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河南省郑州市星源外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年河南省郑州市星源外国语学校高一(上)期中数学 试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知 U={1,2,3,4},A={1,3,4},B={2,3,4},那么?U(A∪B)=() A.{1,2} B.{1,2,3,4} C. φ D.{φ} 2. (5 分)化简 A.a 的结果是() B. C. a
2

D.

3. (5 分)下列函数是幂函数的是() A.y=2x
2

B.y=x +x
2

3

C.y=3

x

D.y=

4. (5 分)如果二次函数 y=x +mx+(m+3)有两个不同的零点,则 m 的取值范围是() A.(﹣2,6) B.[﹣2,6] C.{﹣2,6} D.(﹣∞,﹣2)∪(6, +∞) 5. (5 分)若函数 f(x)的定义域为[0,1],则函数 f(x+2)的定义域为() A.[0,1] B.[﹣2,﹣1] C.[2,3] D.无法确定

6. (5 分)若函数

则 f(log43)=()

A.

B. 3
2

C.

D.4

7. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣kx+4 在(﹣∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数, 则 k 等于() A.1 B. 2 C . ﹣1 D.﹣2 8. (5 分)函数 f(x)=|log2x|的图象是()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)函数 f(x)= A.(0,1)

(x∈R)的值域是() C.[0,1)
2

B.(0,1]

D.[0,1]

10. (5 分)设 A={(x,y)||x+1|+(y﹣2) =0},B={﹣1,0,1,2},则 A、B 两个集合的 关系是() A.A?B B.A?B C.A∈B D.以上都不对

11. (5 分)函数 f(x)=log2 A.关于原点对称 C. 关于 y 轴对称

的图象() B. 关于直线 y=﹣x 对称 D.关于直线 y=x 对称

12. (5 分)已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数, 那么该函数的值域 C 的不同情况有()种. A.6 B. 7 C. 8 D.27

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)已知集合 A={x|ax ﹣3x+2=0}至多有一个元素,则 a 的取值范围是. 14. (5 分)①附中高一年级聪明的学生; ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点; ③不小于 3 的正整数;

④ 的近似值; 考察以上能组成一个集合的是.

15. (5 分)已知

=.

16. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+3)?f(x)=﹣1,f(﹣1)=2,则 f=

三.解答题(共 70 分) 17. (10 分)已知:集合 求 A∪B. ,集合 B={y|y=x ﹣2x+1,x∈(0,3)},
2

18. (12 分) (1) (2)已知 .求 的值.

19. (12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2 ﹣1. 求: (1)f(x) ; (2)解不等式 f(x)<1. 20. (12 分)函数 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x +3x+2 (1)求 x>0 时,f(x)的解析式; (2)当 x∈[1,3]时,求 f(x)的最值. 21. (12 分)商店出售茶壶和茶杯,茶壶单价为每个 20 元,茶杯单价为每个 5 元,该店推出 两种促销优惠办法: (1)买 1 个茶壶赠送 1 个茶杯; (2)按总价打 9.2 折付款. 某顾客需要购买茶壶 4 个,茶杯若干个, (不少于 4 个) ,若以购买茶杯数为 x 个,付款数为 y (元) ,试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式,并讨论该顾客买同样多的茶杯 时,两种办法哪一种更省钱?
2

x

22. (12 分)已知函数 f(x)=x+ (1)判断函数的奇偶性; (2)求证:函数 f(x)在区间[3,+∞)上是单调增函数; (3)利用函数 f(x)的性质,求函数 f(x)在[﹣6,﹣3]上的值域.

2014-2015 学年河南省郑州市星源外国语学校高一(上) 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知 U={1,2,3,4},A={1,3,4},B={2,3,4},那么?U(A∪B)=() A.{1,2} B.{1,2,3,4} C. φ D.{φ} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由 A 与 B,求出两集合的并集,根据全集 U=R 求出并集的补角即可. 解答: 解:∵A={1,3,4},B={2,3,4}, ∴A∪B={1,2,3,4}, ∵全集 U={1,2,3,4}, ∴?U(A∪B)=?. 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)化简 A.a 的结果是() B. C. a
2

D.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 变根式为分数指数幂,由内向外逐次脱掉根式. 解答: 解: .

故选 B. 点评: 本题考查有理指数幂的化简求值,解答的关键是化根式为分数指数幂,是基础题. 3. (5 分)下列函数是幂函数的是() A.y=2x
2

B.y=x +x

3

C.y=3

x

D.y=

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 阅读型. 分析: A 是二次函数,B 是三次函数,C 是指数函数,D 是幂函数. 解答: 解:由函数的定义知: A 是二次函数, B 是三次函数, C 是指数函数,指数函数系数必须是 1, ;

D 是幂函数,幂函数 x 前面的系数必须为 1. 故选 D. 点评: 本题考查函数的定义,解题时要认真审题,仔细解答. 4. (5 分)如果二次函数 y=x +mx+(m+3)有两个不同的零点,则 m 的取值范围是() A.(﹣2,6) B.[﹣2,6] C.{﹣2,6} D.(﹣∞,﹣2)∪(6, +∞) 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 根据二次函数 y=x +mx+(m+3)有两个不同的零点,即得到△ >0,即关于 m 的不 等式 解答: 解:∵二次函数 y=x +mx+(m+3)有两个不同的零点 ∴△>0 2 即 m ﹣4(m+3)>0 解之得:m∈(﹣∞,﹣2)∪(6,+∞) 故选 D 点评: 本题考查了二次函数的性质,不等式的知识,属于基础题. 5. (5 分)若函数 f(x)的定义域为[0,1],则函数 f(x+2)的定义域为() A.[0,1] B.[﹣2,﹣1] C.[2,3] D.无法确定 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 原函数的定义域,即为 x+2 的范围,解不等式组即可得解. 解答: 解:∵原函数的定义域为[0,1], ∴0≤x+2≤1,解得﹣2≤x≤﹣1 ∴函数 fx+2)的定义域为[﹣2,﹣1]. 故选 B. 点评: 本题考查的知识点是函数的定义域及其求法,其中括号内整体的取值范围保持不变, 是解答此类问题的关键.
2 2

6. (5 分)若函数

则 f(log43)=()

A.

B. 3

C.

D.4

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 分析: 先判断 log43 的范围,0<log43<1,故代入 x∈[0,1]时的解析式,转化为对数恒等式 形式. log43 解答: 解:∵0<log43<1,∴f(log43)=4 =3 故选 B

点评: 本题考查分段函数的求值、对数恒等式等知识,属基本题型、基本运算的考查. 7. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣kx+4 在(﹣∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数, 则 k 等于() A.1 B. 2 C . ﹣1 D.﹣2 考点: 二次函数的性质. 专题: 综合题. 2 分析: 由已知中函数 f(x)=x ﹣kx+4 在(﹣∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数, 我们易判断出函数的对称轴, 根据二次函数的性质我们易构造关于 k 的方程, 解方程即可得到 答案. 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣kx+4 在(﹣∞,1)上是减函数, 在[1,+∞)上是增函数 ∴函数的对称轴为直线 x=1 即 =1 解得 k=2 故选 B 点评: 本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据已知判断出函数图象的对称轴是解 答本题的关键. 8. (5 分)函数 f(x)=|log2x|的图象是()
2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 数形结合.

分析: 要想判断函数 f(x)=|log2x|的图象,我们可以先将函数的解析式进行化简,观察到 函数的解析式中,含有绝对值符号,故可化为分段函数的形式,再根据基本初等函数的性质, 对其进行分析,找出符合函数性质的图象. 解答: 解:∵f(x)= 则函数的定义域为: (0,+∞) ,即函数图象只出现在 Y 轴右侧; 值域为: (0,+∞)即函数图象只出现在 X 轴上方; 在区间(0,1)上递减的曲线,在区间(1,+∞)上递增的曲线. 分析 A、B、C、D 四个答案,只有 A 满足要求 故选 A 点评: 要想判断函数的图象,我们先要求出其定义域,再化简解析式,分析其单调性、奇 偶性、周期性等性质,根据定义域、值域分析函数图象所处的区域,根据函数的性质分析函数 图象的形状,如果还不能判断的话,可以代入特殊值,根据特殊点的位置进行判断. 9. (5 分)函数 f(x)= A.(0,1) (x∈R)的值域是() C.[0,1) D.[0,1]

B.(0,1]

考点: 函数的值域. 分析: 本题为一道基础题,只要注意利用 x 的范围就可以. 解答: 解:∵函数 f(x)= ∴1+x ≥1, 所以原函数的值域是(0,1], 故选 B. 2 点评: 注意利用 x ≥0(x∈R) . 10. (5 分)设 A={(x,y)||x+1|+(y﹣2) =0},B={﹣1,0,1,2},则 A、B 两个集合的 关系是() A.A?B B.A?B C.A∈B D.以上都不对 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 常规题型. 分析: 由于元素的本质上两集合不一样,从而解决问题.即可得出 A 与 B 的关系. 解答: 解:由于 A={(x,y)||x+1|+(y﹣2) =0},则集合 A 为数对(﹣1,2)组成的集合 而集合 B={﹣1,0,1,2}的元素为实数,故 A、B 两个集合无任何关系. 故答案为 D 点评: 本题考查集合间关系的判断,属于基础题.注意集合的代表元素是实数还是数对.
2 2 2 2

(x∈R) ,

11. (5 分)函数 f(x)=log2 A.关于原点对称 C. 关于 y 轴对称

的图象() B. 关于直线 y=﹣x 对称 D.关于直线 y=x 对称

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据函数的奇偶性的定义判断函数 f(x)为奇函数,再根据奇函数的性质可得函 数 f(x)的图象关于原点对称. 解答: 解:∵函数 f(x)=log2 (﹣2,2) ,关于原点对称. 再根据 f(﹣x)=log =﹣f(x) ,可得函数 f(x)为奇函数,故函数的图象关于原点对称, ,∴ >0,求得﹣2<x<2,可得函数的定义域为

故选:A. 点评: 本题主要考查求函数的定义域,函数的奇偶性的判断,奇函数的图象特征,属于基 础题. 12. (5 分)已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数, 那么该函数的值域 C 的不同情况有()种. A.6 B. 7 C. 8 D.27 考点: 映射. 专题: 计算题. 分析: 定义域相同时,函数不同其定义域必不同,故本题求函数值域 C 的不同情况的问题 可以转化为求函数有多少种不同情况, 可根据函数的定义来研究, 由于函数是一对一或者多对 一的对应,且在 B 中的元素可能没有原像,故可以按函数对应的方式分类讨论.可分为一对 一,二对一,三对一三类进行研究. 解答: 解:由函数的定义知,此函数可以分为三类来进行研究 若函数的是三对一的对应,则值域为{4}、{5}、{6}三种情况 若函数是二对一的对应,{4,5}、{5,6}、{4,6}三种情况 若函数是一对一的对应,则值域为{4,5,6}共一种情况 综上知,函数的值域 C 的不同情况有 7 种 故选 B. 点评: 本题考点是映射,考查函数的概念,函数的定义,由于函数是一个一对一或者是多 对一的对应,本题解决值域个数的问题时,采取了分类讨论的方法,本题考查函数的基本概念 与数学的基本思想方法,是一道偏重于理解的好题. 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知集合 A={x|ax ﹣3x+2=0}至多有一个元素,则 a 的取值范围是
2



考点: 集合的确定性、互异性、无序性. 分析: 集合 A 为方程的解集,集合 A 中至多有一个元素,即方程至多有一个解,分 a=0 和 a≠0 进行讨论. 解答: 解:a=0 时,ax ﹣3x+2=0 即 x= ,A=
2

,符合要求;

a≠0 时,ax ﹣3x+2=0 至多有一个解,△ =9﹣8a≤0, 综上,a 的取值范围为 故答案为: 点评: 本题考查方程的解集问题和分类讨论思想,属基本题. 14. (5 分)①附中高一年级聪明的学生; ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点; ③不小于 3 的正整数; ④ 的近似值; 考察以上能组成一个集合的是②③. 考点: 集合的确定性、互异性、无序性. 专题: 阅读型. 分析: 直接由集合中元素的确定性逐一核对四个命题中的自然语言,由元素是否确定加以 判断. 解答: 解:因为直角坐标系中横、纵坐标相等的点是确定的,所以②能构成集合; 不小于 3 的正整数是确定的,所以③能构成集合; 附中高一年级聪明的学生,不是确定的,原因是没法界定什么样的学生为聪明的,所以①不 能构成集合; 的近似值没说明精确到哪一位,所以是不确定的,故④不能构成集合. 点评: 本题考查了集合中元素的特性,考查了确定性,是基础的概念题.

2

15. (5 分)已知

=1.

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 首先分析题目已知 2 =5 =10,求 来代入
x y

的值,故考虑到把 x 和 y 用对数的形式表达出

,再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得,即可得到答案.
x y

解答: 解:因为 2 =5 =10, 10 10 故 x=log2 ,y=log5 =1 故答案为:1. 点评: 此题主要考查对数的运算性质的问题,对数函数属于三级考点的内容,一般在高考 中以选择填空的形式出现,属于基础性试题同学们需要掌握.

16. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+3)?f(x)=﹣1,f(﹣1)=2,则 f=

考点: 函数奇偶性的性质;函数的周期性;函数的值. 专题: 计算题;压轴题. 分析: f(x+6)=﹣ =f(x) ,f(x)是周期函数,周期为 6,则有 f=f(﹣2)=﹣f

(2) ,令 x=﹣1 可得 f(2)的值,代入可得答案. 解答: 解:∵f(x+3)?f(x)=﹣1,f(﹣1)=2 ∴f(﹣1+3)?f(﹣1)=﹣1,f(2)=﹣ 由 f(x+3)=﹣ ,可得:f(x+6)=﹣ =f(x) ,

∴f(x)是周期为 6 的周期函数, ∴f=f(6×334+4)=f(4)=f(﹣2)=﹣f(2)= . 点评: 本题关键“寻规律,找周期”. 三.解答题(共 70 分) 17. (10 分)已知:集合 求 A∪B. 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 先化简集合 A 和 B,然后根据并集的定义得出答案. 解答: 解:∵集合
2

,集合 B={y|y=x ﹣2x+1,x∈(0,3)},

2

={x|﹣3≤x≤1}

集合 B={y|y=x ﹣2x+1,x∈(0,3)}={x|0≤x<4} ∴A∪B=[﹣3,4) . 点评: 本题考查集合的表示方法,两个集合的并集的定义和求法,求出 A 和 B,是解题的 关键.

18. (12 分) (1) (2)已知 .求 的值.

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)化根式为分数指数幂,然后利用对数式的运算性质化简求值; (2)求出函数的定义域,定义域关于原点对称,然后判断出函数式奇函数,利用基函数的性 质得答案. 解答: 解: (1)

= = = (2)由 又 所以 f(x)为奇函数,所以 ; 得:﹣1<x<1.所以 f(x)的定义域为: (﹣1,1) , = =0. ,

点评: 本题考查了对数式的运算性质,考查了基函数的性质,解答此题(2)的关键在于判 断函数 f(x)的奇偶性,是基础题. 19. (12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2 ﹣1. 求: (1)f(x) ; (2)解不等式 f(x)<1. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;指数函数单调性的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分段函数的特点是在不同区间上的对应法则不同,及此函数是奇函数可求出 f(x) ; 解不等式 f(x)<1 时也要分段讨论. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴对于任意实数 x,有 f(x)=﹣f (﹣x) ,且 f(0)=0, 设 x<0,则﹣x>0,于是 f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(2 ﹣1)=
﹣x

x



综上可知:f(x)=

(2)当 x>0 时,由 2 ﹣1<1,解得 x<1,∴0<x<1; 当 x=0 时,f(0)=0<1,∴x=0 适合; 当 x<0 时,f(x)= <1,∴x<0 皆适合.

x

综上可知:不等式 f(x)<1 的解集是{x|x<1}. 点评: 本题考查了分段函数的奇偶性及不等式,充分理解分段函数的特点及函数的奇偶性 是解决问题的关键. 20. (12 分)函数 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x +3x+2 (1)求 x>0 时,f(x)的解析式;
2

(2)当 x∈[1,3]时,求 f(x)的最值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用函数的奇偶性求出函数的解析式,再利用二次函数的性质求得 f(x)在 闭区间上的最值. 解答: 解: (1)设 x>0,则﹣x<0,由题意可得 f(﹣x)=(﹣x) +3(﹣x)+2=x ﹣3x+2= 2 ﹣f(x) ,∴f(x)=﹣x +3x﹣2.
2 2

再根据 f(x)为奇函数,f(0)=0,可得 f(x)=



(2)当 x∈[1,3]时,由于二次函数 f(x)在[1, ]上单调递增,在[ ,3]上单调递减, 故当 x= 时,f(x)取得最大值为 ,当 x=3 时,f(x)取得最小值为﹣2. 点评: 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式,求二次函数在闭区间上的最值, 属于基础题. 21. (12 分)商店出售茶壶和茶杯,茶壶单价为每个 20 元,茶杯单价为每个 5 元,该店推出 两种促销优惠办法: (1)买 1 个茶壶赠送 1 个茶杯; (2)按总价打 9.2 折付款. 某顾客需要购买茶壶 4 个,茶杯若干个, (不少于 4 个) ,若以购买茶杯数为 x 个,付款数为 y (元) ,试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式,并讨论该顾客买同样多的茶杯 时,两种办法哪一种更省钱? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: 先分别列出两家的费用,再分别根据 y1=y2,y1>y2,y1<y2 讨论,即可得出结论. 解答: 解:由题意, (1)买 1 个茶壶赠送 1 个茶杯,y1=20×4+5(x﹣4)=5x+60, (x≥4) ; (2)按总价打 9.2 折付款.y2=×9.2=4.6x+73.6, (x≥4) ; 由 y1=y2,即 5x+60=4.6x+73.6,得 x=34. ∴当 x=34 时,两种办法付款相同 由 y1<y2,即 5x+60<4.6x+73.6,得 4≤x<34 ∴当 4≤x<34 时,按优惠办法(1)更省钱; 由 y1>y2,即 5x+60>4.6x+73.6,得 x>34 ∴当 x>34 时,按优惠办法(2)更省钱. 点评: 本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建.解题的关键是研究商家的优惠政策, 并根据政策选择合适的方案

22. (12 分)已知函数 f(x)=x+ (1)判断函数的奇偶性; (2)求证:函数 f(x)在区间[3,+∞)上是单调增函数;

(3)利用函数 f(x)的性质,求函数 f(x)在[﹣6,﹣3]上的值域. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性; (2)根据函数单调性的定义即可证明函数 f(x)在区间[3,+∞)上是单调增函数; (3)根据函数奇偶性和单调性的性质即可求函数 f(x)在[﹣6,﹣3]上的值域. 解答: 解: (1)函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , 则 f(﹣x)=﹣x﹣ =﹣(x+ )=﹣f(x) , 则函数为减函数; (2)设 3≤x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=x1+ ﹣x2﹣ =(x1﹣x2)?( ) ,

∵3≤x1<x2, ∴x1﹣x2<0,x1x2>3, 则 f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) , 即函数 f(x)在区间[3,+∞)上是单调增函数; (3)∵函数 f(x)是奇函数,且在区间[3,+∞)上是单调增函数, ∴函数 f(x)在[﹣6,﹣3]上也为增函数, ∴f(﹣6)≤f(x)≤f(﹣3) , 即 ≤f(x)≤﹣6, ,﹣6].

故函数 f(x)在[﹣6,﹣3]上的值域为[

点评: 本题主要考查函数奇偶性,单调性和值域的性质考查,综合考查函数的性质,要求 熟练掌握相应的定义法进行证明和判断.


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