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1.2极坐标系


1.极坐标系的概念

复习回顾:
1、如何确定平面上一个点的位置? 建立平面直角坐标系 原点、两条垂直的数轴
O

y A (x,y) x

(正方向、单位长度)
点A
一一 对应

有序实数对(x,y)

情境引入:
从这里向北走 1500米就到了
请问:去工人 体育场怎么走?

思考探究:
分析上面这句话,他告诉了问路人什么? 从 这 向 北 走 1 5 0 0 米 ! 出发点 方向 距离

情境引入:
参照点、方向(标准、角度)、距离

40° 300海里
A

50°


军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,
如何确定它们的位置以便将它们引爆?

生活中人们在预报台风、 地震、测量、航空、航 海中经常会用方向和距离来确定位置。

用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想,就是极坐标的基本思想。

极 坐 标 系

思考探究:如何建立极坐标系?
在平面内取一个定点O,叫做极点;

引一条射线OX,叫做极轴;
再选定一个长度单位 O
X

和角度单位(弧度)及其正方向(逆时针) 这样就建立了一个极坐标系

思考探究:在极坐标系OX中, 如何确定任意一
点A的位置呢?

用?表示线段OA的长度, ?表示以极轴Ox为始边, 射线OA为终边的角xOA. O

A

( ? , ?)

? ?
X

有序数对(?,?)就叫做点A的极坐标 ? 叫做点A的极径 ? 叫做点A的极角 一般地,ρ≥0,θ∈R
特别地,极点O的极坐标为(0,θ),?=0,?∈R

练一练
1.在极坐标系中,写出A、B、C、D的极坐标, 并标出点E、F、G所在的位置。
? 2
5? 6

? 4

D

?

? E ?
F

。 O1

? ? B

C

A(4,0) B(3,? ) 4 ? C(2,2 )

?
G

A

x

5? D(5, ) 6 E(4.5, ?) 4? ) F(6, 3 G(7,5? ) 3

4? 3

?

? 5?
3

2.边长为a的正六边形OABCDE在极 坐标系中的位置如图所示,求这个正 六边形各顶点的极坐标.
O(0, 0)
5π A( a , ) 3

E

D C x

11π B ( 3a , ), C(2a, 0) O 6

π π D( 3a , ), E ( a , ) 6 3

A

B

在同一个极坐标中描出以下各点: π π A(4, ), B(4, ? 2? ), 6 6 π π C (4, ? 4? ), D(4, ? 2? ) 6 6 思考:它们所表示的点有什么关系? 你能体会极坐标与直角坐标系 在刻画点的位置时的区别吗?

①平面上一点的极坐标是否唯一?

②若不唯一,那有多少种表示方法?
想一想? ③坐标不唯一是由谁引起的?

④不同的极坐标是否可以写出统一表达式?

给定ρ和θ就可以在平面内唯一确定这个点
(找极角,定距离)

给定平面内任意一点,可以找到它的极坐标
(定极径、定极角)

但却有无数个极坐标与之对应

如图:OM的长度为4,? ?

?
4

? ?

M

O 思考:这些极坐标之间有何异同? 极径相同,不同的是极角。 思考:这些极角有何关系? 这些极角的始边相同,终边也相同。 也就是说它们是终边相同的角。 点M的极坐标统一表达式:
π? ? 2kπ+ ? ? 4, 4? ?

点M的极坐标表达式是什么?

X

反思提炼:
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)(k∈Z)都可以作为它的极坐 标 如果限定ρ>0,0≤θ<2π那么除极点外, 平面内的点和极坐标就可以一一对应了.

你能从中体会:

极坐标与直角坐标的区别吗?
平面直角坐标系 外在形式 定位方式 点与坐标 本 质 极 坐 标

原点,x,y轴
横坐标、纵坐标

极点,极轴 极径、极角

点与坐标一一对应 点与极坐标不一一对应 两线相交定点 圆与射线相交定点

思考探究:
平面内的一个点既可以用直角坐标系表示,也 可以用极坐标来刻画,这两种坐标之间又有怎 样的联系呢? A(x,y) y 在直角坐标系中,以原点作为极点, ρ x轴的正半轴作为极轴,并且两种 θ 坐标系中取相同的长度单位 x O

点A的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ)

?? x ?y
2

2

x=ρcosθ, y=ρsinθ

y tan ? ? (x≠0) x

思考探究:
A(x,y)
?
O
y

y

? ?
x

y

?
O
x O

?

?

x

A(x,y)

A(x,y)

极坐标与直角坐标的互化关系式:

点A的直角坐标是(x,y), 极坐标是(ρ,θ)
则: ? ? x ? y
2 2

x=ρcosθ

y tan ? ? ( x ? 0) x y=ρsinθ

反思提炼:
A(x,y)

互化公式的三个前提条件:
1.极点与直角坐标系的原 点重合;

y

θ
O

x

2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.

例1. 将点M的极坐标

5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( ? , 2 2

化成直角坐标. 2? 5 ?? 解: x ? 5 cos 3 2 2? 5 3 y ? 5 sin ? 3 2

2? (5, ) 3

例2. 将点M的直角坐标

(? 3, ?1)

化成极坐标.

(? 1 )?2 解: ? ? ( ? 3 ) ? ?1 3 tan? ? ? ? 3 3 7? 因为点在第三象限, 所以 ? ? 6 7? 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
2 2

练习:
互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) ? 极坐标
( 4, ) 6
(0,?1)

(?3,0)
( 3,?? )
( 5 ,0 )

? (1,? ) 2
(? 3 ,?1)

直角坐标 (?3, 3 ) 极坐标
5? (2 3 , ) 6

7? ( 2, ) 6

(5,0)

思考探究:
在极坐标系中,下列各点具有怎样的位置关系
A( 3,

?
3

)

B( 3,?

?
3

)

4? 2? C ( 3, ) D( 3, ) E ( 3, ) 6 3 3

?

2? F (5, ) 3

7? G ( 7, ) 3

思考探究:
在极坐标系中,点A的极坐标是(ρ,θ), π≤θ<π )则 (规定:ρ>0, -0≤θ<2π

( ? , ? ? ) ( ? , 2 ? ? ? ); (1)点A关于极轴对称的点的极坐标是
(? ,? (? ,? ? ?? ? )) ; (2)点A关于极点对称的点的极坐标是
(3)点A关于过极点且与极轴垂直的直线对称 的点的极坐标是

((? ,? ?? ? ?, ?? ))

.

π π 例3 已知两点(2, ),(3, )
3 求两点间的距离. B

2

π 解:∠AOB =
6

A o

用余弦定理求 AB的长即可.

x

思考:你能确定极坐标系内任意两点
P ( ?1 ,?1 ), Q( ? 2 ,? 2 ) 间的距离公式?

| PQ |? ?1 ? ? 2 ? 2?1 ? 2 cos(?1 ? ? 2 )
2 2

练一练:

? ? 已知极坐标系中两点 P ( 3,? ) , Q ( 2, ),

如何求线段|PQ|的长?

6

2

| PQ |? 19

关于负极径
? 在一般情况下,极径都是取正值。但在某些必要的 情况下,也允许取负值(?<0): 时如何规定 )对应的点的位置? 当?<0时,点 M(?( ,? ?,)? 的位置规定: 点M:在角?终边的反向延长线上,且|OM|=|?|
5? 6 ° O M(-2,5? ) 6 ° O

?
x

? M (?, ?) 5 ? ? M(-2, ) 6 小结: 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.

x

5? 6

2? F 3? B

? 2

? 4

?

?

D 。 O

? ?A

1

5? 4 [小结] (?, ?)

C 3? 2

?

?

E

5? 3 (-?, ?+?)

A(-4,0) 5? B(3, 6 ) ? C(-2,2 ) 5? ) D( 1, x 3 ? ) E(3,6 11? ? ) ( 4, F 3 6

(?, 2k?+?) (-?, ?+(2k+1)?)

都是同一点的 极坐标.

小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素

极点;极轴;长度单位;角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式? 无数,极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式?

有。(ρ,2kπ+θ)


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