当前位置:首页 >> 数学 >>

吉林省实验中学2013届高三数学第二次模拟考试试题 文(含解析)新人教A版


吉林省实验中学 2013 年高考数学二模试卷(文科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 2 1. 分)已知全集 U=R,若函数 f(x)=x ﹣3x+2,集合 M={x|f(x)≤0},N={x|f′(x) (5 <0},则 M∩CUN=( ) A. B. C. D.

考点: 交、并、补集的混合运算;导数的运算.. 专题: 计算题. 分析: 先求出函数的导数后, 解两个不等式化简集合 M、 后求补集 CUN, N, 最后求交集 M∩CUN 即得. 2 解答: 解:∵f(x)=x ﹣3x+2, ∴f′(x)=2x﹣3, 2 由 x ﹣3x+2≤0 得 1≤x≤2, 由 2x﹣3<0 得 x< , ∴CUN=[ ,+∞) , ∴M∩CUN= .

故选 A. 点评: 这是一个集合与导数、不等式交汇的题,本小题主要考查集合的简单运算.属于基础 题之列. 2. 分)若点 P(cosα ,sinα )在直线 y=﹣2x 上,则 sin2α +2cos2α 的值是( (5 A. B. C.﹣2 D. ﹣ ﹣ )

考点: 同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦;二倍角的余弦.. 专题: 计算题. 分析: 点在线上,点的坐标适合方程,得到 sinα =﹣2cosα ,利用二倍角公式化简 sin2α +2cos2α ,可得结果. 解答: 解:∵点 P 在 y=﹣2x 上, ∴sinα =﹣2cosα , 2 ∴sin2α +2cos2α =2sinα cosα +2(2cos α ﹣1) 2 2 =﹣4cos α +4cos α ﹣2=﹣2. 故选 C 点评: 本题考查同角三角函数基本关系的运用,二倍角的正弦,二倍角的余弦,考查计算能 力,是基础题.

3. 分)式子 (5

的值为(



1

A.

B.

C.

D.2

考 二倍角的余弦;二倍角的正弦.. 点: 专 三角函数的求值. 题: 分 析: 利用二倍角的余弦、正弦公式,把要求的式子化为 解 解:∵式子 答: = =

,从而得到结果.

=

=



故选 B. 点 本题主要考查二倍角的余弦、正弦公式的应用,属于基础题. 评: 4. 分)将直线 2x﹣y+λ =0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x +y +2x﹣4y=0 相 (5 切,则实数 λ 的值为( ) A.﹣3 或 7 B.﹣2 或 8 C.0 或 10 D.1 或 11 考点: 直线与圆的位置关系.. 专题: 计算题. 分析: 根据直线平移的规律,由直线 2x﹣y+λ =0 沿 x 轴向左平移 1 个单位得到平移后直线 的方程,然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的 距离公式列出关于 λ 的方程,求出方程的解即可得到 λ 的值. 2 2 解答: 解:把圆的方程化为标准式方程得(x+1) +(y﹣2) =5,圆心坐标为(﹣1,2) ,半 径为 , 直线 2x﹣y+λ =0 沿 x 轴向左平移 1 个单位后所得的直线方程为 2(x+1)﹣y+λ =0, 因为该直线与圆相切,则圆心(﹣1,2)到直线的距离 d= =r= ,
2 2

化简得|λ ﹣2|=5,即 λ ﹣2=5 或 λ ﹣2=﹣5, 解得 λ =﹣3 或 7 故选 A 点评: 此题考查学生掌握平移的规律及直线与圆相切时所满足的条件, 灵活运用点到直线的 距离公式化简求值,是一道中档题.

2

5. 分) (5 (2012?西山区模拟)将函数 原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得的图象向左平移 是( A. ) B. C.

的图象上所有点的横坐标伸长到 个单位,得到的图象对应的解析式

D.

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换.. 专题: 计算题. 分析: 根据三角函数的图象的平移法则, 依据原函数横坐标伸长到原来的 2 倍可得到新的函 数的解析式,进而通过左加右减的法则,依据图象向左平移 (x+ ﹣ ],整理后答案可得. 个单位得到 y=sin[

解答: 解:将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 可得函数 y=sin( x﹣ 得函数 y=sin[ (x+ ) ,再将所得的图象向左平移 ﹣ ],即 y=sin( x﹣ ) 个单位,

故选 C 点评: 本题主要考查了三角函数的图象的变换.要特别注意图象平移的法则. 6. 分)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇 (5 险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处 的乙船,乙船立即朝北偏东 θ 角的方向沿直线前往 B 处救援,则 sinθ 的值等于( )

A.

B.

C.

D.

考点: 解三角形的实际应用.. 专题: 应用题. 分析: 先根据题意做出图象,在△ABC 中,利用 余弦定理求得 BC,然后根据正弦定理求得 sin∠ACB,则 cos∠ACB 可得,进而利用 sinθ =sin(30°+∠ACB)根据正弦函数的两 角和公式解决. 解答: 解:根据题目条件可作图如图: 在△ABC 中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有 2 2 2 BC =AC +AB ﹣2AC?ABcos∠CAB
3

=20 +10 ﹣2×20×10cos120° =700, ∴BC=10 ,再由正弦定理得 = . = = , ,

2

2

∴sin∠ACB= cos∠ACB=

所以 sinθ =sin(30°+∠ACB) =sin30°cos∠ACB+cos30°sin∠ACB = × 故选 D + × = .

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了考生运用所学知识解决实际问题的能 力. 7. 分) (5 (2008?福建)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若 ,则角 B 的值为( A. B. C. 或 ) D. 或

考点: 余弦定理的应用.. 专题: 计算题. 分析: 通过余弦定理及 进而求出 B. 解答: 解:由

,求的 sinB 的值,又因在三角形内,



,即



,又在△中所以 B 为



故选 D 点评: 本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦.很多人会考虑对于角 B 的取舍问题,而此 题两种都可以,因为我们的过程是恒等变形.条件中也没有其它的限制条件,所以有 的同学就多虑了.虽然此题没有涉及到取舍问题,但在平时的练习过程中一定要注意
4

此点

8. 分)函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(1﹣x) (5 ,且当

时,有

,设 ( ) A.a<b<c





,则

B.c<a<b

C.c<b<a

D.b<c<a

考点: 导数的运算;函数的单调性及单调区间;不等关系与不等式.. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据条件得到函数的单调性, 然后将自变量化到同一个单调区间上, 从而可判定 a, b, c 的大小. 解答: 解:∵ , ∴当 x> 时,f′(x)<0,当 x< 时,f′(x)>0 ∴f(x)在(﹣∞, )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减

=f(﹣ (4) , ∵ <1+ <4

)=f(1+

) ,

=f( ) ,

=f

∴f( )>f(1+

)>f(4) ,即 c<a<b

故选 B. 点评: 本题主要考查了利用函数的单调性比较函数值大小,同时考查了运算求解的能力,属 于基础题. 9. 分) (5 (2012?佛山二模)如图所示为函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) >0,0≤φ ≤π ) (ω 的部分图象,其中 A,B 两点之间的距离为 5,那么 f(﹣1)=( )

A.2

B.

C.

D.﹣2

5

考点: y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式.. 由 专题: 计算题. 分析: 由图象可得 A=2,2sinφ =1,再由 0≤φ ≤π ,结合图象可得 φ 的值.再由 A,B 两 点之间的距离为 5,可得 25=16+ ,可得 ω 的值,从而求得函数 f(x)的解

析式,f(﹣1)的值可求. 解答: 解: 由图象可得 A=2, 2sinφ =1, sinφ = . 即 再由 0≤φ ≤π , 结合图象可得 φ = 再由 A,B 两点之间的距离为 5,可得 25=16+ 故函数 f(x)=2sin( x+ ) ,故 f(﹣1)=2sin ,可得 ω = =2, .



故选 A. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ω x+?)的部分图象求解析式,属于中档题. 10. 分)已知函数 f(x)的导函数的图象如图所示,a、b、c 分为△ABC 的边且 3a +3b (5 2 ﹣c =4ab 角三角形,则一定成立的是( )
2 2

A.f (sinA) (cosB) f ≤f B. (sinA) (cosB) f ≥f C. (sinA) (sinB) f ≥f D. (cosA) (cosB) ≤f 考点: 函数的单调性与导数的关系.. 专题: 数形结合. 分析: 根据函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象可知 f(x)在(0,+∞)上是增函数,然 后判定 sinA 与 cosB 的大小,根据单调性的定义进行判定即可. 解答: 解:根据函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象可知 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 2 2 2 又当 3a +3b ﹣c =4ab 时, cosC= ∴C≥90°, ∴A+B≤90°,∴A≤90°﹣B, ∴sinA≤sin(90°﹣B)=cosB, 从而 f(sinA)≤f(cosB)
6

=



故选 A. 点评: 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系,以及导函数图象与原函数的性质的关 系,属于基础题. 11. 分)函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则 (5 x x 不等式 e ?f(x)>e +1 的解集为( ) A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.{x|x<﹣1,或 x> D.{x|x<﹣1, 0<x 或 1} <1} 考点: 函数单调性的性质;导数的运算.. 专题: 函数的性质及应用. x x 分析: 构造函数 g(x)=e ?f(x)﹣e ,结合已知可分析出函数 g(x)的单调性,结合 g(0) x x =1,可得不等式 e ?f(x)>e +1 的解集. x x 解答: 解:令 g(x)=e ?f(x)﹣e , x 则 g′(x)=e ?[f(x)+f′(x)﹣1] ∵对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1, ∴g′(x)>0 恒成立 x x 即 g(x)=e ?f(x)﹣e 在 R 上为增函数 又∵f(0)=2,∴g(0)=1 x x 故 g(x)=e ?f(x)﹣e >1 的解集为{x|x>0} x x 即不等式 e ?f(x)>e +1 的解集为{x|x>0} 故选 A x 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,导数的运算,其中构造出函数 g(x)=e ?f x (x)﹣e ,是解答的关键. 12. 分)定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对? x∈R,有 f(x+2)=f(x)﹣f(1) (5 ,且当 2 x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x +12x﹣18,若函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至 少有三个零点,则 a 的取值范围是( ) A. B. C. D.

考点: 根的存在性及根的个数判断.. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对? x∈R,有 f(x+2)=f(x)﹣f(1) ,可以 令 x=﹣1,求出 f(1) ,再求出函数 f(x)的周期为 2,当 x∈[2,3]时,f(x)=﹣ 2 2x +12x﹣18,画出图形,根据函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有 三个零点,利用数形结合的方法进行求解; 解答: 解:因为 f(x+2)=f(x)﹣f(1) ,且 f(x)是定义域为 R 的偶函数 令 x=﹣1 所以 f(﹣1+2)=f(﹣1)﹣f(1) ,f(﹣1)=f(1) 即 f(1)=0 则有,f(x+2)=f(x) f(x)是周期为 2 的偶函数, 2 2 当 x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x +12x﹣18=﹣2(x﹣3) 图象为开口向下,顶点为(3,0)的抛物线 ∵函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,
7

∵f(x)≤0,∴g(x)≤0,可得 a<1, 要使函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点, 令 g(x)=loga(|x|+1) ,

如图要求 g(2)>f(2) ,可得 就必须有 loga(2+1)>f(2)=﹣2, ∴可得 loga3>﹣2,∴3< ,解得﹣ <a< 又 a>0,

∴0<a<



故选 A; 点评: 此题主要考查函数周期性及其应用,解题的过程中用到了数形结合的方法,这也是高 考常考的热点问题,此题是一道中档题; 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 分) (5 (2011?西安模拟)若复数 z1=4+3i,z2=cosθ +isinθ ,且 z1?z2∈R,则 tanθ = .

考点: 复数的代数表示法及其几何意义.. 专题: 计算题. 分析: 利用两个复数代数形式的乘法,虚数单位 i 的幂运算性质化简 z1?z2 ,由虚部等于 0 及同角三角函数的 基本关系求出 tanθ 的值. 解答: 解:∵复数 z1=4+3i,z2=cosθ +isinθ ,且 z1?z2∈R, z1?z2 =(4+3i) (cosθ +isinθ )=(4cosθ ﹣3sinθ )+i(4sinθ +3cosθ ) , ∴4sinθ +3cosθ =0,4sinθ =﹣3cosθ ,∴tanθ =﹣ ,故答案为 .

点评: 本题考查两个复数代数形式的乘法,虚数单位 i 的幂运算性质,化简 z1?z2 是解题的 关键.

8

14. 分) (5 (2012?咸阳三模)设 f(x)是定义在 R 上最小正周期为

的函数,且在



,则

的值为



考点: 函数的周期性;函数的值.. 专题: 计算题. 分析: 根据函数的周期性可得,f(﹣

)=f(﹣

) ,将 x=﹣

代入函数的解析式,计

算可得答案. 解答: 解:根据题意,f(x)是定义在 R 上最小正周期为 则 f(﹣ )=f(﹣ ﹣3× )=f(﹣ )=﹣ ) , ,

的函数,

又由题意,可得 f(﹣ 即 f(﹣ 故答案为﹣ )=﹣ .

)=sin(﹣ ;

点评: 本题考查函数的周期性的运用、分段函数的函数求值,关键是由函数的周期性分析得 到 f(﹣ )=f(﹣ ) .

15. 分)已知 和 是两个互相垂直的单位向量, (5 角为锐角,则实数 λ 的取值范围是



,且 与 的夹 .

考点: 数量积表示两个向量的夹角.. 专题: 计算题. 分析: 若 与 的夹角为锐角,则 ? >0,根据已知中



,且 和 是

两个互相垂直的单位向量,我们易求出 ? 的表达式,进而构造一个关于 λ 的不等 式,解不等式并讨论 与 同向时,λ 的取值,即可得到答案. 解答: 解:∵ 和 是两个互相垂直的单位向量 ∴ ? =1, ? =1, ? =0

9

又∵



, 与 的夹角为锐角

∴ ? =( ? )﹣2λ ( ? )+(λ ﹣2) ? )=1﹣2λ >0 ( 故λ < 又∵λ =﹣2 时, 与 同向 故实数 λ 的取值范围是 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,其中根据 与 的夹角为锐角,则 ? >0 构造一个关于 λ 的不等式, 是解答本题的关键, 但本题易忽略 λ =﹣2 时, 与 同向的情况,而错解为(﹣∞, ) .

16. 分)在△ABC 中,AB 边上的中线 CO=4,若动点 P 满足 (5 ,则 的最小值是 ﹣8 .

考 平面向量数量积的运算.. 点: 专 压轴题;平面向量及应用. 题: 分 令λ = ,0≤λ ≤1,可得 析: (λ ﹣1) 的最小值. 解 解:令 λ = 答: ∴ 再由 故 = =λ =

=

+(λ ﹣1)

,再由

=



可得﹣

=

.故要求的式子可化为 2λ (λ ﹣1)?16,再利用二次函数的性质求得它

,0≤λ ≤1,则 1﹣λ = +(1﹣λ ) ﹣ 可得﹣ = +(λ ﹣1) =(λ ﹣1) . .



=

10

=2

+2

+2(λ ﹣1)λ

=2λ (λ ﹣1)?16,

故当 λ = 时,2λ (λ ﹣1)8 取得最小值为﹣8, 故答案为﹣8. 点 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的运算, 评:二次函数的性质应用,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)设函数 .

(Ⅰ)求 f(x)的对称中心及单调递减区间; (Ⅱ) 记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)=1,a=1, 的值及△ABC 的面积.

,求 b

考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦.. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)将函数解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简,第二项利用二倍角 的余弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数, 由正弦函数的对称中心为 kπ (k∈Z)得到此函数的对称中心,由正弦函数的递减区 间即可得到 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)由 f(A)=1 及第一问确定的函数解析式,利用特殊角的三角函数值求出 A 的 度数,进而确定出 sinA 与 cosA 的值,由 cosA,a,c 的值,利用余弦定理求出 b 的 值,再由 b,c,sinA 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)= sinx+ cosx+1﹣cosx= sinx﹣ cosx+1=sin(x﹣ )+1, 令 x﹣ =kπ ,k∈Z,解得:x=kπ + ,k∈Z,

∴f(x)的对称中心为(kπ + 令 2kπ + ≤x﹣ ≤2kπ +

,1)k∈Z, ,k∈Z,解得:2kπ + ,2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z,

则函数的单调递减区间为[2kπ + (Ⅱ)∵f(A)=sin(A﹣ ∴sin(A﹣ ∴A﹣ )=0, ,

],k∈Z;

)+1=1,

=0,即 A=

又 a=1,c= , 2 2 2 2 ∴由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得:1=b +3﹣3b, 解得:b=1 或 b=2,

11

当 b=1 时,S= bcsinA=

;当 b=2 时,S= bcsinA=



点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式, 正弦函数的图象与性质, 正弦函数的单调性, 余弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式及定理是解 本题的关键. 18. (12 分) (2010?台州模拟)已知函数 f(x)=sinx+cosx,f′(x)是 f(x)的导函数. 2 (1)求函数 F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)] 的最大值和最小正周期; (2)若 f(x)=2f'(x) ,求 的值.

考点: 导数的运算;同角三角函数基本关系的运用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数 的定义域和值域.. 专题: 计算题. 2 分析: (1)求函数 F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)] 的最大值和最小正周期,必须先求 f (x)的导数,再进行化简 F(x) .再决定如何求最值和周期. (2)根据 f(x)=2f'(x) ,易得 ;再求

的值,可以采用“齐次化切法”. 解答: (1)已知函数 f(x)=sinx+cosx,则 f′(x)=cosx﹣sinx. 解: 2 代入 F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)] 易得

当 最小正周期为

时,

(2)由 f(x)=2f'(x) ,易得 sinx+cosx=2cosx﹣2sinx. 解得

∴ 答: (1)函数 F(x)的最大值为 (2) 的值为 . ,最小正周期为 π ;



点评: f(x)的导数,必须保证求导的准确,要熟记求导公式.已知 tanx=a,求其它三 求 角函数代数式的值,常常采用“齐次化切法”.

12

19. (12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A=30°,若将一枚质地均匀的 正方体骰子先后抛掷两次,所得的点数分别为 a,b,求 a,b 的取值能使得△ABC 有两个解 的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式.. 专题: 计算题. 分析: 首先根据分步计数原理计算得到 a、b 的全部情况数目,结合正弦定理分析可得△ABC 有两个解的充要条件,即 a<b<2a,列举可得满足条件的 a、b 的情况数目,由等可 能事件的概率公式,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,a、b 的情况均有 6 种, 则将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所得的点数的情况有 6×6=36 种; 在△ABC 中,由正弦定理可得 = =2a,则 b=2asinB,

若△ABC 有两个解,必有 A<B<90°, 则有 a<b<2a, 符合此条件的情况有:b=3,a=2;b=4,a=3;b=5,a=3; b=5,a=4;b=6,a=4;b=6, a=5;共 6 种; 则△ABC 有两个解的概率为 = ,

故△ABC 有两个解的概率为 . 点评: 本题考查等可能事件的概率计算,涉及利用正弦定理判断三角形解的情况,关键在于 分析得到该三角形有两解的充要条件.
3 2

20. (12 分) (2012?马鞍山二模)设函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x ﹣x ﹣3. (I)如果存在 x1、x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整 数 M; (II)如果对于任意的 s、t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围..

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用.. 专题: 综合题. 分析: (I)存在 x1、x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立等价于 g(x)max﹣g(x) min≥M; (II)对于任意的 s、t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立等价于 f(x)≥g(x) ,进一步利用分离参数法,即可求得实数 a 的取值范围. 解答: (I)存在 x1、x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立等价于 g(x)max﹣g(x) 解: min≥M
max

∵g(x)=x ﹣x ﹣3,∴ ∴g(x)在(0, )上单调递减,在( ,2)上单调递增

3

2

13

∴g(x)min=g( )=﹣ ∴g(x)max﹣g(x)min=

,g(x)max=g(2)=1

∴满足的最大整数 M 为 4; (II)对于任意的 s、t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立等价于 f(x)≥g(x)
max



由(I)知,在[ ,2]上,g(x)max=g(2)=1 ∴在[ ,2]上,f(x)= +xlnx≥1 恒成立,等价于 a≥x﹣x lnx 恒成立 记 h(x)=x﹣x lnx,则 h′(x)=1﹣2xlnx﹣x 且 h′(1)=0 ∴当 时,h′(x)>0;当 1<x<2 时,h′(x)<0
2 2

∴函数 h(x)在( ,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减, ∴h(x)max=h(1)=1 ∴a≥1 点评: 本题考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围,考查等价转 化思想,这种常规的数学思想方法值得研究.

21. (12 分)已知函数 (1)若 k>0 且函数 f(x)在区间(k,k+ )上存在极值,求实数 k 的取值范围 (2)如果存在 x∈[2,+∞) ,使得不等式 成立,求实数 a 的取值范围.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.. 专题: 综合题. 分析: (1)由 ,得 x=1,再由 ,能求出实数 k 的取值范围.

(2)

=(1+ ) (1+lnx) ,设 g(x)=(1+ ) (1+lnx) ,则

,再设 h(x)=x﹣2lnx,则 h(x)增,h(x)≥h(2)>0, 坆 g′(x)>0,g(x)增.由此能求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵函数 ,

14







,得 x=1,

由条件



解得 (2)∵



=(1+ ) (1+lnx) , 设 g(x)=(1+ ) (1+lnx) ,



再设 h(x)=x﹣2lnx,



∴h(x)增,h(x)≥h(2)>0, ∴g′(x)>0,g(x)增. ∴g(x)≥g(2)=2(1+ln2) , ∴a≥2+2ln2. 点评: 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用,考查运算求解能力,考查论证推理 能力,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答. 22. (10 分) (2010?南通模拟)已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C1: B 两点.求证:OA⊥OB. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;简单曲线的极坐标方程.. 专题: 综合题;压轴题;转化思想. 2 分析: 先将极坐标方程化为普通方程,再将这两个方程联立,消去 x,得 y ﹣4y﹣16=0,再 由韦达定理研究. 2 解答: 证:曲线 C1 的直角坐标方程 x﹣y=4,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y =4x, 分) (4 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将这两个方程联立,消去 x, 2 得 y ﹣4y﹣16=0? y1y2=﹣16,y1+y2=4, 分) (6 ∴x1x2+y1y2=(y1+4) 2+4)+y1y2=2y1y2+4(y1+y2)+16=0. 分) (y (8
15

与曲线 C2:

(t∈R)交于 A、



,∴OA⊥OB. (10 分)

点评: 本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 23. (2012?江苏二模)选修 4﹣5:不等式选讲 对于任意实数 a(a≠0)和 b,不等式|a+b|+|a﹣2b|≥|a|(|x﹣1|+|x﹣2|)恒成立,试求 实数 x 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法.. 专题: 计算题;压轴题;转化思想. 分析: 设 ,原式变为|t+1|+|2t﹣1|≥|x﹣1|+|x﹣2|,对任意 t 恒成立,故|t+1|+|2t ﹣1|的最小值 大于或等于 |x﹣1|+|x﹣2|,从而求出实数 x 的取值范围. 解答: 解:原式等价于 ≥|x﹣1|+|x﹣2|,设



则原式变为|t+1|+|2t﹣1|≥|x﹣1|+|x﹣2|,对任意 t 恒成立.

因为|t+1|+|2t﹣1|=

,最小值在 t=

时取到,为 ,

所以有

≥|x﹣1|+|x﹣2|=

解得 x∈[ , ].

点评: 本题考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想.判断|t+1|+|2t﹣1|的 最小值 大于或等于|x﹣1|+|x﹣2| 是解题的关键.

16


赞助商链接
相关文章:
吉林省实验2013届高三数学上学期一模试题 文 新人教A版...
吉林省实验2013届高三数学上学期一模试题新人教A版 隐藏>> 吉林省实验中学 2013 届高三一模数学(文)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分...
湖北省黄冈中学2013届高三数学5月第二次模拟考试试题 ...
湖北省黄冈中学2013届高三数学5月第二次模拟考试试题新人教A版_数学_高中教育_教育专区。湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三五月第二次模拟考试 数学(理)试卷...
内蒙古包头市2013届高三数学第二次模拟考试试题 理 (包...
内蒙古包头市2013届高三数学第二次模拟考试试题 理 (包头市二模)新人教A版_数学_高中教育_教育专区。绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)...
...数学第二次调查研究考试试题 文(含解析)新人教A版
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 四川省乐山市高中2013届高三数学第二次调查研究考试试题 文(含解析)新人教A版_数学_高中教育_教育专区。2013 年四川省乐山市...
山东省淄博市2013届高三数学第二次模拟考试 文(淄博二...
山东省淄博市2013届高三数学第二次模拟考试 文(淄博二模,含解析)新人教A版 隐藏>> 高三复习阶段性检测试题 文科数学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 ...
...诊断性考试试题 文(含解析)新人教A版_图文
山东省实验中学2015届高三数学第一次诊断性考试试题 文(含解析)新人教A版_数学_高中教育_教育专区。山东师大附中 2015 届高三第一次模拟考试试题 数学(文史类)第...
...数学下学期第二次模拟试题 理(含解析)新人教A版
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 河南省许昌新乡平顶山2013届高三数学下学期第二次模拟试题(含解析)新人教A版_数学_高中教育_教育专区。2013 年河南省许昌...
吉林省实验中学2013-2014学年高一数学上学期模块检测与...
吉林省实验中学2013-2014学年高一数学上学期模块检测与评估试题(二)新人教A版_数学_高中教育_教育专区。吉林省实验中学 2013—2014 学年度上学期模块二 高一数学试...
山东省日照市2013届高三数学第二次模拟考试题 文 新人...
山东省实验中学2013届高三... 9页 5财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉...山东省日照市2013届高三数学第二次模拟考试题新人教A版 隐藏>> 山东省日照...
...高三数学第二次质量预测试题 文(含解析)新人教A版
河南省郑州市2013届高三数学第二次质量预测试题 文(含解析)新人教A版 隐藏>> 2013 年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小...
更多相关标签: