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高中数学(苏教版必修5)3.4.1基本不等式的证明


§ 3.4 a+b 基本不等式 ab≤ (a≥0,b≥0) 2 3.4.1 基本不等式的证明 一、基础过关 1 1 1.已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是________. a b 2.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是________. 1 1 2 b a ①a2+b2>2ab ②a+b≥2 ab ③ + > ④ + ≥2 a b ab a b 1 1 ?2 3.已知 m=a+ (a>2),n=? ?2?x -2 (x<0),则 m、n 之间的大小关系是________. a-2 4.设 0<a<1<b,则下列式子一定成立的有________. ①logab+logba≥2 ②logab+logba≥-2 ③logab+logba≤-2 ④logab+logba>2 2 5 5.若 lg x+lg y=1,则 + 的最小值为________. x y 6.已知 a,b∈(0,+∞),则下列不等式中恒成立的是________. 1 1? 1 ①a+b+ ≥2 2 ②(a+b)? ?a+b?≥4 ab 2ab ④ > ab a+b bc ca ab 7.设 a、b、c 都是正数,求证: + + ≥a+b+c. a b c x2+y2 8.已知 x>y>0,xy=1,求证: ≥2 2. x-y 二、能力提升 1 9.若 a<1,则 a+ 有最______(填“大”或“小”)值,为__________. a-1 x 10.若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围为________. x +3x+1 1 1 11.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2 3,则 + 的最大值为________. x y 12.已知 a,b,c 为不等正实数,且 abc=1. 1 1 1 求证: a+ b+ c< + + . a b c 三、探究与拓展 16 13.已知 a>b>0,求证:a2+ ≥16. b?a-b? 答案 3.m>n 4.③ 5.2 6.①②③ bc ca ab 7.证明 ∵a、b、c 都是正数,∴ 、 、 也都是正数. a b c bc ca ca ab bc ab ∴ + ≥2c, + ≥2a, + ≥2b, a b b c a c bc ca ab ? 三式相加得 2? ? a + b + c ?≥2(a+b+c), 1.4 2.④ a2+b2 ③ ≥2 ab ab bc ca ab 即 + + ≥a+b+c. a b c 8.证明 ∵xy=1, x2+y2 ?x-y?2+2xy ?x-y?2+2 ∴ = = x-y x-y x-y 2 2 =(x-y)+ ≥2 ?x-y?· x-y x-y =2 2. 2 ? ?x-y=x-y 当且仅当? , ? xy = 1 ? 时取等号. 6- 2 2 1 ? 9.大 -1 10.? ?5,+∞? 11.1 1 1 1 12.证明 ∵ + ≥2 =2 c, a b ab 1 1 1 + ≥2 =2 a, b c bc 1 1 1 + ≥2 =2 b, c a ac 1 1 1? ∴2? ?a+b+c?≥2( a+ b+ c), 1 1 1 即 + + ≥ a+ b+ c. a b c ∵a,b,c 为不等正实数, 1 1 1 ∴ a+ b+ c< + + . a b c 13.证明 方法一 ∵a>b>0,∴a-b>0. 16 16 ∴a2+ =[(a-b)+b]2+ b?a-b? b?a-b? 16 ≥[2 ?a-b?b]

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