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2013高考数学 专题辅导专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用课时训练提能 2


专题三

第2讲

数列求和及数列的综合应用

课时训练提能
[限时 45 分钟,满分 75 分] 一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1.1-4+9-16+?+(-1) A.
n+1 2

n 等于
B.-

n? n+1?
2
n+1

n? n+1?
2

C.(-1)

n? n+1?
2

D.以上答案均不对

解析 对 n 赋值验证,只有 C 正确. 答案 C 1

2. 数列{an}的通项公式 an= A.11 C.120 解析 ∵an= 1

n+ n+1

,若前 n 项的和为 10,则项数为 B.99 D.121

n+ n+1

= n+1- n,

∴Sn= n+1-1=10,∴n=120. 答案 C 3.若数列{an}的通项公式是 an=(-1) (3n-2),则 a1+a2+?+a10= A.15 C.-12 解析 ∵an=(-1) (3n-2),∴a1+a2+?+a10 =-1+4-7+10-?-25+28=(-1+4)+(-7+10)+?+(-25+28)=3×5=15. 答案 A 4.设 f(n)=2+2 +2 +2 +?+2 2 n A. (8 -1) 7 2 n+3 C. (8 -1) 7
4 7 10 3n+1

n

B.12 D.-15
n

(n∈N),则 f(n)等于 2 n+1 B. (8 -1) 7 2 n+4 D. (8 -1) 7

解析 显然,f(n)为数列{2 数列{2 可得
3n+1

3n+1

}的前 n 项和 Sn=2 +2 +2 +?+2
4 3

4

7

10

3n+1

与 2 的和.

}为一个首项为 a1=2 ,公比为 q=2 的等比数列,由等比数列的前 n 项和公式

-1-

Sn=

2 [1-? 2 ? 3 1-2

4

3

n

] 16? =

8 -1? , 7 8 -1? 16×8 -2 2×8 -2 2 n+1 = = = (8 -1). 7 7 7 7
n n n+1

n

16? 故 f(n)=2+Sn=2+ 答案 B

5.已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列? 前 n 项和为 Sn,则 S2 010 的值为 A. C. 2 007 2 008 2 009 2 010 B. D. 2 008 2 009 2 010 2 011

2

?

1

?f? n? ?

? ?的

解析 ∵f′(x)=2x+b, ∴f′(1)=2+b=3,∴b=1,∴f(x)=x +x, ∴ 1
2

f? n?



n?

1 1 1 = - , n+1? n n+1

1 1 1 1 1 ∴S2 010=1- + - +?+ - 2 2 3 2 010 2 011 1 2 010 =1- = . 2 011 2 011 答案 D 6.甲、乙两间工 厂的月产值在 2010 年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相 同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到 2010 年 11 月份发现两间工 厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂 2011 年 6 月份的月产值大小,则有 A.甲的产值小于乙的产值 C.甲的 产值大于乙的产值 解析 B.甲的产值等于乙的产值 D.不能确定

设甲各个月份的产 值为数列{an},乙各个月份的产值为数列{bn},则数列{an}为等

差数列,数列{bn}为等比数列,且 a1=b1,a11=b11,故 a6=

a1+a11
2

≥ a1a11= b1b11= b6=b6,

2

由于在等差数列{an}中,公差不等于 0,故 a1≠a11,上面的等号不能成立,故 a6>b6. 答案 C

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
? 1 ? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 ? 7. 已知数列{an}: , + , + + , ?, + + +?+ , 那么数列{bn}=? ?, 2 3 3 4 4 4 10 10 10 10 ?anan+1?

的前 n 项 和 Sn=________.
-2-

解析 由已知条件可得数列{ an}的通项公式为

an=

1+2+3+?+n n = , n+1 2 1

∴bn=

anan+1



1 ? 4 ?1 =4? - . n n+1? n? n+1? ? ? 1 1

? ? Sn=4?1- + - +?+ - 2 2 3 n n+1? ? ?
1 1 1 =4?1- 答案

? ?

1 ? 4n = . n+1? n+1 ?

4n n+1

8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数 列”的通项为 2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 解析 ∵an+1-an=2 , ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =2
n-1 n n

+2
n

n-2

+? +2 +2+2

2

2-2 n n = +2=2 -2+2=2 . 1-2 2-2 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 答案 2
n+1 n+1

-2

9 .数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 a1=1,an+1=3Sn(n=1,2,3,?),则 log4S10=________. 解析 ∵an+1=3Sn,∴an=3Sn-1(n≥2). 两式相减得 an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an, ∴an+1=4an,即

an+1 =4. an

∴{an}为 a2 为首项,公比为 4 的等比数列. 当 n=1 时,a2=3S1=3, ∴n≥2 时,an=3·4
n-2



S10=a1+a2+?+a10
=1+3+3×4+3×4 +?+3×4
2 8

4 -1 8 9 9 =1+3(1+4+?+4 )=1+3× =1+4 -1=4 . 4-1 ∴log4S10=log44 =9. 答案 9 三、解答题(每小题 12 分,共 36 分)
9

9

-3-

? ?2 ,n为奇数, 10.已知数列{an}满足 an=? ? ?n, n为偶数,

n

试求其前 n 项和.

解析 (1)当 n 为奇数时,

Sn=(a1+a3+a5+?+an)+(a2+a4+a6+?+an-1)
2?1-4 =

? ?

n+1?

2 ? n-1 ?
2

1-4

? 2 ? 2 + ×2+ 2 2

n-1?n-1

-1? ? ? ×2

1 n 11 n+2 = ·2 + - . 3 4 12 (2)当 n 为偶数时,

Sn=(a1+a3+a5+?+an-1)+(a2+a4+a6+?+an)
2? = 1-4 ? 2 1-4
2

n

? ? -1? 2?2 ? + ×2+ ×2 2 2
n

n?n

1 n n 2 n+1 = ·2 + + - . 3 4 2 3 11.(2012·武昌模拟)已知数列{an}满足:a1=2,an+1=3an+3 (1)设 bn=
n+1

-2 (n∈N+).

n

an-2n
3
n

,证明:数列{bn}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解析 (1)证明 ∵bn+1-bn= = 3an+3
n+1

an+1-2n+1 an-2n
3
n+1



3

n

-2 -2

n

n+1

3

n+1



an-2n
3
n

=1,

∴{bn}为等差数列. 又 b1=0,∴bn=n-1. ∴an=(n-1)·3 +2 .
n n

(2)设 Tn=0·3 +1·3 +?+(n-1)·3 ,则 3Tn=0.3 +1·3 +?+(n-1)·3 ∴-2Tn=3 +?+3 -(n-1)·3 = 9? 1-3 ? n+1 -(n-1)·3 . 1-3
n+1 n-1
2 2 3

1

2

n

n+1

.

n

n+1

9-3 ∴Tn= 4

? n-1? +
2

·3 2
n

n+1



?

2n-3? ·3 4

n+1

+9 .

∴Sn=Tn+(2+2 +?+2 )

-4-



?

2n-3?

3 +2 4

n+1

n+3

+1 .
n

12.(2012·丰台一模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2 -1.数列{bn}满足 b1=2,bn
+1

-2bn=8an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:数列? n?为等差数列,并求{bn}的通项公式; ?2 ? (3)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,是否存在常数 λ ,使得不等式(-1) λ <1+
n

?bn?

Tn-6 (n Tn+1-6

∈N+)恒成立?若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解析 (1)当 n=1 时,a1=S1=2 -1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(2 -1)-(2
n n-1
1

-1)=2

n-1


n-1

因为 a1=1 适合通项公式 an=2 所以 an=2
n-1

.

(n∈N+).

(2)证明 因为 bn+1-2bn=8an, 所以 bn+1-2bn=2 即
n+2



bn+1 bn
2
n+1

- n=2. 2

所以? n?是首项为 1=1,公差为 2 的等差数列. 2 ?2 ? 所以 n=1+2(n-1)=2n-1, 2 所以 bn=(2n-1)·2 .
n

?bn?

b1

bn

(3)存在常数 λ 使得不等式(-1) λ <1+
1 2 3

n

Tn-6 ( n∈N+)恒成立. Tn+1-6
n-1

因为 Tn=1·2 +3·2 +5·2 +?+(2n-3)·2 所以 2Tn=1·2 +3·2 +?+(2n-5)·2 由 ①-②得-Tn=2+2 +2 +?+2 化简得 Tn=(2n-3 )·2 因为
n+1
3 4 2 3

+(2n-1)·2 ①
n n+1

n

n-1

+(2n-3)·2 +(2n-1)·2
n+1



n+1

-(2n-1)·2



+6.

Tn-6 ? 2n-3? ·2n+1 2n-3 1 2 1 1 = = - = - . n+2= Tn+1-6 ? 2n-1? ·2 4n-2 2 4n-2 2 2n-1 Tn-6 , Tn+1-6

(ⅰ)当 n 为奇数时,(-1)λ <1+ 所以 λ >-1-

Tn-6 3 1 ,即 λ >- + . Tn+1-6 2 2n-1
-5-

3 1 1 所以当 n=1 时,- + 的最大值为- , 2 2n-1 2 1 所以只需 λ >- . 2 (ⅱ)当 n 为偶数时,λ <1+ 3 1 所以 λ < - , 2 2n-1 3 1 7 所以当 n=2 时, - 的最小值为 , 2 2n-1 6 7 所以只需 λ < . 6 1 7 Tn-6 n 由(ⅰ)(ⅱ)可知存在- <λ < ,使得不等式(-1) λ <1+ ( n∈N+)恒成立. 2 6 Tn+1-6

Tn-6 , Tn+1-6

-6-


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