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河南省郑州市新郑市2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2014-2015 学年河南省郑州市新郑市高一(上)期中数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)设全集 U=R,集合 M={x|y= 合是() },N={y|y=3﹣2 },则图中阴影部分表示的集
x

A.{x| <x≤3}

B.{x| <x<3}

C.{x| ≤x<2}

D.{x| <x<2}

2. (5 分)设 f(x)=lg

,则 f( )+f( )的定义域为() B.(﹣4,﹣2)∪(2,4) (﹣4,﹣1)∪(1,4) C. (﹣4,0)

A.(﹣2,﹣1)∪(1,2) ∪(0,4) D.

3. (5 分)函数 f(x)= A.2 B. 3

,则 f[f(﹣2)]=() C. 4 D.5

4. (5 分)定义 f(x)是 R 上的奇函数且为减函数,若 m+n≥0,给出下列不等式: (1)f(m) ?f(﹣m)≤0; (2)f(m)+f(n)≥f(﹣m)+f(﹣n) ; (3)f(n)?f(﹣n)≥0; (4)f(m) +f(n)≤f(﹣m)+f(﹣n)其中正确的是() A.(1)和(4) B.(2)和(3) C.(1)和(3) D.(2)和(4) 5. (5 分)设 x0 是函数 f(x)=lnx+x﹣4 的零点,则 x0 所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 6. (5 分)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}的子集个数是() A.5 B. 8 C.16 D.32 7. (5 分)函数 y=x|x|的图象大致是()

A.

B.

C.
0.3

D.
0.1 1.3

8. (5 分)已知 a=log2 ,b=2 ,c=0.2 ,则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a

9. (5 分)已知 f(x)= 围是() A. B.(1, ]

是 R 上的增函数,那么实数 a 的取值范

C.(0,1)

D.(1,+∞)

10. (5 分)对于函数 ①f(x1+x2)=f(x1)?f(x2) ; ②f(x1?x2)=f(x1)?f(x2) ; ③ ;

定义域内的任意 x1,x2 且 x1≠x2,给出下列结论:

④ A.1 B. 2

,其中正确结论的个数为() C. 3 D.4

11. (5 分)己知函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(﹣∞,1)时,函数 f(x)单调递减,设 a=f ( ) ,b=f(﹣1) ,c=f(2) ,则 a,b,c 的大小关系为() B.a<b<c
2

A.c<a<b

C.a<c<b
2 2

D.c<b<a
2

12. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2(a+2)x+a ,g(x)=﹣x +2(a﹣2)x﹣a +8.设 H1(X) =max{f(x) ,g(x)},max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,q}表示 p,q 中的较小值, 记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A﹣B=() 2 2 A.a ﹣2a﹣16 B.a +2a﹣16 C.16 D.﹣16

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)函数 y=lg(4+3x﹣x )的单调增区间为.

14. (5 分)设幂函数 f(x)=x

为偶函数,且在区间(0,+∞)为增函数则 m.

15. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数, 不等式 的解集为.

,则

16. (5 分)已知 f(x)是 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2 ,又 a 是 g(x)=ln(x+1)﹣ 的零点,比较 f(a) ,f(﹣2) ,f(1.5)的大小,用小于符号连接为.

x

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出证明过程或解题步骤. )

17. (15 分) (1)求

的值;

(2)求

的值.

18. (10 分)已知集合 A={x|x ﹣2ax+4a ﹣3=0},集合 B={x|x ﹣x﹣2=0},集合 C={x|x +2x ﹣8=0} (1)是否存在实数 a,使 A∩B=A∪B?若存在,试求 a 的值,若不存在,说明理由; (2)若 A∩B≠?,A∩C=?,求 a 的值. 19. (10 分)已知函数 (1)求 a 的值,判断 f(x)在 R 上的单调性并用定义证明; (2)当 x∈(0,1)时,mf(x)>2 ﹣2 恒成立,求实数 m 的取值范围.
x

2

2

2

2

是定义在实数集 R 上的奇函数.

20. (10 分)已知 a>0,且 a≠1,



(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断并证明 f(x)的奇偶性与单调性; 2 (3)对于 f(x) ,当 x∈(﹣1,1)时,有 f(1﹣m)+f(1﹣m )<0,求实数 m 的集合 M.

21. (10 分)已知函数 f(x)=



(1)求 f(f( ) )的值; (2)画出函数的图象,并根据图象写出函数的值域和单调区间; (3)若函数 g(x)=f(x)﹣m 有四个不同零点,求 m 的取值范围,并求出这四个零点的和. 22. (15 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+5(a>1) , (Ⅰ)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,且对任意的 x∈[1,a+1],都有 f(x)≤0,求实 数 a 的取值范围; x (Ⅲ)若 g(x)=2 +log2(x+1) ,且对任意的 x∈[0,1],都存在 x0∈[0,1],使得 f(x0)=g (x)成立,求实数 a 的取值范围.
2

2014-2015 学年河南省郑州市新郑市高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)设全集 U=R,集合 M={x|y= 合是() },N={y|y=3﹣2 },则图中阴影部分表示的集
x

A.{x| <x≤3}

B.{x| <x<3}

C.{x| ≤x<2}

D.{x| <x<2}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 计算题. 分析: 首先化简集合 A 和 B,然后根据 Venn 图求出结果. 解答: 解:∵M={x|y=
x

}={x|x≤ }

N={y|y=3﹣2 }={y|y<3} 图中的阴影部分表示集合 N 去掉集合 M

∴图中阴影部分表示的集合{x| <x<3} 故选:B. 点评: 本题考查了求 Venn 图表示得集合,关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元 素特征,再通过集合运算求出. 2. (5 分)设 f(x)=lg ,则 f( )+f( )的定义域为() B.(﹣4,﹣2)∪(2,4) (﹣4,﹣1)∪(1,4) C. (﹣4,0)

A.(﹣2,﹣1)∪(1,2) ∪(0,4) D. 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 先求函数 f(x)的定义域,再把 、 代入 f(x)的定义域的范围解题.

解答: 解:函数 f(x)的定义域为:

,解得﹣2<x<2,

∴f( )+f( )的定义域应满足:



解得﹣4<x<﹣1,或 1<x<4 故选:D. 点评: 本题属于以函数的定义为平台,求集合的交集的基础题,也是高考常会考的题型, 此题是基础题.

3. (5 分)函数 f(x)= A.2 B. 3

,则 f[f(﹣2)]=() C. 4 D.5

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据解析式先求 f(﹣2)=8,再求 f(8) ,即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,

∴f(﹣2)=﹣2(﹣2﹣2)=8 ∴[f(﹣2)]=f(8)=log28=3, 故选:B, 点评: 本题考查了函数的概念,性质,属于计算题.

4. (5 分)定义 f(x)是 R 上的奇函数且为减函数,若 m+n≥0,给出下列不等式: (1)f(m) ?f(﹣m)≤0; (2)f(m)+f(n)≥f(﹣m)+f(﹣n) ; (3)f(n)?f(﹣n)≥0; (4)f(m) +f(n)≤f(﹣m)+f(﹣n)其中正确的是() A.(1)和(4) B.(2)和(3) C.(1)和(3) D.(2)和(4) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 由奇函数性质得 f(﹣x)=﹣f(x) ,据此可判断(1) (3)的正确性;由 m+n≥0,得 m≥﹣n,利用函数单调性可比较 f(m)与 f(﹣n)大小,同理可比较 f(n)与 f(﹣m)的大 小,结合不等式性质可判断(2) (4)的正确性; 解答: 解:因为 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(m)?f(﹣m)=f(m)?[﹣f(m)]=﹣[f (m)] ≤0,故(1)正确; 由(1)的正确性可知(3)错误; 由 m+n≥0,得 m≥﹣n,因为 f(x)单调递减,所以 f(m)≤f(﹣n) ,同理可得 f(n)≤f(﹣ m) ,所以 f(m)+f(n)≤f(﹣m)+f(﹣n) ,故(4)正确; 由(4)正确性可得(2)错误; 故选 A. 点评: 本题考查函数奇偶性、单调性及其应用,考查学生灵活运用所学知识分析解决问题 的能力,属中档题. 5. (5 分)设 x0 是函数 f(x)=lnx+x﹣4 的零点,则 x0 所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得 f(2)<0,f(3)>0,再根据函数的零点的判定定理求得函 数的零点 x0 所在的区间. 解答: 解:∵x0 是函数 f(x)=1nx+x﹣4 的零点,f(2)=ln2﹣2<0,f(3)=ln3﹣1>0, ∴函数的零点 x0 所在的区间为(2,3) , 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题. 6. (5 分)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}的子集个数是() A.5 B. 8 C.16 D.32 考点: 子集与真子集. 专题: 集合. 分析: 根据条件先写出集合 B 的元素,再求集合 B 的子集的个数. 解答: 解:因为集合 A={0,1,2},集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}, 所以 B={0,1,﹣1,﹣2,2}, 5 故集合 B 有 2 =32 个子集. 故选 D. 点评: 本题考查集合的子集个数问题,对于集合 M 的子集问题一般来说,若 M 中有 n 个元 n 素,则集合 M 的子集共有 2 个,此题是基础题.
2

7. (5 分)函数 y=x|x|的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断函数的奇偶性,可知函数为奇函数,排除 A,B,当 x>0 时,y=x ,根据 y=x 的图象排除 D,问题得以解决. 解答: 解:∵f(x)=x|x| ∴f(﹣x)=﹣x|x|=﹣f(x) ∴函数 f(x)=x|x|为奇函数,排除 A,B, 当 x>0 时,y=x ,根据 y=x 的图象排除 D 故选 C. 点评: 本题考查了奇函数的性质,以及常见函数的图象,本题有助于使学生更好的掌握分 析函数图象的一般方法,属于基础题. 8. (5 分)已知 a=log2 ,b=2 ,c=0.2 ,则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 看清对数的底数,底数大于 1,对数是一个增函数,0.3 的对数小于 1 的对数,得到 a 小于 0,根据指数函数的性质,得到 b 大于 1,而 c 小于 1,根据三个数字与 0,1 之间的关 系,得到它们的大小关系. 解答: 解:由对数和指数的性质可知, ∵a=log20.3<0 0.1 0 b=2 >2 =1 1.3 0.20=1 c=0.2 < ∴a<c<b 故选:B. 点评: 本题考查对数的性质,考查指数的性质,考查比较大小,在比较大小时,若所给的 数字不具有相同的底数,需要找一个中间量,把要比较大小的数字用不等号连接起来.
0.3 0.1 1.3 2 2 2 2

9. (5 分)已知 f(x)= 围是() A. B.(1, ]

是 R 上的增函数,那么实数 a 的取值范

C.(0,1)

D.(1,+∞)

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 ,由此解得 a 的范围.

解答: 解:因为已知 f(x)=

是 R 上的增函数,

故有

,解得 1<a≤ ,

故选 B. 点评: 本题主要考查函数的单调性,属于中档题.

10. (5 分)对于函数 ①f(x1+x2)=f(x1)?f(x2) ; ②f(x1?x2)=f(x1)?f(x2) ; ③ ;

定义域内的任意 x1,x2 且 x1≠x2,给出下列结论:

④ A.1 B. 2

,其中正确结论的个数为() C. 3 D.4

考点: 命题的真假判断与应用;抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的性质,代入分别进行判断即可. 解答: 解:①当 x1=1,x2=2 时,f(x1+x2)=f(2)= ∴①错误; ②f(x1?x2)=

,f(x1)?f(x2)=



=f(x1)?f(x2) ,∴②正确.

③满足条件 正确;

的函数为增函数, ∴函数

为增函数, ∴③

④满足条件

的函数为凸函数,∴④正确.

故②③④正确. 故选:C. 点评: 本题主要考查幂函数的图象和性质,要求熟练掌握指数幂的运算,和幂函数的性质. 11. (5 分)己知函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(﹣∞,1)时,函数 f(x)单调递减,设 a=f ( ) ,b=f(﹣1) ,c=f(2) ,则 a,b,c 的大小关系为() B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a

A.c<a<b

考点: 不等关系与不等式. 专题: 综合题. 分析: 由函数 f(x+1)是偶函数,且当 x∈(﹣∞,1)时,函数 f(x)单调递减作出函数 f (x)的图象的大致形状,结合图象可以得到 a,b,c 的大小关系. 解答: 解:因为函数 f(x+1)是偶函数,所以其图象关于直线 x=0 对称, 所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 x∈(﹣∞,1)时,函数 f(x)单调递减,其图象大致形状如图, 由图象可知,f(2)<f( 即 c<a<b. 故选 A. )<f(1) .

点评: 本题考查了不等关系与不等式,考查了函数的性质,训练了数形结合的解题思想方 法,是基础题. 12. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2(a+2)x+a ,g(x)=﹣x +2(a﹣2)x﹣a +8.设 H1(X) =max{f(x) ,g(x)},max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,q}表示 p,q 中的较小值, 记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A﹣B=() 2 2 A.a ﹣2a﹣16 B.a +2a﹣16 C.16 D.﹣16 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 本选择题宜采用特殊值法.取 a=﹣2,则 f(x)=x +4,g(x)=﹣x ﹣8x+4.画出它 们的图象,如图所示.从而得出 H1(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H2(x)的最 大值为两图象左边交点的纵坐标,再将两函数图象对应的方程组成方程组,求解即得.
2 2 2 2

解答: 解:取 a=﹣2,则 f(x)=x +4,g(x)=﹣x ﹣8x+4.画出它们的图象,如图所

2

2

示. 则 H1(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H2(x)的最大值为两图象左边交点的纵坐 标, 由

解得





∴A=4,B=20,A﹣B=﹣16. 故选 D. 点评: 本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等,考查了数形结合的思 想,属于中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 y=lg(4+3x﹣x )的单调增区间为(﹣, ].
2

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 2 分析: 函数 y=lg(4+3x﹣x )的增区间即为函数 y=4+3x﹣x 的增区间且 4+3x﹣x >0,由 此即可求得. 解答: 解:由 4+3x﹣x >0,解得﹣1<x<4, 所以函数的定义域为(﹣1,4) . 2 2 2 函数 y=lg(4+3x﹣x )的增区间即为函数 y=4+3x﹣x 的增区间且 4+3x﹣x >0, 因此所求增区间为(﹣1, ]. 故答案为: (﹣1, ]. 点评: 本题考查复合函数单调性,复合函数单调性的判断方法为“同增异减”,注意函数定义 域,单调区间必为定义域的子集.
2

14. (5 分)设幂函数 f(x)=x

为偶函数,且在区间(0,+∞)为增函数则 m1.

考点: 幂函数图象及其与指数的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于幂函数 f(x)=x m +2m+3>0,且为偶数. 解答: 解:∵幂函数 f(x)=x
2 2

为偶函数,且在区间(0,+∞)为增函数,可得﹣

为偶函数,且在区间(0,+∞)为增函数,

∴﹣m +2m+3>0,且为偶数. 解得﹣1<m<3, ∴m=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了幂函数的奇偶性与单调性,属于基础题.

15. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数, 不等式 的解集为 .

,则

考点: 其他不等式的解法;函数单调性的性质;偶函数. 专题: 计算题. 分析: 利用偶函数的图象关于 y 轴对称,又且在[0,+∞)上为增函数,将不等式中的抽象 法则 f 脱去,解对数不等式求出解集. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数 又∵ ,





解得 故答案为 .

点评: 本题考查利用函数的对称性及函数的单调性脱抽象的法则,将抽象不等式转化为具 体不等式解.

16. (5 分)已知 f(x)是 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2 ,又 a 是 g(x)=ln(x+1)﹣ 的零点,比较 f(a) ,f(﹣2) ,f(1.5)的大小,用小于符号连接为 f(1.5)<f(a)<f(﹣ 2) . . 考点: 不等关系与不等式;函数的零点. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用函数零点判定定理和函数的单调性可得 a∈(1.5,2) .利用 f(x)是 R 上的偶函 x 数,可得 f(﹣2)=f(2) .当 x≥0 时,f(x)=2 单调递增,即可得出. 解答: 解:∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(﹣2)=f(2) . ∵g(1.5)=ln2.5﹣ <0,g(2)=ln3﹣1>0,且函数 g(x)在 x>0 时单调递增, ∴函数 g(x)的零点 a∈(1.5,2) . x ∵当 x≥0 时,f(x)=2 单调递增, ∴f(2)>f(a)>f(1.5) . 故答案为 f(1.5)<f(a)<f(﹣2) . 点评: 熟练掌握函数零点判定定理和函数的单调性、函数的奇偶性、f(x)=2 单调性等是 解题的关键. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出证明过程或解题步骤. )
x

x

17. (15 分) (1)求

的值;

(2)求

的值.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)根据指数的运算性质 a ?a =a
m n m+n



=a

m﹣n

,进行指数运算,可得答案;
n

(2)根据对数的换底公式 logab= 对数运算,可得答案.

,及对数的运算性质 lgm =nlgm;lgm+lgn=lgmn,进行

解答: 解: (1)原式=5×(﹣4)×(﹣ )× (2)原式=( + ) (
2

×
2

=24×1×

=



+

+

)+(lg2) +(2lg2+lg5)×lg5 .

=2+ +1+ +1+ +(lg2) +(1+lg2) (1﹣lg2)=6+ +1=

点评: 本题考查了指数的运算性质,考查了对数的运算性质及对数的换底公式,考查了学 生的运算能力,计算要细心. 18. (10 分)已知集合 A={x|x ﹣2ax+4a ﹣3=0},集合 B={x|x ﹣x﹣2=0},集合 C={x|x +2x ﹣8=0} (1)是否存在实数 a,使 A∩B=A∪B?若存在,试求 a 的值,若不存在,说明理由; (2)若 A∩B≠?,A∩C=?,求 a 的值. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 规律型. 分析: (1)利用条件 A∩B=A∪B,得 A=B,然后根据集合相等确定 a 的值, (2)根据 A∩B≠?,A∩C=?,即可求 a 的值. 解答: 解: (1)若 A∩B=A∪B,则 A=B, 2 ∵B={x|x ﹣x﹣2=0}={﹣1,2}, ∴A={﹣1,2}, 2 2 即﹣1 和 2 是方程 x ﹣2ax+4a ﹣3=0 的两个根, ∴ ,
2 2 2 2



.满足△ >0,∴a 存在.

(2)若 A∩B≠?,A∩C=?,则可知集合 A 中无﹣4,2.至少有一个元素﹣1. 当 A={﹣1}时,

当 A={﹣1,x},x≠2 时,



点评: 本题主要考查了集合的基本运算,以及集合关系的应用,考查学生的运算和推理能 力. 19. (10 分)已知函数 是定义在实数集 R 上的奇函数.

(1)求 a 的值,判断 f(x)在 R 上的单调性并用定义证明; x (2)当 x∈(0,1)时,mf(x)>2 ﹣2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用奇函数的性质,可知 f(0)=0,即可求出 a,设 x1<x2,作差 f(x2)﹣f (x1) ,化简判断符号,即可证明函数的单调性; x 2 x (2)将 f(x)代入不等式化简可得, (2 ) ﹣(m+1)2 +m﹣2<0 对 x∈(0,1)恒成立, 然后利用换元法转化成二次函数恒成立,列出不等式组,求解即可得实数 m 的取值范围. 解答: 解:∵函数 是定义在实数集 R 上的奇函数,

∴f(0)=0,可得 a=2, ∴ .

设 x1<x2,则 f(x2)﹣f(x1)= ∵x1<x2, ∴ ,即 ﹣ >0, ( +1) (

=



+1)>0,

∴f(x2)﹣f(x1)=

>0,即 f(x2)>f(x1) ,

∴f(x)是 R 上的单调递增函数. x x 2 x (2)由题意,当 x∈(0,1)时,mf(x)>2 ﹣2 恒成立,即(2 ) ﹣(m+1)2 +m﹣2<0 对 x∈(0,1)恒成立, x 令 t=2 , ∵x∈(0,1) , ∴t∈(1,2) , 2 ∴t ﹣(m+1)t+m﹣2<0 对于 t∈(1,2)恒成立, 2 令 g(t)=t ﹣(m+1)t+m﹣2, 则有 ,

∴m 的取值范围是 m≥0. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性的定义在证明函数的单调性的应用, 抽象函数的单调性在求解不等式中的应用,属于函数知识的综合应用.

20. (10 分)已知 a>0,且 a≠1,



(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断并证明 f(x)的奇偶性与单调性; 2 (3)对于 f(x) ,当 x∈(﹣1,1)时,有 f(1﹣m)+f(1﹣m )<0,求实数 m 的集合 M. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 计算题. t 分析: (1)利用对数函数的性质结合换元法令 t=logax,从而推出 x=a ,导出 f(t)后,直 接把 f(t)中的变量 t 都换成 x 就得到 f(x) . (2)求出 f(﹣x) ,然后把 f(﹣x)和 f(x)进行比较,若 f(﹣x)=f(x) ,则 f(x)是奇 函数;若 f(﹣x)=﹣f(x) ,则 f(x)是偶函数;若 f(﹣x)≠±f(x) ,则 f(x)是非奇非偶 函数.利用单调函数的定义和性质证明单调性. (3)结合 f(x)的奇偶性与单调性进行求解.y=f(x) , (x∈R)既是奇函数又是增函数,故 2 2 2 由 f(1﹣m)+f(1﹣m )<0 可知 f(1﹣m)<﹣f(1﹣m ) ,即 f(1﹣m)<f(m ﹣1) ,再 y=f(x)在(﹣1,1)上是增函数求解 m 的取值范围.

解答: 解: (1)令 t=logax(t∈R) , 则 x=a ,
t





(x∈R) .

(2) ∵ ∴f(x)为奇函数. 当 a>1 时,指数函数 y=a 是增函数, ∴y=a ﹣a 又因为
x
﹣x

, 且 x∈R,

x

是减函数,y=﹣a

﹣x

是增函数.

为增函数, ,


x

, (x∈R)是增函数.

当 0<a<1 时,指数函数 y=a 是减函数, 是增函数,y=﹣a ∴u(x)=a ﹣a 又因为
x
﹣x ﹣x

是减函数.

为减函数. ,



, (x∈R)是增函数.

综上可知,在 a>1 或 0<a<1 时,y=f(x) , (x∈R)都是增函数. (3)由(2)可知 y=f(x) , (x∈R)既是奇函数又是增函数. 2 ∵f(1﹣m)+f(1﹣m )<0, 2 ∴f(1﹣m)<﹣f(1﹣m ) , 又 y=f(x) , (x∈R)是奇函数, ∴f(1﹣m)<f(m ﹣1) , , 因为函数 y=f(x)在(﹣1,1)上是增函数, 2 ∴﹣1<1﹣m<m ﹣1<1, 解之得: . 点评: 合理选取函数的性质能够有效地简化运算.
2

21. (10 分)已知函数 f(x)=



(1)求 f(f( ) )的值; (2)画出函数的图象,并根据图象写出函数的值域和单调区间; (3)若函数 g(x)=f(x)﹣m 有四个不同零点,求 m 的取值范围,并求出这四个零点的和. 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用分段函数,直接代入求值即可. (2)根据分段函数,作出函数的图象,结合图象确定函数的值域和单调区间. (3)利用方程 f(x)=m 有四个根,建立条件关系,求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1) = ,∴ = .

(2)在平面直角坐标系内画出此分段函数的图象为:

由图象可知,函数的值域是(﹣∞,1], 单调增区间(﹣∞,﹣1]和[0,1], 减区间[﹣1,0]和[1,+∞) . (3)若函数 g(x)=f(x)﹣m 有四个不同零点,∴方程 f(x)=m 有四个根, ∴根据图象可得实数 m 的取值范围是 0<m<1, 由图象判断 f(x)是偶函数,所以这四个根的和是 0. 点评: 本题主要考查分段函数的图象和性质,以及函数图象交点问题的应用,利用数形结 合是解决此类问题的基本方法. 22. (15 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+5(a>1) , (Ⅰ)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,且对任意的 x∈[1,a+1],都有 f(x)≤0,求实 数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 g(x)=2 +log2(x+1) ,且对任意的 x∈[0,1],都存在 x0∈[0,1],使得 f(x0)=g (x)成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (I)由函数 f(x)的解析式,可得函数在(﹣∞,a]上单调递减,进而得到 f(x) 在[1,a]上单调递减,则 ,由此构造关于 a 的方程组,解之可得答案.
x 2

(Ⅱ)若 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,则(﹣∞,2]?(﹣∞,a],进而结合 x∈[1, a+1]时,f(x)max=f(1) ,构造关于 a 的不等式,解不等式,可得答案. (III)由函数 g(x)在[0,1]上递增,f(x)在[0,1]上递减,可分别求出两个函数的值域, 若对任意的 x∈[0,1],都存在 x0∈[0,1],使得 f(x0)=g(x)成立;则两个函数的值域满足: [1,3]?[6﹣2a,5],进而可得答案. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=x ﹣2ax+5=(x﹣a) +(5﹣a ) ∴f(x)在(﹣∞,a]上单调递减,又 a>1, ∴f(x)在[1,a]上单调递减, ∴ ,





∴a=2(4 分) (Ⅱ)∵f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数, ∴(﹣∞,2]?(﹣∞,a] ∴a≥2 ∴|1﹣a|≥|(a+1)﹣a|,f(1)≥f(a+1) ∴x∈[1,a+1]时,f(x)max=f(1) , 又∵对任意的 x∈[1,a+1],都有 f(x)≤0, ∴f(1)≤0,即 1﹣2a+5≤0, ∴a≥3(8 分) x (Ⅲ)∵g(x)=2 +log2(x+1)在[0,1]上递增,f(x)在[0,1]上递减, 当 x∈[0,1]时,g(x)∈[1,3],f(x)∈[6﹣2a,5] ∵对任意的 x∈[0,1],都存在 x0∈[0,1],使得 f(x0)=g(x)成立; ∴[1,3]?[6﹣2a,5] ∴6﹣2a≤1, 即 .

点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,函数的值域,函数的单调性,是函数 图象和性质的综合应用,难度中档.


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