BA'?CB ' ? 30 , | BA' | ? | CB ' | 10 ∴ BA' 与 CB '所成角的余弦值是 30 。 10 例 3:正四面体 A? BCD 边长均为1, E 、 F 分别为 AD 和 BC 中点,求异面 直线 AF 和 CE 所成角。 解:设 AB ? b , AC ? c , AD ? d , 则 AF ? 1 (b ? c) , CE ? CA ? AE ? 1 d ? c 。 2 2 AF ? CE ? 1 (b ? c) ? ( 1 d ? c) ? 1 (1 b?d ?b?c ? 1 c?d ? 2 c) ? ? 1 , 2 2 22 2 2 | AF |? 2 AF ? 1 (b ? c)2 ? 1 2 (b ? 2b ?c ? 2 c) ? 3, 4 4 4 | CE |? 2 CE ? (1 d ? c)2 ? 1 d2 ?d 2 ?c ? c ? 3, 2 4 4 B A E D cos ? AF,CE ?? AF ?CE ? ? 2 , | AF | ? | CE | 3 F C ∴异面直线 AF 和 CE 所成角是 arccos 2 。 3 通过本题可以知道,选择基底多半选择既知道模又知道夹角的。本题还可以 运用公式法,现介绍如下。 ★异面直线 AB 和 CD 所成角公式: cos ? AB,CD ?? | (| AC |2 ? | BD |2 ) ? (| AD |2 ? | BC |2 ) | 。 2 | AB | ? | CD | D C Aθ D α C O B' ' 证明:将 CD 平移 h 单位到平面? 内与 AB 交于 O 点,夹角为? ,则有 AD '2 ? OA2 ? OD '2 ? 2OA?OD '? cos? , ① BC '2 ? OB2 ? OC '2 ? 2OB ?OC '? cos? , ② AC '2 ? OA2 ? OC '2 ? 2OA?OC '? cos? , ③ BD '2 ? OB2 ? OD '2 ? 2OB ?OD '? cos? , ④ ( ③ ? ④ ) ? ( ① ? ② ) 得, cos? ? ( AC '2 ? BD '2 ) ? ( AD '2 ? BC '2 ) 。 2AB ?C ' D ' cos ? AB,CD ?? | [(AC '2 ? h2 ) ? (BD '2 ? h2 )] ?[(AD '2 ? h2 ) ? (BC '2 ? h2)] | , 2AB ? C ' D '2 ? h2 ∴ cos ? AB,CD ?? | (| AC |2 ? | BD |2 ) ? (| AD |2 ? | BC |2 ) | 。 2 | AB | ? | CD | 解法二:连结 FE 、 FD,有 AF ? FD ? 3 ,可得 FE ? AD , 2 ∴ FE ? 2 , AC ?1, AE ? FC ? 1 , AF ? CE ? 3 , 2 2 2 cos ? AF , CE ?? | (| AC |2 ?| FE |2 ) ? (| AE |2 ?| FC |2 ) | ? | (1? 1) ? (1 24 ? 1) | 4 ? 2 , 2 | AF