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长沙市一中2009-2010年高三第一次月考文科数学


2009 年下学期长沙市一中高三第一次月考试卷 文 科 数 学
命题人:郑和斌 校对人:任竞争

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的). 1. 设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x2 ? 1}.则 A ? B = A. {x | ?1 ? x ? 2} C. {x | x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x |1 ? x ? 2} ) D.6 .

2.若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 3) ? ? f ( x) ,则函数 f ( x ) 周期为( A.3 3.直线 A.3 B.4 C.5 ) C. ?3 . C.4

x y ? ? 1 在 y 轴上的截距为( 4 3
B.4

D. ?4

4.正项等比数列 {an } 中,若 a5 ? a7 ? 16 ,则 a6 ? A.16 B.8

D.2 )

5. a , b 是两条不相交的直线,则过直线 b 且平行于 a 的平面( A.有且只有一个 C.至多有一个 6.已知 tan ? ? 2 ,则 A.

B.至少有一个 D.只能有有限个

sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

.

1 3

C. 3

2 3 1 D. 2
B. . D.3 )

7.已知平面向量 a= (3,1) ,b= ( x, ?3) ,且 a ? b,则 x ? A. ?3 B. ?1 C.1

2 2 8.圆 x ? y ? 1的圆心到直线 y ? x ? b 的距离为

2 ,则 b 的值一定是( 2
B.0 D.2

A.1 C.1 或 ?1

1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中横线上) 9.抛物线 x2 ? 2 y 的准线方程为 .

10.函数 y ? sin x 的图象先向左平移

? ,再向上平移 1 个单位得函数 y ? f ( x) 的图象,则 4

f ( x) 的解析式为

.

11.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边,且 a ? b ? ab ? c ,则
2 2 2

?C ?

.

12.已知函数 f ( x) ? log2 x ,若 f (a) ? f (b) ? 2 ,则 a ? b 的最小值是

.

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ?1 ? 0 ?

.

14.已知 f ( x ) 是奇函数,定义域为 {x | x ? R 且x ? 0} ,若 f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数,且

f (1) ? 0 ,则不等式 f ( x) ? f (? x) 的解集是

.

15.如图,将 45? 直角三角板和 30? 的直角三角板拼在一起,其中 45? 直角三角板的斜边与 30? 直角三角板的 30? 角所对的直角边重合. 若 DB ? x ? DC ? y ? DA ,则 x ?

??? ?

????

??? ?

,y?

.

2

长沙市一中高三月考试题(1) 文科数学答卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的). 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中横线上) 9. 11. 13. 15. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? sin 2 x ? cos2 x . (1)求 f ( x ) 递增区间; (2)求 f ( x ) 当 x ? [0, 10. 12. 14.

?
2

] 时的值域.

3

17. (本小题满分 12 分)如图在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? PC , AC ? 2 , BC ? 4 ,

AB ? 2 3 , ?PCA ? 30? .
(Ⅰ)求证: AB ? 平面 PAC ; (Ⅱ)设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? ,求 tan ? 的值.

18. (本题满分 12 分)先后抛掷一枚骰子,得到的点数分别记为 a , b ,按以下程序进行 运算: INPUT “ a, b ? ” a , b ; IF ELSE

a ?? b THEN y ? a ?b

y ?b?a

END IF PRINT y END (Ⅰ)若 a ? 3 , b ? 6 ,求程序运行后计算机输出 y 的值; (Ⅱ)若“输出 y 的值是 2”为事件 A ,求事件 A 发生的概率.

4

19. (本小题满分 13 分)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S5 ? 45 , S6 ? 60 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)若数列 {an } 满足 bn?1 ? bn ? an (n ? N *) 且 b1 ? 3 ,求 {

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

20. (本小题满分 13 分)已知函数 y= G ( x) 的图象过原点,其导函数为 y= f ( x ) ,函数

f ( x) ? 3x2 ? 2bx ? c 且满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) .
(Ⅰ)若 f ( x) ? 0 ,对 x ? [0,3] 恒成立,求实数 c 的最小值; (Ⅱ)设 G ( x) 在 x ? t 处取得极大值,记此极大值为 g (t ) ,求 g (t ) 的值域.

5

21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点与短轴的两个端点构 a 2 b2

成边长为 2 的等边三角形,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , ( x1 ? x2 ) 是椭圆上不同的两点, 且 x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
2 2 (Ⅱ)求证: x1 ? x2 ? 4 ;

(Ⅲ)在 x 轴上是否存在一点 P(t , 0) ,使 | PM |?| PN | ?若存在,求出 t 的取值范围, 若不存在,说明理由.

???? ?

??? ?

6

长沙市一中高三月考试题(1)参考答案及评分标准 文 科 数 学
一、选择题 1.B 2.D 二、填空题 9. y ? ? 12.4 15. 1 ? 3 三、解答题 16. (1) f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 由 2 k? ? 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.C

1 2

10. y ? sin( x ? 13.1

?
4

) ?1

11. 60? 14. (?1,0) ? (1, ??)

3

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ? , k? ?

?
2

2 sin(2 x ? ) 4
得 k? ?

?

?

? 递增区间为 [k? ?

3? ] ( k ? Z )???????????????6 分 8 8 ? ? ? 3? ], (2) x ? [0, ] , 2 x ? ? [ ? , 2 4 4 4 2 sin(? ) ? y ? 2 sin 4 2

?

8

? x ? k? ?

3? 8

?

?

?1 ? y ? 2

? 值域为 [?1, 2] ??????????????????????????12 分
17.证明: (Ⅰ)由已知, BC ? AB ? AC
2 2 2

? AB ? AC , 又 AB ? PC , ? AB ? 面 PAC ???????????????????????????6 分 (Ⅱ)作 AM ? PC 于 M ,连 BM ? AB ? CP ? PC ? 面 BMA ? PC ? BM ??AMB 为二面角 A ? PC ? B 的平面角 ??AMB ? ? , AM ? AC ? sin 30? ? 1

? tan ? ?

AB 2 3 ? ? 2 3 ????????????????????12 分 AM 1

18. (Ⅰ) y ? 3 ????????????????????????????5 分

7

(Ⅱ)先后抛掷一枚骰子,用 ( a, b) 表示基本事件,可能出现 6 ? 6 ? 36 个基本事件, 事件 A 包含(1,3)(2,4)(3,5)(4,6)(3,1)(4,2)(5,3)(6,4)共 8 , , , , , , , 个基本事件.

8 2 ? .??????????????????7 分 36 9 (a ? a6 ) ? 6 ? 60 , a1 ? 20 ?15 ? 5 19. (Ⅰ) a6 ? 15 ,由 S6 ? 1 2 a ? a 15 ? 5 ?d ? 6 1 ? ?2 6 ?1 5
由古典概率计算公式 P ( A) ?

?an ? a1 ? (n ?1)d ? 5 ? 2(n ?1) ? 2n ? 3 ????????????????6 分
(Ⅱ) b2 ? b1 ? a1

b3 ? b2 ? a2 b4 ? b3 ? a3 ?? bn ? bn ?1 ? an ?1
叠加 bn ? b1 ?

(a1 ? an ?1 )(n ? 1) (5 ? 2n ? 1)(n ? 1) ? 2 2

?bn ? (n ? 3)(n ?1) ? 3 ? n2 ? 2n
1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? [ ? ] bn n ? 2n n(n ? 2) 2 n n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? [ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ] 2 1 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 ? ] ??????????????????????13 分 = [1 ? ? 2 2 n ?1 n ? 2 b 3 ?? ? 1 ?b ? ? 20. (Ⅰ)? f (1 ? x) ? f (1 ? x) 3

? f ( x) ? 3x2 ? 6 x ? c
由 f ( x) ? 0 得 c ? 6 x ? 3x 对 x ? [0,3] 恒成立.
2

设 g ( x) ? ?3x ? 6x ? ?3( x ? 2x)
2 2

? g ( x)max ? g (1) ? ?3?12 ? 6 ?1 ? 3
? c ? 3 ,即 C 的最小值为 3.????????????????????6 分
(Ⅱ) G( x) ? x ? 3x ? cx
3 2

? G ( x) 在 x ? t 处取得极大值

? f ( t ) ? 32 ? 6t ? c ?且 t ? 1 t 0
8

? g (t ) ? t 3 ? 3t 2 ? ct ? t 3 ? 3t 2 ? (6t ? 3t 2 )t
即 g (t ) ? ?2t 3 ? 3t 2

t ?( ? ? 1 ) ,

g ?( t )? ? 62 ? 6t t

令 g ?(t ) ? 0 ,得 t ? 0 或 t ? 1 当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 , t ? 0 时 g ?(t ) ? 0

? 当 t ? 0 时, g (t )极小 ? g (0) ? 0
故 g (t ) 的值域为 [0, ??] .??????????????????????13 分 21. (Ⅰ)由题设知 a ? 2, c ? 3, b ? 1 .

? 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1????????????????????3 分 4

2 2 2 2 (Ⅱ)由 x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 ,得 x1 x2 ? 16 y1 y2 2 2 ? x12 ? 4 y12 ? 4 , x2 ? 4 y2 ? 4 2 2 2 2 ? x12 x2 ? 16 y12 y2 ? 16 ? 4( x12 ? x2 ) ? x12 x2 2 2 故 x1 ? x2 ? 4 ??????????????????????????8 分
2 2 (Ⅲ)假设存在点 P(t , 0) ,使得 | PM |?| PN | ,则 ( x1 ? t )2 ? y1 ? ( x2 ? t )2 ? y2

???? ?

??? ?

2 ?( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2t ) ? y2 ? y12

故 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2t ) ?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 4

8 ? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? t 3
又 x1 x2 ?
2 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x12 ? x2 ) 32t 2 ? 18 ? , 2 9

8 32t 2 ? 18 ? 0 的两个根 ? x1 , x2 是方程 z 2 ? ? z ? 3 9 64 2 4(32t 2 ? 18) 3 2 3 2 t ? ? 0 ,得 ? ?t ? 由? ? , 9 9 4 4
故存在点 P(t , 0) ,使得 | PM |?| PN | ,且 t 的取值范围为 (?

???? ?

??? ?

3 2 3 2 , ) .???13 分 4 4
9


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