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山东师大附中2013届高三12月(第三次)模拟检测数学(文)试题

山东师大附中 2010 级高三模拟考试 数学(文史类)
2012 年 12 月 12 日

注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟. 2. 此卷内容主要涉及集合与简易逻辑、复数、函数与导数、三角函数、数列、不等式、推 理与证明和算法内容。填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。

第Ⅰ 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.复数 z ?

1 ? 2i (i为虚数单位) 在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

2.已知 A ? { y | y ? log2 x, x ? 1}, B ? { y | y ? ( ) x , x ? 1}, 则A ? B ? A. ? B. ? ?,0 ) ( C. (0, )

1 2

1 2

D. ? ?, (

1 ) 2

3.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a3 ? 5, a5 ? 9 ,则 S7 等于 A.13 B.35 C.49 D.63

4. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? b ?
0

?

?

?

?

?

?

A.9

B. 7

C. 3

D. 7

5. 数列 ?an ?中, a1 ? 1, a n ?

1 ? 1 ,则 a4 等于 an?1

A.

5 3

B.

4 3

C.1

D.

2 3

6. 下列有关命题的说法正确的是
2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .

2 B. x ? 6 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “

2 2 C. “对任意 x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 ” 命题 的否定是: 存在 x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ” “ .

D.命题“若 x ? y ,则 cos x ? cos y ”的逆否命题为真命题. 7.在 ?ABC中,A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a cos C , b cos B, c cos A 成等差数列,则

B?
A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

8. 已知平面内一点 P 及 ?ABC,若 PA? PB? PC ? AB ,则点 P 与 ?ABC的位置关系是 A.点 P 在线段 AB 上 C .点 P 在线段 AC 上 9. 下列三个不等式中,恒成立的个数有 ①x? B.点 P 在线段 BC 上 D.点 P 在 ?ABC外部

1 ? 2( x ? 0) x



c c ? (a ? b ? c ? 0) a b



a?m a ? (a, b, m ? 0, a ? b) . b?m b
D.0

A.3

B.2

C.1

?y ? x ? 10. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 3x ? 6 ?
A. 2
[来源:Z.xx.k.Com]

[来源:学科网 ZXXK]

B. 3

C. 4

D. 9

11.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 A. 2
3

1 1 ? 的最小值 a b
D.8

B.

1 4

C. 4

12.设函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? a ? 0 ? a ? 2 ? 有三个零点 x1、x2、x3 , 且x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论正确的是( A. x1 ? ?1 ) B.

x2 ? 0

C. 0 ? x2 ? 1

D. x3 ? 2

山东师大附中 2010 级高三模拟考试 数学(文史类)
第Ⅱ 卷(非选择题
x ?1 ? 0 的解集是 x?2

共 90 分)
开始

二、填空题:本大题共 4 个小 题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 不等式

14. 已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a2 ? a6 ? 9a4 , a 2 =1, 则 a1 = 15.程序框图(如图)的运算结果为 16.已知等差数列

n ?1
s ?1

n ? n ?1

{an} 中, a3 ? 7,a6 ? 16,将此等差数列的各项
n ? 4?


s ? s?n


排成如下三角形数阵:

a1 a2 a4 a7 ? ? a8 ? a5 a9 ? a3 a6 a10 ?
(15 题) 则此数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是_________ 结束

输出 s

三、解答题:本大题共 6 个小题.共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)

[来源:Z_xx_k.Com]

在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , cos B ?
?

4 . 5

(1)求 sin C 的值; (2)若 BC ? 10, D 为 AB 的中点,求 CD 的 长. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R. 2 2

(1)求函数 f ? x ? 的最小值和最小正周期; ( 2 ) 设 ?ABC 的 内 角 A B C 的 对 边 分 别 为 a、 b c, 且 c ? 3 , f ? C ? 0, 、 、 、 ?

sin B ? 2sin A ,求 a, b 的值.
19.(本小题满分 12 分)
2 已知等差数列 ?an ?的首项为 a ,公差为 d ,且方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解为 1, d .

(1)求 ?an ?的通项公式及前 n 项和 S n 公式; (2)求数列{ 3
n ?1

a n }的前 n 项和 Tn .

20.(本小题满分 12 分) 已知 x ? 1 是函数 f ? x ? ? ? ax ? 2 ? e 的一个极值点. ( a ?R )
x

(1)求 a 的值; (2)任意 x1 , x2 ? ? 0, 2? 时,证明: | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? e 21.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } , {cn } 满足条件: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1, c n ? (1)求证数列 {an ? 1}是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,并求使得 Tn ? 值. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ?

1 . (2n ? 1)(2n ? 3)

1 * 对任意 n?N 都成立的正整数 m 的最小 am

2 ? a ln x, a ? R . x

(1)若函数 f (x ) 在 [1,?? ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围. (2)记函数 g( x) ? x 2 [ f ?( x) ? 2x ? 2] ,若 g (x) 的最小值是 ? 6 ,求函数 f (x ) 的解析式.

山东师大附中 2010 级高三模拟考试 2012 年 12 月 6 日

[来源:Z+xx+k.Com]

数学(文史类)参考答案
一、选择题 DACBA DCCBB CC 二、填空题 13. x ? 2 ? x ? 1

?

?

14.

1 3

15. 24

16.598

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 解: (1)? 三角形中, cosB ?

4 3 ,所以 B 锐角? sin B ? --------3 分 w 5 5
7 2 --------6 分 w 10

所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? (2) 三角形 ABC 中,由正弦定理得

AB BC , ? sinC sin A

? AB ? 14 ,

--------9 分 w

又 D 为 AB 中点,所以 BD=7
2 2 2 在三角形 BCD 中,由余弦定理得 ? CD ? BC ? BD ? 2 BC ? BD ? cos B ? 37

? CD ? 37
18. (本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x) ?

w--------12 分

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 2 6
最小值为-2 ????????6 分

????????4 分

故T ? ?
(2) ∴ 2C ?

?

f (C ) ? sin( C ? ) ? 1 ? 0 2 6 6 ?

?

而 C ? (0, ? )

?

2

,得 C ?

?

由正弦定理

3 sinB ? 2 sin A 可化为 b ? 2a

????????9 分

2 2 2 2 2 2 2 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C ? a ? 4a ? 2a ? 3a

∴ a ? 1, b ? 2 19. (本小题满分 12 分) 解
[来源:Z&xx&k.Com]

????????12 分

2 :( 1 ) 方 程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的 两 根 为 1 d . ,

利用韦达定理得出

a ? 1, d ? 2 .

-----------2 分

由 -----------6 分





an ? 1? 2(n ?1) ? 2n ?1



sn ? n2

(2)令 bn ? 3n ?1 a n ? ( 2n ? 1) ? 3n ?1 则 Tn ?b1 ?b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? 1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? ? ? ( 2n - 1) ? 3n ?1

3Tn ? 1 ? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n - 3) ? 3n ?1 ? (2n ? 1) ? 3n
-----------8 分 两 式 相 减 , 得

? 2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n ?1 ? (2n - 1) ? 3n

-----------10 分

6(1 ? 3n ?1 ) ?1? ? ( 2n - 1) ? 3n 1? 3
? Tn ? 1 ? ( n ? 1) ? 3n
------------12 分 20. (本小题满分 12 分) (1)解: f '( x) ? (ax ? a ? 2)ex , 由已知得 f ' (1) ? 0 ,解得 a ? 1 .

? ?2 ? (n ? 1) ? 3n . 2
.

--------------------2 分

当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 2)ex ,在 x ? 1 处取得极小值.所以 a ? 1 .

---4 分

(2)证明:由(1)知, f ( x) ? ( x ? 2)ex , f '(x) ? (x ?1)ex .
当 x ? ?0,1? 时, f ' ( x) ? ( x ? 1)e x ? 0 , f (x ) 在区间 ? 0,1? 单调递减; 当 x ? ?1, 2? 时, f '( x) ? ( x ?1)ex ? 0 , f (x ) 在区间 ?1, 2 ? 单调递增. 所以在区间 ? 0, 2 ? 上, f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ?e .------ 8 分 又 f (0) ? ?2 , f (2) ? 0 , 所以在区间 ? 0, 2 ? 上, f ( x ) 的最大值为 f (2) ? 0 . ----------10 分

对于 x1 , x2 ? ?0, 2? ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? fmax ( x) ? fmin ( x) . 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? (?e) ? e . 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ n?1 ? 2an ? 1 a ∴ n?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,∵ 1 ? 1 , a1 ?1 ? 2 ? 0 …………2 分 a a ∴ 数列 {an ? 1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列 .
n ?1 n a a ∴ n ?1 ? 2? 2 ∴ n ? 2 ?1

-------------------12 分

…………4 分 分

( Ⅱ ) ∵ cn ? ∴n ? T

1 1 1 1 ? ( ? ) , (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

…………6

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ??? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3
…………8 分

?

1 1 1 n n ( ? )? ? . 2 3 2n ? 3 3 ? (2n ? 3) 6n ? 9
∵ n ?1 ?

T Tn

n ? 1 6n ? 9 6n 2 ? 15n ? 9 9 ? ? ? 1? 2 ? 1,又 Tn ? 0 , 2 6n ? 15 n 6n ? 15n 6n ? 15n

∴ n ? Tn?1, n ?N*,即数列 {Tn } 是递增数列. T ∴ n ? 1 时, Tn 取得最小值 当 要使得 Tn ?

1 . 15

…………10 分

1 1 1 对任意 n?N*都成立,结合(Ⅰ )的结果,只需 ,由此得 ? m am 15 2 ? 1
…………12 分

正整数 m 的最小值是 5. m ? 4 .∴ 22. (本小题满分 14 分) ⑴ f ' ( x) ? 2 ? 令 h( x) ?

2 a ? ?0 x2 x

∴ ? a

2 ? 2 x 在 [1,?? ) 上恒成立…………2 分 x

2 ? 2 x, x ? [1,??) x 2 ∵ ( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 恒成立 h' x

∴ ( x)在[1,?? )单调递减 …………4 分 h

h( x) max ? h(1) ? 0
∴ ?0 a (2) g( x) ? 2x 3 ? ax ? 2, x ? 0 ∵ ' ( x) ? 6x 2 ? a g 易知 a ? 0 时, g ' ( x) ? 0 恒成立

… ………6 分 … ………7 分

…………9 分

∴ ( x)在(0,?? )单调递增 , 无最小值 ,不合题意 g 令 g ' ( x) ? 0 ,则 x ?

∴ ? 0 …………11 分 a

?a (舍负) 6

列表如下,(略)可得,

g ? x ? 在 ( (0,
值点。

?a ?a ) 上单调递减,在 ( , ? ?) 上单调递增,则 x ? 6 6

?a 是函数的极小 6

g ( x) min ? g ( x) 极小 ? g (
解得 a ? ?6

?a ) ? ?6 6
2 ? 6 ln x x

…………13 分 …………14 分

f ( x) ? 2 x ?


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