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上海理工大学附属中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学试题(无答案)

上理工附中 2014 学年第二学期高二数学期末考试 (2015-6)
(满分:100 分,完卷时间:90 分钟)

一.填空题(每题 3 分,共 36 分)

1.

已知点 P 是 ?ABC 所在平面 ? 外一点, 点 O 是点 P 在平面 ? 内的射影, 若 PA, PB, PC

两两垂直,则点 O 是 ?ABC 的 _____ 心.

2.

若 n ? (1, 2) 是直线 l 的一个方向向量,则直线 l 的倾斜角的大小为_________________.

?

(结果用反三角函数值表示)

3.双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线的夹角大小等于 3



4. 抛 物 线 的 焦 点 为 椭 圆
为 .

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程 5 4
D1 C1

5.如图:长方体 ABCD ? A1B1C1D1 , AB ? 12, BB1 ? 5 ,
则直线 B1C1 到平面 A 1BCD 1 的距离 。

A1 B1 C B

D A

(第 5 题图)

6. 【理科】在梯形 ABCD 中 , A D? B ,C ?
5 ?A D C ? a r c s i n , PA ? 平面 ABCD , PA ? a 5
则二面角 P ? CD ? A 的大小为

AB ?C 9 00 ,
P

? A B , a ? A, 3 D且 a

A B

D

C

(理第 6 题图)
A1
D1

6. 【文科】正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 B1C 与 C1 D 所成的
角的大小为 .

B1

C1

A B
C

D

(文第 6 题) 图)

7. 【理科】二面角 ? ? l ? ? 的半平面 ? 内有一条直线 a 与棱 l 成 45 ? 角, 若二面角的大小
也为 45 ? ,则直线 a 与平面 ? 所成角的大小为 。

? 7. 【文科】如图:已知三角形 ABC , ?ACB ? 90 , AB 在平面 ?

内,

C

C 不在平面 ? 内,点 C 在平面 ? 内的射影为 O ,

CA, CB 与平面 ? 所成角分别为 30? , 45? , CD ? AB ,
D 为垂足,则 CD 与平面 ? 所成角

?

A D

O B

第 7 题(文)

8.

如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,下列四个结论:
A1

D1

C1

(1) AC1 ? BD ; (2) BD // 平面 CB1D1 ; (3) AC1 ? 平面 CB1D1 (4)异面直线 AD, CB1 所成角为 其中正确命题的序号有 。

B1

? , 3
D A B

C

(第 8 题图)

9.

双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( 7 ? ? ? 9 )的焦点坐标为 9?? 7??



10.

已知复数 ( x ? 2) ? yi ( x, y ? R )的模为 3 ,则

y 的最大值是 x

.

11 . 若 函 数 f ( x) ? loga (3x ? 2) ? 1

( a ? 0 , a ?1 )的图像过定点 P ,点 Q 在曲线 . y l P x O 第 12 题图

x 2 ? y ? 2 ? 0 上运动,则线段 PQ 中点 M 轨迹方程是

12.

如图:已知直线 l:4x–3y+6=0,抛物线 C:y =4x 图

2

像上的一个动点 P 到直线 l 与 y 轴的距离之和的最小值 是 .

二、选择题 : (每题 4 分,共 16 分)

13.

已知 A, B, C , D 是空间四点, 命题甲:A, B, C , D 四点不共面, 命题乙: 直线 AC 和 BD 不相交,则甲是乙成立的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 ( )

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

14.

以下说法错误的是?????????????????????????? ( A.直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是 [0 , ? )

? ?? ? 2? ? C.平面内两个非零向量的夹角的取值范围是 [0 , ? )
B.直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是 ?0 , D.空间两条直线所成角的取值范围是 ?0 ,

? ?

??
2? ?


15.

已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列命题中的假命题 的是( A. 若m ? ? , m ? ? , 则? // ? B. 若m // n, m ? ? , 则n ? ?

C. 若m // ? , ? ? ? ? n, 则m // n

D. 若m ? ? , m ? ? , 则? ? ?

16.

ax ? by ? c ? 0 , ?1 ? ax1 ? by1 ? c , ? 2 ? ax2 ? by2 ? c .有四个命题:①若 ? 1? 2 ? 0 , 则点 M 、 N 一定在直线 l 的同侧;②若 ? 1? 2 ? 0 ,则点 M 、 N 一定在直线 l 的两侧;
2 ③若 ?1 ? ? 2 ? 0 ,则点 M 、 N 一定在直线 l 的两侧;④若 ?12 ? ? 2 ,则点 M 到直线 l 的距 离大于点 N 到直线 l 的距离.上述命题中,全部真命题的序号是????? ???( ) A.① ② ③ B.① ② ④ C.② ③ ④ D.① ② ③ ④

在平面直角坐标系内,设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) 为不同的两点,直线 l 的方程为

三、解答题(10 分+10 分+10 分+10 分+8 分,共 52 分)

17.

BD 与 ACD O, 【文科】 在正方体 ABCD ? A 交于点 1B 1C1D 1 中,底面边长为 2 2 , 1
A1 B1

C1

(1)求直线 D1O 与平面 ABCD 所成角。(2)求点 D 到 ACD1 的距离

D A O B

C

O是 17. 【理科】长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 4, AA1 ? 8, E 是 CC1 的中点, D1
下底面正方形 ABCD 的中心 (1)求二面角 C1 ? A 1B 1 ? O 的大小(结果用反三角函数值表示) (2)求异面直线 A1B1 与 EO 所成角的大小(结果用反三角 函数值表示)
D O A B A1 B1

C1

E

C

18.

已知一元二次方程 x2 ? ax ? 1 ? 0(a ? R) ,

3 7 ? i 是方程的根,求 a 的值 4 4 (2)若 x1 , x2 是方程两个虚根,且 x1 ?1 ? x2 ,求 a 的取值范围。
(1)若 x ?

19.

椭圆的中心在原点 O ,与双曲线 2 x 2 ? 2 y 2 ? 1 焦点相同,长轴长是 2 2 。

⑴求椭圆方程;

⑵ A 是椭圆上一点, F1 是椭圆左 焦点,求 AO ? AF 1 的范围;

???? ????

20.在直角坐标系内,到点 ?1 , 0 ? 和直线 x ? ?1 距离相等的点的轨迹是曲线 C
(1)求曲线 C 的方程。 (2)曲线 C 的焦点为 F ,问:是否存在过 F 且不垂直于 x 轴的直线 l ,使 l 与曲线 C 交于 两点 P,Q, 并且 ? POQ 的面积为 2 2 ,并说明理由( O 为原点)

21.

给 定椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在坐标原点 O ,半径为 a2 ? b2 的圆是 2 a b

椭圆 C 的“伴随圆” ,已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F 1 (? 2,0), F 2 ( 2,0) .

C 及其“伴随圆”的方程; (1)若椭圆 C 上一动点 M 1 满足 | M1F 1 | ? | M1F 2 |? 4 ,求椭圆
(2)在(1)的条件下,过点 P(0, t )(t ? 0) 作直线 l 与椭圆 C 只有一个交点,且截椭圆 C 的 “伴随圆”所得弦长为 2 3 ,求 P 点的坐标; (3)已知 m ? n ? ?

????? ?

????? ?

cos ? 3 , mn ? ? (m ? n, ? ? ? 0, ? ?) ,是否存在 a , b ,使椭圆 C 的 sin ? sin ?
a 2 ? b 2 ? b .若存

2 2 “伴随圆”上的点到过两点 (m, m ),(n, n ) 的直线的最短距离 d min ?

在,求出 a , b 的值;若不存在,请说明理由.


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