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广州高中数学学业水平测模拟A


广州市高中二年级学生学业水平模拟测试 A
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1、已知 cos ? ? A.?

12 5

5 ,且 ? 是第四象限的角,则 tan ? 2? ? ? ? ? 13 12 12 B. C. ? 5 5

( D. ?

)

2.、已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( x , 4) ,若向量 a∥b ,则 x ? ( ) (A) ?

?

?

?

?

5 设集合 12

1 2

(B)

2 2 3、已知集合 M ? x x ? 4 , N ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则集合 M ? N =(

? ? C. ?x ? 1 ? x ? 2?
A. x x ? ?2 则∠A 等于( A 60° )

?

1 2

(C) ? 2

(D)2

?

?

? ? D. ?x 2 ? x ? 3?
B. x x ? 3
2 2 2

?



4、在△ABC 中, a、b 、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,且 b ? c ? 3bc ? a , B 30° C 120° D 150° )

5、已知 a 与 b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ? ,那么 a ? 3b 等于( A. 7 B. 10 C. 13 D.4

6、将函数 y ? sin( x ? 函数解析式是(

?
3
)

) 的图像向右平移

? 个单位,再向上平移 2 个单位所得图像对应的 6

A, y ? sin( x ? ) ? 2 2 C , y ? sin( x ? ) ? 2 2

?

B, y ? sin( x ? ) ? 2 6 D, y ? sin( x ? ) ? 2 6

?

?

?

7、某中学初一年级 540 人,初二年级 440 人,初三年级 420 人,用分层抽样的方法,抽取 容量为 70 的样本,则初一、初二、初三三个年级分别抽取( A. 28 人,24 人,18 人 C. 26 人,24 人,20 人
2 2



B. 25 人,24 人,21 人 D. 27 人,22 人,21 人 )

8、 经过点 M (1,2) 作圆 x ? ( y ? 2) ? 1 的切线,则切线方程为 ( A. 15x ? 8 y ? 1 ? 0 或 x ? 1

B. 15x ? 8 y ? 1 ? 0 或 y ? 1

1

C. x ? 4 y ? 9 ? 0

D. x ? 4 y ? 9 ? 0 或 x ? 1

9、下图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸(单位: cm ),可知几何体的表面积( A. 18 ? 2 3 cm
2

)

21 3 cm 2 2 2 C. 18 ? 3 cm
B. D. 6 ? 2 3 cm
2

3 3
正视图

2 2 侧视图

2

2

俯视图

10、某学生离开家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程,下列图中 y 轴表示 离校的距离,x 轴表示出发后的时间,则较符合学生走法的是( )

二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a2 ? a9 的值是 12.已知球的表面积为 12? ,则该球的体积是 . . 开始 S=0

?? 1 ? x ?? ? , x ? 0 13.已知函数 f ? x ? ? ?? 2 ? , ?log ?x ? 2?, x ? 0 ? 2
若 f ?x0 ? ≥2,则 x0 的取值范围是 14.下图给出一个程序框图,其 运行结果是___________.

i=2

i<12 ? 是 S=S+i



输出 S

i=i+2 三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.

结束

15.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各 取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等.
2

(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率.

16.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos? , sin ? ) , | a ? b |? (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

?

?

?

?

2 5 . 5

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? . 13

17. 右图是一个直三棱柱 (以 A1B1C1 为底面) 被一平面所截得到的几何体, 截面为 ABC. 已 知 A1B1=B1C1=l,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3. (I)设点 O 是 AB 的中点,证明:OC∥平面 A1B1C1; (II)求此几何体的体积.

A O C

B A1 B1 C1

2 18.已知 a1 ? ,设二次方程 an x2 ? an?1 x ? 1 ? 0(n ? N? ) 有 3
两根 ? 和 ? ,且满足 6? ? 2?? ? 6? ? 3 . (1)试用 a n 表示 a n ?1 ; (2)当 a1 ?

7 时,求数列 ?a n ?的通项公式 a n 及前 n 项和 S n . 6

19. 已知圆 C 的圆心在坐标原点,且过点 M( 1 , 3 ) . (1)求圆 C 的方程; (2)已知点 P 是圆 C 上的动点,试求点 P 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离的最小值; (3)若直线 l 与圆 C 相切,且 l 与 x,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,求△ABC 的
3

面积最小时直线 l 的方程.

20.已知指数函数 y ? g( x ) 满足: g(2)=4, 定义域为 R 的函数 f ( x ) ? (1)确定 y ? g( x ) 的解析式; (2)求 m,n 的值;

? g( x ) ? n 是奇函数。 2 g( x ) ? m

(3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围。

答案:一、BDCDA

BDAAD

二、 (11)24, (12) 4 3? , (13) (??, ?1] ? [2, ??) , (14)30 三、解答题: 15.解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x, y ,用 ( x, y ) 表 示抽取结果,则所有可能有 ?1,1? , ?1, 2 ? , ?1,3? , ?1, 4 ? , ? 2,1? , ? 2, 2 ? , ? 2,3? , ? 2, 4 ? ,

?3,1? , ? 3, 2? , ? 3,3? , ? 3, 4? , ? 4,1? , ? 4, 2 ? , ? 4,3? , ? 4, 4 ? ,共 16 种.
(Ⅰ)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有 ?1, 2 ? ,

……4 分

? 2,1? , ? 2,3? , ? 3, 2? ,
……6 分

? 3, 4? , ? 4,3? ,共 6 种.
故所求概率 P ?

6 3 ? . 16 8 3 . 8
……8 分

答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为

(Ⅱ)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 ?1, 2 ? ,

? 2,1? , ? 2, 4 ? , ? 3,3? ,

4

? 4, 2 ? ,共 5 种.
故所求概率为 P ?

……2 分

5 . 16 5 . 16
……4 分

答:取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为

16. (Ⅰ)解:? a ? 1 , b ? 1

……1 分
2 2 2

a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? a ? b ? 2( c o? s cos ? ?s i n ?si n ?)
? 1 ? 1 ? 2 cos(? ? ? )
2 ?2 5? ? ?4 ? a ?b ?? ? 5 ? 5 ? ? 4 3 ? 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? 得 cos(? ? ? ) ? 5 5 2

2

2

……3 分 ……4 分

……6 分 ……1 分 ……2 分 ……4 分 ……5 分 ……6 分

(Ⅱ)解:? ?

?

2

? ? ? 0?? ?
3 5

?

2

?0 ? ? ? ? ? ?
4 5

由 cos(? ? ? ) ? 由 sin ? ? ?

得 sin(? ? ? ) ? 得 cos ? ?

5 13

12 13

? sin ? ? sin?(? ? ? ) ? ? ? ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ?

4 12 3 5 33 ? ? ? ? (? ) ? 5 13 5 13 65
17. (1)证明:作 OD ∥ AA1 交 A1B1 于 D ,连 C1D . 则 OD ∥ BB1 ∥CC1 . ……2 分

1 ? O 是 AB 的中点, ? OD ? ( AA1 ? BB1 ) ? 3 ? CC1 . 2
则 ODC1C 是平行四边形,? OC ∥C1D .……4 分

A O A2 H C C2

? C1D ? 平面 C1B1 A1 且 OC ? 平面 C1B1 A1 , ? OC ∥面 A1B1C1 .
……6 分

B
(2) 如图, 过 B 作截面 BA2C2 ∥面 A1B1C1 , 分别交 AA1 ,

A1 D

C1

CC1 于 A2 , C2 .
作 BH ? A2C2 于 H .……2 分

B1

5

……4 分 ? CC1 ? 面 BA2C2 ,? CC1 ? BH ,则 BH ? 平面 AC 1 . 又? A2 B ? A 1B 1 ? 1, BC2 ? B 1C1 ? 1 , ? BH ?

2 , ……6 分 2

1 1 1 2 1 ? . ? VB ? AA2C2C ? S AA2C2C ? BH ? ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 3 2 2 2
VA1B1C1 ? A2 BC2 ? S△ A1B1C1 ? BB1 ? 1 ?2 ?1 2 3 2
……8 分

所求几何体体积为: V ? VB ? AA2C2C ? VA1B1C1 ? A2 BC2 ?

? ?? ?
18.解: (1)由韦达定理知
即 an ?1 ?

an ?1 an
,代人条件得

1 1 an ? . 2 3

1 ?? ? an

6an ?1 2 ? ? 3, an an

1 1 1 2 1? 2? 2? ? an ? ,得 an ?1 ? ? ? an ? ? .故数列 ?an ? ? 是以 为公比的 2 2 3 3 2? 3? 3? ? n n ?1 n 2 2 1 ?1? ?1? ?1? 2 1 a ? ? ? ? ? ? ? ? ,即 an ? ? ? ? 等比数列,首项 a1 ? ? ,所以 n 3 . 3 2 ? 2? ?2? ? 2? 3 2
(2)由 an ?1 ?
n n ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ?3 2n ? 1 ? ? 2n ?1? . S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 3 ?2? ? ?2? ?2 ? 2 ? ? 2 ? ? 3 ?

19.(本小题满分 10 分) 解析: (1)圆 C 的半径为 | CM |? 1 ? 3 ? 2 , 所以圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ………………………………………………………4 分 (2)圆心到直线 l 的距离为 d ?
| -4 | 12 ? 12 ?2 2 ,

所以 P 到直线 l: x ? y ? 4 ? 0 的距离的最小值为: 2 2 ? 2 ……………………

8分

(3)设直线 l 的方程为: y ? kx ? b ,因为 l 与 x,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,则 k ? 0,b ? 0,
b 且 A(? , 0) , B(0 , b) ,又 l 与圆 C 相切,则 C 点到直线 l 的距离等于圆的半径 2, k

即 : ②

|b| k 2 ?1

? 2 ? b 2 ? 4k 2 ? 4 ,

① ,

1 b ?b2 而 S? ABC ? (? )b ? 2 k 2k

………………

11 分

6

将①代入②得 S? ABC ?

?(4k 2 ? 4) 1 1 ? 2(?k ? ) ? 4 (? k )? ? 4 ,当且仅当 k=﹣1 时取等号,所 2k ?k ?k

以当 k=﹣1 时,△ABC 的面积最小,此时 b2 ? 4k 2 ? 4 ? 8,
y ? ? x ? 2 2 ………………

b ? 2 2 ,直线 l 的方程为:

14 分

20.解: (1)

y ? g( x ) ? 2 x

? 2x ? n (2)由(1)知: f ( x ) ? x ?1 2 ?m
因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

n?1 ?0? n?1 2? m

∴ f ( x) ?

1 ? 2x , 又由 f(1)= -f(-1)知 2 x ?1 ? m

1 1? 1? 2 2 ?m?2 f ( x) ? ?? 4? m m?1
(3)由(2)知 f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 2?2 2 2 ?1

易知 f ( x) 在 (??, ??) 上为减函数。 又因 f ( x) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,
2 2 因 f ( x) 为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t

即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 ,
2

从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 3

7

8


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