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2.4等比数列第2课时等比数列的性质 课件(人教A版必修5)


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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学

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第 2 课时 等比数列的性质
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●三维目标 1.知识与技能 理解和掌握等比数列的性质,能选择更方便,快捷的解题 方法.

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2.过程与方法 学生在教师指导下,通过对数列性质的分析,研究特殊数 列之间的区别、联系,提高观察、发现规律的能力.学生在教 师指导下,通过对等比数列实际应用,提高分析、比较、归纳 能力. 3.情感、态度与价值观 在等比数列性质学习过程中,学生通过与教师对话,主动 思考, 生生交流, 体验数学的发现过程, 提高创新意识与能力. 通

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过对等比数列规律的探究,进一步树立严谨求实,一丝不苟的 科学态度.
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●重点难点 重点:等比数列的性质. 难点:等比数列性质的灵活应用. 突出重点的方法:用一题多解法,直观让学生在解题过程 中发现公式的不同在应用上的区别,加深了解等比数列性质应 用的技巧. 突破难点的方法:假定不同情境,在讲解解题思路及解题 手法时,以对比法将之前学习的等差数列与本节难点等比数列 加以联系与区别.
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●教学建议 针对这一阶段思维特点和心理特征,采用直观对比法,讨 论法,以及讲练结合等教学方法,通过一题多解激发学生求知 欲,使学生主动参与数学实践,以独立思考和相互交流的形式, 在教师的指导下发现、分析、解决问题.在引导分析时,留出 学生思考空间,让学生去联想,对比,探索,同时鼓励学生大 胆质疑,把思路方法和需要解决的问题弄清.

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●教学流程

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演示结束

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课标解读

1.掌握等比数列的性质及其应用. (重点) 2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合 应用.(难点、易错点)

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“子数列”性质
【问题导思】 1.将等比数列{an}中的前 k 项去掉,剩余各项组成一个新 数列,这个数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别 是多少?
【提示】 是.首项为 ak+1,公比为 q.

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2. 取出等比数列{an}中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多 少?
【提示】 是.首项为 a1,公比为 q2.

3.如果取出数列{an}中所有 k 的倍数项呢? 【提示】 是.首项为 ak,公比为 qk.

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对于无穷等比数列{an},若将其前 k 项去掉,剩余各项仍 为 等比数列 ,首项为 ak+1 ,公比为 q ;若取出所有的 k 的倍 数项,组成的数列为 等比数列 ,首项为 ak ,公比为 qk .

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“下标和”性质
【问题导思】 给出以下两个等比数列{an}: (1)1,2,4,8,?; (2)1,-3,9,-27,?. 1.在上述每一个数列中,请你计算 a2· a6 与 a3· a5 的值,看 它们有什么关系?若计算 a1· a5 与 a2· a4 呢?
【提示】 a2· a6=a3· a5;a1· a5=a2· a4.

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2.在上述每一个数列中,a2· a6,a3· a5 的值与 a4 的值有什 么关系?a1· a5,a2· a4 与 a3 的值呢?
【提示】 a2· a6=a3· a5=a2 a5=a2· a4=a2 4,a1· 3.

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在公比为 q 的等比数列{an}中: 若 m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),
2 a · a a p q = = k .

an 则 am·

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等比数列的性质的应用

(1)在等比数列{an}中,若 a2=2,a6=162,求 a10; (2)在等比数列{an}中,an>0,若 a1a2a3?a2012=22012,求 a2· a2011.
【思路探究】 (1)由 a2=2,a6=162,能不能建立关于 a1, q 的方程组解出 a1,q 的值进而求出 a10 呢?用等比数列的性质 能解决吗?(2)考虑性质若“m+n=p+q, 则 am· an=ap· aq”, 你 能不能得出 a2· a2 011 的值?
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【自主解答】

(1)法一

设首项为 a1,公比为 q,

2 2 ? ? ? ?a1= , ?a1=- , ?a1q=2, 3 3 则? 5 解得? 或? ? ?a1q =162, ? ? ?q=3, ?q=-3, 2 ∴a10=a1q =3×39=13 122,或 a10=a1q9
9

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2 =-3· (-3)9=13 122.

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法二

∵2、6、10 三数成等差数列,

∴a2、a6、a10 成等比数列, ∴a2 6=a2a10, a2 6 ∴a10=a =13 122. 2 (2)a1· a2?a2012=(a1· a2012)· (a2· a2011)?(a1005· a1008)(a1006· a1007)= (a2· a2011)1006, 又∵a1a2?a2012=22012=41006,an>0, ∴a2· a2011=4.

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1. 本例(1)的解法很多, 其通法是用等比数列基本量的运算, 但是这种方法有时会很麻烦,遇到此类问题时应优先考虑结合 性质,以化繁为简. 2.等比数列的性质中,尤其以“下标和”性质应用最多, 最灵活,但使用时一定要区别其与等差数列“下标和”性质的 不同,以免混淆致误,比较如下表:

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等差数列 条件

等比数列

m+n=p+q=2k

结论 am+an=ap+aq=2ak am· an=ap· aq=a2 k

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已知正数等比数列{an}中,若 a1+a2+a3=7,a1· a2· a3=8, 求 an .

【解】 ∵a1· a2· a3=a3 2=8,∴a2=2,
? ?a1+a3=5, ∴? ? a3=4, ?a1· ? ?a1=1, ∴? ? ?a3=4 ? ?a1=4, 或? ? ?a3=1,


当 a1=1,a3=4 时,q=2,此时 an=2n 1, 1 当 a1=4,a3=1 时,q= ,此时 an=23-n. 2

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等比数列的“设元”技巧

有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等 比数列,第一个数与第四个数之和为 16,第二个数与第三个数 之和为 12,求这四个数.
【思路探究】 (1) 如何根据已知条件列出方程组求解问

题? (2) 怎样使列出的方程组求解简单呢?设未知量时有何技 巧?

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【自主解答】 法一 设前三个数依次为 a-d,a,a+d, ?a+d? ? ?a-d+ ?a+d? =16, a 则第四个数为 a ,由题意得? ? ?a+?a+d?=12,
2 2

? ?a=4, 解得? ? ?d=4,

? ?a=9, 或? ? ?d=-6,

所以这四个数依次为 0,4,8,16

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或 15,9,3,1.

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a 法二 设后三个数依次为q,a,aq, 2a 则第一个数为 -a. q ?2a ? q -a+aq=16, 由题意得? ?a+a=12, ?q
? ?a=8, 解得? ? ?q=2

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a=3, ? ? 或? 1 q= . ? ? 3

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所以所求的四个数依次为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
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巧设等差数列、等比数列的方法 1.若三数成等差数列,常设成 a-d,a,a+d.若三数成等 a 比数列,常设成 ,a,aq 或 a,aq,aq2. q a 2.若四个数成等比数列,可设为q,a,aq,aq2.若四个正 a a 数成等比数列,可设为 3, ,aq,aq3. q q

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三个数成等比数列,其积为 512,如果第一个数与第三个 数各减去 2,则这三个数成等差数列,求这三个数. a 【解】 设三个数依次为q,a,aq,
a ∵ · a· aq=512,∴a=8. q a ∵(q-2)+(aq-2)=2a, ∴2q2-5q+2=0. 1 ∴q=2 或 q= . 2 ∴这三个数为 4、8、16 或 16、8、4.
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等差、等比数列的综合问题
已知数列{an}与等比数列{bn}满足 bn=2an, n∈N*. (1)判断{an}是什么数列,并给予证明; 1 (2)若 a8+a13=2,求 b1· b2· ?· b20 的值. 【思路探究】 (1)怎样判断一个数列是等差数列还是等比

数列?若{an}是等差数列,需要证明 an-an-1 为常数,由 bn= 2an 你能产生 an 的表达式吗? (2)等比数列与等差数列的“下标和”性质是怎样描述的? 它在具体题目中应怎样运用?
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【自主解答】

(1)数列{an}是等差数列.证明如下:

∵bn=2an,∴log2bn=an. ∴an-1=log2bn-1(n≥2). bn ∴an-an-1=log2 . bn-1 ∵数列{bn}为等比数列, bn bn ∴ 为常数,log2 也为常数. bn-1 bn-1 ∴数列{an}为等差数列.

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(2)∵bn=2an, ∴b1· b2· b3· ?· b20=2a1+a2+a3+?+a20, 1 由(1)知:{an}为等差数列,且 a8+a13= , 2 ∴a1+a2+a3+?+a20=10(a8+a13)=5. ∴b1· b2· b3· ?· b20=25=32.

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等比数列与等差数列的区别与联系:
等差数列 (1)强调每一项与前一 项的差;(2)a1和d可以 为零;(3)等差中项唯 一. 等比数列 (1)强调每一项与前一项的 比;(2)a1与q均不为零;(3) 等比中项有两个值.

不同点

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相同点

(1)都强调每一项与前一项的关系; (2)结果都必须是常数; (3)数列都可以由a1,d或a1,q确定. (1)若{an}为正项等比 数列,则{logaan}为等 差数列; (2){an}为等差数列,则{ban} 为等比数列.

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已知等差数列{an}中 a2=3,4S2=S4(Sn 是{an}的前 n 项和), (1)求证:数列{2an}是等比数列; (2)求使 Sn+2>2Sn 成立的 n 的集合.
【解】 设{an}的首项为 a1,公差为 d,
? ?a1+d=3, 由题意? ? ?4×?2a1+d?=4a1+6d,

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∴a1=1,d=2, ∴an=2n-1,∴Sn=n2.

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方程思想在等比数列中的应用 (12 分)等比数列{an}是递增数列,若 a5-a1=60, a4-a2=24,求公比 q.

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【思路点拨】 用 a1,q 分别表示 a2,a4,a5,解方程组求 出 q,注意所求值是否需要舍去.

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【规范解答】
4

4 ? ?a1q -a1=60, 由已知得? 3 ? ?a1q -a1q=24,

① ②

① a1?q -1? 5 得 = , ② a1q?q2-1? 2 q2+1 5 即 = , q 2 1 解得 q=2或 2, 当 q=2 时代入①得 a1=4,{an}是递增数列; 6分 8分 10 分

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1 当 q= 时, 2 得 a1=-64,{an}也是递增数列. 1 ∴q= 或 2. 2 12 分

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将等比数列中的项或前 n 项和用基本量 a1 和 q 来表示得到 方程或方程组,然后求解是解决等比问题的基本思想和方法.

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1.在准确掌握等比数列的定义及通项公式的前 提下认识等比数列的性质, 可以提高解题速度与解题 的准确率. 2.对于等比数列基本量之间的运算应先考虑是 否能用性质解决,然后再考虑是否能列出关于 a1,d 的方程组.

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1 1. 已知{an}是等比数列, a6=2, a3= , 则公比 q 等于( 4 1 A.-2 B.-2 C.2 1 D.2

)

【解析】 ∵{an}是等比数列, a6 3 ∴a =q =8. 3 ∴q=2.
【答案】
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C

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2.等比数列{an}中,a4=4,则 a2· a6 等于( A.4 B.8 C.16 D.32 【解析】 ∵{an}是等比数列,
2 ∴a2a6=a2 4=4 =16.

)

【答案】

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3.等比数列{an}中,a1=1,a9=9,则 a5=________.

【解析】 由

2 a2 = a · a ,∴ a 3. 5 1 9 5=9,∴a5=±

而 a1、a9 均为正值,故 a5 也为正值,∴a5=3.
【答案】 3

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4. 已知等比数列{an}中, 4a7=a3· a11, 数列{bn}为等差数列, 且 b7=a7,求 b6+b8 的值.

【解】 在等比数列{an}中,4a7=a3· a11=a2 7,∴a7=4, 又∵b7=a7=4,∴b6+b8=2b7=2×4=8.

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课时作业(十三)

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已知数列{an}中, a1=2, an+1=( 2-1)(an+2), n=1,2,3, ?, 求数列{an}的通项公式.

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【思路探究】 把 an-1,an 的递推关系式进行有效的恒等 变形求解.
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【自主解答】

由题意知,an+1

=( 2-1)(an+2)=( 2-1)an+2( 2-1) =( 2-1)(an- 2)+( 2-1)(2+ 2) =( 2-1)(an- 2)+ 2, ∴an+1- 2=( 2-1)(an- 2). ∴数列{an- 2}是以 2- 2为首项, 2-1 为公比的等比 数列, ∴an- 2=(2- 2)( 2-1)n 1= 2( 2-1)n,


课 时 作 业

课 堂 互 动 探 究

∴an= 2+ 2( 2-1) (n=1,2,3,?). 因此, 数列{an}的通项公式为 an= 2+ 2( 2-1)n(n∈N*).
菜 单

n

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必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标

1 数列{an}满足递推关系 an=2+ an-1(n>1),且首项 a1=5, 5 则通项 an=________.
【解析】 1 5 5 设 an+λ=5(an-1+λ),∴λ=-2,∴a1+λ=2,

5 5 1 5 故可知数列{an-2}是以2为首项, ∴an=2 5为公比的等比数列, (1+
* )( n ∈ N ). n -1 5

1

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5 1 【答案】 (1+ n-1)(n∈N*) 2 5
菜 单

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