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2018-2019版高中数学第二章数列2.3.2等差数列前n项和的性质与应用课件新人教A版必修5_图文

第2课时 等差数列前n项和 的性质与应用 课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.掌握等差数列前 n 项和 的性质及其应用. 2.掌握等差数列前 n 项和 的最值的求法. 3.掌握等差数列各项绝对 值的和的求法. 等差数列前 n 等差数列前 n 项和的性质 项和的性质 等差数列前 n 项和的最值 等差数列各项的绝对值的和 一 二 一、等差数列前 n 项和的性质 【问题思考】 1.等差数列前 n 项和的性质: (1)若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则数列 公差为 . (2)设等差数列{an}的公差为 d,Sn 为其前 n 项和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为 m2d. (3)设两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,则 2-1 2-1 2 也是等差数列,且 = . (4)若等差数列{an}的项数为 2n,则 S2n=n(an+an+1), S 偶-S 奇=nd, 偶 奇 = +1 . (5)若等差数列{an}的项数为 2n+1,则 S2n+1=(2n+1)an+1, S 偶-S 奇=-an+1, 偶 奇 = . +1 2.做 一做: (1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30, 则其公差为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则 S6= . 解析(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得 d=3. (2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列, ∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15. 答案(1)C (2)15 一 二 二、等差数列前n项和的最值 【问题思考】 1.如何求等差数列前n项和的最值? 提示 (1)在等差数列{an}中,当 a1>0,d>0 时,前 n 项和 Sn 有最小值 S1; (2)在等差数列{an}中,当 a1<0,d<0 时,前 n 项和 Sn 有最大值 S1; (3)在等差数列{an}中,当 a1>0,d<0 时,前 n 项和 Sn 有最大值,Sn 取得 ≥ 0, 最大值的 n 的值可由不等式组 确定; +1 ≤ 0 (4)在等差数列{an}中,当 a1<0,d>0 时,前 n 项和 Sn 有最小值,Sn 取得 ≤ 0, 最小值的 n 的值可由不等式组 确定. +1 ≥ 0 (5)由于等差数列{an}的前 n 项和 Sn=na1+ (-1) 2 d= n + 2 2 1 - 2 n,因此 从二次函数的角度看,当 d>0 时,Sn 有最小值;当 d<0 时,Sn 有最大值; 且当 n 取最接近对应函数图象对称轴的正整数时,Sn 取得最值. (6)对于公差不为 0 的等差数列{an},使得其前 n 项和 Sn 取得最值的 n 的值可能有 1 个或 2 个. 2.做一做: (1)在等差数列{an}中,an=21-3n,则当其前n项和Sn取最大值时,n的值 等于 . (2)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-48n,则Sn的最小值为 . 解析(1)由已知,得当n<7时,an>0,a7=0,当n>7时,an<0,所以当Sn取最 大值时,n的值为6或7. (2)Sn=n2-48n=(n-24)2-576. ∵n∈N*,∴当n=24时,Sn有最小值-576. 答案(1)6或7 (2)-576 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的 画“×”. (1)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n+1=(2n+1)an. ( ) (2)若等差数列{an}共有20项,则S奇S偶=a9a10. ( ) (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S5,S10,S15也成等差数列.( (4)若无穷等差数列{an}的公差d>0,则其前n项和Sn不存在最大 值. ( ) (5)若数列{an}为等差数列,则数列{|an|}一定不是等差数列. ( ) 答案(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× ) 1 2 3 【例 1】 导学号 04994036(1)在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和.若 a6+a8+a10=33,则 S15= S9= ; ; (2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=9,S6=36,则 7 ,则 +3 (3)等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别是 Sn 和 Tn,已知 5 = 5 = . 思路分析 运用等差数列前 n 项和的性质解决问题. 解析 (1)因为 a6+a8+a10=33,所以 3a8=33,即 a8=11,故 S15= 15(1 +15) =15a8=15×11=165. 2 (2)由题意,得 S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列,所以 2(S6-S3)=S3+S9-S6,即 2×(36-9)=9+S9-36,解得 S9=81. (3)由等差数列前 n 项和的性质,得 5 5 9(1 +9 ) 2 9(1 +9 ) 2 = = 9 9 = 7×9 9+3 = 21 . 4 答案 (1)165 (2)81 (3) 21 4 反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时,先利用已知求出a1,d,再求所求,是基本 解法,有时运算量大些; (2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的 性质,那么可简化运算,为最优解法; (3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法. 变式训练1(1)已知等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和 与奇数项和之比为32∶27,则公差d= . (2)在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项 的和为150,则n的值为 . 奇 + 偶 = 354, 偶 = 192, 解析