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【高三总复习】2013高中数学技能特训:7-2简单几何体的表面积和体积(人教B版) 含解析


7-2 简单几何体的表面积和体积 基础巩固强化 1.(文)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在 一个球面上,则该球的表面积为( A.πa2 11 C. 3 πa2 [答案] B [解析] ) 7 B.3πa2 D.5πa2

三棱柱如图所示,由题意可知:球心在三棱柱上、下底面的中心 O1、O2 的连线的中点 O 处,连接 O1B、O1O、OB,其中 OB 即为球的
? 3a?2 ?a? 2 3a 3a ? 半径 R,由题意知:O1B=3× 2 = 3 ,所以半径 R2=?2?2+? ? ? ? 3 ?

7a2 = 12 , 7πa2 所以球的表面积是 S=4πR = 3 ,故选 B.
2

( 理 )(2012· 昆明第一中学模拟 ) 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱 柱.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在球 O 的球面上,且 AB 20 5 =AC=1,BC= 3,若球 O 的体积为 3 π,则这个直三棱柱的体积 等于( )

A.1 C.2 [答案] D

B. 2 D. 3

4πR3 20 5π [解析] 设球 O 的半径为 R, 则 3 = 3 , ∴R= 5, 设△ABC 外接圆半径为 r,BC 边上的高为 h,则 h= 3 ( 2 )2=r2, H ∴r=1;设棱柱的高为 H,则 R2=r2+( 2 )2, 1 1 ∴H=4,∴V 棱柱=2× 3×2×4= 3. 2.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) 3 1 12-? 2 ?2=2,(h-r)2+

A.2 2 C.3 [答案] B

B.1 1 D.3

[解析] 由几何体的三视图可知,该几何体是直三棱柱,其直观图 1 如图所示,其体积为 V=2× 2×1× 2=1.

3.如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半 径为 1cm 和半径为 3cm 的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体 如图(2)水平放置时, 液面高度为 20cm, 当这个几何体如图(3)水平放置 时,液面高度为 28cm,则这个简单几何体的总高度为( )

A.29cm [答案] A

B.30cm

C.32cm

D.48cm

[解析] 如图(2), 设下面圆柱高度为 H, 则上面小圆柱内液面高度 20-H,又设余下部分为 h,则图(3)中,下面圆柱高度为 h+20-H, 故上面圆柱液面高度为 28-(h+20-H)=H+8-h, 由两圆柱内液体体 积相等得

9πH+π(20-H)=π(h+20-H)+9π(H+8-h), ∴h=9,几何体总高度为 20+9=29cm. [点评] 抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度, 本题中 若设几何体的总高度为 H,由几何体的总容积一定,内装液体的体积 一定可得:π×32×(H-28)=π×12×(H-20),∴H=29(cm),解题过 程就简捷多了. 4.(2012· 山西高考联合模拟 )一个几何体是由若干个相同的正方体 组成的,其正视图和侧视图如图所示,则这个几何体最多可由这样的 正方体组成的个数为( )

A.12 个 C.14 个 [答案] B [解析]

B.13 个 D.18 个

由正视图知该几何体有三列,左右两排都存在 2 层的情

形,中间一排,只有一层,由侧视图知,该几何体有三行,前后两排 都存在 2 层的情形,中间一排只有一层,因此此几何体最多可由 13 个

小正方体组成,你能求出最少可由多少个小正方体构成吗? 5.(文)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已 32π 知这个球的体积为 3 ,那么这个三棱柱的体积是( A.96 3 C.24 3 [答案] B [解析] 已知正三棱柱的高为球的直径, 底面正三角形的内切圆等 于球的大圆. 设底面正三角形的边长为 a, 球的半径为 R, 则 a=2 3R, 4 32π 3 又3πR3= 3 ,∴R=2,a=4 3,于是 V= 4 a2· 2R=48 3. (理)已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥ BC,SA=AB=1,BC= 2,则球 O 的表面积等于( A.4π C.2π [答案] A [解析] B.3π D.π ) B.48 3 D.16 3 )

∵AB⊥BC,∴AC 为截面圆的直径,∴AC 中点为截面圆的圆心. 设 D 为 AC 中点,连 OD,则 OD⊥平面 ABC, ∵SA⊥平面 ABC, ∴SA∥OD.

连 SC,则 SC= SA2+AC2= 12+? 3?2=2. 又 SB= 2,BC= 2,∵SC2=SB2+BC2, ∴∠SBC=90° ,∵∠SAC=90° ,∴SC 为球 O 的直径, ∵2R=2,故 R=1,∴S 球=4πR2=4π,选 A. 6.(2012· 新课标全国,7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗 线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )

A.6 [答案] B

B.9

C.12

D.18

[解析] 由三视图知,该几何体是一个三棱锥,由俯视图知三棱锥 1 的底面是等腰三角形,底边长为 6,底边上的高为 3,面积 S=2×6×3 1 =9,由正视图和侧视图可知棱锥的高为 3,∴体积 V=3×9×3=9. 7.(2011· 湖州模拟)如图所示, 已知一个多面体的平面展开图由一个 边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体 积是________.

[答案]

2 6

[解析] 由展开图可知,该多面体是正四棱锥,底面正方形的边长 为 1,侧棱长也为 1, ∴高 h= 3 1 2 ? 2 ?2-?2?2= 2 ,

1 2 2 ∴体积 V=3×12× 2 = 6 . 8. (2012· 德州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示, 其主视图、 俯视图、左视图均为等腰直角三角形,且直角边长都为 1,则它的外接 球的表面积是________.

[答案] 3π [解析]

由主、左视图知,该几何体为锥体,由俯视图知,几何体底面为 等腰直角三角形,故几何体为三棱锥,由主、左视图知,几何体有一 侧棱与底面垂直, 此侧棱在左前方, 其直观图如图, 由条件知 AB、 AC、 AP 两两垂直,且都为 1,故它的外接球直径 2R= 12+12+12= 3, 3 ∴R= 2 , ∴球表面积 S=4πR2=3π. 9.已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ACB =90° ,AC=6,BC=CC1= 2,P 是 BC1 上一动点,如图所示,则 CP +PA1 的最小值为________.

[答案] 5 2 [解析] PA1 在平面 A1BC1 内,PC 在平面 BCC1 内,将其铺平后转 化为平面上的问题解决.计算 A1B=AB1= 40,BC1=2,又 A1C1=6, 故△A1BC1 是∠A1C1B=90° 的直角三角形. 铺平平面 A1BC1、 平面 BCC1,

如图所示.

CP+PA1≥A1C.在△AC1C 中,由余弦定理得, A1C= 62+? 2?2-2· 6· 2· cos135° =5 2,故(CP+PA1)min=5 2. [点评] 多面体或旋转体表面上两点的最短距离问题, 一般选择恰 当的棱或母线剪开展平,转化为平面上两点间线段最短问题解决. 10.(文)如图所示,从三棱锥 P-ABC 的顶点 P 沿着三条侧棱 PA、 PB、PC 剪开成平面图形得到△P1P2P3,且 P2P1=P2P3.

(1)在三棱锥 P-ABC 中,求证:PA⊥BC. (2)若 P1P2=26,P1P3=20,求三棱锥 P-ABC 的体积. [解析] (1)证明:由题设知 A、B、C 分别是 P1P3,P1P2,P2P3 的 中点,且 P2P1=P2P3, 从而 PB=PC,AB=AC, 取 BC 的中点 D,连 AD、PD, 则 AD⊥BC,PD⊥BC, ∴BC⊥平面 PAD.

故 PA⊥BC.

(2)由题设有, 1 AB=AC=2P1P2=13,PA=P1A=BC=10,PB=PC=P1B=13, ∴AD=PD= AB2-BD2=12, 在等腰三角形 DPA 中,底面 PA 上的高 h= 1 AD2-?2PA?2= 119,

1 ∴S△DPA=2PA· h=5 119, 又 BC⊥平面 PAD, ∴VP-ABC=VB-PDA+VC-PDA 1 1 =3BD· S△DPA+3DC· S△PDA 1 =3BC· S△PDA 1 =3×10×5 119 50 = 3 119. (理)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB.

(1)求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2,∠CDA=45° ,求四棱锥 P -ABCD 的体积. [解析] (1)证明:∵PA⊥底面 ABCD,CE?平面 ABCD ∴CE⊥PA,

又∵AB⊥AD,CE∥AB.∴CE⊥AD. 又∵PA∩AD=A,∴CE⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 CE⊥AD. 在 Rt△ECD 中,DE=CD· cos45° =1,CE=CD· sin45° =1. 又∵AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形. 1 ∴S 四边形 ABCD=S 矩形 ABCE+S△CDE=AB· AE+2CE· DE 1 5 =1×2+2×1×1=2.

又 PA⊥底面 ABCD,PA=1 1 1 5 5 所以 V 四棱锥 p-ABCD=3S 四边形 ABCD×PA=3×2×1=6. 能力拓展提升 11.(2011· 山东济南一模)一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm),则此几何体的表面积是( )

A.(80+16 2)cm2 C.(96+16 2)cm2 [答案] A [解析]

B.84cm2 D.96cm2

其直观图如上图所示,由三视图知,棱锥底面是边长为 4 的正方 形,高为 2,棱柱与棱锥同底,高为 4,因此棱锥的顶点到底边的距离

是 22+22=2 2cm, 1 故该几何体的表面积为 S = ( 2 ×4×2 2)×4 + (4×4)×5 = 80 + 16 2(cm2). 12.(文)(2011· 北京东城区练习)沿一个正方体三个面的对角线截得 的几何体如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )

[答案] B [解析]

左视图的投射线如图所示,则可取平面 BCC1B1 为投射面,点 A、 D、D1 的射影依次为 B、C、C1,从而线段 AB1、AD1 的投影依次为 BB1、 BC1,从左侧向右看,CC1 应在 BB1 的左侧,故选 B. (理)(2011· 安徽“江南十校”联考)已知一个棱长为 2 的正方体,被 一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )

A.8 17 C. 3 [答案] C

20 B. 3 14 D. 3

[解析] 由三视图可知, 该几何体是正方体 ABCD-A1B1C1D1 截去 三棱台 AEF-A1B1D1 后,所剩的几何体,由于正方体棱长为 2, 11 ∴所求体积 V=23-3(2+2+ 1 17 2×2)×2= 3 .

13.如图所示,在△ABC 中,∠C=90° ,∠A=30° ,BC=1.在三角 形内挖去半圆(圆心 O 在边 AC 上,半圆分别与 BC、AB 相切于点 C、 M,与 AC 交于点 N),则图中阴影部分绕直线 AC 旋转一周所得旋转体 的体积为______.

[答案] [解析]

5 3π 27 阴影部分绕 AC 旋转一周所得旋转体为圆锥中挖去一个

1 3 4π ? 3? 4 3π 球,圆锥的体积 V=3π×12× 3= 3 π,球体积 V1= 3 ×? ?3= 27 , ? 3? 3π 4 3π 5 3π 故所求体积为 3 - 27 = 27 . 14. 侧棱长为 2 3的正三棱锥 V-ABC 中, ∠AVB=∠BVC=∠CVA =40° ,过点 A 作截面 AEF,则截面△AEF 周长的最小值为________. [答案] 6

[解析] 沿侧棱 VA 剪开,侧面展开如图,线段 AA1 的长为所求△ AEF 周长的最小值,取 AA1 中点 D,则 VD⊥AA1,∠AVD=60° ,∴AA1 =2AD=6. 15.(2012· 新课标全国文,19)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧

1 棱垂直于底面,∠ACB=90° ,AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1 的中点.

(1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. [分析] (1)证两个平面垂直, 可转化为在其中一个平面内找到一条 直线与另一个平面垂直; (2)平面 BDC1 分棱柱成两部分,下面部分 B-ADC1C 为四棱锥, 可直接求体积,上面部分可用间接法求得体积,从而确定两部分体积 之比. [解析] (1)证明:由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. 又 DC1?平面 ACC1A1,所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45° , 所以∠CDC1=90° ,即 DC1⊥DC. 又 DC∩BC=C,所以 DC1⊥平面 BDC. 又 DC1?平面 BDC1,故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1,AC=1.

1 1+2 1 由题意得,V1=3× 2 ×1×1=2. 又三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=1,所以(V-V1):V1=1:1. 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1:1. [点评] 本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法. 求解几何 体的体积时,若遇不规则的几何体时,经常采用割补法和间接法求其 体积. 16.(2012· 河南六市联考)如图,已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=45° ,DC=1,AB=2,PA⊥平 面 ABCD,PA=1.

(1)求证:AB∥平面 PCD; (2)求证:BC⊥平面 PAC; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M-ACD 的体积. [证明] (1)由已知底面 ABCD 是直角梯形,AB∥DC, 又 AB?平面 PCD,CD?平面 PCD, ∴AB∥平面 PCD. (2)在直角梯形 ABCD 中, 过 C 作 CE⊥AB 于点 E, 则四边形 ADCE 为矩形, ∴AE=DC=1

又 AB=2,∴BE=1, 在 Rt△BEC 中,∠ABC=45° , ∴CE=BE=1,CB= 2,∴AD=CE=1, 则 AC= AD2+CD2= 2,AC2+BC2=AB2, ∴BC⊥AC. 又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC, 又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. (3)∵M 是 PC 中点, ∴M 到平面 ADC 的距离是 P 到平面 ADC 距离的一半. 1 1 1 1 1 1 ∴VM-ACD=3S△ACD· (2PA)=3×(2×1×1)×2=12.

1. 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2.动点 E、 F 在棱 A1B1 上,点 Q 是棱 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上.若 EF=1,DP=x, A1E=y(x,y 大于零),则三棱锥 P-EFQ 的体积

(

)

A.与 x、y 都有关 B.与 x、y 都无关 C.与 x 有关,与 y 无关 D.与 y 有关,与 x 无关

[答案] C 1 [解析] 设 P 到平面 EFQ 的距离为 h,则 VP-EFQ=3×S△EFQ· h,由 于 Q 为 CD 的中点,∴点 Q 到直线 EF 的距离为定值 2,又 EF=1, ∴S△EFQ 为定值, 而 P 点到平面 EFQ 的距离, 即 P 点到平面 A1B1CD 的 距离,显然与 x 有关与 y 无关,故选 C. 2.(2011· 北京市海淀区模拟)一个空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( )

A.5 [答案] D

B.4

C.3

D.2

[解析] 根据三视图可知几何体是四棱锥,其底面是上底长为 1, 下底长为 2,高为 2 的直角梯形,棱锥的高为 2,其体积为: 1 1 V=3×[(1+2)×2×2]×2=2. 3. 棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表 面上,E、F 分别是棱 AA1、DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线 段长为( 2 A. 1 ) B.1 2 C.1+ 2 D. 2

[答案] D 3 1 [解析] 由条件知球 O 半径为 2 ,球心 O 到直线 EF 的距离为2, 由垂径定理可知直线 EF 被球 O 截得的线段长 d=2
? 3?2 ?1?2 ? ? -? ? = 2. ?2? ?2 ?

4.如图是某几何体的三视图,其中正(主)视图是斜边长为 2a 的直 角三角形,侧(左)视图是半径为 a 的半圆,则该几何体的体积是( )

3 A. 6 πa3 3 C. 4 πa3 [答案] A

B. 3πa3 D.2 3πa3

[解析] 由侧(左)视图半圆可知,该几何体与圆柱、圆锥、球有关, 结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半 个圆锥将剖面放置在桌面上如图, 由条件知,圆锥的母线长为 2a,底面半径为 a,

故高 h= ?2a?2-a2= 3a,
? 1 ?1 3 体积 V=2×?3×πa2× 3a?= 6 πa3. ? ?

5.(2011· 潍坊二检)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的 三视图,则该多面体的体积为( )

142 A. 3 280 C. 3 [答案] B [解析]

284 B. 3 140 D. 3

截去一角在正视图中位于左侧上部,在侧视图中位于右侧上部, 结合俯视图可知,截去的一角应位于几何体的上部左前方,可画出多

面体的形状如图.这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的, 所以所求多面体的体积 V=V 284 ×2×2)×2= 3 . 6.(2012· 吉林省实验中学模拟)一个几何体的三视图如图所示,其 中俯视图与侧视图均为半径是 1 的圆,则这个几何体的体积是( )
长方体

-V

正三棱锥

1 1 = 4×4×6 - 3 ×( 2

4π A. 3 2π C. 3 [答案] B [解析]

B.π π D.3

由三视图知,该几何体是半径为 1 的球去掉了半球的一

3 3 4 半,故几何体是4个球,体积 V=4×(3π·13)=π.


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