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河北省衡水中学11-12学年高二上学期期末考试(数学理)

2011-2012 学年度高二上学期期末考试 高二年级数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的

序号填涂在答题卡上)

1. 已知变量 a,b 已被赋值,要交换 a、b 的值,采用的算法是(



A.a=b, b=a B.a=c, b=a, c=b C.a=c, b=a, c=a D.c=a, a=b, b=c

2. “ ab ? 0 ”是方程“ ax2 ? by2 ? c ”表示双曲线的(

)

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3. 甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 p1,乙解决这个问题的概率是

p2,那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是(



A. p1 p2

B. p1 (1 ? p2 ) ? p2 (1 ? p1 )

C.1 ? p1 p2

D.1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 )

4. 如果随机变量? N (?,? 2 ) ,且 E? ? 3, D? ? 1,那么 P(2 ? ? ? 4) 等于(



(其中 N(μ ,σ 2)在(μ -σ ,μ +σ )内的取值概率为 0.683;在(μ -2σ ,μ +2σ )内的取值

概率为 0.954;在(μ -3σ ,μ +3σ )内的取值概率为 0.997)

A.0.5

B.0.683

C.0.954

D.0.997

5. 若 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1x ? a2x2 ? a3x3 ? a4x4 , 则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的 值 为





A.1

B. ?1 C. 0 D. 2

6. 高二年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其它班

有 5 位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有 3 位同学恰好被排在一起(指

演讲序号相连),而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为:(



A. 1 10

B. 1 20

C. 1 40

D. 1 120

7. 10 件产品,其中 3 件是次品,任取两件,若? 表示取到次品的个数,则 E? 等于( )

A. 3 5

B. 8

C. 14

D.1

15

15

8. 从 6 个正方形拼成的 12 个顶点(如图)中任取 3 个顶点作为一

组,其中可以构成三角形的组数为 (

)

A.208

B.204

C.200

D.196

9. 20 名学生,任意分成甲、乙两组,每组 10 人,其中 2 名学生干部恰好被分在不同组内的

概率是





A.

C

C1 9
2 18

C

10 20

B.

2C

C1 8
2 18

C2100

C. 2C21C189 C2100

D.

C

C1 8
2 18

C

10 20

10. 空间 6 个点,任意四点都不共面,过其中任意两点均有一条直线,则成为异面直线的对

数为





A.15

B.30

C.45

D.60

11. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1000 个大小相同的小正方体,若将这些小正方体

均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是(



A. 1 12

B. 1 10

C. 3 25

D. 12 125

12.

椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F

,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点

P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是(



A.

? ???

0,

2?

2

? ?

B.

? ??

0,

1 2

? ??

C. ?? 2 ?1,1?

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

D.

? ??

12 ,1???

二、填空题(每题5分,共20分.把答案填.在.答.题.纸.的.横.线.上)

13. 设 a,b ?(0,1) ,则关于 x的方程x2 ? 2ax ? b2 ? 0 在 (??, ?) 上有两个不同的零点的概

率为______________.

14. 已知数据 x1, x2 ,?, xn 的平均数 x ? 5 ,方差 S 2 ? 4 则数据 3x1 ? 7,3x2 ? 7,?,3xn ? 7 的

标准差为



15. 从 1,2,3,…,20 这 20 个自然数中,每次任取 3 个数,若其和是大于 10 的偶数,则

这样的数组有

个。

16. 已知椭圆 C: x2 ? y2 ? 1(a>b>0)的离心率为 3 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的

a2 b2

2

直线于 C 相交于 A、B 两点,若 AF ? 3FB 。则 k ?



三、解答题:(本题有 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤)

把各题的解答过程写在答题纸上

17. (本题满分 10 分)从 4 名男生,3 名女生中选出三名代表,(1)不同的选法共有多少种?(2)

至少有一名女生的不同的选法共有多少种?(3)代表中男、女生都有的不同的选法共有多

少种?

18.

(本题满分

12

分)已知

? ? ?

3 x

?

3

x

?n ? ?

的展开式的各项系数之和等于

? ? ?

4

3

x

?

1 5x

?5 ? ?

展开

式中的常数项,求

? ?

?

3 x

?

3

x

n
? ??

展开式中含

x?1 的项的二项式系数.

19. (本题满分 12 分)某电视生产厂家今年推出 A、B、C、D 四种款式电视机,每种款式电视

机的外观均有黑色、银白色两种。四月份的电视机产量如下表(单位:台)

款式 A

款式 B

款式 C

款式 D

黑色

150

200

200

x

银白色

160

180

200

150

若按电视机的款式采取分层抽样的方法在这个月生产的电视机中抽取 70 台,其中有 C 种款式

的电视机 20 台。

(1) 求 x 的值;

(2) 若在 C 款式电视机中按颜色进行分层抽样抽取一个容量为 6 的样本,然后将该样本看

成一个总体,从中任取 2 台,求恰有 1 台黑色、1 台银白色电视的概率;

(3) 用简单随机抽样的方法从 A 种款式电视机中抽取 10 台,对其进行检测,它们的得分

如下:94,92,92,96,97,95,98,90,94,97。如果把这 10 台电视机的得分看

作一个样本,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 2 的概率。

20. (本题满分 12 分)某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加学校学 生会的干部竞选.
(1)设所选 3 人中女生人数为? ,求? 的分布列及数学期望;
(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.

21. (本题满分 12 分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最
上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将 3 次遇到
黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障
碍物时向左、右两边下落的概率都是12.
A
(Ⅰ)求小球落入 A 袋中的概率 P( A) ;

(Ⅱ)在容器入口处依次放入 4 个小球,记? 为落入 A 袋中小球的

B

个数,试求? ? 3 的概率和? 的数学期望 E? .

22.

(本题满分 12 分)如图,已知椭圆 E :

x2 8

?

y2 4

? 1 焦点为 F1、F2 ,

双曲线 G : x2 ? y2 ? 4 ,设 P 是双曲线 G 上异于顶点的任一点,

直线 PF1、PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D 。

(1) 设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1 和 k2 ,求 k1 k2 的值;

(2) 是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立?若存在,试求出 ? 的值;

若不存在,请说明理由。

2011-2012 学年度高二上学期期末考试

高二年级数学试卷答案

一、 选择题。

DABBA DACAC DD

二、填空题

13. 1 2

14. 6

三、解答题:

15. 564

16. 2

11.解:(1)即从 7 名学生中选出三名代表,共有选法 C73 ? 35 种;………………3 分

(2)至少有一名女生的不同选法共有 C31C42 ? C32C41 ? C33 ? 31 种;……………6 分

(3)男、女生都要有的不同的选法共有 C73 ? C43 ? C33 ? 30 种。………………10 分

? ? 12.解:设

? ?

4

3

x

?

?

1 5x

5
? ??

的展开式的通项为 Tr ?1

?

C5r

43 x

5?r

? ?

?

?

1

r
?

5x ??

?

? ??

?

1 5

r
? ??

?

45?r

C5r

?

10?5r
x6

,

?

r

?

0,1,

2,

3,

4,

5?

.………………………………4



若它为常数项,则 10 ? 5r 6

?

0,? r

?

2

,代入上式?T3

?

27

.

即常数项是

27,从而可得

? ?

?

3 x

?

3

x

?n ?



?

n=7,

…………………8 分

同理

? ? ?

3 x

?

3

x

7

? ?

由二项展开式的通项公式知,含

?

x?1 的项是第

4

项,

其二项式系数是 35.……………………………………………………12 分

13.解:(1)设该厂本月生产电视机共 n 台,由题意得 70 ? 20 n 400
所以 n ?1400, x ?1400 ?1240 ? 160
所以 x 的值为 160。
(2)在 C 款式电视机中按颜色进行分层抽样抽取一个容量为 6 的样本,所以抽取了 3 台黑色

电视机、3 台银白色电视机,从中任取两台,取法总数为 n ? C62 ? 15 种

取一黑一白的取法为

n

?

C31

? C31

?

9

种,?

p

?

m n

?

9 15

?

3 5

所以恰有 1 台黑色、、一台银白色电视机的概率为 3 。 5

(3)样本平均数为 x ? 1 (94 ? 92 ? 92 ? 96 ? 97 ? 95 ? 98 ? 90 ? 94 ? 97) ? 94.5 10

那么与样本平均数之差的绝对值不超过 2 的数为 94,96,95,94,

所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 2 的概率为 p ? 4 ? 2 。 10 5

14.(1)解:? 的所有可能取值为 0,1,2.…………………………1 分

依题意,得

P(?

?

0)

?

C34 C36

?

1 5



P(?

?

2)

?

C14C22 C36

?

1 5



∴? 的分布列为

P(?

? 1)

?

C24C12 C36

?

3 5



?

0

1

2

1

3

P

5

5

1

5

………………4 分

∴ E? ? 0? 1 ?1? 3 ? 2? 1 ? 1.…………………………………………………6 分 55 5

(2)解法 1:设“男生甲被选中”为事件 A ,“女生乙被选中”为事件 B ,

则 P? A? ?

C52 C36

?

1 , P? AB? ?
2

C14 C36

?

1, 5

………………………………………10 分



P

?

B

A?

?

P? AB? P? A?

?

2 5



故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为 2 .……………………12 分 5
解法 2:设“男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中”为事件 C ,

从 4 个男生、2 个女生中选 3 人,男生甲被选中的种数为 C52 ? 10 ,…………………………8


男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为 C14 ? 4 ,………………………………10 分

∴ P?C? ?

C14 C52

?4 10

?

2. 5

故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为 2 .………………………12 分 5

15.解: (Ⅰ)解法一:记小球落入 B 袋中的概率 P(B) ,则 P(A) ? P(B) ? 1 ,

由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入 B 袋,所以

P(B) ? (1)3 ? (1)3 ? 1 ‘………………………………………………………………… 2 分 2 24

? P(A) ? 1? 1 ? 3 . 44

……………………………………………………………… 5 分

解法二:由于小球每次遇到黑色障碍物时,有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右

下落时小球将落入 A 袋.

? P(A)

?

C31

(

1 2

)3

?

C32

(

1 2

)3

?

3 4



……………………………… 5 分

(Ⅱ)由题意,? ~ B(4, 3), 所以有 4

……………………………………………… 7 分

P(?

?

3)

?

C43

(

3 4

)3

(

1 4

)1

?

27 64



……………………………………… 10 分

? E? ? 4 ? 3 ? 3 . 4

……………………………………………………………… 12 分

16.解:(1)设点

P(x,

y),

x

?

?2,

那么 k1

?

x

y ?

2

, k2

?

x

y ?

2

则 k1

k2

?

y? x?2

y x?2

?

y2 x2 ? 4

又点 P 在双曲线上,所以 x2 ? y2 ? 4,? y2 ? x2 ? 4

所以 k1 k2 ? 1

(2)设直线 AB : y ? k1(x ? 2), k1 ? 0

由方程组

? ? ? ??

y ? k1(x x2 ? y2 84

? ?

2) 1



(2k12

? 1) x 2

?

8k12 x

?

8k12

?

8

?

0

设 A(x1, y1), B(x2 , y2 )



x1

?

x2

?

?8k12 2k12 ?1

,

x1

x2

?

8k12 2k12

?8 ?1

由弦长公式得 AB ?

1? k12

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2

?

4

2(1? k12 ) 2k12 ?1

同理设 C(x3, y3), D(x4, y4 ) , CD ?

1? k22

(x3 ? x4 )2 ? 4x3x4

?

4

2(1? k22 ) 2k22 ?1

由(1) k1 k2 ? 1

得, k2

?

1 k1

,代入得

CD

??

4

2(1? k12 ) k12 ? 2

AB ? CD

AB ? CD ? ? AB ? CD ,则 ? ?

?

1

?

1

?3 2

AB ? CD AB CD 8

则存在 ? ? 3 2 ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立。
8