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一提问: 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。大边对大角 能否用一个等式把这种角和对边同增长的关系精确地表示出来? 二.讲授新课 在初中, 我们已学过如何解直角三角形, 下面就首先来探讨直角三角形中, A

C

B 角与边的等

式关系。如图,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, a b c A ? sin A ? sin B sinC ? 1 ? c c c, 有 , ,又 a b c ? ? ?c 则 sin A sin B sinC C a b c ? ? 从而在直角三角形 ABC 中, sin A sin B sin C 提问:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:

B

如图 1.1-3, (1)当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义,

a b ? a sin B ? b sin A ,则 sin A sin B , 有 CD= c b ? sinC sin B , 同理可得 c a b ? ? 从而 sin A sin B sin C
(2)当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。

C b A c a B

a

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin A sin B sin C [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数, 即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ;

?

b

?

c

a
(2) sin A

sin C 等价于 sin A (3)a:b:c=sinA:sinB:sinC 思考:正弦定理的基本作用是什么?

?

b
sin B

?

c

a

?

b

c

sin B , sinC

?

b

a

sin B , sin A

?

c
sinC

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如

a?

b sin A sin B ;
sin A ? sin B

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析]
0 0

a b



例 1 在 ?ABC 中,已知 A ? 32.0 , B ?81.8 , a ? 42.9 cm,解三角形。(书上例 1) 解:根据三角形内角和定理,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 ) ? 66.20 ;

根据正弦定理,

b?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) sin A sin32.00 ; as i n C 42.9si0 66.2 n ? ? 4 . cm 7 1( 0 sin A sin32.0 ).

根据正弦定理,

c?

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 练 1:在 ?ABC 中,已知 b ?

3 , A ? 45? , B ? 60? ,求 a

例 2 在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60 , c ? 1, 求a和A, C
0

b c c sin B 1 ? sin 600 1 ? ,? sin C ? ? ? b 2 3 解:∵ sin B sin C

? b ? c, B ? 600 ,?C ? B, C为锐角, C ? 300 , B ? 900 ?
∴a ? b ?c ? 2
2 2

例 3. 在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 40 ,解三角形(角度精确到 1 ,边长精确到 1cm) 。
0

0

解:根据正弦定理,

sin B ?

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20
0

因为 0 < B < 180 ,所以 B ? 64 ,或 B ?116 .
0

0

0

0

⑴ 当 B ? 64 时,

C ?1 8 0 ? A ? B )? 1 8 0 ( ?
0 0

0

( 4? 0

0

a sin C 20sin760 c? ? ? 30(cm). 6?, 7 sin A 4 ) 6 sin400
0

0 ⑵ 当 B ?116 时, C ?180 ? ( A? B) ?180 ? (40 ?116 ) ? 24 ,

0

0

0

0

0

c?

a sin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400

应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 课堂练习 第 4 页练习第 2 题。

a
思考题:在 ? ABC 中, sin A (证法三)(外接圆法) : 如图所示,∠A=∠D

?

b
sin B

?

c
sinC

? k(k >o) ,这个 k 与 ? ABC 有什么关系?
C

a a b c ? ? CD ? 2 R sin A sin D sin B =2R, sin C =2R ∴ 同理
a
? sin A
?

a b
A O B D

b
sin B

?

c
sin C

c
? 2R

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sin C

? 2R

课堂练习:

a b c ? ? ?k 1 在△ABC 中, sin A sin B sin C ,则 k 为(
王新敞
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)?

A 2R
王新敞
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BR
王新敞
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C 4R
王新敞
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1 R D 2 (R 为△ABC 外接圆半径)
王新敞
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2 △ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为( )? A 直角三角形? B 等腰直角三角形? C 等边三角形 三.课时小结(由学生归纳总结)
王新敞
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王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

D 等腰三角形
王新敞
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a
(1)定理的表示形式: sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c ? k ? k ? 0? sin A ? sin B ? sinC ;

或 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC (k ? 0) (2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。 四.课后作业: P10 面 1、2 题。 2 在 ?ABC 中,已知 c ? 板书设计

3 , A ? 45? , B ? 60? ,求 b

课题: §1.1.2 余弦定理
授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三 角形问题。 过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三 角形问题 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦定理、向量 的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; ●教学难点 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上一节,我们一起研究了正弦定理,解决了在三角形中已知两角、 一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问 题. 在解三角形中,已知两边与夹角,和三边解三角形的问题未能解决,这个问题的解决的用到我们今天讲的余弦定 理。

回忆正弦定理 Ⅱ.讲授新课 [探索研究] 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 ??? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则

? b

A

? c

c ? c ?c ? a ? b a ? b ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? ? ? b ?? a?? b 2 ? 2 b2 ? a ? b ? 2a ? b
从而 同理可证

?2

? ?

?

?

? ?

??

?

?
C

? a

B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

a2 ? b2 ? c2 ? b c o s A 2 c
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

于是得到以下定理 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A? cos B ? cosC ?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc a 2 ? c 2 ? b2 2ac

b2 ? a 2 ? c 2 2ba 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系, 如何看这两个定理之间的关系?
0 2 2 2 (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 90 ,则 cosC ? 0 ,这时 c ? a ? b

由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 [理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ① 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;解唯一 ② 知三角形的三条边就可以求出其它角。下面看角是否唯一? 在一个三角形中,如果两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果两边的平方和小于第 三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.

这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一。 由以上两种情况我们可以看出:不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.? [例题分析] 【例 1】在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 ,B=45°,求 b 及 A
2 2 2 ⑴解:∵ b ? a ? c ? 2ac cos B

2 2 0 = (2 3) ? ( 6 ? 2) ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 45 2 = 12 ? ( 6 ? 2) ? 4 3( 3 ?1)

=8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:

A?
⑵解法一:∵cos ∴ A ? 60 .
0

b2 ? c2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)

a 2 3 A ? sin B ? ?sin450 , b 2 2 解法二:∵sin
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ? 3.8,

2 3 < 2?1.8 ? 3.6,
0 0 ∴ a < c ,即 0 < A < 90 ,

∴ A ? 60 .
0

评述:解法二应注意确定 A 的取值范围。如果可以选择,用余弦定理

【例 2】在△ABC 中,已知 B=60 cm,C=34 cm,A=41°,解三角形(角度精确到 1°,边长精确到 1 cm).? 解:根据余弦定理,? a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82 ?,所以 A≈41 cm.?

c sin A 34 ? sin 41? 34 ? 0.656 ? 41 41 由正弦定理得 sinC= a ≈ ≈0.544 0,?
因为 C 不是三角形中最大的边,所以 C 是锐角.利用计数器可得 C≈33°,? B=180°-A-C=180°-41°-33°=106°.?

【例 3】在△ABC 中,已知 a =134.6 cm,b=87.8 cm,c =161.7 cm,解三角形.? 解:由余弦定理的推论,得?

b 2 ? c 2 ? a 2 87.82 ? 161.7 2 ? 134.6 2 ? 2bc 2 ? 87.8 ?161.7 cosA= ≈0.554 3,A≈56°20′;? c 2 ? a 2 ? b 2 134.6 2 ? 161.7 2 ? 87.82 ? 2ca 2 ?134.6 ?161.7 cosB= ≈0.839 8,B≈32°53′;?
C =180°-(A+B)=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.?

补充例题:? 【例 1】在△ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,求 A、B 和 C.(精确到 1°)? 分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.?

cos A ?
解:∵ ∴A≈44°.?

b 2 ? c 2 ? a 2 102 ? 6 2 ? 7 2 ? ? 0.725 2bc 2 ?10? 6 ,?

a 2 ? b 2 ? c 2 7 2 ? 102 ? 6 2 113 ? ? 2ab 2 ? 7 ?10 140 ≈0.807 1,? ∵cosC=
∴C≈36°.? ∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.? 用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出? [补充练习]
2 2 2 0 1.在 ? ABC 中,若 a ? b ? c ? bc ,求角 A(答案:A=120 )

2 在△ABC 中:? (1)已知 c=8,b=3,b=60°,求 A;?

(2)已知 a=20,b=29,c=21,求 B;? (3)已知 a=33,c=2,b=150°,求 B;? (4)已知 a=2,b=2,c=3+1,求 A.? 解: (1)由 = + -2bacosA,得 =82+32-2×8×3cos60°=49.∴A=7.?

cos B ?
(2)由 (3)由 = +

c2 ? a2 ? b2 202 ? 212 ? 292 cos B ? ?0 2ca 2 ? 20? 21 ,得 .∴B=90°.?
-2cacosB,得 =(33)2+22-2×33×2cos150°=49.∴b=7.?

( 2 ) 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 22 2 b2 ? c2 ? a2 cos A ? ? cos A ? 2 .∴A=45°.? 2 2 ( 3 ? 1) 2bc (4)由 ,得
评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.? 课堂小结 通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦 定理所能解决的两类有关三角形问题:? (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;? (2)余弦定理的应用范围:①已知三边求三角;②已知两边、一角解三角形.?? 布置作业 课本第 8 页练习第 1(1) 、2(1)题.?? 板书设计 余弦定理 1.余弦定理 (1)平面几何法;? (2)向量法 ? 2.证明方法:? (1)已知三边求任意角; (2)已知两边、一角解三角形 4.学生练习 3.余弦定理所能解决的两类问题:

课题: §1.1.3 解三角形的进一步讨论
授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;三角形各种 类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 过程与方法:通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数公式及三角 形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观:通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系,反映了 事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 ●教学重点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; 三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 ●教学难点 正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型. 下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (提问).正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用 定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、 余弦定理的边角转换功能在判断三角形形 状和证明三角恒等式时的应用.?? 推进新课 思考:在△ABC 中,已知 a=22cm,b=25cm, A=133° ,解三角形. (由学生阅读课本第 9 页解答过程)? 从此题的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条件下会出现无解的情 形.下面进一步来研究这种情形(已知 a,b,A)下解三角形的问题. 【例 1】在△ABC 中,已知 a,b,A,讨论三角形解的情况.? 分析:先由 sin B ?

b sin A a sin C 可进一步求出 B;则 C =180° -(A+B),从而 c ? .? a sin A

一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况.? 1.当 A 为钝角或直角时,必须 a>b 才能有且只有一解;否则无解.? 2.当 A 为锐角时, 如果 a≥b,那么只有一解;? 如果 a<b,那么可以分下面三种情况来讨论:? (1)若 a>bsinA,则有两解;? (2)若 a=bsinA,则只有一解;? (3)若 a<bsinA,则无解.? (以上解答过程详见课本第 9 到第 10 页)? 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 bsinA<a<b 时,有两解;其他情况 时则只有一解或无解.? (1)A 为直角或钝角?

(2)A 为锐角?

[随堂练习 1] (1) 根据下列已知条件,判定有没有解,若有解,判断解的个数:
? (1) a ? 5 , b ? 4 , A ? 120 ,求 B ? ⑵ a ? 5 , b ? 4 , A ? 90 ,求 B

⑶ a ? 5,

b?

10 3 3 , A ? 60? ,求 B

? ⑷ a ? 20 , b ? 28 , A ? 40 ,求 B

一个 一个 两个 两个

(2)在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 100 , ?A ? 45 ,试判断此三角形的解的情况。
0

(3)在 ? ABC 中,若 a ? 1 ,

c?

1 2 , ?C ? 400 ,则符合题意的 b 的值有_____个。

0 cm (4)在 ? ABC 中, a ? xcm , b ? 2 , ?B ? 45 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范围。

(答案: (1)有两解; (2)0; (3) 2 ? x ? 2 2 ) 已知 a b c 【例 2】 .在 ? ABC 中,已知 a ? 7 , b ? 5 , c ? 3 ,判断 ? ABC 的类型。 分析:由余弦定理可知

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形
(注意: A是锐角? ?ABC是锐角三角形 )

2 2 2 2 2 2 解:? 7 ? 5 ? 3 ,即 a ? b ? c ,

∴ ?ABC是钝角三角形 。 [随堂练习 2] (1)在 ? ABC 中,已知 sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,判断 ? ABC 的类型。 (2)已知 ? ABC 满足条件 a cosA ? b cosB ,判断 ? ABC 的类型。 (答案: (1) ?ABC是钝角三角形 ; (2) ? ABC 是等腰或直角三角形)

【例 3】已知△ABC, BD 为角 B 的平分线,求证: AB∶BC=AD∶DC.?

AB AD AB sin ?ADB ? ? ,即 ,? sin ?ADB sin ?ABD AD sin ?ABD BC DC BC sin ?BDC ? ? 在△BCD 内,利用正弦定理得 ,即 ,? sin ?BDC sin ?DBC DC sin ?DBC
证明:在△ABD 内,利用正弦定理得 ∵BD 是角 B 的平分线,∴∠ABD=∠DBC ? ∴sin∠ABD=sin∠DBC.? ∵∠ADB+∠BDC=180° ,? ∴sin∠ADB=sin(180° -∠BDC)=sin∠BDC.?

AB sin ?ADB sin ?BDC BC ? ? ? .? AD sin ?ABD sin ?DBC DC AB AD ? ∴ .? BC DC
∴ 评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式 的应用.?

[例 4]在△ABC 中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.? 证明一: (化为三角函数)? a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2· 2sinB· COsB+(2RsinB)2· 2sinA· cosA=8R2sinA· sinB(sinA ? cosB+cosAsinB)=8R2sinasinbsinC =2· 2RsinA· 2RsinB· sinC=2absinC.?

所以原式得证.? 证明二: (化为边的等式)? 左边=A2· 2sinBcosB+B2· 2sinAcosA= a ?
2

2b a 2 ? c 2 ? b 2 2a b 2 ? c 2 ? a 2 ? ? b2 ? ? = 2R 2ac 2R 2bc

ab 2 ab c (a ? c 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? 2c 2 ? 2ab ? ? 2ab sin C = 2 Rc 2 Rc 2R
三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看,这类问题就是有了目标 的含边和角的式子的化简问题.? [例 5]在△ABC 中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状. 解法一:利用余弦定理将角化为边.? ∵bcosA=acosB,∴ b ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 ? a? .∴b2+c2-a2=a2+c2-b2.∴a2=b2. 2bc 2ac

∴a=b.? 故此三角形是等腰三角形.? 解法二:利用正弦定理将边转化为角.? ∵bcosA=acosB,又 B=2RsinB,A=2RsinA,∴2RsinbcosA=2RsinAcosB.? ∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∵0<A,B<π,∴-π<A-B<π.? ∴A-B=0,即 A=B.? 故此三角形是等腰三角形.? 课堂小结? 通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、余弦定理对三角恒等式 进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.? (1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; (2)三角形形状的判定方法.??

解斜三角形时可用的定理和公

适用类型

备注

式 余弦定理? a2=b2+c2-2bccosA ? b2=a2+c2-2accosB ? c2=b2+a2-2bacosC 正弦定理 (1)已知三边? (2)已知两边及其夹角 类型(1)(2)有解时只有一 解

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
三角形面积公式

(3)已知两角和一边? (4) 已知两边及其中一边的对 角 (5)已知两边及其夹角

类型(3)在有解时只有一解, 类型(4)可有两解、一解或无 解

1 S ? bc sin A ? 2 1 ac sin B ? 2 1 ab sin C 2
板书设计
解三角形的进一步讨论? 一、三角形形状判定? 1.等腰三角形:a=b 或? A=B ? 二、三角形问题证明思路 1.向边转化利用正、余弦定理 2.向角转化? 利用正弦定理 2.直角三角形:a2+b2=c2 或 C =90° ?? 3.钝角三角形:C>90° ? 三、学生练习 四、布置作业

1.2 解三角形应用举例

第一课时

一、教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语 2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想 解决数学问题的能力

二、教学重点、难点 教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解 教学难点:根据题意建立数学模型,画出示意图 三、教学设想 1、复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形? 2、设置情境 请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题, “遥不可及的月亮离我们地球 究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个 奥秘的呢?我们知道,对于未知的距离、高度等,存在着许多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、 相似三角形的方法,或借助解直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,某些方法会不 能实施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法会有局限性。于是上面介绍 的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用,首先研 究如何测量距离。 新课讲授 (1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角 形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解 例 1、如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C, 测出 AC 的距离是 55m, ? BAC= 51 ? , ? ACB= 75 ? 。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m)

分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题解:根据正弦定理,得 AC AB sin ?ACB sin ?ABC = AB = 答:A、B 两点间的距离为 65.7 米
AC sin ?ACB sin ?ABC = 55sin ?ACB sin ?ABC =
55 sin 75? sin(180? ? 51? ? 75?) =

55sin 75? sin54? ≈ 65.7(m)

变式练习:两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ,灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ,则 A、B 之间的距离为多少? 请同学们画图,建立数学模型。 解略: 2 a km
?

?

例 2、如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达) ,设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。 分析:这是例 1 的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形,所以需要确

定 C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出 AC 和 BC,再 利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。

解:测量者可以在河岸边选定两点 C、D,测得 CD=a,并且在 C、D 两点分别测得 ? BCA= ? ,

? ACD= ? , ? CDB= ? , ? BDA = ? ,在 ? ADC 和 ? BDC 中,应用正弦定理得
AC = BC =
a sin(? ? ? ) sin[180? ? ( ? ? ? ? ? )] a sin ? sin[180? ? (? ? ? ? ? )]

= =

a sin(? ? ? ) sin(? ? ? ? ? )
a sin ? sin(? ? ? ? ? )

计算出 AC 和 BC 后,再在 ? ABC 中,应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离 AB =
AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?

分组讨论:还没有其它的方法呢? 变式训练:若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点,测得 ? BCA=60 , ? ACD=30 , ? CDB=45 , ? BDA =60
? ? ? ?

略解:将题中各已知量代入例 2 推出的公式,得 AB=20 6 同学们阅读课本 12 页,了解测量中基线的概念 归纳总结 解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数 学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 思考题:某人在 M 汽车站的北偏西 20 的方向上的 A 处,观察到点 C 处有一辆汽车沿公路向 M 站行驶。公路的走 向是 M 站的北偏东 40 。开始时,汽车到 A 的距离为 31 千米,汽车前进 20 千米后,到 A 的距离缩短了 10 千米。 问汽车还需行驶多远,才能到达 M 汽车站?
? ?

解:由题设,画出示意图,设汽车前进 20 千米后到达 B 处。在 ? ABC 中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 23 2 AC ? BC cosC= = 31 ,

432 12 3 2 则 sin C =1- cos C = 31 , sinC = 31 ,
2 2

35 3 所以 sin ? MAC = sin(120 -C)= sin120 cosC - cos120 sinC = 62
? ? ?

在 ? MAC 中,由正弦定理得

31

AC sin ?MAC 3 35 3 MC = sin ?AMC = 2 ? 62 =35 从而有 MB= MC-BC=15
答:汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站。

1.2 解三角形应用举例

第二课时

一、教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题 2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法,养成良好的研究、探索习惯。 3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 二、教学重点、难点 重点:结合实际测量工具,解决生活中的测量高度问题 难点:能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件 三、教学过程 Ⅰ.课题导入 提问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶 的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。

分析:求 AB 长的关键是先求 AE,在 ? ACE 中,如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA,再测出由 C 点观察 A 的 仰角,就可以计算出 AE 的长。 解:选择一条水平基线 HG,使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是 ? 、
? ,CD = a,测角仪器的高是 h,那么,在 ? ACD 中,根据正弦定理可得
a sin ? sin(? ? ? )
a sin? sin ? AB = AE + h=AC sin ? + h= sin(? ? ? ) + h

AC =

? ? 例 2、如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 40? ,在塔底 C 处测得 A 处的俯角 ? =50 1? 。已知

铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)

解:在 ? ABC 中, ? BCA=90 + ? , ? ABC =90 - ? ,
? ?

? BAC= ? - ? , ? BAD = ? . 根 据 正 弦 定 理 ,
BC sin(90? ? ? ) BC cos ? sin(? ? ? ) 所以 AB = sin(? ? ? ) =

BC sin(? ? ? ) =
BC cos ? sin ? sin(? ? ? )

AB sin(90 ? ? ? )

在 Rt ? ABD 中,得 BD =ABsin ? BAD=

27.3 cos 50?1? sin 54?40? 27.3 cos 50?1? sin 54?40? sin(54?40? ? 50?1?) = sin 4?39? 将测量数据代入上式,得 BD = ≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为 150 米. 思考:有没有别的解法呢?若在 ? ACD 中求 CD,可先求出 AC。思考如何求出 AC? 例 3、如图, 一辆汽 到 A 处时测得公路北 车在一条水平的公路上向正西行驶, 侧远处一山顶 D 在西偏北 15 的方
?

向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 25 的方向上,仰角为 8 ,求此山的高度 CD.

?

?

解: 在 ? ABC 中, ? A=15 , ? C= 25 -15 =10 ,根据正弦定理,

?

?

?

?

BC AB sin A = sin C ,

AB sin A ? BC = sin C ≈ 7.4524(km) CD=BC ? tan ? DBC≈BC ? tan8 ≈1047(m)

答:山的高度约为 1047 米 Ⅲ.课堂练习:课本第 17 页练习第 1、2、3 题 Ⅳ.课时小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取 主要因素,进行适当的简化。

1.2 解三角形应用举例

第三课时

一、教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 2、通过综合训练强化学生的相应能力,让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来,逐步让学生自主 发现规律,举一反三。 3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并激发学生的探索精神。 二、教学重点、难点 重点:能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 难点:灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 三、教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然 而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速 和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问题。 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32
? ?

的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少 距离?(角度精确到 0.1 ,距离精确到 0.01n mile)
?

同学们看图思考并讲述解题思路 分析:首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ? ABC,即可用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算 出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB。 解:在 ? ABC 中, ? ABC=180 - 75 + 32 =137 ,根据余弦定理,
2 2 2 2 ? AC= AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC = 67.5 ? 54.0 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos137 ≈113.15
? ? ? ?

BC 根据正弦定理, sin ?CAB =

AC sin ?ABC

54.0 sin137 ? BC sin ?ABC 113.15 AC sin ? CAB = = ≈0.3255,

所以 ? CAB =19.0 ,

?

75 - ? CAB =56.0
?

?

?

答:此船应该沿北偏东 56.1 的方向航行,需要航行 113.15n mile 例 2、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ,沿 BE 方向前进 30m,至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2 ? , 再继续前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4 ? ,求 ? 的大小和建筑物 AE 的高。

解法一: (用正弦定理求解)由已知可得在 ? ACD 中, AC=BC=30, AD=DC=10 3 ,

? ADC =180 ? -4 ? ,
sin4 ? =2sin2 ? cos2 ?

30 10 3 ? ? sin 2? = sin(180 ? 4? ) 。

因为

?

3 ? = 2 ,得 cos2
?

2 ? =30

?

?

? =15 ? ,

?在 Rt ? ADE 中,AE=ADsin60 ? =15

答:所求角 ? 为 15 ,建筑物高度为 15m 解法二: (设方程来求解)设 DE= x,AE=h

2 2 2 在 Rt ? ACE 中,(10 3 + x) + h =30

2 2 2 在 Rt ? ADE 中,x +h =(10 3 )

两式相减,得 x=5 3 ,h=15

3 ?在 Rt ? ACE 中,tan2 ? = 10 3 ? x = 3

h

?2 ? =30 ? , ? =15 ?
答:所求角 ? 为 15 ,建筑物高度为 15m
?

解法三: (用倍角公式求解)设建筑物高为 AE=x,由题意,得

? BAC= ? ,

? CAD=2 ? ,

AC = BC =30m , AD = CD =10 3 m 在 Rt ? ADE 中,sin4 ? =

x ? ACE 中,sin2 ? = 30 ------ ① 在 Rt

x 10 3

, ---- ②

②?① 得
?

3 ? = 2 ,2 ? =30 ? , ? =15 ? ,AE=ADsin60 ? =15 cos2

答:所求角 ? 为 15 ,建筑物高度为 15m 例 3、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船,正沿南偏东 75 的方向以 10 海里/小时 的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需 要多少时间才追赶上该走私船?
? ?

问:你能根据题意画出方位图?做图建立数学模型 解:如图,设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船,则 CB=10x, AB=14x,AC=9, ? ACB= 75 ? + 45? = 120?

?(14x)

2

= 9 + (10x)

2

2

-2 ? 9 ? 10xcos 120?

3 9 ?化简得 32x -30x-27=0,即 x= 2 ,或 x=- 16 (舍去)
2

所以 BC = 10x =15,AB =14x =21,

BC sin120? 15 3 5 3 AB 又因为 sin ? BAC = = 21 ? 2 = 14

? ? ? ? BAC =38 13? ,或 ? BAC =141 47? (钝角不合题意,舍去) , ? ? ?38 13? + 45? =83 13?

? 答:巡逻艇应该沿北偏东 83 13? 方向去追,经过 1.4 小时才追赶上该走私船.

评注:在求解三角形中,我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的应用题,必须检验上 述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 Ⅲ.课堂练习 课本第 16 页练习 Ⅳ.课时小结 解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之。 (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形 中求出问题的解。 Ⅴ.课后作业

1.2 解三角形应用举例

第四课时

一、教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导 和应用 2、本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,同时总结出该公式的特点,循序渐进地具体运 用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用,教师要放手让学生摸索,使学生在具体 的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,能不拘一格,一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点,就 能很快开阔思维,有利地进一步突破难点。 3、让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;进一步培养学生研究和发现能力,让 学生在探究中体验愉悦的成功体验 二、教学重点、难点 重点:推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 难点:利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 三、教学过程

面积问题
1 1 1 S= 2 absinC,S= 2 bcsinA, S= 2 acsinB。
三角形面积:两边与夹角正弦积的一半。 例 1、在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm )
2

(1)已知 a=14 cm, (2)已知 B=60 ,
?

c=24 cm, B=150 ; C=45 ,
?

?

b=4 cm;

(3)已知三边的长分别为 a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm

分析:这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系,我们可以应用解三角 形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么?求出需要的元素,就可以求出三角形的面积。 例 2、 如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三 条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到 0.1cm )? 解:设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论,
2

c2 ? a2 ? b2 127 2 ? 68 2 ? 88 2 2ca cosB= = 2 ? 127 ? 68 ≈0.7532

sinB= 1 ? 0.7532 ? 0.6578
2

1 应用 S= 2 acsinB

1 2 S ≈ 2 ? 68 ? 127 ? 0.6578≈2840.38(m )
答:这个区域的面积是 2840.38m 。
? 变式练习 1:已知在 ? ABC 中, ? B=30 ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S
2

提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数。 答案:a=6,S=9 3 ; a=12,S=18 3

例 3、在 ? ABC 中,求证:

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; 2 sin 2 C (1) c
(2) a + b + c =2(bccosA+cacosB+abcosC) 证明: (1)根据正弦定理,可设
b a c sin A = sin B = sin C = k
2 2 2

显然 k ? 0,所以

a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? 2 k 2 sin 2 C sin 2 C 左边= c = =右边
(2)根据余弦定理的推论,

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 c2 ? a2 ? b2 2bc 2ca 2ab 右边=2(bc +ca +ab )
=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c ) =a +b +c =左边
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 a ? b ?c ? ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,面积为 2 ,求 sin A ? sin B ? sinC 的值 例4在
0

解:由

S ? bc sin A ?

1 2

3 2 得c ? 2 ,

2 2 2 则 a ? b ? c ? 2bc cos A =3,即 a ? 3 ,

a ? b ?c a ? ?2 从而 sin A ? sin B ? sinC sin A
Ⅲ.课堂练习 (1)在 ? ABC 中,若 a ? 55 , b ? 16 ,且此三角形的面积 S ? 220 3 ,求角 C

(2)在 ? ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且三角形的面积 (答案: (1) 60 或 120 ; (2) 45 )
0

S?

a 2 ? b 2 ?c 2
4
,求角 C

0

0


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