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高考数学总复习 6-3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 苏教版_图文

第 3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 【知识梳理】 1.二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系 中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,把直线 画成虚线,以表示区域不包括边界直线;当在平面直角坐标系中画 不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域时,区域应包括边界直线, 则把边界直线画成实线. (2)二元一次不等式表示平面区域的确定方法 直线定界,特殊点定域 在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0(注意实虚),在这 条直线一侧任取一点P(x0,y0),将其坐标代入Ax+By+C中求值, 若Ax0+By0+C>0,则包含此点的半平面即为不等式Ax+By+C> 0所表示的平面区域,不含P点的半平面为不等式Ax+By+C<0所 表示的平面区域. 注意:当C≠0时,常把原点作为特殊点P;当C=0时,直线过 原点,经常取坐标轴上一点作为P点,如(1,0)或(0,1). 2.线性规划的有关概念 名称 约束条件 意义 由变量 x,y 组成的不等式组 线性约束条件 由 x, y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等 线性目标函数 关于 x,y 的一次解析式 可行解 可行域 最优解 满足线性约束条件的解 (x,y) 所有可行解组成的 集合 使目标函数取得 最大值 或最小值 的 可行解 在线性约束条件下求线性目标函 数的 最大值 或 最小值 问题 线性规划问题 3.解决线性规划问题的一般步骤 (1)认真审题分析,设出未知数,写出线性约束条件和目标函 数. (2)作出可行域. (3)作出目标函数对应的直线l. (4)在可行域内平行移动直线,从图中能判定问题有唯一最优 解,或是有无穷最优解或无最优解. (5)求出最优解,从而得到目标函数的最值. 4.最优解的确定方法 最优解可有两种确定方法: (1)将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点便 是最优解; (2)利用围成可行域的直线的斜率来判断,若围成可行域的直线 l1,l2,…,ln的斜率分别为k1<k2<…<kn,而且目标函数的直线的 斜率为k,则当ki<k<ki+1时,直线li与li+1相交的点一般是最优解. 【基础自测】 1 . (2011· 高 考 湖 北 卷 ) 直 线 2x + y - 10 = 0 与 不 等 式 组 ? ?x≥0, ?y≥0, ? ?x-y≥-2, ? ?4x+3y≤20 表示的平面区域的公共点有________个. 解析:直线 2x+y-10=0 与不等式组表示的平面区域的位置关 系如图所示,故直线与此区域的公共点有 1 个. 答案:1 ?x≥0, ? 2.(2012· 高考安徽卷)若x,y满足约束条件 ?x+2y≥3, ? ?2x+y≤3, x-y的最小值是________. 则z= 解析:可行域为如图所示的阴影部分,可知z=x-y在点A(0,3) 处取得最小值,∴zmin=-3. 答案:-3 3. (2012· 高考福建卷 )若直线 y= 2x 上存在点 (x, y)满足约束条 ?x+ y-3≤0, ? 件?x- 2y- 3≤ 0, 则实数 m 的最大值为________. ? ?x≥ m, 解析:如图所示: ?x+ y-3≤0, ? 约束条件?x- 2y- 3≤ 0, 表示 ? ? x≥ m 的可行域如阴影部分所示.当直线 x= m 从如图所示的实线位置运动到过 A 点的位置时,m 取最大值.解 ? ?x+ y- 3= 0, 方程组? ? ?y= 2x 得 A 点坐标为 (1,2),∴ m 的最大值是 1. 答案: 1 4.(2012· 高考广东卷)已知变量x,y满足约束条件 ?x+y≤1 ? ?x-y≤1 ,则z=x+2y的最小值为________. ? ?x+1≥0 答案:-5 5.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式 2x+y<3表示的平面区域内,则m=________. |4m-3×3+1| 解析:由点到直线的距离公式得 2 2 =4, 4 +?-3? |m-2| 即 =1, 5 ∴m=7或m=-3, 又∵2m+3<3 即m<0, ∴m=-3. 答案:-3 考向一 二元一次不等式表示的平面区域 ?x≥0, ? 若 a≥0,b≥0,且当?y≥0, 时,恒有 ax+by≤1,则 ? ?x+y≤1 以 a,b 为坐标的点 P(a,b)所形成的平面区域的面积等于________. ?x≥0, ? 【解析】 满足?y≥0, 的点(x,y) ? ?x+y≤1 的可行域如图①所示, 图① 若a≥0,b≥0,恒有ax+by≤1,则1-by≥ax≥0恒成立, ?1? 1 ∴by≤1,即b≤y 恒成立,而当y∈(0,1]时,?y ?min=1. ? ? ∴0≤b≤1,同理可得0≤a≤1. ∴P(a,b)所形成的平面区域如图②,故所形成的面积为1. 图② 【答案】 1 【点评】 ①不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的 平面点集的交集,即是各个不等式所表示的平面区域的公共部分; ②本题的解题关键是借助x,y所满足的线性约束条件及ax+ by≤1恒成立确定a,b的取值范围,即a,b所满足的线性约束条 件,在这里将恒成立问题通过分离变量,转化为a≤f(x),只需 a≤f(x)min使问题获得解决; ③注意本题中以(x,y)为坐标的点和以(a,b)为坐标的点位于两 个完全不同的坐标系,不可混淆. ?0≤x≤2, ? 1.已知关于 x,y 的不等式组?x+y-2≥0, 所表示的平面区 ? ?kx-y+2≥0 域的面积为 4,则 k 的值为________. 解析:其中平面区域 kx-y+2≥0 是 含有坐标原点的半平面.直线 kx-y+2= 0 又过定点(0,2),这样就可

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