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学科网3-2-1备战2010高考精品系列之数学专题十二 极限 (教师版)p


黄金试题

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限
【考点定位】2010 考纲解读和近几年考点分布 考点定位】
极限作为初等数学与高等数学的衔接点,每年必考,主要考查极限的求法及简单应用。纵观近年来的 全国卷与各省市的试卷,试题呈 “小题” ,在选择、填空题中出现,都属容易题;极限通常与其它数学内 容联系而构成组合题,主要考查极限思想与方法的灵活应用能力;考查“数形结合”“分类讨论”等数学 、 思想方法的综合运用能力。从各地的高考试卷看,考生在备考时,应从下列考点夯实基础,做到以不变应 万变: (1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函 数极限的概念. (3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限. (4)了解函数连续的意义, 了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.

【考点 pk】名师考点透析 】
考点一、 考点一、数学归纳法 【名师点睛】 名师点睛】 1.数学归纳法的定义:由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法: (1)先证明 当 n=n0(n0 是使命题成立的最小自然数)时命题成立; (2)假设当 n=k(k∈N*, k≥n0)时命题成立,再 证明当 n=k+1 时命题也成立,那么就证明这个命题成立,这种证明方法叫数学归纳法. 特别提示(1)用数学归纳法证题时,两步缺一不可;(2)证题时要注意两凑:一凑归纳假设;二凑目标 2.数学归纳法的应用:①证恒等式;②整除性的证明;③探求平面几何中的问题;④探求数列的通项; ⑤不等式的证明.. 【试题演练】 试题演练】 设数列{an}满足 a1=2,an+1=an+

1 (n=1,2,…).(1)证明 an> 2n + 1 对一切正整数 n 都成立; an

(2)令 bn=

an n

(n=1,2,…) ,判定 bn 与 bn+1 的大小,并说明理由.

(1)证法一:当 n=1 时,a1=2> 2 × 1 + 1 ,不等式成立.假设 n=k 时,ak> 2k + 1 成立, 当 n=k+1 时,ak+12=ak2+

1 ak
2

+2>2k+3+

1 ak
2

>2(k+1)+1,∴当 n=k+1 时,ak+1> 2( k + 1) + 1 成立.

综上,由数学归纳法可知,an> 2n + 1 对一切正整数成立. 证法二:当 n=1 时,a1=2> 3 = 2 × 1 + 1 结论成立.假设 n=k 时结论成立,即 ak> 2k + 1 , 当 n=k+1 时,由函数 f(x)=x+

1 (x>1)的单调递增性和归纳假设有 x
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ak+1=ak+

( 2k + 3)(2k + 1) 4 k 2 + 8k + 4 1 1 2k + 1 + 1 2k + 2 > 2k + 1 + = = = > ak 2k + 1 2k + 1 2k + 1 2k + 1 2k + 1

= 2k + 3 .∴当 n=k+1 时,结论成立.因此,an> 2n + 1 对一切正整数 n 均成立.

a n +1
(2)解:

bn +1 = bn

2 n(n + 1) 2(n + 1) n 1 n 1 n n +1 =(1+ 2 ) <(1+ ) = = an 2n + 1 2n + 1 an n +1 n +1 (2n + 1) n + 1 n

1 1 (n + ) 2 ? 2 4 = <1.故 bn+1<bn. 1 n+ 2
误点警示 误点警示:由 n=k 正确 ? n=k+1 时也正确是证明的关键. 警示 二、数列的极限. 【名师点睛】 名师点睛】 1.数列极限的定义:一般地,如果当项数 n 无限增大时,无穷数列{an}的项 an 无限地趋近于某个常数

【试题演练】 试题演练】 1 求下列数列的极限: (1) lim

2n 2 + n + 7 5n + 7
2

n →∞

;(2) lim ( n 2 + n -n);(3) lim (
n →∞ n →∞

2 4 2n + 2 +…+ 2 ). 2 n n n

分析:(1)因为分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则,可通过变形分子分母同除以 n2 后再求极限; (2)因 n 2 + n 与 n 都没有极限,可先分子有理化再求极限; (3)因为极限的运算法则只适 用于有限个数列,需先求和再求极限.

解:(1) lim

n →∞

2n + n + 7 = lim n →∞ 5n 2 + 7
2

2+

1 7 + n n2 2 = . 7 5 5+ 2 n
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(2) lim ( n 2 + n -n)= lim
n →∞

n n2 + n + n

n →∞

= lim

1 1+ 1 +1 n

n →∞

=

1 . 2

(3)原式= lim

n →∞

n(n + 1) 2 + 4 + 6 + ? + 2n 1 = lim = lim (1+ )=1. 2 2 n →∞ n →∞ n n n
n →∞

误点警示: :对于 (1) 要避免下面两种错误: ①原式= 误点警示:

lim (2n 2 + n + 7)
n →∞

lim (5n + 7)
2

=

∞ =1,②∵ lim(2n 2+n+7) lim , n →∞ n →∞ ∞
n →∞

(5n2+7) 不存在, ∴原式无极限.对于 (2) 要避免出现下面两种错误: ① lim( n 2 + n -n) lim =
n →∞

n2 + n

- lim n= ∞ - ∞ =0; ② 原 式 = lim
n →∞

n →∞

n 2 + n - lim n= ∞ - ∞ 不 存 在 . 对 于 ( 3 ) 要 避 免 出 现 原 式
n →∞

= lim

n →∞

2 4 2n + lim 2 +…+ lim 2 =0+0+…+0=0 这样的错误. 2 n →∞ n n →∞ n n

2.已知数列{ an }是由正数构成的数列, a 1 =3,且满足 lg an =lg a n ?1 +lgc,其中 n 是大于 1 的整数,c 是正数. (1)求数列{ an }的通项公式及前 n 和 sn ; (2)求 lim 解:(1)由已知得 an=c· a n ?1 ,

2 n ?1 ? a n 2 n + a n +1

n →∞

的值.

∴{an}是以 a1=3,公比为 c 的等比数列,则 an =3·c

n- 1

?3n ? .∴ sn = ? 3(1 ? c n ) ? ? 1? c

(c = 1) (c > 0且c ≠ 1).

(2) lim

2 n ?1 ? a n 2 n + a n +1

n →∞

= lim

n →∞

2 n ?1 ? 3c n ?1 1 .①当 c=2 时,原式=- ; n n 4 2 + 3c

2 c ( ) n ?1 ? 3 1 ? 3( ) n ?1 1 1 c 2 ②当c>2 时,原式= lim =- ; ③当 0<c<2 时,原式= lim = . n →∞ n →∞ 2 c c 2 2 ? ( ) n ?1 + 3c 2 + 3c ? ( ) n ?1 c 2
误点警示:几个常用的极限:① lim C=C(C 为常数);② lim 误点警示
n →∞ n →∞

1 =0;③ lim qn=0(|q|<1) 。求数列极限时 n →∞ n

要注意分类讨论 三、函数的极限.根限的四则运算法则. 1.函数极限的概念: 如果 lim f ( x ) =a 且 lim f ( x ) =a,那么就说当 x 趋向于无穷大时, (1) 【名师点睛】 名师点睛】
x → +∞ x → ?∞

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1.求下列函数的极限: (1) lim (
x→2

x 4 1 ? ) (2) lim ( ( x + a )( x + b) -x) (3) lim ; (4) x →∞ x→0 | x | x ?4 x?2
2

π x→ 2

lim

cos x . x x cos ? sin 2 2
解:(1)原式= lim
x→2

4 ? ( x + 2) ?1 1 = lim =- . (2)原式= lim 2 x →∞ x→2 x + 2 4 x ?4

(a + b) x + ab x + (a + b) x + ab + x
2

=a+b.

x x x x x =1,而= lim? =-1, lim+ ≠ lim? ,所以 lim 不存在. x →0 | x | x →0 | x | x →0 | x | x →0 | x | x →0 | x | x x cos 2 ? sin 2 2 2 = lim (cos x +sin x )= 2 (4)原式= lim π π x x 2 2 x→ x→ cos ? sin 2 2 2 2
(3)因为 lim+ 误点警示:1。函数极限有左、右极限,并有趋近于无穷大和趋近于常数两类,需注意. 误点警示 2. 在求函数极限时需观察, 对不能直接求的可以化简后求, 但要注意 lim 四、函数的连续性 【名师点睛】 1.函数的连续性.一般地,函数 f ( x ) 在点 x=x0 处连续必须满足下面三个条件: 名师点睛】 (1)函数 f ( x ) 在点 x=x0 处有定义; (2) lim f ( x ) 存在; (3) lim f ( x ) = f ( x0 ) .如果函数 y= f ( x) 在
x→ x0 x→ x0

x → +∞

x2 +1 与 lim x → ?∞ x

x2 +1 的区别. x

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点 x=x0 处及其附近有定义,而且 lim f ( x ) = f ( x0 ) ,就说函数 f ( x) 在点 x0 处连续.
x→ x0

2.如果 f ( x) 是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f ( x) 在闭区间[a,b]上有最大值和最小值. 3.若 f ( x) 、 g ( x) 都在点 x0 处连续,则 f ( x) ± g ( x) , f ( x) ·g(x),

f ( x) ( g ( x) ≠0)也在点 x0 处连 g ( x)

续.若 u ( x) 在点 x0 处连续,且 u ( x) 在 u0= u ( x0 ) 处连续,则复合函数 f (u ( x)) 在点 x0 处也连续. 特别提示(1)连续必有极限,有极限未必连续(2)从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运 算与函数关系“ f ”是可以交换顺序的. 【试题演练】 试题演练】

?1 ( x > 0), ? 1 讨论函数 f ( x) = ?0 ( x = 0), 在点x = 0处的连续性; ? ? 1 ( x < 0) ?
分析:需判断 lim? f ( x) = lim+ f ( x) =f(0).
x →0 x →0

解:∵ lim? f ( x) =-1, lim+ f ( x) =1, lim? f ( x) ≠ lim+ f ( x) , ∴ lim f ( x) 不存在.∴ f ( x) 在 x=0 处不连续.
x →0 x →0 x →0 x →0 x→0

?e x 2.设 f ( x) = ? ?a + x

( x < 0), 当 a 为何值时,函数 f ( x) 是连续的. ( x ≥ 0),

分析:函数 f ( x) 在 x=0 处连续,而在 x≠0 时, f ( x) 显然连续,于是我们可判断当 a=1 时,

f ( x) 在(-∞,+∞)内是连续的.
解: lim+
x →0

f ( x) = lim+ (a+x)=a, lim? f ( x) = lim? ex=1,而 f(0)=a,故当 a=1 时, lim f ( x) =f(0),
x →0 x →0 x →0 x →0

误点警示:分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性. 误点警示

【三年高考】 07、08、09 高考试题及其解析 2009 高考试题及解析 三年高考】 07、08、
1 北京(理)9. lim
x →1

x x?x = __________. x ?1

【答案】 【解析】 ∵

1 2

x x?x x( x ? 1) = = x ?1 ( x + 1)( x ? 1)

x x x?x x 1 1 ,∴ lim = lim = , 故填 . x →1 x →1 x ?1 2 x +1 x +1 2

2 重庆理(8)已知 lim(
x →∞

2 x2 ? ax ? b) = 2 ,其中 a, b ∈ R ,则 a ? b 的值为 x +1
(B)

(A) ?6

?2 (C) 2
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(D) 6

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【答案】D 【解析】

? 2?a = 0 ?a=2 2x2 (2 ? a ) x 2 ? (a + 6) x ? 6 ? ax ? 6 = 所以 ? ?? 则a ?b = 6 x +1 x +1 ?a + b = ?2 ?b = ?4

3 湖北理 6.设 (

2 + x) 2 n = a0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a2 n ?1 x 2 n ?1 + a2 n x 2 n , 2
2 2

则 lim[(a0 + a2 + a4 + ... + a2 n ) ? (a1 + a3 + a5 + ... + a2 n ?1 ) ] =
n →∞

A. ? 1

B.0

C.1
2

D.

2 2
2

解析】 【答案】选 B 。 【解析】∵ (a0 + a2 + a4 + ? + a 2 n ) ? (a1 + a3 + a5 + ? + a 2 n?1 ) 答案】

= (a0 + a1 + a2 + a3 + ? + a 2 n )(a0 ? a1 + a2 ? a3 + ? ? a 2 n?1 + a 2 n )
令 f ( x) = (

2 + x) 2 n ( n ∈ N * ), 2
2n

则 a0 + a1 + a2 + a3 + ? + a
2

= f (1) , a0 ? a1 + a2 ? a3 + ? ? a 2 n ?1 + a
2

2n

= f (?1) ,

∴ (a0 + a2 + a4 + ? + a 2 n ) ? (a1 + a3 + a5 + ? + a 2 n ?1 ) = f (1) ? f (?1)

? 2 ? 2 2 =( + 1) 2 n ? ( ? 1) 2 n = ?( ) 2 ? 1? 2 2 ? 2 ?
2 n →∞

2n

1 1 = (? ) 2 n = ( ) n , 2 4
2

∴ lim[(a0 + a2 + a4 + ... + a2 n ) ? (a1 + a3 + a5 + ... + a2 n ?1 ) ] = 0. 4 湖南(理科)15、将正⊿ABC 分割成 n 2 ( n ≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图 2,图 3 分别给出了 n=2,3 的情形) ,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数 (当数的个数不少于 3 时)都分别一次成等差数列,若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶 点上的数之和为 f(n),则有 f(2)=2,f(3)=

10 1 ,…,f(n)= (n+1)(n+2) 3 6

【答案】

10 (n + 1)(n + 2) ; 3 6

【解析】 (1)由于任意一条线上的数成等差数列,记 A, B, C 三点的数分别为 x A , xB , xC ,则在 AB, BC , CA 上的两点所对应的数的和等于 2 ( xA + xB + xC ) , 又由重心性质可得: 三角形中心点对应的为
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xA + xB + xC , 3

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所以 f ( 3) = 3 +

1 10 = . 3 3

(2)因为 f (1) = 1, f ( 2 ) = 2, f ( 3 ) = 归纳得: f ( n ) =

10 2×3 3× 4 4×5 ,所以 f (1) = , f ( 2) = , f ( 3) = 3 6 6 6

( n + 1)( n + 2 ) .
6
n →∞

5 陕西理 13.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 = S3 = 12 ,则 lim 【答案】1 【解析】由 ?

Sn = n2



?a6 = a1 + 5d = 12 ?a = 2 S n2 + n 1 ?? 1 ? S n = n 2 + n ? lim n = lim = lim(1 + ) = 1 . 2 2 n →∞ n n →∞ n →∞ n n ? S3 = 3a1 + 3d = 12 ?d = 2

2008 高考试题及解析 一选择题
* ( 1. 湖北卷理 8)已知 m ∈ N , a, b ∈ R ,若 lim

(1 + x) m + a = b ,则 a ? b = ( x →0 x
D. 1



A. ?m 【标准答案】A

B. m

C. ?1

(1 + x)m + a m(1 + x) m ?1 【试题解析】易知 a = ?1, 由洛必达法则有 lim = lim = m = b ,所以 a ib = ?m . x →0 x →0 x 1
( 2. 江西卷理 4) lim
x →1

x+3?2 =( x ?1
B. 0

) C. ?

A.

1 2

1 2

D.不存在

【标准答案】 A . 【试题解析】 lim
x →1

x+3 ?2 ( x + 3 ? 2)( x + 3 + 2)( x + 1) = lim x →1 x ?1 ( x ? 1)( x + 1)( x + 3 + 2)

( x ? 1)( x + 1) x →1 ( x ? 1)( x + 3 + 2) 1 = 2 = lim
( 3. 辽宁卷理 2) lim

1 + 3 + 5 + ? + (2n ? 1) =( x →∞ n(2n + 1)
B.



A.

1 4

1 2

C.1

D.2

答案: 答案:B 解析:本小题主要考查对数列极限的求解。依题 lim
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1 + 3 + 5 + ? + (2n ? 1) n2 1 = lim 2 = . n →∞ n →∞ 2n + n n(2n + 1) 2

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3 ( 14) 4. 上海卷理 14 文 14)若数列{an}是首项为 1,公比为 a-2的无穷等比数列,且{an}各项的和为 a,则 a 的 值是( )A.1 B.2 1 C. 2 D. 5 4

1 ? ?a = a1 ? 3 1? a + ?S = ? 1? q ? ? 【答案】 B 【解析】由 ? 2 ?| q |< 1 ? 3 ? ?| a ? |< 1 ? 2
二填空题 (湖北卷理 15) 1. 湖北卷理 15)观察下列等式: (

? a = 2.

∑i =
i =1

n

n 1 2 1 1 1 1 n + n, ∑ i 2 = n 3 + n 2 + n, 2 2 i =1 3 2 6

∑i
i =1 n

n

3

=

1 4 1 3 1 2 n + n + n , 4 2 4

∑i
i =1

n

4

1 1 1 1 = n 5 + n 4 + n 3 ? n, 5 2 3 30

∑ i5 =
i =1 n

1 6 1 5 5 4 1 2 n 6 1 7 1 6 1 5 1 3 1 n + n + n ? n , ∑ i = n + n + n ? n + n, ………… 6 2 12 12 7 2 2 6 42 i =1

∑i
i =1

k

= ak +1n k + 2 + ak n k + ak ?1n k ?1 + ak ? 2 n k ? 2 + ??? + a1n + a0 ,
1 1 , ak = , ak ?1 = k +1 2
, ak ? 2 = .

可以推测,当 x ≥2( k ∈ N * )时, ak +1 = 【标准答案】15.

k ,0 12
k , 12

【试题解析】由观察可知当 k ≥ 2时 ,每一个式子的第三项的系数是成等差数列的,所以 ak ?1 = 第四项均为零,所以 ak ? 2 = 0 。 【高考考点】考查学生的观察能力与归纳猜想思想。 【易错提醒】没有正确理解题意。 【备考提示】数列是高中的重要内容,要重点复习。 (江苏卷 10) 2. 江苏卷 10)将全体正整数排成一个三角形数阵: (

1 2 4 5 3 6

7 8 9 10 ????????
按照以上排列的规律,第 n 行 ( n ≥ 3) 从左向右的第 3 个数为 。

【答案】

n2 ? n + 6 2
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【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前 n ? 1 行共用了 1 + 2 + 3 + ? ( n ? 1) 因此第 n 行 ( n ≥ 3) 从左向右的第 3 个数是全体正整数中的第

( n ? 1) n 个数, 2

n2 ? n + 6 ( n ? 1) n 。 + 3 个,即为 2 2

5. 湖南卷理 11) lim ( 11)
x →1

x ?1 = ______ . x + 3x ? 4
2

【答案】

1 x ?1 x ?1 1 1 【解析】 lim 2 = lim = lim = . x →1 x + 3 x ? 4 x →1 ( x + 4)( x ? 1) x →1 ( x + 4) 5 5 (1 + a )n + 1 = 2 ,则 a = n→∞ n+a


( 13) 6. 陕西卷理 13) lim

【解析】 分式类极限的逆向思维问题, 注意到同次的分式极限值为最高项系数比, 则有 1 + a = 2 ? a = 1 ; 7. 天津卷理 15)已知数列 {a n } 中, a1 = 1, an+1 ? an = ( 15)

1 (n ∈ N *) ,则 lim a n = n→∞ 3
n+1

.

解析: an = ( an ? an ?1 ) + ( an ?1 + an ? 2 ) +? + ( a2 ? a1 ) + a1 =

1 1 1 + n ?1 + ? + 2 + 1 所以 n 3 3 3

1 2 7 lim an = 1 + 3 = . n →∞ 1 6 1? 3
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8 . 重 庆 卷 理 12 ) 已 知 函 数 f(x)= ? (

?2 x + 3(当x ≠ 0时) ? a(当x = 0时)

( 当 x ≠ 0 时 ) , 点 在 x=0 处 连 续 , 则

lim

an 2 + 1 = x →∞ a 2 n 2 + n
1 3
x →0

. 点在 x=0 处连续,所以 lim f ( x ) = f (0)
x →0

【答案】 【解析】 lim 2 x + 3 = lim 2 x + 3 = 3 又 f (0) = a + ?
x →0

3n 2 + 1 3 1 即 a = 3 故 lim 2 2 = = x →∞ 3 n + n 9 3
2007 高考试题及解析 一、选择题 1. ( 福建理 9) 把 1 + (1 + x ) + (1 + x) 2 + ? + (1 + x ) n 展开成关于 x 的多项式,其各项系数和为 an ,则 )

lim

2 an ? 1 等于( n→∞ a + 1 n

)A.

1 4
n

B.

1 2

C. 1

D.2

1 ? 2 n+1 解析:令 x=1 得 an=1+2+2 +……+2 = = 2 n+1 ? 1 , 1? 2
2

lim

2a n ? 1 2 ? 2 n+1 ? 3 = lim n+1 = 2 ,选 D. n →∞ a ? 1 n →∞ 2 ?2 n
? ?1 + lim ? n→ ∞ ? ?1 + ? 1 n 1 n ? ? ?1 ( ? = q ? ? ?1 ?
p

2.. 湖北理 5)已知 p 和 q 是两个不相等的正整数,且 q ≥ 2 ,则 ( )



A.0

B.1

C.

p q

D.

p ?1 q ?1

答案:选 C 解析:法一 特殊值法,由题意取 p = 1, q = 2 ,
? ?1 + 则 lim ? n→ ∞ ? ?1 + ? 1 n 1 n ? 1 ? ?1 n 1 p ,可见应选 C ? n = lim = lim = = q n→ ∞ 1 n→ ∞ 1 + 2 n 2 2 q ? + ? ?1 n2 n ?
2 m ?1
p

法二 ∵1 + (1 + x ) + (1 + x ) + ? + (1 + x )
m

=
2

1 ? (1 + x )

m

1 ? (1 + x )
m ?1

∴ (1 + x ) ? 1 = x ?1 + (1 + x ) + (1 + x ) + ? (1 + x ) ? 1 令 x = , m 分别取 p 和 q ,则原式化为 n
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? ?

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? ?1 + ? li m n→ ∞ ? ?1 + ? 1 n 1 n ? ? ?1 ? = lim q n→ ∞ ? ? ?1 ?
p

1 n

? ?1 + ? ? 1 ? ?1 + n ? ?

1 ? ? 1 ? ? ?1 + ? + ?1 + ? n ? ? n ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?1 + ? + ?1 + ? n ? ? n ? ?
2

2

1 ? ? + ? ?1 + ? n ? ?

2

? ? ? ? q ?1 ? 1 ? ? + ? ?1 + ? ? n ? ? ? ?
p ?1

p ?1

? 1? ? 1? ? 1? ∵ lim ?1 + ? = 1, lim ?1 + ? = 1,? , lim ?1 + ? n →∞ n →∞ n →∞ ? n? ? n? ? n?
所以原式=

= 1,

1+1+? +1 p = (分子、分母 1 的个数分别为 p 个、 q 个) 1+1+? +1 q

x→ x0

3. 湖南理 7)下列四个命题中,不正确的是( (湖南理 ) ...
x→ x0

A.若函数 f ( x ) 在 x = x0 处连续,则 lim+ f ( x ) = lim? f ( x ) B.函数 f ( x ) =

x+2 的不连续点是 x = 2 和 x = ?2 x2 ? 4
x→∞ x→∞ x→∞

C.若函数 f ( x ) , g ( x ) 满足 lim[ f ( x ) ? g ( x )] = 0 ,则 lim f ( x ) = lim g ( x )

D. lim
x→1

x ?1 1 = x ?1 2
x→∞ x→∞ x→∞ x→∞

【答案】C.【解析】 lim f ( x ) = lim g ( x ) 的前提是 lim f ( x )与 lim g ( x ) 必须都存在!

4. 江西理 2) lim ( )
x →1

x3 ? x 2 ( x ?1

)A.等于 0

B.等于 1

C.等于 3

D.不存在

解析: lim
x →1

x3 ? x2 2 = lim x = 1 ,选 B x ? 1 x→1

?1 ? n 2 , 1 ≤ n ≤ 1000, ? 5.(上海文 14)数列 { a n }中, an = ? 则数列 { a n }的极限值( 上海文 2 ? n n , ≥ 1001, ? n 2 ? 2n ? A.等于 0 B.等于 1 C.等于 0 或 1 D.不存在



解析】 【答案】B【解析】 lim an = lim 答案】
n →∞

n2 1 = lim = 1 ,选 B。 2 n →∞ n ? 2n n →∞ 2 1? n
(B)1 (C)

x2 ? 1 6. (四川理 3) lim 2 = (A)0 ) x →1 2 x ? x ? 1
解:原式 = lim
x →1

1 2

(D)

2 3

( x + 1)( x ? 1) x +1 2 2x 2 = lim = 或原式 = lim = .选 D. x →1 2 x + 1 x →1 4 x ? 1 ( x ? 1)(2 x + 1) 3 3

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黄金试题
7. 重庆理 8)设正数 a,b 满足 lim( x + ax ? b) = 4 ,则 lim (重庆理 )
2 x →2

a n +1 + ab n ?1 =( n →∞ a n ?1 + 2b n
D. 1



A. 0 : 【答案】 B 答案】

B.

1 4

C.

1 2

P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到 n-1 个 直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-2Pn-1, ∴ Pk ?1 (

k ?1 k ?1 (k ? 1) 2 1 , 0) ,Qk ?1 ( ,1 ? ) ,| Pn ? 2 Pn ?1 |= ,当 n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为 2 n n n n 1 (n ? 1)n 2 ? (n ? 1)(n ? 2)(2n ? 3) 1 1 1 22 (n ? 1) 2 1 1 6 lim ? [(1 ? 2 ) + (1 ? 2 ) + ? (1 ? )] .整理得 lim [ ]= 。 2 2 n →∞ 2 n n →∞ 2 n n n n n 3

9. 辽宁理 13)已知函数 f ( x) = ? (辽宁理 )

?a cos x( x ≥ 0),
2 ? x ? 1( x < 0)

在点 x = 0 处连续,则 a =



解析:因为 f ( x) = ?

?a cos x( x ≥ 0),
2 ? x ? 1( x < 0)

在点 x = 0 处连续,故 lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (0) = a = ?1 ,填-1
x→ 0+ x →0 ?

Sn . = n2 5 n(?5n ? 1) S 5 解: 答案】 - 【解析】已知数列的通项 an=-5n+2,其前 n 项和为 Sn 【答案】 解析】 ,则 lim n =- 。 n →∞ n 2 2 2 2
10. 全国Ⅱ理 16)已知数列的通项 an = ?5n + 2 ,其前 n 项和为 S n ,则 lim (全国Ⅱ )
n→ ∞

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黄金试题
11. 陕西理 13) lim ? (陕西理 )

1 ? ? 2x +1 ? ?= 2 x→1 x + x ? 2 x ?1 ? ?



解析:

lim ? x ?
x→1

1 ? 2x + 1 ? x ? 2 1 1 ? 2x + 1 ? = lim = ? = lim 2 + x ? 2 x ?1? 3 x →1 ( x ? 1)( x + 2) x →1 x + 2
2 an ? n2 = n→∞ S n

12. 天津理 13)设等差数列 {an } 的公差 d 是 2,前 n 项的和为 S n ,则 lim (天津理 )



【答案】3【分析】根据题意知 an = a1 + ( n ? 1) × 2 = 2n + a1 ? 2 , Sn = n 2 + n(a1 ? 1) 代入极限式得 lim

3n 2 + 4( a1 ? 2) n + ( a1 ? 2) 2 = 3. n →∞ n 2 + n( a1 ? 1)

13. 上海春 1)计算 lim (上海春 )

2n 2 + 1 = n → ∞ 3n ( n + 1)

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

2 1 + 2 2 2n 2 + 1 2n 2 + 1 【答案】 【分析】 = 2 = 3 3n 1 3 3n(n + 1) 3n + 3n 1+ n
三、解答题

所以 lim

2 2n 2 + 1 = n → ∞ 3n ( n + 1) 3

14. 湖北理 21)已知 m,n 为正整数, ( (I)用数学归纳法证明:当 x > ?1 时, (1 + x ) m ≥ 1 + mx ; )

1 ? 1 m ? 1 ? ? 2, (II)对于 n≥ 6 ,已知 ? 1 ? ? < ,求证 ?1 ? ? < , m = 1, ?,n 2 2 ? n+3? ? m+3?
(III)求出满足等式 3n + 4n + ? + ( n + 2) n = ( n + 3) m 的所有正整数 n .

m

m

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黄金试题

1 ? ? 2 ? n ? 1 ?1? 1 ? ? ?1? ?1 ? ? + ?1 ? ? + ? + ?1 ? ? < + ? ? + ? + ? ? = 1 ? n < 1, 2 ? n+3? ? n+3? ? n+3? 2 ? 2? ?2?
? n + 2 ? ? n +1 ? ? 3 ? ∴? ? +? ? +? + ? ? < 1. ? n+3? ? n+3? ? n+3?
n n n

n

n

n

2

n

即 3n + 4 n + ? + ( n + 2) n < ( n + 3) n .即当 n ≥ 6 时,不存在满足该等式的正整数 n .

, 3, 5 故只需要讨论 n = 1 2, 4,的情形:当 n = 1 时, 3 ≠ 4 ,等式不成立;
当 n = 2 时, 3 + 4 = 5 ,等式成立;当 n = 3 时, 3 + 4 + 5 = 6 ,等式成立;
2 2 2 3 3 3 3

当 n = 4 时, 3 + 4 + 5 + 6 为偶数,而 7 为奇数,故 3 + 4 + 5 + 6 ≠ 7 ,等式不成立;
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

当 n = 5 时,同 n = 4 的情形可分析出,等式不成立.综上,所求的 n 只有 n = 2,. 3 解法 2: (Ⅰ)证:当 x = 0 或 m = 1 时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明: 当 x > ?1 ,且 x ≠ 0 时, m ≥ 2 , (1 + x ) m > 1 + mx . (ⅰ)当 m = 2 时,左边 = 1 + 2x + x ,右边 = 1 + 2x ,
2



因为 x ≠ 0 ,所以 x > 0 ,即左边 > 右边,不等式①成立;
2

k (ⅱ)假设当 m = k ( k ≥ 2) 时,不等式①成立,即 (1 + x) > 1 + kx ,则当 m = k + 1 时,

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黄金试题
因为 x > ?1 ,所以 1 + x > 0 .又因为 x ≠ 0,k ≥ 2 ,所以 kx > 0 .
2

于是在不等式 (1 + x) > 1 + kx 两边同乘以 1 + x 得
k

(1 + x) k· + x) > (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1) x + kx 2 > 1 + (k + 1) x , (1
所以 (1 + x)
k +1

> 1 + (k + 1) x .即当 m = k + 1 时,不等式①也成立.综上所述,所证不等式成立.
n

n m m ?? 1 ? 1 1 ? ? ?1? ? (Ⅱ)证:当 n ≥ 6 , m ≤ n 时,∵ ? 1 ? ? < ,∴ ??1 ? ? ? <? ? , 2 ? n+3? ?? n + 3 ? ? ? 2 ? ? ?

m n m m ? 1 ? m m ? 1 ? ? ?1? ? ? 而由(Ⅰ) ? 1 ? , ≥1 ? > 0 ,∴ ?1 ? ≤ ?? 1 ? <? ? . ? ? ? ? ? n+3 ? n+3? ? n+3? ?? n + 3 ? ? ? 2 ? ? ?

n

(Ⅲ)解:假设存在正整数 n0 ≥ 6 使等式 3 0 + 4 0 + ? + ( n0 + 2)
n n

n0

= (n0 + 3) n0 成立,

? 3 ? ? 4 ? ? n0 + 2 ? 即有 ? ? +? ? +? + ? ? = 1. ? n0 + 3 ? ? n0 + 3 ? ? n0 + 3 ? ? 3 ? ? 4 ? ? n0 + 2 ? 又由(Ⅱ)可得 ? ? +? ? +? + ? ? ? n0 + 3 ? ? n0 + 3 ? ? n0 + 3 ? ? ? n ?1 ? ? n ? 1 ? = ?1 ? 0 ? + ? 1 ? 0 ? + ? + ?1 ? ? ? n0 + 3 ? ? n0 + 3 ? ? n0 + 3 ?
0 ?1? ?1? <? ? +? ? ?2? ?2?

n0

n0

n0


n0

n0

n0

n0

n0

n0

n

n0 ?1

+? +

1 1 = 1 ? n0 < 1 ,与②式矛盾. 2 2

故当 n ≥ 6 时,不存在满足该等式的正整数 n .下同解法 1.

15. 江西理 17)已知函数 f (x) = ? ( )

?cx +1 ? ?2 +k ?
?2 c x

(0 < x < c) (c≤x <1)

在区间 (0, 内连续,且 f (c 2 ) = 1)

9 . 8

(1)求实数 k 和 c 的值; (2)解不等式 f ( x) >

2 +1. 8

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黄金试题

2 假设 n = k ( k ≥ 2) 成立,则 ak = k ,则 n = k + 1 时
2

由①得 2 +

? 1 1 1 ? 1 k 2 (k + 1) k (k 2 + k ? 1) < k (k + 1) ? 2 + < 2+ 2 ? 2 < ak +1 < ? ak +1 ak +1 ? k k ? k +1 k ?1 ?k
(k + 1)2 1 < ak +1 < (k + 1) 2 + 2 k +1 k ?1 (k + 1)2 1] ∈ ( 0, . k 2 +1

? (k + 1)2 ?

因为 k ≥ 2 时, ( k 2 + 1) ? ( k + 1) 2 = k ( k + 1)( k ? 2) ≥ 0 ,所以

k ? 1≥ 1 ,所以
2

1 ∈ ( 0, .又 ak +1 ∈ N* ,所以 (k + 1) 2 ≤ ak +1 ≤ (k + 1)2 . 1] k ?1
2
*

故 ak +1 = ( k + 1) ,即 n = k + 1 时, an = n 成立.由 1 ,2 知,对任意 n ∈ N , an = n .
2

(2)方法二:由 a1 = 1 , a2 = 4 , a3 = 9 ,猜想: an = n .
2

下面用数学归纳法证明.1 当 n = 1 , 2 时,由(1)知 an = n 均成立;
2

2 假设 n = k ( k ≥ 2) 成立,则 ak = k ,则 n = k + 1 时
2

由①得 2 +

? 1 1 1 ? 1 1 k + 1 k (k + 1) 1 < k (k + 1) ? 2 + < + < 2+ 2 ? < 2+ 2 即2+ ak +1 ak +1 ? k ak +1 k ak +1 k ?k
k ?1 k 2 + k ?1 3 2 < ,即 (k ? 1) ak +1 < k + k ? k ,因为两端为整数, k ak +1
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由②左式,得

黄金试题
则 ( k ? 1) ak +1 ≤ k + k ? k ? 1 = (k + 1) ( k ? 1) .于是 ak +1 ≤ ( k + 1)
3 2 2 2



又由②右式,

k (k + 1) 2k 2 + 1 ? k (k + 1) k 2 ? k + 1 < = . ak +1 k2 k2
3 2 4 3

则 ( k ? k + 1) ak +1 > k ( k + 1) .因为两端为正整数,则 ( k ? k + 1) ak +1 ≥ k + k + 1 ,
2

k 4 + k3 +1 k 2 所以 ak +1 ≥ 2 = (k + 1)2 ? 2 .又因 k ≥ 2 时, ak +1 为正整数,则 ak +1 ≥ ( k + 1) k ? k +1 k ? k +1
据③④ ak +1 = ( k + 1) ,即 n = k + 1 时, an = n 成立.由 1 ,2 知,对任意 n ∈ N , an = n .
2 2
*



2

17. ( 辽 宁 理 21 ) 已 知 数 列 {an } , {bn } 与 函 数 f ( x ) , g ( x ) , x ∈ R 满 足 条 件 : an = bn ,

f (bn ) = g (bn +1 )(n ∈ N*) .(I)若 f (x)≥tx +1 t ≠ 0,t ≠ 2 , g(x) = 2x , f (b) ≠ g (b) , lim an 存在,求 x 的 ,
n →∞

取值范围; (II)若函数 y = f ( x ) 为 R 上的增函数,g ( x ) = f ?1 ( x ) ,b = 1 , f (1) < 1 ,证明对任意 n ∈ N * , . lim an (用 t 表示)
n →∞

( Ⅰ ) 解 法 一 : 由 题 设 知 ?

?an +1 = tbn +1 + 1 t 得 an +1 = an + 1. 又 已 知 t ≠ 2 , 可 得 2 ? an = 2bn+1 ,

a n +1 +

2 t 2 = (a n + ). …4 分 t?2 2 t?2

由 f (b) ≠ g (b), t ≠ 2, t ≠ 0, 可知a1 +

2 t t = tb + ≠ 0, ≠ 0, t?2 t?2 2

2 ? t t ? 所以 ?an + , 公比为 .于是 ? 是等比数列,其首项为 tb + t ?2 2 t ? 2? ? 2 t t t t 2 = (tb + )( ) n ?1, 即an = (tb + )( ) n ?1 ? . t?2 t?2 2 t?2 2 t?2 t 2 又 lim an 存在,可得 0< | | <1,所以-2<t<2 且 t ≠ 0. lim a n = . …8 分 n →∞ n →∞ 2 2?t 1 t 1 解 法 二 . 由 题 设 知 tbn+1=2bn+1, 且 t ≠ 2. 可 得 bn +1 + = (bn + ). … 4 分 由 t?2 2 t?2 1 t f (b) ≠ g (b), t ≠ 2, t ≠ 0, 可知 b + ≠ 0, ≠ 0 , t ?2 2 an +
所以 ?bn +

? ?

1 t 1 ? ,公比为 的等比数列. ? 是首项为 b + t?2 2 t ? 2?

bn +

1 1 t 1 t 1 = (b + )( ) n ?1 , 即bn = (b + )( ) n ?1 ? . t?2 t?2 2 t?2 2 t?2
n→∞ n→∞

由 an = 2bn +1 可知,若 lim a n 存在,则 lim bn 存在.于是可得 0< |
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t | <1, 2

黄金试题
2 . ………8 分 n→∞ n→∞ 2?t t 1 t 1 ①于是有 bn + 2 = bn +1 + , ② 解法三:由题设知 tbn+1=2bn+1,即 bn +1 = bn + , 2 2 2 2 t t ②-①得 bn + 2 ? bn +1 = (bn +1 ? bn ), 令c n = bn +1 ? bn , 得 c n +1 = c n . ……4 分 2 2 (t ? 2)b + 1 t 由 f (b) ≠ g (b), t ≠ 2, t ≠ 0可知c1 = b2 ? b1 = ≠ 0, ≠ 0, 2 2 t 所以 {c n } 是首项为 b2 ? b1 ,公比为 的等比数列,于是 2 t t 1 ? ( )n 4[1 ? ( ) n ] 2 (b ? b ) + b. a = 2b = 2 bn +1 = (c1 + c 2 + …… + c n ) + b1 = (b2-b1)+2b. 2 1 n n +1 t 2?t 1? 2 t 又 lim a n 存在,可得 0< | | <1,所以-2<t<2 且 t ≠ 0. n→∞ 2 4 2 . ………8 分 lim a n = (b2 ? b1 ) + 2b = n →∞ 2?t 2?t
所以-2<t<2 且 t ≠ 0. lim a n =2 lim bn = 18.(全国 I 理 22)已知数列 {an } 中 a1 = 2 , an +1 = ( 2 ? 1)(an + 2) , n = 1 2,… . ( , 3, ) (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 中 b = 2,bn+1 = 1

3bn + 4 , n = 1 2,… ,证明: 2 < bn ≤ a4n?3 , , 3, 2bn +3

n = 1, 3, . 2,…
解: (Ⅰ)由题设: an +1 = ( 2 ? 1)( an + 2) = ( 2 ? 1)( an ? 2) + ( 2 ? 1)(2 + 2)

= ( 2 ? 1)(an ? 2) + 2 , an +1 ? 2 = ( 2 ? 1)(an ? 2) .

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19.(天津理 21)在数列 {an } 中, a1 = 2,an +1 = λ an + λ n +1 + (2 ? λ )2 n ( n ∈ N ? ) ,其中 λ > 0 . 天津理 ) (Ⅰ)求数 列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)证明存在 k ∈ N ? ,使得

an +1 a ≤ k +1 对任意 an ak

n ∈ N ? 均成立.
(I)解法一: a2 = 2λ + λ 2 + (2 ? λ ) × 2 = λ 2 + 2 2 , a3 = λ (λ 2 + 22 ) + λ 3 + (2 ? λ ) × 2 2 = 2λ 3 + 23 ,

a4 = λ (2λ 3 + 23 ) + λ 4 + (2 ? λ ) × 23 = 3λ 4 + 2 4 .
由此可猜想出数列 {an } 的通项公式为 an = ( n ? 1)λ n + 2n . 以下用数学归纳法证明.(1)当 n = 1 时 , a1 = 2, 等式成立.(2)假设当 n = k 时等式成立,即

ak = ( k ? 1)λ k + 2k ,

那么,

ak +1 = λ ak + λ k +1 + (2 ? λ )2 k = λ (k ? 1)λ k + λ 2k + λ k +1 + 2 k +1 ? λ 2 k = [( k + 1) ? 1]λ k +1 + 2 k +1.
这就是说,当 n = k + 1 时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式 an = ( n ? 1)λ n + 2n 对任何 n ∈ N * 都成立. 解法二:由 an +1 = λ an + λ n +1 + (2 ? λ )2 n ( n ∈ N * ), λ > 0, 可得

λ n +1

an +1

?2? ?? ? ?λ?

n +1

=

?2? ? ? ? + 1, n λ ?λ? an

n

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黄金试题
n ? an ? 2 ?n ? an ? 2 ? ? ? 所以 ? n ? ? ? ? 为等数列,其公差为 1,首项为 0.故 n ? ? ? = n ? 1, λ ?λ? ?λ? ? ?λ ? ?

所以数列 {an } 的通项公式为 an = ( n ? 1)λ n + 2 n . (II)解:设 Tn = λ 2 + 2λ 3 + 3λ 4 + ... + ( n ? 2)λ n ?1 + ( n ? 1)λ n , ① ②

λ Tn = λ 3 + 2λ 4 + 3λ 5 + ... + ( n ? 2)λ n + ( n ? 1)λ n +1 .
当 λ ≠ 1 时,①式减去②式,得

(1 ? λ )Tn = λ 2 + λ 3 + ... + λ n ? ( n ? 1)λ n +1 =

λ 2 ? λ n +1 ? (n ? 1)λ n +1 , 1? λ

Tn =

λ 2 ? λ n +1 (n ? 1)λ n +1 (n ? 1)λ n + 2 ? nλ n +1 + λ 2 . ? = 1? λ (1 ? λ ) 2 (1 ? λ )2
(n ? 1)λ n + 2 ? nλ n +1 + λ 2 + 2n +1 ? 2. 2 (1 ? λ )

这时数列 {an } 的前 n 项和 Sn = 当 λ = 1 时, Tn =

n(n ? 1) n(n ? 1) . 这时数列 {an } 的前 n 项和 Sn = + 2n +1 ? 2. 2 2

?a ? a a a λ2 + 4 , n ≥ 2. ③ (III)证明:通过分析,推测数列 ? n +1 ? 的第一项 2 最大.下面证明: n +1 < 2 = an a1 2 a1 ? an ?
由 λ > 0 知 an > 0. 要使③式成立,只要 2an +1 < (λ 2 + 4)an ( n ≥ 2). 因为

(λ 2 + 4) an = (λ 2 + 4)( n ? 1)λ n + (λ 2 + 4)2 n > 4λ .( n ? 1)λ n + 4 × 2 n = 4( n ? 1)λ n +1 + 2 n + 2 ≥ 2nλ n +1 + 2n + 2 = 2an +1 , n > 2. 所以③式成立. 因此,存在 k = 1, 使得

an +1 ak +1 a2 对任意 n ∈ N * 均成立. ≤ = an ak a1

20.(重庆理 21)已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S1 > 1 ,且 6 S n = ( an + 1)( an + 2) , 重庆理 )
b n∈N. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 满足 an (2 n ? 1) = 1 ,并记 Tn 为 {bn } 的前 n 项和,求

证: 3Tn ? 1 > log 2 (an + 3),n ∈ N . (I)解:由 a1 = S1 =

1 (a1 + 1)(a1 + 2) ,解得 a1 = 1 或 a1 = 2 ,由假设 a1 = S1 > 1 ,因此 a1 = 2 , 6 1 1 又由 an +1 = S n +1 ? S n = ( an +1 + 1)( an +1 + 2) ? ( an + 1)( an + 2) ,得 ( an +1 + an )( an +1 ? an ? 3) = 0 , 6 6
即 an +1 ? an ? 3 = 0 或 an +1 = ? an ,因 an > 0 ,故 an +1 = ? an 不成立,舍去.

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黄金试题

由此不等 式有 3Tn + 1 = log 2 2 ? 1 +

? ?

1? ? 2?

3

1 ? ? 1? ? ? 1 + ? ? ?1 + ? ? 5 ? ? 3n ? 1 ?

3

3

5 8 3n + 2 3 ? ? 3 ?? 3 ? ? ··· · ? = log 2 (3n + 2) = log 2 (an + 3) . > log 2 2 ?1 + ??1 + ?? ?1 + ? = log 2 2 2 5 3n ? 1 ? 2 ?? 5 ? ? 3n ? 1 ?
证法三:同证法一求得 bn 及 Tn .

3 6 3n 4 7 3n + 1 5 8 3n + 2 ,Bn = ·· · ? , Cn = ·· · ? . 2 5 3n ? 1 3 6 3n 4 7 3n + 1 3n 3n + 1 3n + 2 3n +2 2 因 > > .因此 An > An Bn Cn = . 3n ? 1 3n 3n + 1 2
令 An = ·· · ?

3n ? ?3 6 3 从而 3Tn + 1 = log 2 2 ? i i?i ? = log 2 2 An > log 2 2 An BnCn = log 2 (3n + 2) = log 2 (an + 3) . 2 5 3n ? 1 ? ?
证法四:同证法一求得 bn 及 Tn .下面用数学归纳法证明: 3Tn + 1 > log 2 ( an + 3) . 当 n = 1 时, 3T1 + 1 = log 2

3

27 , log 2 ( a1 + 3) = log 2 5 ,因此 3T1 + 1 > log 2 (a1 + 3) ,结论成立. 4

假设结论当 n = k 时成立,即 3Tk + 1 > log 2 ( ak + 3) . 则当 n = k + 1 时, 3Tk +1 + 1 ? log 2 ( ak +1 + 3) = 3Tk + 1 + 3bk +1 ? log 2 ( ak +1 + 3)
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黄金试题
> log 2 (ak + 3) ? log 2 (ak +1 + 3) + 3bk +1 = log 2

(3k + 3)3 (3k + 5)(3k + 2) 2 (3k + 3)3 > 0. (3k + 5)(3k + 2) 2

因 (3k + 3) ? (3k + 5)(3k + 2) = 9k + 7 > 0 .故 log 2
3 2

从而 3Tk +1 + 1 > log 2 (ak +1 + 3) .这就是说,当 n = k + 1 时结论也成立. 综上 3Tn + 1 > log 2 ( an + 3) 对任何 n ∈ N + 成立.

【两年模拟】 两年模拟】
一、选择题

08 名校模拟题及其答案
an 2 + bn + c n →∞ an 2 + 2 n ? 1 b B. C. c 2
2

1、 2008 荆门市实验高中测试) lim 、 ( 荆门市实验高中测试) 等于 ( )A.1

D.1 或 (

b 答案 2
)

D

2、 2008 荆门市实验高中测试)下列极限存在的是 、 ( 荆门市实验高中测试) ① lim

1 x →∞ x 2

② lim

1 x →0 x

③ lim B.②③

x +1 1 ④ lim 2 x →∞ 3 x + x + 2 x →1 x ? 1
2

A.①②④

C.①③

D.①②③④答 案
n →∞

C

3、 2008 荆门市实验高中测试)已知 a,b 时互不相等的正数,则 lim 、 ( 荆门市实验高中测试) 等于( )A.1 B.1 或-1 C.0

a ?b a n + bn
n n

D.0 或-1 答 案

B

4、(淮南市部分重点中学 2007 年高三数学素质测试)设 f ( x) = ? 、 淮南市部分重点中学 年高三数学素质测试) 存在,则常数 b 的值是( 二模)若 5、 (巢湖 2007 二模 lim ( 巢湖
x →1

?2 x + b( x ≤ 0) , 若 lim f ( x) x →0 e x ( x > 0) ?
B.1 ( C.-1 D.e.答 案 ) C B



A.0

a b ? ) = 1 ,则常数 a, b 、的值为 1? x 1? x 2
2

A. a = ?2, b = 4 ,

B. a = 2, b = ?4 ,
x→∞

C. a = ?2, b = ?4 , D. a = 2, b = 4 .答 案

6、(皖南八校 2007 届一联) lim( x + 1 ? 、 皖南八校 届一联) A.0 B.不存在

x 2 ? x 的值为
C.-

( D.

) C

1 2

1 .答 案 2

2007学年度高三第一轮复习训练) 7、 南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练)已知数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4… …则这 ( 个数列的第 2006 个数是 ( )A 62 B.63 C 64 D 65 答 案
2

B

8、 南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练)函数 f(x)= 、 ( 2007学年度高三第一轮复习训练)

x1 ? x

点为 ( )A x= ± 1 B x=1 C x= ? 1 D 以上答案都不对 答 案 A 9、 南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练)用数学归纳法证明命题时,此命题 、 ( 2007学年度高三第一轮复习训练) 左式为

x2 ?1

的不连续

1 1 1 1 + + +? + n ,则 n=k+1 与 n=k 时相比,左边应添加 2 3 4 2 ?1 1 1 1 1 A. k +1 B. k + k + k +1 2 ?1 2 2 +1 2 ?1

(

)

高考必练

黄金试题
C.

1 1 1 1 + k + k + ? + k +1 k 2 2 +1 2 + 2 2 ?1

D.

1 1 + k +1 答案 C k 2 2 ?1
。.答 案 -1 2

二、填空题 10、 (2008 荆门市实验高中测试) 若 lim 、 荆门市实验高中测试) 11、 2008 荆门市实验高中测试) lim 、 ( 荆门市实验高中测试)
x→
n →∞

1 = 1, 则常数a = n( n + a ? n)

π

2

sin 3 x ? 2sin 2 x + 1 = _____________。答 案 sin x ? 1 sin 3 x ? 2sin 2 x + 1 = _________。答 案 sin x ? 1 lim
x →3

12、 2008 宣威六中高三数学测试) lim 、 ( 宣威六中高三数学测试)
x→

π

-1

2

13、 安徽宿州三中 2007 年三模)已知 、 ( 年三模) 三、解答题

x3 ? ax 2 ? x + 3 a n + b n +1 = b ,则 lim n +1 n = n →∞ a x?3 ?b

答案

-8

14、 (2008 荆门市实验高中测试)求 lim 、 荆门市实验高中测试)
x→

π

4

sin 2 x ? 2 cos 2 x cos x ? sin x

解 ∵

sin 2 x ? 2 cos 2 x π = ?2 cos x ∴ 原式 = lim ( ?2 cos x ) = ?2 cos = ? 2 π cos x ? sin x 4 x→
4

高考必练

黄金试题
(2)因为 bn = 所以 S n =

1 1 1 1 1 = = ( ? ) n+2 log 2 2 log 2 2 n(n + 2) 2 n n + 2
n

1 1 1 1 3 (1 + ? ? ) 故 lim S n = n →+∞ 2 2 n +1 n + 2 4 an 1 + ? 1且an > 0, n ∈ N * 2 an

17、(南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练 、 南昌市 学年度高三第一轮复习训练) 数列 {an }中,前n项和sn =

(1)求 a1, a2并猜想an的表达式 (2)证明猜想的正确性 解 : (1) n = 1时a1 = s1 =

a1 1 + ?1 2 a1

f ( x) = 1与 lim f (? n) = 0矛盾, ∴ a > 0
n →∞

∴ lim f (? n) = lim
n →∞

n →∞

1 1 + a ? 2? bx

?1(0 < 2 ? b < 1) ? ? 1 =? (2 ?b = 1) ∴ 2? b > 1即b < 0, 故a > 0, b < 0 ?1 + a ?0(2? b > 1) ?
2 1+ a 2

⑵由⑴知 f ( x)在[0,1]上为增函数,∴ f (0) = 1 , 即 1 = 1 ,∴ a = 1, f (1) =

高考必练

黄金试题
1 4 1 1 4x 1 = ,∴ 2b = ,∴ b = ?2.∴ f ( x ) = = = 1? ? b ?2 x x 1+ a ? 2 5 4 1+ 2 1+ 4 1 + 4x

1 1 > 1? . k 1+ 4 2 ? 2k 1 1 1 1 1 ∴ f (1) + f (2) + f (3) + ? + f (n) > n ? ( + + ) = n + n +1 ? . 2 n 2× 2 2× 2 2× 2 2 2
当k ∈ N 时 f ( k ) = 1 ?

2009 名校模拟题及其答案
一、选择题 1 、 ( 2 0 0 9 年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 理 ) lim
x→2

A.0

B .1

C. ?

1 2

x?2 的值为 ( ) x ? 6x + 8 1 D. 答 案 C 3
2

A.如果 f (x) =
2

1

x

,则 lim f (x) = 0
x→+ ∞

B.如果 f (x) = 2 -1,则 lim f (x) = 0
x→0

x

C.如果 f (n) =
D.如果 f (x) = ?

n -2n ,则 lim f (n) 不存在 n→∞ n + 2
,则 lim f (x) = 0 答 案
x→0
n →∞

? x , x≥0 ? x + 1,x < 0

D
n →∞

6、 、 (2009 宣威六中第一次月考) lim[(2n ? 1) an ] = 2 ,则 lim nan = ( ) 宣威六中第一次月考) (
A.1 B.

1 2

C.

1 3

D. 0 答



A 二、填空题 7、 (2009 上海十四校联考)如图,在杨辉三角中,斜线上方 上海十四校联考) 、 (
高考必练

黄金试题
的数组成数列: 1,3,6,10,…,记这个数列的前 n 项和为 Sn, 则 lim

n3 = n →∞ S n

.

答案 6 8、 、 (2009 上海奉贤区模拟考)已知各项均为正数的等比数列 上海奉贤区模拟考) (

{a n } 的首项 a1 = 1 ,公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若 lim
答案

S n +1 = 1 ,则公比为 q 的取值范围是 n →∞ S n
3n +1 ? a n = _______.答 案 3 n →∞ 3n + a n
x



(0, 1]
2

9、 、 (2009 闵行三中模拟)若实数 a 满足 a ? 2a ? 3 < 0 ,则 lim ( 闵行三中模拟)

10 . ( 北 京 市 石 景 山 区 2009 年 4 月 高 三 一 模 理 ) 若 ( 2 ?

2 9 ) 展 开 式 的 第 7 项 为 42 , 则 2

lim( x + x 2 + … + x n ) =
n →∞

.答案

2

17、 、 (2009 宣威六中第一次月考) lim ( 宣威六中第一次月考) 三、解答题

2n +1 + 3n +1 = n →∞ 2 n ? 3n

.答 案

-3

18、 、 (2009 冠龙高级中学 3 月月考)由函数 y = f ( x ) 确定数列 {an } , an = f ( n ) ,函数 y = f ( x ) 的反函 月月考) ( 数y= f
?1

( x ) 能确定数列 {bn } , bn =

f ?1 ( n ) ,若对于任意 n ∈ N * ,都有 an = bn ,则称数列 {bn } 是数
高考必练

黄金试题
列 {an } 的“自反数列” 。(1)若函数 f ( x ) = 式;(2)在(1)条件下,记

px + 1 确定数列 {an } 的自反数列为 {bn } ,求 {an } 的通项公 x +1

n 1 1 1 + +? x1 x 2 xn

为正数数列 { xn } 的调和平均数,若 d n =

2 ?1 , an + 1

1? ? b = ? an +1 , ? 都满足 a ⊥ b ,求 lim S n . n →∞ 2? ?
解 因为 a ⊥ b ? a ? b = 0 ,所以由条件可得 an +1 = ? 即数列 { a n }是公比 q = ?

an * ,n∈N . 2

a 1 a 1 2 的等比数列.又 a1 = 3 = 1 ,所以, lim S n = 1 = = . 2 n →∞ 2 q 1? q 1+ 1 3 2

【一年原创】 一年原创】

2008 2008 和 2009 原创试题及其解析

一选择题 1、如果复数 m2(1+i)+(m+i)i2 为纯虚数,则实数 m 的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.0 或 1 答案 A
高考必练

黄金试题
2、已知数列{an}满足: a1 =

n→∞

lim Sn (

1 ) A. 2

1 ,且对任意正整数 m、n,都有 am+n=aman,若数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 3 2 3 C. D.答案 A 2 B. 3 2

5



lim
x →0

1? 1+ x =( x

)A. ? 1

B1

C. B.1 ? ? B.1 ?

1 2
1 2

D. ? C.- ? C.
1 2

1 2

答案 D D. ?答案 C ? 答案? 答案 D.0 ?答案 C ?? 答案? 答案
1 3

6. lim x→2

x?2 的值为( x 2 ? 6x + 8 1+ 2 + 3 +…+ n 等于( n2

)?? A.0 ? )?? A.2

7、lim n →∞

x 2 + cx + 2 b 8、已知 lim = a ,且函数 y = a ln x + + c 在 (1, e) 上具有单调性,则 b 的取值范围是 x→2 x?2 x
A. ( ?∞, e] ? B. [1, e] C. ( ?∞, 0] ∪ [e, +∞ ) D. (?∞,1] ∪ [e, +∞) 答案 D

高考必练

黄金试题

13.设 f(n)=1+ + +…+ ? A.
1 ? 3n + 2

1 2

1 3

1 * (n∈N ) N ,那么 f(n+1)-f(n)等于 3n ? 1



)?

B.

1 1 1 1 + ? C. + 3n 3n + 1 3n + 1 3n + 2

D.

1 1 1 + + ?答案 D ?? 答案? 答案 3n 3n + 1 3n + 2

14. lim( n →∞

1 2 3 2n ? 1 2n ? + ?…+ ? ) 的值为 n +1 n +1 n +1 n +1 n +1

( ? D.1 ?答案 A ?? 答案? 答案 ( )?

)?

? A.-1

? B.0
2

? C.

1 2

15.设正数 a,b 满足 lim (x +ax-b)=4,则 lim n →∞ x→2 ? A.0 ? B. ?
1 2 1 4

a n +1 + ab n ?1 等于 a n?1 + 2b n
1 2

C. ?

D.1 ?答案 B ?? 答案? 答案 ( )?

16.数列{an}中 a1=2,且 an= (an-1+ ? A. 3 11. ? B.- 3

3 ) (n≥2) ,若 lim an 存在,则 lim an 等于 n →∞ n →∞ an?1

C.± 3

? D. 6 ?答案 A ?? 答案? 答案

17.数列{an}中,有 lim [ (5n+2)an]=2,并有 lim an 存在,则 lim (nan)的值为 n →∞ n →∞ n→∞ ? A.0 B.2 ? C. ?
2 5



)?

D.不存在?答案 C ?? 答案? 答案

二填空题
高考必练

黄金试题
1. lim n →∞
(1 + a )n + 1 =2,则 a= n+a 1
4

.?答案 答案
3

1?
3 2 n ,则 lim (a+a +…+a )= n →∞ 2

2.设常数 a>0, (ax 2 + 3. lim x →π
( x ? π ) cos x

) 展开式中 x 的系数为

.?答案 答案

1

x

x? π

=

.答案 答案

-2 π

三解答题
1 已知等差数列前三项为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,Sk=2 550.?(1)求 a 及 k 的值; (2)求 lim ( n →∞
1 1 1 + +…+ ) . S1 S 2 Sn

解 (1)由已知得 a1=a,a2=4,a3=3a,∴a3-a2=a2-a1,即 4a=8,∴a=2.? ∴首项 a1=2,公差 d=2.?由 Sk=ka1+
2

k(k ? 1) k(k ? 1) d,得 2k+ ·2=2 550,? 2 2

∴k +k-2 550=0,∴k=50 或 k=-51(舍去).?∴a=2,k=50.? (2)由 Sn=na1+ n(n-1)d=2n+n(n-1)得? Sn=n +n=n(n+1).? ∴
1 1 (n + 1) ? n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = ? . ?∴ + +…+ = (1 ? ) + ( ? ) + … + ( ? ) S n n(n + 1) n( n + 1) n n +1 S1 S 2 Sn 2 2 3 n n +1 1 1 1 1 1 . ∴ lim ( + + … + ) = lim (1 ? ) =1 n →∞ n →∞ n +1 S1 S 2 Sn n +1
2 *

1 2

2

=1-

2.若函数 f(x)=( x + 2 ) (x≥0),数列{an}(an>0)的前 n 项和 Sn(n∈N )对所有大于 1 的正整数 n N (2)令 bn= 都有 Sn=f(Sn-1)?,且 a1=2.?(1)求数列{an}的通项公式;
2 2 an+1 + an 2an+1an

(n∈N ), N

*

高考必练

黄金试题
求 lim (b1+b2+…+bn-n).? n →∞ ,?∴ S n ? S n?1 = 2 ,? 解 (1)∵Sn=f(Sn-1)=( S n?1 + 2 ) (n≥2) ∴{ S n }是以 2 为首项, 2 为公差的等差数列.? ∴ S n = 2 +(n-1) 2 = 2 n,∴Sn=2n .? 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-2,?又 a1=2 适合上式,故 an=4n-2.? (2)bn=
(4n + 2) 2 + (4n ? 2) 2 1 1 1 = 1+ ? ,∴b1+b2+…+bn-n=1.? 2n + 1 2(4n + 2)(4n ? 2) 2n ? 1 2n + 1
1 )=1. 2n + 1
2 2

∴ lim ( b1+b2+…+bn-n)= lim (1n →∞ n →∞

? x ?1 ?3 ? x ?1 3 已知函数 f(x)= ?b ? ?ax 2 + 2 ? ? ?

( x < 1) ( x = 1) (1)求 lim f(x);?(2)若 lim f(x)存在,求 a,b 的值;? ( x > 1)
x →0 x →1

(3)若函数 f(x)在 x=1 处连续,求 a,b 所满足的条件.? 解 (1)∵x→0 时, 3
x ?1 x ?1

的分子、分母都有极限-1,?∴ lim f(x)=1.? x →0
2
x →1 x →1 x →1

(2)若 lim f(x)存在,则 lim f(x)= lim f(x),?而 lim f(x)= lim (ax +2)=a+2.? ? + + + x →1
x →1

? lim f(x)= lim ? ?
x →1 x →1

x ?1 ( x ? 1)( x + 1)
3

= lim ?
x →1

3

x2 + 3 x +1 x +1
x →1

=

3 3 1 . ?∴a+2= ,∴a=- ,b 可为任意实数.? 2 2 2 1 2 3 2

(3)若 f(x)在 x=1 处连续,?则 lim f(x)= lim f(x)=f(1),?则 a=- ,b= . + ?
x →1

4 是否存在常数 a、b、c 使等式 1 +2 +3 +…+n +(n-1) +…+2 +1 =an(bn +c)对于一切 n∈N*都成立,若存在,求 N 出 a、b、c 并证明;若不存在,试说明理由.? 2 2 2 2 2 2 2 2 解 假设存在 a、b、c 使? 1 +2 +3 +…+n +(n-1) +…+2 +1 =an(bn +c)? * 对于一切 n∈N 都成立.?当 n=1 时,a(b+c)=1;当 n=2 时,2a(4b+c)=6;? N
1 ? ?a = 3 , ?a (b + c) = 1, ? 当 n=3 时,3a(9b+c)=19.?解方程组 ?a(4b + c) = 3, 解得 ?b = 2, ? ? ?3a (9b + c) = 19, ?c = 1. ? ? ?

2

2

2

2

2

2

2

2

*

证明如下:? ①当 n=1 时,由以上知存在常数 a,b,c 使等式成立.? * 2 2 2 2 2 2 2 ②假设 n=k(k∈N )时等式成立,即 1 +2 +3 +…+k +(k-1) +…+2 +1 ? N = k(2k +1) ;当 n=k+1 时,? 1 +2 +3 +…+k +(k+1) +k +(k-1) +…+2 +1 = k(2k +1)+(k+1) +k ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3

2

1 3

2

2

2

高考必练

黄金试题
= k(2k +3k+1)+(k+1) ?= k(2k+1) (k+1)+(k+1) ? = (k+1) (2k +4k+3)?= (k+1) [2(k+1) +1].?即 n=k+1 时,等式成立.? 因此存在 a= ,b=2,c=1,使等式对一切 n∈N 都成立. N
1 3
*

1 3 1 3

2

2

1 3

2

2

1 3

2

【考点预测】 2010 高考预测 考点预测】
极限是考查的重点内容,2010 以选择或填空题为主,主要考察求函数、数列的极限 复习建议 数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想,因此要重视.数学归纳法在考试中时隐时现,且较隐

据 f ( x ) 在点 x0 处的极限来定义的,它要求 lim f ( x ) 存在.其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限
x→ x0

所具备的条件更强.首先, f ( x ) 在点 x0 处有极限,对于点 x0 而言,x0 可以属于 f ( x ) 的定义域,也可以不属于

f ( x) 的定义域,即与 f ( x 0 ) 是否有意义无关,而 f ( x) 在点 x0 处连续,要求 f ( x) 在点 x0 及其附近都有定义;
其次,f(x)在点 x0 处的极限(值)与 f ( x) 在点 x0 处的函数值 f ( x 0 ) 可以无关,而 f ( x) 在点 x0 处连续,要 求 f ( x) 在点 x0 处的极限(值)等于它在这一点的函数值 f ( x 0 ) .我们通常说“连续必有极限,有极限未必 连续”,正是针对上述事实而言的. 函数 f x) x0 处连续当且仅当满足三个条件: 函数 f ( x) 在 x=x0 处及其附近有定义; ( 在 (1) (2)lim f ( x)
x→ x0

存在; (3) lim f ( x) = f ( x 0 ) .
x→ x0

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黄金试题

【母题特供】每个专题 5 道最典型试题 母题特供】

?1 + x, ? ?0, 解 (1)f(x)= ? ?1, ?0, ?
?1 + x, 即 f(x)= ?1, ? ?0, ?

x ∈ (?1,1), x = ?1, x = 1, x ∈ (?∞,?1) ∪ (1,+∞),
x ∈ ( ?1.1), x = 1, x ∈ (? ∞,?1] ∪ (1,+∞)

f(x)的定义域为 R.? (2)函数 y=f(x)的图象如图所示.? (3)函数在 x=1 处不连续,这是因为 lim f ( x) = 2 ≠ 0 = lim f ( x). ? +
x →1 x →1

母题三: 金题引路: 母题三: 金题引路:已知 lim x →1
2

ax 2 + bx + 1 b x + a x ?1 =3,?求 lim x x?1 的值. x →∞ a + b x ?1

解 依题意可知 ax +bx+1 中必有 x-1 这个因式,∴a+b+1=0 ? 又 lim x →1
ax 2 + bx + 1 ( x ? 1)(ax ? 1) = lim = lim(ax ? 1) = a ? 1 = 3, ? x →1 x →1 x ?1 x ?1
4 ? 5 + (? ) x ?1 5 = ?5. 4 x ?1 4 × (? ) + 1 5

(?5) x + 4 x ?1 ∴a=4,将 a=4 代入 a+b+1=0,得 b=-5,∴ lim x = lim x →∞ 4 + ( ?5) x ?1 x →∞

母题四: 母题四:

高考必练

黄金试题

与 n -1 的大小,并证明你的结论.? (1)证明 ∵n,an,Sn 成等差数列,∴2an=n+Sn ?又 an=Sn-Sn-1(n≥2).? 证明 ∴2(Sn-Sn-1)=n+Sn,即 Sn=2Sn-1+n.?∴Sn+n+2=2Sn-1+2(n+1)=2[Sn-1+(n-1)+2]? 且 S1+1+2=4≠0,所以数列{Sn+n+2}成等比数列.? (2)解 Sn+n+2=4·2 =2 ,即 Sn=2 -n-2,?∴n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 -n-2-[2 -(n-1)-2]=2 -1, 解 又 a1=1=2 -1.?故对任意正整数 n,an=2 -1.? (3)解 an=2 -1,令 f(n)=n -1,a1=1,f(1)=0,? a1>f(1),a2=3,f(2)=3,a2=f(2),a3<f(3),a4=f(4)? 解 a5>f(5).?猜想 n≥5 时,an>f(n).?证明如下:①由上知 n=5 时猜想成立? ②假设 n=k(k∈N ,k≥5)时猜想成立,?即 2 -1>k -1,即 2 >k ,那么 2 -1=2·2 -1>2k -1 ? N ∵k -1-2k=(k-1) -2>0,?∴k +k -1>k +2k=(k+1) -1 ?∴n=k+1 时结论成立.∴n∈N ,n≥5 时结论成立 N
2 2 2 2 2 2 * * k 2 k 2 k+1 k 2 n 2 1 n n-1 n+1 n+1 n+1 n n

2

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