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人教A版高中数学必修四课件:1.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质.pptx_图文

高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

第2课时 正弦函数、余弦函数的性质
-2-

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D典例透析 IANLI TOUXI

1.掌握y=sinx,y=cosx的奇偶性,了解其图象的对称性. 2.掌握y=sinx,y=cosx的单调性,会结合它们的图象说出单调区间, 并能根据单调性比较大小. 3.掌握y=sinx,y=cosx的最大值、最小值,会求简单三角函数的值 域或最值,并能指出取得最大(小)值时自变量x的值的集合.

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12
1.正弦函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质如下表: 解析式 y=sin x

图象

定义域 R 值域 [-1,1]



x=2kπ+

π 2

(∈Z)时,y

取最大值

1



x=2kπ?

π 2

(∈Z)时,y

取最小值-1

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12

续表

解析式

y=sin x

最小正周期 2π

奇偶性 单调性

奇函数

在 2k- ,2 + (∈Z)上是增函数;

2

2

在 2π + π ,2π + 3π (∈Z)上是减函数

2

2

知识拓展正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为

(kπ,0)(k∈Z),即正弦曲线与 x 轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图

形,其所有的对称轴方程是

x=kπ+

π 2

(∈Z),所有的对称轴垂直于

x

轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值.

12

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【做一做 1】 已知函数 y=sin x,x∈R,则下列说法不正确的是

()

A.定义域是 R

B.最大值与最小值的和等于 0

C.在

-

π 2

,

π 2

上是减函数

D.最小正周期是 2π

答案:C

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12

2.余弦函数的图象与性质 余弦函数的图象与性质如下表:

解析式

y=cos x

图象

定义域 值域 最小正周期 奇偶性 单调性

R

[-1,1]

当 x=2kπ(k∈Z)时,y 取最大值 1 当 x=2kπ+π(k∈Z)时,y 取最小值-1



偶函数

在[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上是增函数; 在[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上是减函数

12

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知识拓展余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是

π

+

π 2

,0

(∈Z),即余弦曲线与 x 轴的所有交点;余弦曲线也是轴

对称图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ(k∈Z),所有的对称轴垂直于

x 轴,且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值.

12

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【做一做 2】

已知函数 y=cos

-

π 3

, 则该函数的单调增区

间是______, 该函数图象的对称中心坐标是______, 对称轴方程是

______.

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12

解析:由 2kπ-π≤x? π3≤2kπ,k∈Z,



2kπ?

23π≤x≤2kπ+

π 3

,

∈Z,

所以该函数的单调增区间是

2π-

2π 3

,2π

+

π 3

, ∈Z,



x?

π 3

=

π

+

π 2

,

∈Z,得

x=kπ+

5π 6

,

∈Z,

所以该函数的对称中心坐标是

π

+

5π 6

,0

, ∈Z.



x?

π 3

=

π,

∈Z,得

x=kπ+

π 3

,

∈Z,

所以该函数图象的对称轴方程是

x=kπ+

π 3

,

∈Z.

答案:

2π-

2π 3

,2π

+

π 3

, ∈Z

x=kπ+

π 3

,

∈Z

π

+

5π 6

,0

, ∈Z

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正弦函数、余弦函数的性质与图象的关系 剖析:(1)定义域是R,反映在图象上是图象向左、右无限伸展. (2)正弦函数、余弦函数的单调性,反映在图象上是曲线的上升与
下降的情况. (3)正弦函数、余弦函数的周期性,反映在图象上是曲线有规律地
重复出现.相邻两个对称中心的间隔是半个周期,相邻两个对称轴 的间隔也是半个周期,相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一 个周期.
(4)正弦函数、余弦函数的奇偶性,反映在图象上是曲线关于原点 或y轴对称,即sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx.
(5)正弦函数、余弦函数的最大值和最小值,反映在图象上,就是 曲线的最高点和最低点的纵坐标.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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题型一 判断三角函数的奇偶性
【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=sin xcos x; (2)f(x)= 1+s1i+nsi-ncos2. 分析:先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判断 f(-x)与 f(x) 的关系,进而可确定函数的奇偶性.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

解:(1)定义域为 R.

f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),

∴f(x)是奇函数.

(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 1+sin x≠0,∴sin

x≠-1.∴x≠2kπ?

π 2

,



∈Z.

∴函数的定义域为



∈R,且



2π-

π 2

,∈Z

.

可知定义域不关于原点对称,

∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

反思判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义,定义域关于原 点对称是函数有奇偶性的前提.另外还要注意诱导公式在判断f(x) 与f(-x)之间关系时的应用.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

【变式训练 1】 判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=xsin(π+x);

(2)f(x)= 1s-cinos. 解:(1)函数的定义域为 R,

f(x)=xsin(π+x)=-xsin x,

f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x).

∴f(x)为偶函数.

(2)函数应满足 sin x≠0,

∴函数 的定义域为{x|x≠kπ,k∈ Z}.

当 x≠kπ,k∈Z 时,-x≠kπ,k∈Z,



f(-x)=

1-cos(-) sin(-)

=

1-cos -sin

=

?(),

∴f(x)为奇函数.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

题型二 求三角函数的单调区间

【例 2】 求函数 y=2sin

3

+

π 4

的单调递减区间.

解:函数 y=2sin x 的递减区间为



+

π 2

,2π

+

3π 2

(∈Z).



2kπ+

π2≤3x+

π4≤2kπ+

3π 2

(∈Z),



2π 3

+

1π2≤x≤23π

+

5π 12

(∈Z).

故所求的单调递减区间为

2π 3

+

π 12

,

2π 3

+

5π 12

(∈Z).

反思求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,利用整体思想,把ωx+φ 看成一个整体,借助正弦函数的单调区间来解决.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

【变式训练 2】

(1)求函数 y=sin

2-

π 4

的单调递增区间;

(2)求函数 y=cos

3

+

π 6

的单调递减区间.

解:(1)由 2kπ? π2≤2x? π4≤2kπ+ π2,



kπ?

π8≤x≤kπ+

3π 8

,

∈Z.

所以函数 y=sin

2-

π 4

的单调递增区间是

π-

π 8



+

3π 8

, ∈

Z.

(2)由 2kπ≤3x+ π6≤2kπ+π,得

2 3

π

?

1π8≤x≤23

π

+

5π 18

,

∈Z,

所以函数 y=cos

3

+

π 6

的单调递减区间是

2 3

π-

π 18

,

2 3

π

+

5π 18

, ∈Z.

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题型一

题型二

题型三 题型四 题型五
题型三 求三角函数的值域

【例3】求下列函数的值域: (1)y=3-2cos 2x,x∈R; (2)y=cos2x+2sin x-2,x∈R. 分析:(1)将2x看成一个整体,利用余弦函数的值域求得;(2)把sinx 看成一个整体,利用换元法转化为求二次函数的值域.
解:(1)∵-1≤cos2x≤1,∴-2≤-2cos2x≤2. ∴1≤3-2cos2x≤5,即1≤y≤5. ∴函数y=3-2cos2x,x∈R的值域为[1,5].
(2)y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2.
∵-1≤sinx≤1,∴函数y=cos2x+2sinx-2,x∈R的值域为[-4,0].

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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反思求三角函数值域或最值的常用方法: (1)可化为单一函数y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k,其最大 值为|A|+k,最小值为-|A|+k(其中A,ω,k,φ为常数,A≠0,ω≠0). (2)可化为y=Asin2x+Bsinx+C或y=Acos2x+Bcosx+C(A≠0),最大、 最小值可利用二次函数在区间[-1,1]上的最大值、最小值的求法来 求.(换元法)

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

【变式训练 3】 求下列函数的值域:

(1)y=cos



+

π 6

, ∈

0,

π 2

;

(2)y=cos2x-4cos x+5.

分析:(1)先求出

x+

π 6

的范围,再由余弦函数求得值域;(2)令

t=cos

x∈[-1,1],换元后再求值域.

解:(1)由 y=cos



+

π 6

, ∈

0,

π 2

可得x+

π 6



π 6

,

2π 3

,

函数y=cos x 在区间

π 6

,

2π 3

上单调递减,所以函数的值域为

-

1 2

,

3 2

.

(2)y=cos2x-4cos x+5,令 t=cos x,则-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(t-2)2+1,当

t=-1 时,函数取得最大值 10;当 t=1 时,函数取得最小值 2,所以函数的

值域为[2,10].

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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题型四 比较三角函数值的大小

【例 4】 比较下列各组数的大小:

(1)sin 194°与 cos 160°;

(2)sin

sin

3π 8

与 sin

cos

3π 8

.

分析:(1)先将异名三角函数化为同名三角函数,并且利用诱导公

式转化到同一单调区间上.(2)先比较

sin

3π 8

与cos

3π 8

的大小,然后利

用正弦函数的单调性比较大小.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,

cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°.

∵0°<14°<70°<90°,∴sin 14°<sin 70°,

从而-sin 14°>-sin 70°,

即 sin 194°>cos 160°.

(2)∵cos

3π 8

=

sin

π 8

,



0

<

cos

3π 8

<

sin

3π 8

<

1.

而 y=sin x 在(0,1)内单调递增,

∴sin

cos

3π 8

< sin

sin

3π 8

.

反思比较三角函数值大小的步骤:(1)利用诱导公式把异名函数化 为同名函数;(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上;(3)利用 三角函数的单调性比较大小后写出结论.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

【变式训练 4】 比较下列各组数的大小:

(1)cos

-

π 8



cos

13π 7

;

(2)sin

21π 5



sin

425π.

解:(1)cos

-

π 8

= cos π8,

cos

13π 7

=

cos

π

+

6π 7

=

?cos

6π 7

=

cos

π7.

∵0<

π 8

<

π 7

<

π,

且y=cos

x

在(0,π)上单调递减,

∴cos

π 8

>

cos

π 7

,

即cos

-

π 8

> cos 137π.

(2)sin

21π 5

=

sin



+

π 5

= sin π5,

sin

42π 5

=

sin



+

2π 5

= sin 25π.

∵0<

π 5

<

2π 5

<

π 2

,

且y=sin

x在

0,

π 2

上单调递增,

∴sin

π 5

<

sin

2π 5

,

即sin

21π 5

<

sin

425π.

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题型五 易错辨析

易错点 忽视 x 的系数的正负致错

【例 5】 求 y=sin

π 3

-

的单调递增区间.

错解: 令

π 3

?



=

,





=

sin

t

的单调递增区间为

2π-

π 2

,2π

+

π 2

(∈Z),

∴2kπ?

π 2



π 3

?

≤2kπ+

π 2

(∈Z),

解得-2kπ?

π6≤x≤-2kπ+

5π 6

(∈Z),



2kπ?

π6≤x≤2kπ+

5π 6

(∈Z)

,

即 y=sin

π 3

-

的单调递增区间为

2π-

π 6

,2π

+

5π 6

(∈Z).

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

错因分析:在

π 3

?

中,x

的系数-1

是负数,应先整体代入正弦函数

的单调递减区间,再求出原函数的单调递增区间.

正解:∵y=sin

π 3

-

= ?sin

-

π 3

,

∴要求原函数的单调递增区间,只需求 y=sin

-

π 3

的单调递减区间.



2kπ+

π2≤x?

π3≤2kπ+

3π 2

(∈Z),

∴2kπ+

56π≤x≤2kπ+

11π 6

(∈Z).

∴y=sin

π 3

-

的单调递增区间是



+

5π 6

,2π

+

11π 6

(∈Z).

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方法总结对于函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ)),在ω>0的情况 下,若A<0,则该函数的单调性与函数y=sin(ωx+φ)(或y=cos(ωx+φ)) 的单调性相反.若ω<0,应先用诱导公式把x的系数变为正,再求单调 区间.