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内蒙古赤峰二中高中数学25等比数列的前n项和1教案新人教B版必修5

2.5等比数列的前n项和(1)
教学目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题.
教学重点 1. 等比数列的前n项和公式; 2. 等比数列的前n项和公式推导.
教学难点 灵活应用公式解决有关问题.
教学方法 启发引导式教学法 教学过程 (I)复习回顾 (1) 定义: (2) 等比数列通项公式: (3) 等差数列前n项和的推导思想:
? ? (4) 在等比数列 an 中,公比为 q ,则 ak q ? ak?1 ?
II)探索与研究:你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗?

一.等比数列求和公式

1.公式推导

? ? 已知等比数列

a n

,公比为

q

,求前n项和

S n

?a 1

?a 2

?

?

?

a n



分析:先用 a1, n, q 表示各项,每项的结构有何特点和联系?如何化简与求和?
2.公式与公式说明

Sn

?

a1(1? qn ) 1? q

(q

? 1)

(1)公式推导方法:错位相减法
特点:在等式两端同时乘以公比 q 后两式相减。

(2) q ? 1时, Sn ? na1(q ? 1)

(3)另一种表示形式

Sn

?

a1 ? anq 1? q

总结:

S n

?

? ? ?

a1

(1? q 1? q

n

)

(q

? 1)

??na1(q ? 1)



Sn

?

? ? ?

a1 ? 1?

an q

q

(q

? 1)

??na1(q ? 1)

注意:每一种形式都要区别公比 q ? 1和 q ? 1两种情况。
二.例题讲解 例1.课本63页例1 例2.某商场第1年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第1 年起,约几年内可使总销量达到30000台(保留到个位)?

3 , 3 , 3,? 例3.求等比数列 2 4 8 从第7项到第15项的和。

? ? a 例4.已知等比数列 an 中, 1

?a n

? 66, a2an?1

? 128, Sn

? 126,求公

n q
比 与项数 。

q 例5 在等比数列?an? 中,Sn 表示前n项和,若 a3 ? 2S2 ?1 ,a4 ? 2S3 ?1 ,求公比 。

S 例6等比数列?an?的前n项和 n ? 2n ? 1 ,求 a12 ? a22 ? ? ann 的值。

三.小结 四.作业 A 1 P69 页

2,3

1? 2 ? 4 ? 2. 求数列1,1+2,1+2+4,…,
B P70 页 2

? 2n?1 ,…的前n项和。

ka ?1 ? S ? S 2 ? ? 【探索】是否存在常数K和等差数列 an ,使 n

2n

n?1 ,其中

S , S ?a ? 2n

n?1 是等差数列 n 的前2n和前n+1项和,若存在,求常数K,若不存在,请

说明理由?

教学目标

等比数列的前n项和

1.进一步掌握等比数列的前n项和公式。

2.会用等比数列的前n项和公式及通项公式解决求基本元素 a1, q, n, an , Sn 的有关问

题。

教学重点: 等比数列的通项公式及前n项和公式的灵活应用。

教学难点

灵活应用公式解决有关问题.

教学方法: 启发引导式教学法

教学过程

I.设置情境

1.等比数列的通项公式是



2.等比数列的前n项和公式的两种形式分别是





II.探索与研究

S ? 15 S ? ? S ? 5 例1.在等比数列 an 中,已知 10

, 20

,求 30 。

S ? 3 ? a a ? ? 例2.设等比数列

a n

的前n项和

n

n

,求常数 的值。

q ? ? a 例3.已知等比数列

a n

中,

1

?

?

9 16



an

?

?

16 9



S

n

?

? 781 144 ,求公比

n 与项数 。

a(a ? 0) q(q ? 0)

例4.设等比数列的首项为

,公比为

,前n项和为80,其

2n a q 中最大的一项为54,又它的前

项和为6560,求 和 。

S ? x ? 2x2 ??? nxn
例5.求 n
1? 3 ? 9 ? 例6.求数列1,1+3,1+3+9,…,
三小结 四.作业

? 3n?1 ,…的前n项和。

? ? S A.1.在等比数列

a n



10

? S30

? 140 , S30

? 13S10 ,求 S20

? ? a ? 4, a 2.在等比数列 n 中, 1

q ? 5 ,求使 Sn ? 257 最小的n的值。

(x ? 1 ) ? (x2 ? 1 ) ? ? ? (xn ? 1 )(x ? 0, x ? 1, y ? 1)

B.3.求和:

y

y2

yn

? ?a 【探究】设数列 n 中 a1, a2 ? a1, a3 ? a2 , , an ? an?1, 是首项为1,公比

1 为 3 的等比数列,求:

? ?a (1) n 的通项公式。

? ? S a (2) n 的前n项和 n 。

数列综合应用1: ―――――――――数列求和 教学目的:使学生在理解等差,等比数列的前n 项和公式的基础上,加深对数列的前n 项和认 识.能利用等差,等比数列的前n 项和公式解决一些特殊数列的求和问题 教学重点: (1)理解拆项求和、错位相减法求数列的和。(2)能求循环数列的和。(3)裂项求和。 教学方法 启发式教学法,讲练相结合 一.知识回顾 1.等差数列的前n 项和公式: 2.等差数列的前n 项和公式:

(3n ?1)

3.数列2,5,8,11,…

的前n 项和为:

3n
4.数列3,9,27,81… 的前n项和为: 二例题分析

3 ? 2n ?1 n
例1.求数列4,12,32…

的前n 项和

{2n ? (1)n ? n}

练习: 求数列

3

的前n 项和

归纳方法:拆项求和:如果一个数列的通项公式可以拆成几个等差或等比数列,则利用拆项组 合的方法,借助等差或等比数列前n项和公式求和.

(3n ?1)2n

例2.求数列4,20,64, …

的前n 项和

a 5a 例3.求数列 ,

, 9a2

(4n ? 3)an


(a

? 0) 的前n项和

归纳:错位相减法: 如果一个数列的通项公式可以写成一个等差数列与一个等比数列的积,则 利用错位相减法可以求和. 例4.求数列9,99,999,…999…9的前n 项和 【变式】.求数列6,66,666,…666…66的前n 项和

归纳:循环数列问题以9,99,999,…999…9为基础,进行求和.

1 例5.求数列 1? 2

,

1, 2?3

1 3?4

,


1 n(n ?1)

前n

项和

1,1, 1 , 【变式】求数列 1? 3 3? 5 5? 7

1 (2n ?1)(2n ?1) 前n 项和

归纳:裂项求和:如果数列的通项公式可以写成一个等差数列的连续两项的积,则可以通过运

算分裂成两个数列的差,即: an ? bn ? bn?1 ,则可以求和.

三小结 四作业 A.1求下列数列的前n 项和

{(n ? 2) ? 3n ? (1)n}

(1)

2

(n ? 2)3n
(2)9,36,135 … (3)5,55,555, 555…5

2求数列

2

1 ?

5

,

5

1 ?

8

,

1 8?11



(3n

?

1 1)(3n

?

2)

的前n项和

1, 1 , B.求数列. 1? 3 1? 3 ? 5
【探究】

1 1? 3 ? 5 ? (2n ?1) 的前n项和

? ? 数列

a n

的前n S S 项和 n 满足 n ? 2an ? 3n

?a ? (1)求数列 n 的递推公式

?a ? (2)求数列 n 的通项公式

?a ?
(1) 求数列 n 的前n项和公式

数列专题2:数列应用2 教学目的:使学生在理解等差,等比数列的前n 项和公式的基础上,加深对数列的前n 项和认 识.能利用等差,等比数列的前n 项和公式解决一些特殊数列的求和问题 教学重点:(1)理解循环数列求和、裂项求和。 教学方法启发式教学法,讲练相结合 一知识回顾 1说出下列数列的求和方法:

{4n?1 ? 7n ? 3 ? ( 2)n}

1)

3

2) (4n ? 3)an?2 , a ? 0

3)3,33,333,333…33 二.问题推广

3

{

}

4) (4n ?1)(4n ? 3)

n个99

99 99 1求数列99,9999,999999,…

的前n 项和

n个 23

23 23 【变式】求数列 23,2323,232323,…

的前n 项和

{1} 2求数列 n ? 1 ? n 的前n 项和

{

1

}

n(n ?1)(n ? 2)

3.求数列

的前n 项和

1, 1 , 1 , 4.求数列 1 1? 2 1? 2 ? 3

1 1? 2 ? 3 ? n 的前n 项和.

三应用

1. 某企业在减员增效中对部分人员实行分流,规定分流人员在第一年可以到原单位领取工

2

3 资的百分之百,从第二年起以后每年只能在原单位按上一年的 领取工资,该企业计

划创办新的实体, 该实体预计第一年属于投资阶段,每有利润,第二年每人可收入 b 元,

从第三年起每人的收入在上一年的基础上递增50%,如果某人在分流前的工资为 a 元,分

a a 流后的总收入为

n 元,(1)求

b ? 8a

n .(2)当

27 时,这人哪一年的收入最少?最少

收入是多少?

2.课本76页 13

3.课本77页 5

二小结

三.作业

A 1课本69页 5

2课本76页 10

B3课本P77页 4

{

1

}

4. 求 (3n ?1)(3n ? 2)(3n ? 5) 的

【探究】 数列{an}满足a1=29,且an+1-an=2n-1, (1) 求数列{an}的通项公式

(2)

bn


?

an ? 28 2n

? 2n
,求数列{bn}的前n

项和

数列综合应用3 ----------------------数列应用题 教学目标: 1.通过对实际问题的分析,理解等差数列、等比数列知识在现实生活、生产中的应用。 2.了解存款、贷款、投资等问题的数学原理。 教学重点:

等差数列、等比数列知识在现实生活、生产中的应用。 教学过程: 一问题提出与解决 随着人们生活水平的提高,我们与银行的关系越来越密切,你知道在银行存款时,银行是怎 样计算利息的吗?(不考虑利息税) 【单利】单利的计算是仅在原有的本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息。其 公式为:利息=本金×利率×存期 【本息和】S=本金+利息 【复利】把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时,每一期的本金数量不同。 【零存整取问题】每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全 部本利,这是整取,规定每次存入的钱不计复利。(不考虑利息税) 1. 某人到银行办理零存整取业务: (1)若每月存入x元,月利率为r保持不变,存期为n个月,推导出整取时的本利和公式。 (2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和为多少? 【定期自动转存问题】 2.某人存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后再取出本利和,求n年后的本 利和公式。 【分期付款问题】 3某人买一套价值20万元的商品房,首期付5万元.其余部分向银行贷款,5年还清,每月从工资

0.5% 里还相同的款额,在贷款后的第一个月即还第一笔款额.又银行的贷款月利息为

,

问每月应还多少元?

4. 某公司实行股份制,一投资人年初入股a万元,年利率为 25%,由于某种需要,从第二年

起此投资人每年年初要从公司取出x万元.

(1)分别写出第一年年底,第二年年底,第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和;

(2)写出第n年年底此投资人的本利之和bn与n的关系式(不必证明); (3)为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标,若a=395,则

x的值应为多少?(在计算中可使用lg2=0.3)
5.容器A中有12%的食盐水300克, 容器B中有6%的食盐水300克.现约定完成下列工作程序为进 行一次操作:从A、B两个容器中同时各取100克溶液,然后将A取出的溶液注入B中. 将B取出的 溶液注入A中,问:

a %, b % a ? b (1) 经过 n 次操作后,设A、B中的食盐含量为 n

n

,求证: n

n

为常数.

a , b (2)分别求 n n 的通项公式.
二.小结 三.作业 A. P76页 6 7

B. P76页 8 C.P70页 5
课本77页 5