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2-2-3线面和面面平行的性质定理


直线和平面平行 平面与平面平行

的性质

试问一:
1. 空间直线与平面的位置关系有那几种? 2. 如何判定直线与平面平行? 3. 如果直线与平面平行,那么这条直线与 这个平面内的直线的位置关系如何? 4. 设 a∥α,a ? β,α∩β=b,a与b关系如何?

a b
α

c

一、直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线就和两个平面的交线平行.
图形符号表示为: 数学符号表示为:
? a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b

β α

a
b

线面平行的性质定理的证明: 已知 a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b, 求证 : a // b β

a b

证明 : ?? ? ? ? b ?b ? ? α 又? a // ? , ? a ? ? ? ? ?a ? b ? ? 又? a ? ? , b ? ? , ? a // b

注意:在线面平行的性质定理中: “线面平行”推出“线线平行”。对比 线面平行的判定定理中:“线线平行” 推出“线面平行”。要注意区分清楚 条件和结论。 线线平行 ? 线面平行
判定定理: 性质定理:

a // b ? ? a ? ? ? ? a // ? ? b ???

a // ? ? ? a?? ? ? a // b ? ? ? ? ? b?

例1、如图的一块木料,棱BC平行于面A’C’.
(1)要经过面A’C’内的一点P和棱BC将木料锯开, 应如何画线? (2)所画的线与平面AC是何关系? D’ F C’ 解:(1)在面A’C’内过P作 E P B’ A’ EF∥B’C’,交A’B’、D’C’ D C 于E、F。连结BE、FC。EF、 A B BE、CF为所求。
(2)∵BC∥面A’C’,面BC’∩面A’C’=B’C’, ∴BC∥B’C’,又EF∥B’C’ ;∴ EF∥BC。

EF // BC , EF ? 面AC , BC ? 面AC ? EF // 面AC

例2、已知平面外的二条平行直线中的一条 平行于这个平面,求证:另一条也平行于 这个平面。 已知:a∥b,a∥α,求证: b∥α。 解:过a作平面β,使 β α∩β=c。 b
c ? a // ? , a ? ? , ? ? ? ? c α ? a // c ? a // b,? b // c, 又b ? ? , c ? ? ,? b // ? a

试问二:
1. 空间两平面的位置关系有那几种? 2. 如何判定平面与平面平行? 3.如果两个平面平行,那么在其中一个平面内的
一条直线与另一个平面的位置关系如何?

4. 设 α∥β ,α∩γ=a, β∩γ=b,则a与b关系如 何?a与平面β关系如何?

β
α

a

γb

二、面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平 面相交,那么它们的交线平行。 图形符号表示为: 数学符号表示为:

β

a

γb α

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

面面平行的性质定理的证明:
已知:α∥β, α∩γ=a,β∩γ=b, 求证:a∥b。 a 证明: β

?? ? ? ? a , ? ? ? ? b γb ?a ? ?,b ? ? α 又 ?? // ? , ? ? ? ? ? ?, ? a ? b ? ? 又 ? a, b ? ? , ? a // b

性质定理2:两个平面平行,其中一个平面 内的直线一定平行于另一个平面。

? // ? , a ? ? ? a // ?
注意:
两个平行平面内的所有直线并不一定 相互平行,它们可能是平行直线,也可能 c 是异面直线。 a

β

γb α

例3、求证:夹在两个平行平面的平行线段 相等。 已知:α∥β,AB∥CD且B,C∈α, A,D∈β 求证: AB=CD。 D 解:∵AB∥CD, βA ∴AB,CD确定平面γ。 γ C ∴γ∩α=BC,γ∩β=AD, α B 又∵α∥β,∴AD∥BC, 又∵AB∥CD, ∴ABCD为平行四边形; ∴AB=CD.

例4、已知:如图, ? ? ? ? l ,

a ?? ,

b??
解:

且a//b,求证:a//l, b//l.

? a // b, a ? ? , b ? ? ? a // ? , a 又? a ? ? , ? ? ? ? l ? ? a // l , 又已知 a // b ? b // l , a // l

l
b
?

例5、已知:α∥β∥γ,l 交α,β,γ于 A,B,C,m交α,β,γ于D,E,F。
求证:
AB DE ? BC EF

l

m

解:连结CD,CD∩β=G 连结AD,BG,GE,CF。
? // ? , 面ACD ? ? ? AD, 面ACD ? ? ? BG
AB DG ? AD // BG ? ? BC GC
DE DG 同理 : ? EF GC AB DE ? ? CD EF

?
?
?
C
B

A

D
E

G

F

练习、P61 作业:P62:A5、A6 P63:B2、B3。


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