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学科网3-2-1备战2010高考精品系列之数学专题十五推理与证明(教师版)prt


黄金试题

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 推理与证明
【考点定位】2010 考纲解读和近几年考点分布
推理与证明是数学的基础思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,推理一般包括合情 推理与演绎推理,在解决问题的过程中,合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用,有 利于创新意识的培养。证明包括直接证明与间接证明,其中数学归纳法是将无穷的归纳过程,根据归纳原 理转化为有限的特殊(直接验证和演绎推理相结合)的过程,要很好地掌握其原理并灵活运用。推理与证 明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点,需要采用多种数学方法才能解决 问题,如:函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等,对学生的知识与能力要求较高,是对学生思维 品质和逻辑推理能力,表述能力的全面考查,可以弥补选择题与填空题等客观题的不足,是提高区分度, 增强选拔功能的重要题型,因此在最近几年的高考试题中,推理与证明问题正在成为一个热点题型,并且 经常作为压轴题出现。

【考点 pk】名师考点透析
【名师点睛】 (1)合情推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳 推理(简称归纳) 。归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理; 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相 同)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比) 。 类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一

(3)证明 反证法:要证明某一结论 A 是正确的,但不直接证明,而是先去证明 A 的反面(非 A)是错误的,从 而断定 A 是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论证 的一种数学证明方法。 反证法的步骤: 1)假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立; 2)从这个假设出发, 通过推理论证, 得出矛盾;3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。 注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中, 推出自相矛盾的结论。 分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等 式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立, 这种方法通常叫做分析法。 用分析法证明不等式的逻辑关系是: 分析法的思维特点是:执果索因; 分析法的书写格式: 要证明命题 B 为真,只需要证明命题为真,
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从而有??,这只需要证明命题为真,从而又有?? 这只需要证明命题 A 为真,而已知 A 为真,故命题 B 必为真. 综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出 所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法, 【试题演练】 1. (1)观察圆周上 n 个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3 个点可以连 3 条弦,4 个点可 以连 6 条弦,5 个点可以连 10 条弦,你由此可以归纳出什么规律? (2)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间,并判断类比的结论是否成立: 1)如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必于另一条相交。 2)如果两条直线同时垂直与第三条直线,则这两条直线平行。 解析:(1)设 为 个点可连的弦的条数,则

(2) 1)一个平面如和两个平行平面中的一个相交,则必然和另一个也相交,次结论成立; 2)若两个平面同时垂直第三个骗马,则这两个平面也相互平行,此结论不成立。 点评:当前提为真,结论可能为真的推理。一定要理解合情推理的必要性。 2.如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等边三角形,棱

EF //

?2

1

BC 。

(1)证明 FO //平面 CDE ; (2)设 BC ? 3CD ,证明 EO ? 平面 CDF 。 解析: (Ⅰ)证明:取 CD 中点 M,连结 OM. 在矩形 ABCD 中, OM //

1 1 BC ,又 EF // BC , 2 2

则 EF //OM ,连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形.? FO // EM 又? FO ? 平面 CDE,切 EM ? 平面 CDE,∵FO∥平面 CDE (Ⅱ)证明:连结 FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE 中,

CM ? DM , EM ? CD 且 EM ?

3 1 CD ? BC ? EF 。 2 2

因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO⊥FM 而 FM∩CD=M,∴CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO.而 FM ? CD ? M ,所以 EO⊥平面 CDF。 点评:本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力. 3. (1)用反证法证明:如果 a>b>0,那么 ; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2

-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,?。 (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) {an}的通项公式。 解析:(1)假设 ∵a>0,b>0,∴ , 不大于 < a<b;
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,则或者 <

< ,

,或者 <

=



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= a=b.这些都同已知条件 a>b>0 矛盾,∴ , ,∴ ,∴ 。 .

证法二(直接证法) ∵a>b>0,∴a - b>0 即 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= 。 2

(2)(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1,

1 1 1 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 a1= 。 2 2 2 6 (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,Sn2-2Sn+1-anSn=0。 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 ① 1 1 1 2 3 n 由(Ⅰ)知 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = 。 由①可得 S3= ,由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,? 2 2 6 3 4 n+1 下面用数学归纳法证明这个结论 (i)n=1 时已知结论成立;(ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk= 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= k , k+1

k+1 1 ,即 Sk+1= ,故 n=k+1 时结论也成立. 2-Sk k+2

n 综上,由(i)、(ii)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立, n+1 于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= n-1 n 1 - = , n n+1 n(n+1)

1 1 n 又 n=1 时,a1= = ,所以{an}的通项公式 an= ,n=1,2,3,? 2 1×2 n+1 点评:要应用好反证法、数学归纳法证明一些涉及代数、不等式、几何的结论。

【三年高考】

07、08、09 高考试题及其解析

2009 高考试题及解析

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则称点 P 为“ 点” ,那么下列结论中正确的是 点” B.直线 l 上仅有有限个点是“ 点” 点”

A.直线 l 上的所有点都是“ C.直线 l 上的所有点都不是“

点” D.直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“

【答案】A 【解析】本题采作数形结合法易于求解,如图,
2 2 设 A t , t , P ? x, x ?1? ,∵ | PA ?| AB | ,∴ B 2t ? x, 2t ? x ? 1 ,

? ?

?

?

∵点 B 在抛物线 y ? x2 上,∴ 2t 2 ? x ? 1 ? (2t ? x)2 整理得关于 x 的方程 x2 ? (4t ? 1) x ? 2t 2 ? 1 ? 0 (*)

? 1? ∵ ? ? (4t ? 1) ? 4(2t ? 1) ? 8t ? 8t ? 5 ? 8 ? t ? ? ? 3 ? 0 恒成立,∴方程(*)恒有实数解,∴应选 A. ? 2?
2 2 2

2

【考点定位】本题是选择题的把关题,也是创新题型.她不仅有新概念,而且注重考察学生分析解决问题的 能力。无论是题目条件的叙述,还是设问的方式,解题的方法都符合一道良好把关题的要求。 3 上海文 14.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点.若以互

2) , (3, 4) , (?2, 3) , (4, 5) , (6, 6) 为 1) , (3, 相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点 (?2,
报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站,使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程 的和最短. 【解析】设发行站的位置为 ? x, y ? ,零售点到发行站的距离为

z ? 2 x ? 2 ? y ? 2 ? 2 x ? 3 ? y ? 1 ? y ? 4 ? y ? 3 ? x ? 4 ? y ? 5 ? x ? 6 ? y ? 6 ,这六个点的横
纵坐标的平均值为

?2 ? 3 ? 3 ? 2 ? 4 ? 6 2 ?1? 4 ? 3? 5 ? 6 7 7 ? 2, ? ,记 A(2, ) 画出图形可知,发行 6 6 2 2

站的位置应该在点 A 附近,代入附近的点的坐标进行比较可知,在 ? 3,3? 处 z 取得最小值. 【答案】 ? 3,3?

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z ? 2 x ? 2 ? y ? 2 ? 2 x ? 3 ? y ? 1 ? y ? 4 ? y ? 3 ? x ? 4 ? y ? 5 ? x ? 6 ? y ? 6 ,这六个点的横
纵坐标的平均值为

?2 ? 3 ? 3 ? 2 ? 4 ? 6 2 ?1? 4 ? 3? 5 ? 6 7 7 ? 2, ? ,记 A(2, ) 画出图形可知,发行 6 6 2 2

站的位置应该在点 A 附近,代入附近的点的坐标进行比较可知,在 ? 3,3? 处 z 取得最小值. 【答案】 ? 3,3? 【考点定位】本题考查了数学的应用意识、绝对值的意义、平行 x 轴和 y 轴的距离及估算的能力.如果对列 出的目标函数通过计算求出最值难度很大,估算法切实可行. 5 广东文 10.广州 2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E 五个城市之间进 行,各城市之间的路线距离(单位:百公里)见下表.若以 A 为起点,E 为终 点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是 A. 20.6 【答案】B 【解析】可以一一列举出从 A 到 E 的各种路线,可利用树形图表示: B.21 C.22 D.23

共计有 6 种不同的路线, ①

A? B ?C ? D ? E

, ②

A? B ? D ?C ? E

, ③

A?C ? B ? D ? E

, ④

A ? C ? D ? B ? E ,⑤ A ? D ? B ? C ? E ,⑥ A ? D ? C ? B ? E ,
其中, 路线③ A ? C ? B ? D ? E 的距离最短, 最短路线距离等于 4 ? 9 ? 6 ? 2 ? 21 , 故选 B.

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【考点定位】本题考查应用数学知识解决实际问题,实际考查树形图的运用。 6 浙江文 15.某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下:

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元(用数字作答) .

【答案】148.4【解析】 50 ? 0.568 ? 150 ? 0.598 ? 50 ? 0.288 ? 50 ? 0.318 ? 148 .4 【考点定位】本题背景新颖,充分考查了学生的探索能力,逻辑推理能力。注重分段函数的理解和运用。

9. 湖北文理 10。古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 2 中的 1,4,9,16?这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?
n

B.1024

C.1225

D.1378

n ( n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数列通项 bn ? n2 , 2

则由 bn ? n2 (n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ?
n

n ( n ? 1) 知 an 必为奇数,故选 C. 2

10、 (江苏卷)8.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1:4,类似地,在空 间内,若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的体积比为 【解析】 考查类比的方法。体积比为 1:8 11、(湖南) 15、将正⊿ABC 分割成 n ( n ≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图 2,图 3 分别给出了 n=2,3 的情形) ,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数(当数 的个数不少于 3 时)都分别一次成等差数列,若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上 的数之和为 f(n),则有 f(2)=2,f(3)=
2

.

10 1 ,?,f(n)= (n+1)(n+2) 3 6

【答案】 :

10 1 , (n ? 1)(n ? 2) 3 6

【 解 析 】 当 n=3 时 , 如 图 所 示 分 别 设 各 顶 点 的 数 用 小 写 字 母 表 示 , 即 由 条 件 知
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a ? b ? c ? 1, x1 ? x2 ? a ? b, y1 ? y2 ? b ? c, z1 ? z2 ? c ? a x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2, 2g ? x1 ? y2 ? x2 ? z1 ? y1 ? z2 6g ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2
即g ?

1 1 1 10 而f (3) ? a ? b ? c ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? g ? 1 ? ? ? 3 2 3 3

进一步可求得 f (4) ? 5 。由上知 f (1) 中有三个数, f (2) 中 有 6 个数, f (3) 中共有 10 个数相加 , f (4) 中有 15 个数相加?.,若 f (n ? 1) 中有 an?1 (n ? 1) 个数相加,可得 f ( n) 中有 (an?1 ? n ? 1) 个数相加,且由

3 6 3?3 3 10 4 5 f (1) ? 1 ? , f (2) ? ? ? f (1) ? , f (3) ? ? f (2) ? , f (4) ? 5 ? f (3) ? ,... 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 , 所以 可得 f ( n) ? f ( n ? 1) ? 3 n ?1 n ?1 n n ?1 n n ?1 3 f (n) ? f (n ? 1) ? ? f (n ? 2) ? ? ? ... ? ? ? ? ? f (1) 3 3 3 3 3 3 3 n ? 1 n n ?1 3 2 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) = 3 3 3 3 3 3 6
12、(浙江卷)15.观察下列等式:
1 5 1 5 9 C5 ? C5 ? 23 ? 2 , C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23 , 1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 , 1 5 9 13 17 C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 215 ? 27 ,???
*

1 5 9 4 n?1 由以上等式推测到一个一般的结论: 对于 n ? N ,C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ? ? ? C4 n?1 ?

. w.

2008 高考试题及解析 (一)填空题 1. (湖北卷理 15)观察下列等式:

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?i ?
i ?1 n

n

1 2 1 n ? n, 2 2

n 1 1 1 1 3 1 2 1 2 i ? n ? n ? n , i 3 ? n 4 ? n3 ? n 2 , ? ? 4 2 4 3 2 6 i ?1 i ?1

n

?i
i ?1 n

4

n 1 1 1 1 1 1 5 1 ? n5 ? n4 ? n3 ? n, ? i 5 ? n6 ? n5 ? n4 ? n2 , 5 2 3 30 i ?1 6 2 12 12

n 1 7 1 6 1 5 1 3 1 ?? i ? n ? n ? n ? n ? n, i k ? ak ?1nk ? 2 ? ak n k ? ak ?1nk ?1 ? ak ?2 n k ?2 ? ??? ? a1n ? a0 , ? ? 7 2 2 6 42 i ?1 i ?1 6

可以推测,当 x ≥2( k ? N * )时, ak ?1 ? 【标准答案】15.

1 1 , ak ? , ak ?1 ? k ?1 2

, ak ?2 ?

.

k ,0 12 k , 12

【试题解析】由观察可知当 k ? 2时 ,每一个式子的第三项的系数是成等差数列的,所以 ak ?1 ? 第四项均为零,所以 ak ?2 ? 0 。 【高考考点】考查学生的观察能力与归纳猜想思想。 【易错提醒】没有正确理解题意。 【备考提示】数列是高中的重要内容,要重点复习。 2. (江苏卷 10)将全体正整数排成一个三角形数阵:

1 2 4 7 8 5 9 3 6 10


????????
按照以上排列的规律,第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数为

n2 ? n ? 6 【答案】 2
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前 n ? 1 行共用了 1 ? 2 ? 3 ? ?(n ? 1) 因此第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数是全体正整数中的第

(n ? 1) n 个数, 2

n2 ? n ? 6 (n ? 1)n ? 3 个,即为 。 2 2
, 令 L1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn , n 是正整数)
y

3. ( 上 海 春 卷 11 ) 已 知 a1 , a2 , ?, an ; b1 , b2 , ?, bn (

L2 ? b2 ? b3 ?? ? bn , ? ,Ln ? bn . 某人用右图分析得到恒等式: a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? a1L1 ? c2 L2 ? c3 L3

??

?ck Lk
a3 a1 a2 b3
......

an-1

an

?? ? cn Ln ,

o
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b1 b2

bn-1 bn

x

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则 ck ? (二)解答题 1. (全国Ⅰ卷理 22)设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) . (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, (Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; 1) 是增函数; (Ⅲ)设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥ 【解析】

(2 ? k ? n) .【答案】 ak ? ak ?1 .

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

解:⑴由f '(x)=1-ln x-1=-ln x ∵x ? ? 0,1? ,∴ln x<0,∴-ln x>0 ∴f '(x)>0在(0,1)内恒成立 ∴f(x)在区间(0,1)内是增函数。

⑵应用数学归纳法证明: 当n=1时,∵0<a1 <1, ∴ln a1 <0, ∴-a1 ln a1 >0, ∴a 1-a 1 ln a 1 >0 ∵f(x)在(0,1)内为增函数 假设n=k时, 0<a k <1,成立, ∴0<a k+1 <1,    综上   0<a n<1 成立 再由a n+1-a n =a n-a n ln a n-a n =-a n ln a n >0,∴a n+1 >a n ∴0<a n <a n+1 <1成立。 ∴0<a 2 =f(a1 )<f(1)=1 ∴成立 ∴ a k-a k ln a k >0

∴n=k+1时,a k+1 =f(a k )<f(1)=1

⑶ ①若存在m ? k,但a m ? b,则由第⑵问可知a k+1 >a k >a m >b,∴成立 ②若a m <b,则 ln a m < ln b ∴a1 ln a m <a1 ln b ∴-a1 ln a k >-a1 ln b a k >a1 ,及lna k <0, ∴-a k lna k >-a1lna k ∴-a k lna k >-a1lna k >-a1 ln b 而a k >a1 ,     由递推关系  a k+1 =a k-a k ln a k =a k-1-a k-1 ln a k-1-a k ln a k =a k-2-a k-2 ln a k-2-a k-1 ln a k-1-a k ln a k      =…=a1-a1 ln a1-a 2 ln a 2-…-a k-1 ln a k-1-a k ln a k >a1-ka1 ln b 而由条件:k ? a1-b 注意到a1 ln b<0,∴ka1 ln b ? a1-b,∴-ka1 ln b>-a1 +b a1 ln b

∴a k+1 >a1-ka1 ln b>a1-a1 +b=b 综上两种情况,无论a m 与b什么关系,均得a k+1 >b。
2.天津理(22)在数列 ?a n ?与 ?bn ?中, a1 ? 1, b1 ? 4 ,数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 满足

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(Ⅱ)求数列 ?a n ?与 nSn?1 ? ?n ? 3?S n ? 0 , 2a n ?1 为 bn 与 bn ?1 的等比中项, n ? N * .(Ⅰ)求 a2 , b2 的值;
a a (Ⅲ)设 Tn ? ?? 1? b1 ? ?? 1? ?bn ?的通项公式;
1 2

b2 ? ? ? ?? 1? n bn , n ? N * .证明 Tn ? 2n 2 , n ? 3 .
a

(Ⅰ)解: 由题设有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 0 ,a1 ? 1 , 解得 a2 ? 3 . 由题设又有 4a22 ? b2b1 ,b1 ? 4 ,解得 b2 ? 9 . (Ⅱ) 解法一: 由题设 nSn?1 ? (n ? 3)Sn ? 0 , 及 a2 ? 3 , 进一步可得 a3 ? 6 , a1 ? 1 , b1 ? 4 , b3 ? 16 , b2 ? 9 ,

a4 ? 10 , b4 ? 25 ,猜想 an ?
当 n ? 1 时, a1 ?

1? (1 ? 1) ,等式成立.当 n ? 2 时用数学归纳法证明如下: 2 2 ? (2 ? 1) k (k ? 1) (1 当 n ? 2 时, a2 ? ,等式成立. (2)假设 n ? k 时等式成立,即 ak ? ,k ? 2. 2 2
由题设, kSk ?1 ? (k ? 3) Sk

n(n ? 1) n(n ? 1) * * , bn ? (n ? 1)2 , n ? N .先证 an ? ,n? N . 2 2

(k ?1)Sk ? (k ? 2)Sk ?1
①的两边分别减去②的两边,整理得 kak ?1 ? (k ? 2)ak ,从而

ak ?1 ?

k ?2 k ? 2 k (k ? 1) (k ? 1)[(k ? 1) ? 1] ak ? ? ? . k k 2 2

这就是说,当 n ? k ? 1 时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式 an ? 综上所述,等式 an ?

n(n ? 1) n(n ? 1) * 对任何的 n ? N 都成立 an ? 2 2
*

n(n ? 1) 对任何的 n ? 2 成立. 2

再用数学归纳法证明 bn ? (n ? 1)2 , n ? N . (1)当 n ? 1 时, b1 ? (1 ? 1)2 ,等式成立. (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 bk ? (k ? 1)2 ,那么

bk ?1 ?

4ak ?12 (k ? 1)2 (k ? 2)2 ? ? [(k ? 1) ? 1]2 . bk (k ? 1)2
*

这就是说,当 n ? k ? 1 时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式 bn ? (n ? 1)2 对任何的 n ? N 都成立. 解法二: 由题设 nSn?1 ? (n ? 3)Sn

(n ?1)Sn ? (n ? 2)Sn?1
①的两边分别减去②的两边,整理得 nan?1 ? (n ? 2)an , n ? 2 .所以

2a3 ? 4a2 , 3a4 ? 5a3 ,??

(n ?1)an ? (n ? 1)an?1 , n ? 3 .
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将以上各式左右两端分别相乘,得 ( n ? 1)! an ? 由(Ⅰ)并化简得 an ?

n(n ? 1) n(n ? 1) a2 ? , n ? 3 .此式对 n ? 1, 2 也成立. 6 2

(n ? 1)! a2 , 6

由题设有 bn?1bn ? 4an?12 ,所以 bn?1bn ? (n ? 2)2 (n ? 1)2 ,即

bn b ? n ?1 2 ? 1 , n ? N * . 2 (n ? 1) (n ? 2)
2

令 xn ?

bn bn 1 , 则 xn xn?1 ? 1 , 即 xn ?1 ? . 由 x1 ? 1 得 xn ? 1 ,n ? 1 . 所以 即 bn ? (n ? ? 1, 1 ) 2 (n ? 1) (n ? 1) 2 xn



n ? 1.

??n ? 3, ? 2 ??n ? 3n ? 3, 所以 Tn ? ? ?n, ?n 2 ? 3n, ?

n ? 4k ? 3 n ? 4k ? 2 , k ? N *. n ? 4k ? 1 n ? 4k

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?1 3 ? n ? n 2 ? 2, ? ?1 ? 3 ? 3 ? 2, | T | ? n n2 从而 n ? 3 时,有 n ?? n2 ? 1 ? 2, ?n ? 3 ?1 ? ? 2, ? n
总之,当 n ? 3 时有

n ? 5,9,13,? n ? 6,10,14,? n ? 3, 7,11,? n ? 4,8,12,?

| Tn | ? 2 ,即 | Tn |? 2n2 . 2 n

3 3 安徽理(21) . (本小题满分 13 分)设数列 ?an ? 满足 a0 ? 0, an?1 ? can ? 1 ? c, c ? N * , 其中c 为实数

(Ⅰ)证明: an ?[0,1] 对任意 n ? N 成立的充分必要条件是 c ? [0,1] ; (Ⅱ)设 0 ? c ?
*

1 ,证明: 3

1 2 2 2 ? ? an ? n ?1? ,n? N* an ? 1 ? (3c)n?1, n ? N * ;(Ⅲ)设 0 ? c ? ,证明: a12 ? a2 3 1 ? 3c
解 (1) 必要性 :∵a1 ? 0,∴a2 ? 1 ? c ,
*

又 ∵a2 ?[0,1],∴0 ? 1 ? c ? 1 ,即 c ? [0,1]

充分性 :设 c ? [0,1] ,对 n ? N 用数学归纳法证明 an ?[0,1] 当 n ? 1 时, a1 ? 0 ?[0,1] .假设 ak ?[0,1]( k ? 1)
3 3 则 ak ?1 ? cak ? 1 ? c ? c ? 1? c ? 1,且 ak ?1 ? cak ? 1 ? c ? 1 ? c ?? 0

∴ak ?1 ?[0,1] ,由数学归纳法知 an ?[0,1] 对所有 n ? N * 成立
(2) 设 0 ? c ?

1 ,当 n ? 1 时, a1 ? 0 ,结论成立 3

3 2 当 n ? 2 时, ∵an ? can ?1 ? 1 ? c,∴1 ? an ? c(1 ? an?1 )(1 ? an?1 ? an?1 )

∵0 ? C ?

1 2 ,由(1)知 an?1 ?[0,1] ,所以 1 ? an?1 ? an ?1 ? 3 且 1 ? an ?1 ? 0 3

∴1 ? an ? 3c(1 ? an?1 )

∴1 ? an ? 3c(1 ? an?1 ) ? (3c)2 (1 ? an?2 ) ? ? ? (3c)n?1 (1 ? a1 ) ? (3c)n?1 ∴an ? 1 ? (3c)n?1 (n ? N * )
(3) 设 0 ? c ?

1 2 2 ,当 n ? 1 时, a1 ? 0 ? 2 ? ,结论成立 3 1 ? 3c
n?1

当 n ? 2 时,由(2)知 an ? 1 ? (3c)

?0

2 ∴an ? (1 ? (3c)n?1 )2 ? 1 ? 2(3c)n?1 ? (3c)2( n?1) ? 1 ? 2(3c)n?1

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2 2 2 2 2 n?1 ∴a 2 ] 1 ?a2 ? ? ? an ? a2 ? ?? an ? n ? 1 ? 2[3c ? (3c) ? ?? (3c)

? n ?1?

2(1 ? (3c)n ) 2 ? n ?1? 1 ? 3c 1 ? 3c
3

2 a ? 4 重庆理(22)设各项均为正数的数列{an}满足 a1 ? 2, an ? aa ?1aa ? 2 (n ? N*) .(Ⅰ)若 2

1 ,求 a3,a4, 4

并猜想 a2cos 的值(不需证明) ; (Ⅱ)记 bn ? a3a2 ? ? ? an (n ? N*), 若bn ? 2 2 对 n≥2 恒成立,求 a2 的值及 数列{bn}的通项公式. 解:(Ⅰ)因 a1 ? 2, a2 ? 2?2 , 故 a3 ? a1a2
0 2 2

?

3 2

? 24 , a4 ? a2 a3
3

?

3 2

? 2?8.

由此有 a1 ? 2( ?2) , a2 ? 2( ?2) , a3 ? 2( ?2) , a4 ? 2( ?2) ,故猜想 {an } 的通项为

an ? 2( ?2) (n ? N* ).

n?1

对 n 求和得

5 1 1 1 ? (?2)2 xn ? ( x2 ? 2)(2 ? n?1 ) ? ( x2 ? ) (n ? N* ). ⑦ 2 2 2 3
3 1 , 且由反证假设x2 ? 有 2 2

由题设知 S2 k ?1 ?

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(x2 ? 2)(2 ? 1 1 22 k ?1 ? 1 15 ) ? ( x ? ) ? (k ? N* ). 2 22 k 2 3 4 2 k ?1 1 2 ?1 1 15 1 从而( x2 ? )? ? ( x2 ? 2)(2 ? 2 k ) ? ? 2 x2 ? (k ? N* ). 2 3 2 4 4

3 4 ? 1 对 k ? N*恒成立.但这是不可能的,矛盾. 即不等式 22k+1< 1 x2 ? 2 1 1 1 1 因此 x2 ? ,结合③式知, x2 ? 因此 a2=2*2= 2. 将 x2 ? 代入⑦式得 Sn =2- n ?1 (n ? N*), 2 2 2 2 1 Sn - 所以 bn = 2 =22 2 n ?1 (n ? N*) 6 x2 ?
2007 高考试题及解析 一、选择题:

2.(2007 上海文、理)设 f ( x) 是定义在正整数集上的函数,且 f ( x) 满足: “当 f (k ) ≥ k 2 成立时,总可推
2 出 f (k ? 1) ≥ (k ? 1) 成立” . 那么,下列命题总成立的是( D )

A.若 f (1) ? 1 成立,则 f (10 ) ? 100成立 B.若 f ( 2 ) ? 4 成立,则 f (1) ≥1 成立 C.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥ 1 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 D.若 f ( 4) ≥ 25 成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立

3.(2007 浙江文、理)要在边长为 16 米的正方形草坪 上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个 喷水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面,则需安装 这种喷水龙头的个数最少是( B ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题: 1.(2007 福建理)中学数学中存在许多关系,比如“相等关系” 、 “平行关系”等等,如果集合 A 中元素之间
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的一个关系“ ”满足以下三个条件: (1)自反性:对于任意 a A,都有 a a; (2)对称性:对于 a,b A,若 a b,则有 b a; (3)传递性:对于 a,b,c A,若 a b,b c 则有 a c 则称“ ”是集合 A 的一个等价关系,例如: “数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是等价关系(自 反性不成立) ,请你再列出三个等价关系:___________。 答案不唯一,如“图形的全等” 、 “图形的相似” 、 “非零向量的共线” 、 “命题的充要条件”等等. 2. (2007 广东理)如果一个凸多面体 n 棱锥, 那么这个凸多面体的所有顶点 所确定的

n( n ? 1) 2 直线共有 __ 条 . 这些直线中共有 f ( n) 对异面直线,则 n(n ? 2)( n ? 1) 2 12 ; f ( n) = . (答案用数字或 n 的解析式

f ( 4)
表示)



3. (2007 湖南理)将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图 1 所示的 0-1 三角数表.从上往下数, 第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,?,第 n 次全行的数都为 1 的是 2n ? 1 第 行;第 61 行中 1 的个数是 32 . 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 ?? ??????????????? 图1 5 x 4 天.四道工序的 4.(2007 上海文)某工程由 A,B,C,D 四道工序组成,完成它们需用时间依次为 2,,, 先后顺序及相互关系是: A, B 可以同时开工; A 完成后, C 可以开工; B, C 完成后, D 可以开工.若该工程总时数为 9 天,则完成工序 C 需要的天数 x 最大是 5.(2007 上海文、理)对于非零实数 a,b ,以下四个命题都成立: 3 .

1 ? 0; a ③ 若 | a | ? | b | ,则 a ? ?b ;
① a?

② (a ? b) ? a ? 2ab ? b ;
2 2 2

2 ④ 若 a ? ab ,则 a ? b . 那么,对于非零复数 a,b ,仍然成立的命题的所有序号是 ② ④



1. (2007 北京理)(本小题共 13 分)已知集合 A ? ?a1,a2, , 2, ?,k ) , ?,ak ? (k ≥ 2) ,其中 ai ? Z(i ? 1 由 A 中 的 元 素 构 成 两 个 相 应 的 集 合 : S ? (a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A

三.解答题:

?

?



T ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? .
其中 (a,b) 是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n . 若对于任意的 a ? A ,总有 ? a ? A ,则称集合 A 具有性质 P . (I)检验集合 ?0, , 2, 3? 是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合,写出相应的集合 S 和 T ; 1, 2, 3? 与 ??1 (II)对任何具有性质 P 的集合 A ,证明: n ≤ (I)解:集合 ?0, 1, 2, 3? 不具有性质 P .

k ( k ? 1) ; 2

(III)判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论. 集合 ??1 , 2, 3? 具有性质 P ,其相应的集合 S 和 T 是 S ? ?(?13) ,,, (3 ?1)? ,

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T ? ?(2, ?1),, ?2 3?? .
(II)证明:首先,由 A 中元素构成的有序数对 (ai,a j ) 共有 k 个. 因为 0 ? A ,所以 (ai,ai ) ?T (i ? 1 , 2, ?,k ) ; 又因为当 a ? A 时, ? a ? A 时, ? a ? A ,所以当 (ai,a j ) ?T 时, (a j,ai ) ?T (i,j ? 1 , 2, ?,k ) . 从而,集合 T 中元素的个数最多为 即n≤
2

k ( k ? 1) . 2 (III)解: m ? n ,证明如下: (1)对于 (a,b) ? S ,根据定义, a ? A , b ? A ,且 a ? b ? A ,从而 (a ? b,b) ? T . 如果 (a,b) 与 (c,d ) 是 S 的不同元素,那么 a ? c 与 b ? d 中至少有一个不成立,从而 a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也至少有一个不成立.故 (a ? b,b) 与 (c ? d,d ) 也是 T 的不同元素. 可见, S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数,即 m ≤ n , a? A , b? A, b ? A , (2) 对于 (a,b) ? T , 根据定义, 且a ? 从而 (a ? b,b) ? S . 如果 (a,b) 与 (c,d ) 是 T 的不同元素,那么 a ? c 与 b ? d 中至少有一个不成立,从而 a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也不至少有一个
不成立, 故 (a ? b,b) 与 (c ? d,d ) 也是 S 的不同元素. 可见, T 中元素的个数不多于 S 中元素的个数,即 n ≤ m , 由(1) (2)可知, m ? n . 2 (2007 湖北理) (本小题满分 14 分)已知 m,n 为正整数. (Ⅰ)用数学归纳法证明:当 x>-1 时,(1+x)m≥1+mx;

1 2 k (k ? 1) (k ? k ) ? , 2 2

1 ? 1 m ? ? ? ?1? (Ⅱ)对于 n≥6,已知 ?1 ? ? ? ,求证 ?1 ? ? ? ? ? ,m=1,1,2…,n; 2 ? n ? 3? ? n ? 3? ? 2?
(Ⅲ)求出满足等式 3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n 的所有正整数 n.

n

n

m

1 1 2 2 n 3 1 1 2 1 1 ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ? ( ) ? ? ? ( )n ? 1 ? n n?3 n?3 n?3 2 2 2 2 ? 1, n?2 n n ?1 n 3 n ?( ) ?( ) ??? ( ) ? 1, n?3 n?3 n?3 即3n ? 4n ? ? ? (n ? 2) n ? (n ? 3) n ,即当 n ? 6时,不存在满足该等式 的正整数 n. (1 ?
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1 m 1 ? 1 m? 1 (Ⅱ)证:当 n ? 6, m ? n时, ? (1 ? ) ? ,? ?(1 ? ) ? ? ( )m , n?3 2 ? n?3 ? 2 1 m m ) ?1? 而由(Ⅰ) , (1 ? n?3 n?3 m n ? 1 m? 1 ? (1 ? ) ? ?(1 ? ) ? ? ( )m . n?3 n?3 ? 2 ? n n (Ⅲ)解:假设存在正整数 n0 ? 6使等式3n0 ? 4n0 ? ? ? (n0 ? 2) 0 ? (n0 ? 3) 0 成立,
即有(
n

n

4 n0 n ? 2 n0 3 0 )+ ( ) ??? ( 0 ) =1. n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3
n

n



又由(Ⅱ)可得

4 n0 n ? 2 n0 n n ?1 3 0 )+ ( ) ??? ( 0 ) ? (1 ? 0 )n0 ? (1 ? 0 ) n0 ? ? n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3 1 n0 1 1 1 1 + (1 ? ) ? ( )n0 ? ( )n0 ?1 ? ? ? ? 1 ? n0 ? 1, 与②式矛盾, n0 ? 3 2 2 2 2
( 故当 n≥6 时,不存在满足该等式的正整数 n.

【两年模拟】 08 名校模拟题及其答案
1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○?,按这种规律往下排, 那么第 36 个圆的颜色应是 .答案 白色 n-1 2.数列 1,2,4,8,16,32,?的一个通项公式是 .答案 an=2 3.已知 a1=3,a2=6,且 an+2=an+1-an,则 a33 为 .答案 3 4.下面使用类比推理恰当的是 . ①“若 a·3=b·3,则 a=b”类推出“若 a·0=b·0,则 a=b” ②“(a+b)c=ac+bc”类推出“
a?b a b = + ” c c c a?b a b n n n n n n = + (c≠0)”④“ (ab) =a b ”类推出“(a+b) =a +b ” c c c

③“(a+b)c=ac+bc”类推出“ 答案 ③

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5.一切奇数都不能被 2 整除,2 +1 是奇数,所以 2 +1 不能被 2 整除,其演绎推理的“三段论”的形式 为 . 答案 一切奇数都不能被 2 整除, 大前提 100 2 +1 是奇数, 小前提 100 所以 2 +1 不能被 2 整除. 结论 6.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 条件.答案 充分 7.若 a>b>0,则 a+
1 b
100 100

b+

1 .(用“>”,“<”,“=”填空)答案 a

> (填序号).

8.要证明 3 + 7 <2 5 ,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是

①反证法 ②分析法 ③综合法答案 ② 2 9.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、c 中至少有一 个是偶数时,下列假设中正确的是 . ①假设 a、b、c 都是偶数 ②假设 a、b、c 都不是偶数 ③假设 a、b、c 至多有一个偶数 ④假设 a、b、c 至多有两个偶数 答案 ② 10.设 a、 b、 c∈ (0, +∞) , P=a+b-c, Q=b+c-a, R=c+a-b, 则 “PQR>0” 是 “P、 Q、 R 同时大于零” 的 条 件. 答案 充要 11.用数学归纳法证明: “1+a+a +?+a =
2 2 n+1

1 ? a n? 2 (a≠1)”在验证 n=1 时,左端计算所得的项为 1? a

.

答案 1+a+a 12.如果命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+1 也成立,现已知 P(n)对 n=4 不成立,则下列结论正确的 是 (填序号). * * * ①P(n)对 n∈N 成立②P(n)对 n>4 且 n∈N 成立③P(n)对 n<4 且 n∈N 成立④P(n)对 n≤4 且 n∈ * N 不成立 答案 ④ 13.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n =
2 2 2 2

n4 ? n2 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上 2
2

.

答案 (k +1)+(k +2)+(k +3)+?+(k+1) 14.已知 f(n)=

1 1 1 1 + + +?+ 2 ,则下列说法有误的是 n ?1 n ? 2 n n

.
1 1 1 + + 2 3 4 1 1 1 + + 2 3 4

①f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + ②f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)=
2

1 2

1 3

③f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= + ④f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)=
答案 答案 ①②③
n n

1 2

1 3

2

15.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,x +y 能被 x+y 整除” ,在第二步时, 假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立

.

2009 名校模拟题及其答案
一、填空题

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黄金试题
1.由
7 5 9 8 13 9 b?m b > , > , > ,?若 a>b>0,m>0,则 与 之间的大小关系为 a?m a 10 8 11 10 25 21
b?m b > a?m a
2

.

答案

2.已知 a1=1,an+1>an,且(an+1-an) -2(an+1+an)+1=0,猜想 an 的表达式为 2 答案 an=n 3.已知 f(x)=x
2 008

.

+ax

2 007

x

b
2 009

-8,f(-1)=10,则 f(1)=

.

答案 -24 4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ① “mn=nm” 类比得到 “a· b=b· a” ; ② “ (m+n) t=mt+nt” 类比得到 “(a+b)· c=a· c+b· c” ; ③ “(m· n)t=m(n· t)” 类比得到“ (a ·b ) ·c=a · (b ·c ) ” ;④“ t≠ 0,mt=xt ? m=x ”类比得到“p ≠0,a ·p=x ·p ? a=x ” ;⑤ “|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|” ;⑥“
ac a a?c a = ”类比得到“ = ”. bc b b?c b

以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是 . 答案 2 5.下列推理是归纳推理的是 (填序号).①A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 2 2 2 的轨迹为椭圆②由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式③由圆 x +y =r 的面 积 ? r ,猜想出椭圆
2

x2 a2

?

y2 b2

=1 的面积 S= ? ab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

答案 ② 6.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5), (2,4),?则第 60 个数对是 . 答案 (5,7) 7.在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比
AE AC = ,把这个结论类比到空间:在三棱锥 EB BC

A—BCD 中 (如图所示) , 而 DEC 平分二面角 A—CD—B 且与 AB 相交于 E, 则得到的类比的结论是

.

答案

AE S ?ACD = EB S ?BCD

8.现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶 点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为
a2 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体, 4

其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为

.

答案

a3 8

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二、解答题 9.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比,试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性 质. 解 如图所示,

由平行四边形的性质可知 AB=DC,AD=BC, 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, 我们猜想:S ? ABCD =S ? A1B1C1D1 ,S ? ADD1 A1 =S ? BCC1B1 ,S ? ABB1 A1 =S ? CDD1C1 , 且由平行六面体对面是全等的平行四边形知,此猜想是正确的. 10.已知梯形 ABCD 中,AB=DC=AD,AC 和 BD 是它的对角线.用三段论证明:AC 平分∠BCD,BD 平分∠CBA. 证明 (1)两平行线与第三直线相交,内错角相等(大前提) ∠BCA 与∠CAD 是平行线 AD,BC 被 AC 所截内错角(小前提) 所以,∠BCA=∠CAD(结论) (2)等腰三角形两底角相等(大前提) △CAD 是等腰三角形,DA=DC(小前提) 所以,∠DCA=∠CAD(结论) (3)等于同一个量的两个量相等(大前提) ∠BCA 与∠DCA 都等于∠CAD(小前提) 所以,∠BCA=∠DCA(结论) (4)同理,BD 平分∠CBA. 11.如图所示,点 P 为斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 BB1 上一点,PM⊥BB1 交 AA1 于点 M,PN⊥BB1 交 CC1 于点 N. 2 2 2 (1)求证:CC1⊥MN; (2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE =DF +EF -2DF·EF·cos∠DFE. 拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧 面所成的二面角之间的关系式,并予以证明. 证明 (1)∵PM⊥BB1,PN⊥BB1,∴BB1⊥平面 PMN.∴BB1⊥MN. 又 CC1∥BB1,∴CC1⊥MN. (2)在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有 S 2 =S 2 +S 2 -2S BCC B S ACC A cos ? . BCC B ACC A ABB A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

其中 ? 为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所成的二面角. 2 2 2 ∵CC1⊥平面 PMN,∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN 中,∵PM =PN +MN -2PN·MNcos∠MNP
2 2 2 ∴PM ·CC 1 =PN ·CC 1 +MN ·CC 1 -2(PN·CC1) · (MN·CC1)cos∠MNP,
2 2 2

由于 S BCC1B1 =PN·CC1,S ACC1 A1 =MN·CC1,S ABB1 A1 =PM·BB1=PM·CC1, ∴S 2 =S 2 +S 2 -2S BCC B ·S ACC A ·cos ? . BCC B ACC A ABB A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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黄金试题

?a(b ? c) ? 1, 当 n=3 时,3a(9b+c)=19.解方程组 ? ?a(4b ? c) ? 3 ?3a(9b ? c) ? 19, ?

1 ? ?a ? 3 , ? 解得 ?b ? 2, ?c ? 1. ? ? ?

证明如下: ①当 n=1 时,由以上知存在常数 a,b,c 使等式成立. * 2 2 2 2 2 2 2 ②假设 n=k(k∈N )时等式成立,即 1 +2 +3 +?+k +(k-1) +?+2 +1 = k(2k +1) ;当 n=k+1 时, 1 +2 +3 +?+k +(k+1) +k +(k-1) +?+2 +1
1 3 1 3 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3

2

= k(2k +1)+(k+1) +k = k(2k +3k+1)+(k+1) = k(2k+1) (k+1)+(k+1) = (k+1) (2k +4k+3) = (k+1) [2(k+1) +1].即 n=k+1 时,等式成立.
2 2

1 3

2

2

1 3

2

因此存在 a= ,b=2,c=1,使等式对一切 n∈N 都成立. 14. 已知 a,b,c 为正实数,a+b+c=1.求证: (1)a +b +c ≥ ;(2) 3a ? 2 + 证明
1 3 1 3
2 2 2

1 3

*

1 3

3b ? 2 + 3c ? 2 ≤6.

(1)方法一
2 2 2 2 2

a +b +c - =
2

2

2

2

1 3

1 1 2 2 2 2 2 2 2 (3a +3b +3c -1)= [3a +3b +3c -(a+b+c) ] 3 3

= (3a +3b +3c -a -b -c -2ab-2ac-2bc) = [(a-b) +(b-c) +(c-a) ]≥0∴a +b +c ≥ . 方法二 ∵(a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc
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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3

黄金试题
≤a +b +c +a +b +a +c +b +c ∴3(a +b +c )≥(a+b+c) =1∴a +b +c ≥ . 方法三 设 a= + ? ,b= + ? ,c= + ? .∵a+b+c=1,∴ ? + ? + ? =0 ∴a +b +c =( + ? ) +( + ? ) +( + ? ) = + ( ? + ? + ? )+ ? + ? + ? = + ? + ? + ? ≥ ∴a +b +c ≥ . (2)∵ 3a ? 2 = (3a ? 2) ? 1 ≤
3a ? 2 ? 1 3a ? 3 3b ? 3 3c ? 3 = ,同理 3b ? 2 ≤ , 3c ? 2 ≤ 2 2 2 2 3(a ? b ? c) ? 9 =6∴原不等式成立. 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

2

1 3
2

2

1 3

2

1 3

2 3

2

2

2

1 3

2

2

2

1 3

2

2

1 3

∴ 3a ? 2 + 3b ? 2 + 3c ? 2 ≤

【一年原创】

2008 和 2009 原创试题及其解析

一、选择题: 1、类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列哪些性质,你认为比 较恰当的是( C ) 。

A.a、b、c 均不为 0; C.a、b、c 至多有一个为 0;

B.a、b、c 中至少有一个为 0; D.a、b、c 至少有一个不为 0。

4、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 的规律拼成若干个图案:则第 n 个图案中 有白色地面砖( A )块. A.4n+2 B.3n+2 C.4n+1 二、填空题: 5、设 m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,则 x 与 y 的大小关系为 6、用数学归纳法证明不等式 答案

D.3n+1 x>y 。
.

1 1 1 13 + +?+ < 的过程,由 n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 n?n 24 n ?1 n ? 2

1 1 1 + 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

7、下列表述:①综合法是执因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接证法; ⑤反证法是逆推法。正确的语句有 3 个。

高考必练

黄金试题

a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②对于任意实数 a,b,c, 有 a*(b*c)=(a*b)*c;③对于任意实数 a,有 a*0=a,则以上结 论正确的是 .(写出你认为正确的结论的所有序号) 答案 ②③ 三、解答题: 10、在数列{an}中, a1 ? 1, 解:在数列{an}中,∵ a1 ? 1,

an?1 ?

2a n 2 ? an 2a n 2 ? an

(n ? N ? ) ,试猜想这个数列的通项公式。 (n ? N ? )

an?1 ?

a1 ? 1 ?

2a3 2a1 2a2 2a 4 2 2 2 2 2 , a2 ? ? , a3 ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? ,? ∴可以猜 2 2 ? a1 2 ? 1 2 ? a2 3 ? 1 2 ? a3 4 ? 1 2 ? a4 5 ? 1

想,这个数列的通项公式是 a n ?

2 。 n ?1

11、若 x, y ? R, x ? 0, y ? 0, 且x ? y ? 2 。求证: 证明:

1? x 1? y 和 中至少有一个小于 2. y x

假设它们都不小于2,则有 则1 ? x ? 2 y,1 ? y ? 2 x 两式相加得: 2 ? x ? y

1+x 1? y ? 2, ?2 y x

与已知矛盾, 故原命题成立.
12、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n an(n∈N ). (1)试求出 S1,S2,S3,S4,并猜想 Sn 的表达式; (2)证明你的猜想,并求出 an 的表达式. (1)解 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2)∴Sn=n (Sn-Sn-1) ,∴Sn= ∵a1=1,∴S1=a1=1.∴S2= ,S3= = ,S4= ,猜想 Sn=
4 3 3 2 6 4 8 5
2 2 *

n2 n 2 ?1

Sn-1(n≥2)

2n * (n∈N ). n ?1

高考必练

黄金试题
(2)证明 ①当 n=1 时,S1=1 成立. ②假设 n=k(k≥1,k∈N )时,等式成立,即 Sk= 当 n=k+1 时,Sk+1=(k+1) ·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+ ∴Sk+1=(k+1) ·ak+1=
2 2 *

2k , k ?1

2k 2 ,∴ak+1= , k ?1 ?k ? 2??k ? 1?

2?k ? 1? 2?k ? 1? = ,∴n=k+1 时等式也成立,得证. k ?2 ?k ? 1? ? 1
*

∴根据①、②可知,对于任意 n∈N ,等式均成立.又∵ak+1=

2 2 ,∴an= . n(n ? 1) (k ? 2)(k ? 1)
2

13 设 a,b,c 为任意三角形三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:I <4S. 2 2 2 2 2 2 2 2 证明 由 I =(a+b+c) =a +b +c +2(ab+bc+ca)=a +b +c +2S, ∵a,b,c 为任意三角形三边长,∴a<b+c,b<c+a,c<a+b, 2 2 2 2 2 2 ∴a <a(b+c),b <b(c+a),c <c(a+b)即(a -ab-ac)+(b -bc-ba)+(c -ca-cb)<0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴a +b +c -2(ab+bc+ca)<0∴a +b +c <2S∴a +b +c +2S<4S.∴I <4S. 2 * 14 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n an(n∈N ). (1)试求出 S1,S2,S3,S4,并猜想 Sn 的表达式; (2)证明你的猜想,并求出 an 的表达式. (1)解 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2)∴Sn=n (Sn-Sn-1) ,∴Sn= ∵a1=1,∴S1=a1=1.∴S2= ,S3= = ,S4= ,猜想 Sn=
4 3 3 2 6 4 8 5
2

n2 n 2 ?1

Sn-1(n≥2)

2n * (n∈N ). n ?1
*

(2)证明 ①当 n=1 时,S1=1 成立.②假设 n=k(k≥1,k∈N )时,等式成立,即 Sk= 当 n=k+1 时,Sk+1=(k+1) ·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+ ∴ak+1=
2

2k , k ?1

2k , k ?1

?k ? 2??k ? 1?

2

,∴Sk+1=(k+1) ·ak+1=

2

2?k ? 1? 2?k ? 1? = , k ?2 ?k ? 1? ? 1
*

∴n=k+1 时等式也成立,得证.∴根据①、②可知,对于任意 n∈N ,等式均成立. 又∵ak+1=
2 2 ,∴an= . n(n ? 1) (k ? 2)(k ? 1)

【考点预测】

2010 高考预测

本部分内容主要包括:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法(理科)等内容,其 中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、 填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方 面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小;预计 2010 年高考将会有较多题目用到推理 证明的方法 复习建议 推理证明题主要和其它知识结合到一块,属于知识综合题,解决此类题目时要建立合理的解题思路;

【母题特供】每个专题 5 道最典型试题
母题一: 金题引路:在数列{an}中,a1=1,an+1= 确吗?说明理由. 解 在{an}中,a1=1,a2=
2a3 2a1 2a 2 2 1 2 2 = ,a3= = = ,a4= = ,?, 2 ? a1 3 2 ? a2 2 4 2 ? a3 5
高考必练

2a n * ,n∈N ,猜想这个数列的通项公式是什么?这个猜想正 2 ? an

黄金试题
所以猜想{an}的通项公式 an= 证明如下:因为 a1=1,an+1= 所以数列 ? 所以
2 .这个猜想是正确的. n ?1

2a n 2 ? an 1 1 1 1 1 1 ,所以 = = + ,即 = , 2 ? an an?1 2a n an 2 an?1 a n 2

? 1 ? 1 1 =1 为首项, 为公差的等差数列, ? 是以 a 2 a ? n? 1

1 1 1 2 1 =1+ (n-1)= n+ ,所以通项公式 an= . n ?1 2 2 2 an

母题二: 金题引路:已知 O 是△ABC 内任意一点,连结 AO、BO、CO 并延长交对边于 A′,B′,C′,则
OA' OB' OC ' + + =1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”. AA' BB ' CC '
OA' OB' OC ' S ?OBC S ?OCA S ?OAB S ?ABC + + = + + = =1,请运用类比思想,对于空间中的四面体 V—BCD,存在 AA' BB ' CC ' S ?ABC S ?ABC S ?ABC S ?ABC

什么类似的结论?并用体积法证明. 证明 在四面体 V—BCD 中,任取一点 O,连结 VO、DO、BO、CO 并延长分别交四个面于 E、F、G、H 点. 则
OE OF OG OH + + + =1.在四面体 O—BCD 与 V—BCD 中: VE DF BG CH

1 S ?h OE h1 3 ?BCD 1 VO? BCD OF VO?VBC OG VO?VCD OH VO?VBD = = = .同理有: = ; = ; = , 1 VE DF BG CH VC ?VBD h V V V V ? BCD D?VBC B ?VCD S ?BCD ? h 3



OE OF OG OH VO?BCD ? VO?VBC ? VO?VCD ? VO?VBD VV ? BCD + + + = = =1. VE DF BG CH VV ?BCD VV ? BCD

母题三: 金题引路:设 a,b,c>0,证明: 证明

a2 b2 c2 ≥a+b+c. ? ? b c a c2 a2 b2 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c. a b c

∵a,b,c>0,根据基本不等式,有

三式相加:

a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + +a+b+c≥2(a+b+c).即 + + ≥a+b+c. a a b c b c
? a ?? b?
4

25 1 ?? 1? 母题四: 金题引路:已知 a>0,b>0,且 a+b=1,试用分析法证明不等式 ? . ? a ? ?? b ? ? ≥

证明

25 25 a2 ? b2 ?1 1 ?? 1? 要证 ? ,只需证 ab+ ≥ , ? a ? ?? b ? ? ≥

?

a ??

b?

4

ab

4

只需证 4(ab) +4(a +b )-25ab+4≥0,只需证 4(ab) +8ab-25ab+4≥0, 只需证 4(ab) -17ab+4≥0,即证 ab≥4 或 ab≤ ,只需证 ab≤ ,
1 25 1 ?? 1? 而由 1=a+b≥2 ab ,∴ab≤ 显然成立,所以原不等式 ? 成立. ? a ? ?? b ? ? ≥ 4
2

2

2

2

2

1 4

1 4

?

a ??

b?

4

母题五、金题引路:已知等差数列{an}的公差 d 大于 0,且 a2,a5 是方程 x -12x+27=0 的两根,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn=1- b n .(1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,试比较 与 Sn+1 的大小,并说明理由. 解 (1)由已知得 ?
?a 2 ? a 5 ? 12 ,又∵{an}的公差大于 0,∴a5>a2,∴a2=3,a5=9. ?a 2 a 5 ? 27

2

1 2

1 bn

高考必练

黄金试题
∴d=
a5 ? a 2 3

=

9?3 1 2 1 =2,a1=1.∴an=2n-1.∵Tn=1- bn,∴b1= ,当 n≥2 时,Tn-1=1- bn-1, 3 2 3 2

∴bn=Tn-Tn-1=1- bn-(1- bn-1),化简,得 bn= bn-1,∴{bn}是首项为 ,公比为 的等比数列, 即 bn= · ? ? (2)∵Sn= 以下比较
2 3
?1? ?3?
n ?1

1 2

1 2

1 3

2 3

1 3

=

2 3
n

,∴an=2n-1,bn=

2 3n

.

n[1 ? (2n ? 1)] 2 1 3n 2 =n ,∴Sn+1=(n+1) , = . 2 bn 2

1 与 Sn+1 的大小: bn 1 3 1 1 9 1 = ,S2=4,∴ <S2,当 n=2 时, = ,S3=9,∴ <S3, b2 b2 2 b1 2 b1
27 1 1 = ,S4=16,∴ <S4, 2 b3 b3

当 n=1 时, 当 n=3 时, 当 n=4 时,

1 81 1 1 = ,S5=25,∴ >S5.猜想:n≥4 时, >Sn+1. 2 b4 b4 bn 1 3k 2 >Sk+1,即 >(k+1) . bk 2

下面用数学归纳法证明:①当 n=4 时,已证. ②假设当 n=k (k∈N ,k≥4)时, 那么 n=k+1 时,
2 2 *

1 bk?1

=

3k?1 3k 2 2 =3· >3(k+1) =3k +6k+3 2 2
2

=(k +4k+4)+2k +2k-1>[(k+1)+1] =S(k+1)+1, ∴n=k+1 时,
1 >Sn+1 也成立. bn

由①②可知 n∈N ,n≥4 时,

*

1 >Sn+1 都成立 bn

综上所述,当 n=1,2,3 时,

1 1 <Sn+1,当 n≥4 时, >Sn+1. bn bn

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