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[名校联盟]四川省成都翔博教育咨询公司高三数学复习:解析几何


1.过点 A(11,2)作圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ?164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有 A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条 ) D.相离

2.直线 y ? x ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1的位置关系为(
A.相切 B.相交但直线不过圆心
2 2

C.直线过圆心

3.若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1有公共点,则直线 l 的斜率的取值范 ) A. [? 3, 3] B. (? 3, 3) C. [ ?

围为(

3 3 , ] 3 3

D. (? 4.若直线

3 3 , ) 3 3

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, ) sin ? ) ,则( a b 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ≤1 B. a ? b ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 a b
5.圆 x 2 ? y 2 ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有 公共点的充要条件是( .. A. k ? (? 2,2) C. k ? (? 3,3) B. k ? (?∞, ? 2) D. k ? (?∞, ? 3)

D. )

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

( 2,∞ ? )

( 3,∞ ? )
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6.设 m, n ? R ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1相切, 则 m + n 的取值范围是 (A) [1 ? 3,1 ? 3] (C) [2 ? 2 2,2 ? 2 2 ]
2 2

(B) (??,1 ? 3] ? [1 ? 3,??) (D) (??,2 ? 2 2 ] ? [2 ? 2 2 ,??)

7.过圆 C: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图) ,若这四部分图形面积满足 S? ? SⅥ ? SⅡ ? SⅢ , 则直线 AB 有 ( )

A、0 条 B、1 条 C、2 条 D、3 条

8.如图,AB 是平面 a 的斜线段 ,A 为斜足,若点 P 在平面 a 内运动,使得△ABP 的面 ... 积为定值,则动点 P 的轨迹是( )

(A)圆 (C)一条直线

(B)椭圆 (D)两条平行直线

9.直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 0 ,再向右平移1个单位,所得到的直线为( (A) y ? ?

1 1 x? 3 3

(B) y ? ? (D) y ?

1 x ?1 3

(C) y ? 3x ? 3

1 x ?1 3

10.若双曲线 率是 A、3

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2,则双曲线的离心 a2 b2

B、5

C、 3

D、 5

x2 r 2 11.如图, F1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 a b
O 为圆心, 以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点, 且△ F2 AB 是等边三角形,
则双曲线的离心率为 (A) 3 (B) 5 (C)

5 2

(D) 1 ? 3

12. 已知 F1 、F2 为双曲线 C:x 2 ? y 2 ? 1的左、 右焦点, 点 P 在 C 上,∠ F 1 P F2 = 60 ,
0

则 P 到 x 轴的距离为 (A)

3 2

(B)

6 2

(C) 3

(D) 6

13.已知 F1、F2 为双曲线 C:x?-y?=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=|2PF2|,则 cos ∠F1PF2= (A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

2 14 .已知抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且

AK ? 2 AF ,则 ?AFK 的面积为()
(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32

15.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线

l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是(
A.2 B.3 C.

)

11 5

D.

37 16

16. 已知抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在坐标原点 O , 并且经过点 M (2, y0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3 )
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C、 4

D、 2 5

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分

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二、填空题(题型注释)

17.在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 ,? ? 是________

? , ? cos? ? ? sin ? ? 1围成图形的面积 3

18.已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被圆 C 所截得 的弦长为 2 2 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为
2 2



19.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的距离的 最小值为_____________。 20.如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长 线相交于点 D.
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过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF= CD 的长为____________.

3 ,则线段 2

C A F E B

D

21.在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 则该椭圆的离心率 e ?
2 2

7 。若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C , 18
0



22.过双曲线 x ? y ? 4 的右焦点 F 作倾斜角为 105 的直线,交双曲线于 P、Q 两点, 则|FP| ? |FQ|的值为__________. 23.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行双曲线的一条渐近线 9 16


的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为 24.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若 a 2 b2
sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围 sin PF2 F1 c

双曲线上存在一点 P 使

是 。 25 .在直角坐标系 xOy 中 , 有一定点 A ( 2, 1) 。若线段 OA 的垂直平分线过抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,则该抛物线的准线方程是______;

26.已知 P,Q 为抛物线 x2 ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P、Q 分 别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________。 27.已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点 到准线的距离为___________.

28.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A, B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 ? 的方程为_____________. 1529. 已知 F 是抛物线 C:y 2 ? 4 x 的焦点, 过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A,B 两点。 设 FA ? FB ,则 FA 与 FB 的比值等于
2



30.如图,抛物线 y=-x +1 与 x 轴的正半轴交于点 A,将线段 OA 的 n 等分点从左至右 依次记为 P1,P2,?,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线, 与抛物线的交点依次为 Q1, Q2, ?, Qn-1,从而得到 n-1 个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,?, △Qn-1Pn-1Pn-1,当 n→∞时,这 些三角形的面积之和的极限为 .

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

31. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到 焦点的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

x2 ? y 2 ? 1交于 A,B 两点, 32. (本题 14 分) 如图, 直线 y ? kx ? b 与椭圆 记 △ AOB 4
的面积为 S .

y

A

O
B

x

(I)求在 k ? 0 , 0 ? b ? 1 的条件下, S 的最大值 ; (II)当 AB ? 2 , S ? 1 时,求直线 AB 的方程. 33. (本小题满分 14 分) 已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 y 2 ? 2 x 上, 其中 O 为坐标原 点,设圆 C 是 OAB 的内接圆(点 C 为圆心) (I)求圆 C 的方程; (II) 设圆 M 的方程为 ( x ? 4 ? 7cos? )2 ? ( y ? 7cos ? )2 ? 1 , 过圆 M 上任意一点 P 分

CF 的最大值和最小值. 别作圆 C 的两条切线 PE,PF ,切点为 E,F ,求 CE,
34. (本小题共 13 分)如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为 2 r ,短半轴长为 r , 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭 圆上,记 CD ? 2 x ,梯形面积为 S .

(I)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II)求面积 S 的最大值. 2 35. (本小题满分 12 分)如图, 曲线 G 的方程为 y =20 (y≥0) .以原点为圆心, 以t (t >0) 为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C.

(Ⅰ)求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式; (Ⅱ)设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a+2,求证:直线 CD 的斜率为定值.

36. (本小题满分 13 分)设 A 是单位圆 x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直 的直线, D 是直线 l 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足

| DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C .

(Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴 上的射影为点 N ,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 , 都有 PQ ? PH ?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由.

参考答案 【答案】C 2 2 2 【解析】圆的标准方程是: (x+1) +(y-2) =13 ,圆心(-1,2) ,半径 r=13 过点 A(11,2)的最短的弦长为 10,最长的弦长为 26, (分别只有一条)还有长度为 11,12,?, 25 的各 2 条,所以共有弦长为整数的有 2 ? 2(26 ? 11 ? 1) ? 32 条。

2.B 【解析】 圆 心 ( 0, 0)为 到 直 线 y ? x ? 1 , 即 x ? y ? 1 ? 0 的 距 离 d ?
0?
3.C 【解析】设直线方程为 y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 ,直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1有
2 2

1 2 ,而 ? 2 2

2 ? 1 ,选 B。 2

公共点, 圆心到直线的距离小于等于半径 d ? 得 4k ? k ? 1, k ?
2 2 2

2k ? 4k k 2 ?1

? 1,

1 ,选择 C 3

另外,数形结合画出图形也可以判断 C 正确。 4.D 【 解 析 】 方 法 1 :由 题 意 知 直 线

x y ? ? 1 与 圆 x2 ? y 2 ? 1 有 交 点 , 则 a b

1 1 1 ? a 2 b2

≤ 1,

1 1 ? ≥1 . a 2 b2

方法 2:设向量 m = (cos ? ,sin ? ), n = ( , ) ,由题意知

1 1 a b

cos ? sin ? ? ?1 a b

由 m ? n ≤ m n 可得 1 ? 5.:C.

cos ? sin ? 1 1 ? ≤ ? a b a 2 b2

【解析】:1. (数形结合) y ? kx ? 2 是过定点 P(0,2)的直线,与单位圆相切(临界值) 时,其斜率为± 3 ,由此不难判断,选 C. 2.(特值法)令 k=0,直线 y=2 与单位圆无交点,淘汰选项 B、 D;令 k= 3 ,此时,直线与

单位圆相切,选项 A 有“漏”. 3.(待定系数)将 y ? kx ? 2 带入圆的方程 x 2 ? y 2 ? 1,无交点的充要条件是其判别式小于 0,解之 k ? (? 3,3) . 4.依题圆 x 2 ? y 2 ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公共点 ? d ? 6.D 【解析】直线与圆相切,则有

2 1? k 2

? 1 ? k ? (? 3,3).

m ? n 2 t2 ? 1,? mn ? m ? n ? 1.设m ? n ? t , mn ? ( ) ? , 2 4 (m ? 1) 2 ? (n ? 1) 2

m ?1? n ?1? 2

?t ? 1 ?

t2 ,? t 2 ? 4t ? 4 ? 0,? t ? (??,2 ? 2 2 ] ? [2 ? 2 2,??) 4

【考点定位】 本题考查直线与圆的位置关系和均值不等式, 考查学生的转化能力和换元法的 应用 7.B 【解析】定性分析法:由已知条件得 SⅥ ? SⅡ ? SⅢ ? S? , 第Ⅱ、Ⅳ部分的面积是定值,所以

SⅥ ? SⅡ 为定值,即 SⅢ ? S? 为定值,当直线 AB 绕着圆心 C 移动时,只可能有一个位置符
合题意,即直线 AB 只有一条,故选 B. 定量分析 法:过 C 做 x 轴和 y 轴的垂线,分别交于 E 和 F 点交设

?BAO ? ? (0 ? ? ? S? ?

?
2

)

,



?FCB ? ? ,

BF ? tan ? , AE ?

1 1 ? ? 1 1 ? ? ( ? ? ) , SⅡ ? 1 ? , SⅢ ? tan ? ? ? , SⅥ ? , 2 2 2 2 tan ? 2 2 4

1 tan ?



代入 S? ? SⅥ ? SⅡ ? SⅢ 得, 化简为 tan 2? ? ?

1 1 ? ? ? 1 1 ? ( ? ? ) ? ? 1 ? ? tan ? ? ? 2 tan ? 2 2 2 4 2 2
,设 f

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??

?
2

2

?1

?? ? ? tan 2? , g ?? ? ? ?
?
2

??

?
2

2

,画出两个函数图

?1

象,观察可知;两个函数图象在 0 ? ? ?

时只有一个交点,故直线 AB 只有一条.

8.B 【解析】本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值,底 边一定,从而 P 到直线 AB 的距离为定值,若忽略平面的限制,则 P 轨迹类似为一以 AB 为 轴心的圆柱面,加上后者平面的交集,轨迹为椭圆! 还可以采取排除法,直线是不可能的,在无穷远处,点到直线的距离为无穷大,故面积也为 无穷大,从而排除 C 与 D,又题目在斜线段下标注重点符号,从而改成垂直来处理,轨迹则 为圆,故剩下椭圆为答案! 9.A

1 x ,从而淘汰(C) , (D) 3 1 1 1 1 又∵将 y ? ? x 向右平移1个单位得 y ? ? ? x ? 1? ,即 y ? ? x ? 故选 A; 3 3 3 3
0 【解析】∵直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 的直线为 y ? ?

【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系,以及直线平移问题; 【突破】 熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数, 过原点的直线无常数项; 重视平移方法: “左 加右减” ; 10.D 【解析】本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线 x ?

a2 , c

则左焦点 F 1 到右准线的距离为

a2 a2 ? c2 ?c ? ,左焦点 F 1 到右准线的距离为 c c

c2 ? a2 c a2 c2 ? a2 c2 c2 ? a2 3 c? ? ? 5 ,∴双曲线的离心率 e ? ? 5. , 依题 2 c 2 ? 2 即 ? , 2 2 a c c a c ?a c ?a 2 c
11.D 【解析】如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 r 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 a2 b2

O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,连
接 AF1, ∠AF2F1=30°, |AF1|=c, |AF2|= 3 c, ∴ 2a ? ( 3 ?1)c , 双曲线的离心率为 1 ? 3 , 选 D。 12.B

【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,以及转化的数学思想, 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 不 妨 设 点 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 的 右 支 , 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得

| PF1 |? e[ x0 ? (?

a2 a2 )] ? a ? ex0 ? 1 ? 2 x0 , | PF2 |? e[ x0 ? )] ? ex0 ? a ? 2 x0 ? 1 .由余 c c
cos∠









F1

P

F2

=

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 |2 2 | PF1 || PF2 |





cos 60 0 ?

5 3 (1 ? 2 x0 )2 ? ( 2 x0 ?1)2 ? (2 2)2 2 2 2 ,解得 x0 ? ,所以 y0 ? x0 ? 1 ? ,故 P 到 2 2 2(1 ? 2 x0 )( 2 x0 ?1)

x 轴的距离为 | y0 |? 13.C

6 . 2

【解析】双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,所以 a ? b ? 2, c ? 2 ,因为|PF1|=|2PF2|,所以 2 2

点 P 在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2a= 2 2 ,所以解得|PF2|= 2 2 ,|PF1|= 4 2 , 所以根据余弦定理得 cos F1 PF2 ? 14.B 【解析】

(2 2 ) 2 ? (4 2 ) 2 ? 14 2? 2 2 ? 4 2

?

3 ,选 C. 4

∵抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F ? 2, 0 ? ,准线为 x ? ?2
2

∴ K ? ?2, 0?

设 A ? x0,y0 ? ,过 A 点向准线作垂线 AB ,则 B ? ?2,y0 ? ∵ AK ?

2 AF ,又 AF ? AB ? x0 ? ? ?2? ? x0 ? 2
2 2

2 2 2 2 ∴由 BK ? AK ? AB 得 y0 ? ? x0 ? 2 ? ,即 8 x0 ? ? x0 ? 2 ? ,解得 A? 2, ? 4?

∴ ?AFK 的面积为

1 1 KF ? y0 ? ? 4 ? 4 ? 8 2 2

故选 B

【点评】此题重点考察抛物线的第二定义,抛物线中与焦点,准线有关三角形问题;

【点评】由题意准确化出图象,利用离心率转化位置,在 ?ABK 中集中条件求出 x0 是关键; 15.A 【解析】直线 l2 : x ? ?1 为抛物线 y 2 ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F (1,0) 的距离,故本题化为在抛物线 y 2 ? 4 x 上找一个点 P 使得 P 到点

F (1,0) 和直线 l2 的距离之和最小,最小值为 F (1,0) 到直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,即

d min ?

|4?0?6| ? 2 ,故选择 A。 5

【答案】B 【解析】设抛物线方程为 y =2px(p>0),则焦点坐标为(
2

p p ,0 ) ,准线方程为 x= ? , 2 2

? M在抛物线上, ? M到焦点的距离等于到准 线的距离. p 2 p 2 2 ? (2 - ) ? y0 ? 3, 且 (2 ? ) ?3 2 2 解得:p ? 1, y0 ? 2 2 ?点M(2,2 2) ?| OM |? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点, d 为点 M 到准线的距离). 17.

3? 3 4

【解析】三个极坐标方程化为直角坐标方程依次为 x ? 0 , y ? 3x , x ? y ? 1 ,三条直线 的交点坐标 O ?0,0? , A(

1 3 其面积为 , ) , B ?1,0? ,三条直线围成的图形为 ?OAB , 1? 3 1? 3

1 3 3? 3 ?1 ? ? 2 4 1? 3
18. x+y-3=0 【解析】由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0 ,设圆心坐标为 (a,0) ,则由题意知:

(

| a-1| 2 ) +2=(a-1) 2 ,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3 ,故圆心坐 2

标为 (3,0) ,因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0 ,即 m=-3 ,故所求的直线 方程为

x+y-3=0 。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解 决直线与圆问题的能力。 19. 2 【解析】如图可知:过原心作直线 l : x ? y ? 4 ? 0 的垂线,则 AD 长即为所求;

∵ C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 的圆心为 C ? 2,2? ,半径为 2
2 2

点 C 到直线 l : x ? y ? 4 ? 0 的距离为 d ?

1 ?1 ? 4 2

?2 2



AD ? CD ? AB ? 2 2 ? 2 ? 2

故 C 上各点到 l 的距离的最小值为 2

【点评】此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离; 【 突破】数形结合,使用点 C 到直线 l 的距离距离公式。 20. 【

4 3
解 析 】 在 圆 中 , 利 用 相 交 弦 定 理 可 知 ,

AF ? FB FC AF FC ? AB 8 ? 2, ? ,? BD ? ? . EF BD AB AF 3 64 4 2 2 2 .? DC ? . 由切割线定理可知: BD ? DC ? DA, DA ? 4CD,? 4 DC ? DB ? 9 3 AF ? FB ? EF ? FC ,? FC ?
【考点定位】本题考查几何证明问题如相交弦定理、三角形相似、切割线定理等,考查学生 的分析转化能力 【答案】

3 8

, 【解析】 设AB ? BC ? 1 结合余弦定理求 AC ,即

cos B ?

| AB |2 ? | BC |2 ? | AC |2 7 5 ?? , 解 得 AC ? , 然 后 结 合 椭 圆 的 定 义 3 2 | AB | ? | BC | 18

8 c 3 | CA | ? | CB |? 2a ? 和焦距 2c ? 1 求离心率 e ? ? 。 3 a 8
22.

8 3 3

【解析】

F (2 2,0), k ? tan1050 ? ?(2 ? 3). ?l : y ? ?(2 ? 3)( x ? 2 2).

代入 x 2 ? y 2 ? 4 得: (6 ? 4 3) x2 ? 4 2(7 ? 4 3) x ? 60 ? 32 3 ? 0. 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ). ? x1 ? x2 ?

4 2(7 ? 4 3) 60 ? 32 3 , x1 ? x2 ? . 6?4 3 6?4 3

2 2 又 | FP |? 1 ? k | x1 ? 2 2 |,| FQ |? 1 ? k | x2 ? 2 2 |,

?| FP | ? | FQ |? (1 ? k 2 ) | x1 x2 ? 2 2( x1 ? x2 ) ? 8 | ? (8 ? 4 3)? | ? 60 ? 32 3 16(7 ? 4 3) ? ?8| 6?4 3 6?4 3

(8 ? 4 3)(?4) 8 3 ? . 3 6?4 3
32 15

【答案】

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【解析】容易求得: a ? 3, b ? 4 ,则 c ? a ? b ? 5 , A(3,0),F(5,0)。双曲线的渐近线
2 2

方程是 y ? ?

4 4 4 x ,则过 F(5,0),且与渐近线 y ? x 平行的直线方程是 y ? ( x ? 5) ,解方 3 3 3

? x2 y2 ? ? 1, ? 1 1 32 32 17 32 ? 9 16 ? 程组 ? 得 B ( , ? ) . S ?AFB ? | AB | ? | yB |? ? 2 ? 。 2 2 15 15 5 15 4 ? y ? ( x ? 5), ? 3 ?
24. (1 ,2 ?1) 【解析】解法 1:因为在 ?PF1 F2 中,由正弦定理得

PF2 PF1 , ? sin PF1F2 sin PF2 F1

则由已知,得

a c ,即 aPF1 ? cPF2 ,且知点 P 在双曲线的右支上, ? PF PF 1 2 1 1

设点 ( x0 , y0 ) 由焦点半径公式, 得 PF 则 a(a ? ex0 ) ? c(ex0 ? a) , 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? ex0 ? a ,

解得 x0 ?

a(c ? a) a(e ? 1) a(e ? 1) ,由双曲线的几何性质知 x0 ? a则 ? ? a ,整理得 e(c ? a) e(e ? 1) e(e ? 1)

e2 ? 2e ? 1 ? 0, 解得 ? 2 ? 1 ? e ? 2 ? 1 ,又e ? (1, ??) ,故椭圆的离心率 e ? (1, 2 ? 1) 。
解法 2 由解析 1 知 PF1 ?

c PF2 由双曲线的定义知 a

c 2a 2 PF1 ? PF2 ? 2a则 PF2 ? PF2 ? 2a即PF2 ? , 由 椭 圆 的 几 何 性 质 知 a c?a PF2 ? c ? a, 则
25. x ? ?

2a 2 ? c ? a, 既c 2 ? 2ac ? a 2 ? 0, 所以 e2 ? 2e ? 1 ? 0, 以下同解析 1。 c?a

5 4 p ,0)代入可求得焦 2

【解析】依题意我们容易求得直线的方程为 4x+2y-5=0,把焦点坐标( 参数 p ? 26. -4 【解析】由已知可设 P(4,y1 ), Q(?2, y2 ),
2 ? ?4 ? 2 y1 ?? ,? P(4, 8), Q(?2, 2), 2 ? ?(?2) ? 2 y2

5 5 ,从而得到准线方程 x ? ? 。 2 4

抛物线可化为y ?

1 2 x ,? y? ? x,? 过点P的切线方程为y ? 4 x ? 8 2

过 Q 点的切线方程为 y ? ?2 x ? 2, 联立两条切线方程即为 A 点坐标为(1,-4), 故点 A 的纵坐标为-4. 考点定位: 本题考查抛物线的切线方程、导数的几何含义,考查学生的转化能力和计算能 力 27.

8 3

【解析】设 BF=m,由抛物线的定义知

AA1 ? 3m, BB1 ? m
? ?ABC 中,AC=2m,AB=4m, k AB ? 3
直线 AB 方程为 y ? 3( x ? 1)
2 与抛物线方程联立消 y 得 3x ? 10x ? 3 ? 0

所以 AB 中点到准线距离为 28. y ? x

x1 ? x 2 5 8 ?1 ? ?1 ? 2 3 3

【解析】抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,
2 ? ? y1 ? 4 x1 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则有x1 ? x2, ? 2 ? ? y2 ? 4 x2 y ? y2 4 2 两式相减得,y12 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?, ? 1 ? ?1 x1 ? x2 y1 ? y2

? 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
29. 3 ? 2 2 【解析】设 A( x1 , y1 )B( x2 , y 2 )由 ?

?y ? x ?1 ? y ? 4x
2

? x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ? x1 ? 3 ? 2 2 ,
抛 物 线 的 定 义 知

x2 ? 3 ? 2 2

, (

x1 ? x 2

) ;





FA FB
30.

?
1 3

x1 ? 1 4 ? 2 2 2 ? 2 ? ? ? 3? 2 2 x2 ? 1 4 ? 2 2 2 ? 2

【解析】如图,抛 物线 y=-x +1 与 x 轴的正半轴交于点 A(1,0),将线段 OA 的 n 等分点从 左至右依次记为 P1,P2,?,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 Q1, Q2 ,?, Qn - 1 , 从而得到 n - 1 个直角三角形△ Q1OP1, △ Q2P1P2,?, △ Qn - 1Pn - 2Pn - 1, ∴

2

1 k ?1 k ?1 (k ? 1)2 Pk ?1 ( , 0) , Qk ?1 ( ,1 ? ) , | Pn ? 2 Pn ?1 |? ,当 n→∞时,这些三角形的面积 2 n n n n
之和的极限为 lim

1 1 1 22 ? [(1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? n ?? 2 n n n

(1 ?

(n ? 1) 2 )] . n2

1 (n ? 1)n2 ? (n ? 1)(n ? 2)(2n ? 3) 1 1 6 整理得 lim [ ]= 。 2 n?? 2n 3 n
x2 y 2 ? ? 1. 31.(I) 4 3

[来源:学科网 ZXXK]

(II) 直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0).

2 7

【解析】解:(I)由题意设椭圆的标准方程 为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b2 ? 3

?

x2 y2 ? ? 1. 4 3

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ? ? 1 ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,

?

y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得

m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k 2 2 ,且满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线 过定点 (2,0), 与已知矛盾;

2 2k 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ? 32. (I)当且仅当 b ?

2 时, S 取到最大值 1 . 2

(II)直线 AB 的方程是

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 或y? 或y?? ,或 y ? ? 。 x? x? x? x? 2 2 2 2 2 2 2 2

【解析】 (Ⅰ)解:设点 A 的坐标为 ( x1,b) ,点 B 的坐标为 ( x2,b) ,



x2 2 ? b 2 ? 1,解得 x1, 2 ? ?2 1 ? b , 4
1 b x1 ? x2 2

所以 S ?

? 2b 1 ? b2
≤ b2 ? 1 ? b2 ? 1 .
当且仅当 b ?

2 时, S 取到最大值 1 . 2

? y ? kx ? b, ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?4
得?k2 ?

? ?

1? 2 2 ? x ? 2kbx ? b ? 1 ? 0 , 4?

? ? 4k 2 ? b2 ? 1 ,
| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x1 | ? 1 ? k 2

4k 2 ? b 2 ? 1 ? 2. 1 2 ?k 4



设 O 到 AB 的距离为 d ,则

d?

2S ? 1, | AB |
|b| 1? k 2


又因为 d ?

2 2 所以 b ? k ? 1 ,代入②式并整理,得

1 ?0, 4 1 3 2 2 解得 k ? , b ? ,代入①式检验, ? ? 0 , 2 2 故直线 AB 的方程是 k4 ? k2 ?

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 或y? 或y?? ,或 y ? ? . x? x? x? x? 2 2 2 2 2 2 2 2

33. (I)圆 C 的方程为 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16. (II) CE · CF 的最大值为 ?

16 ,最小值为 ? 8 9

【解析】解法一:设 A、B 两点坐标分别为 (

y12 y2 , y1 ), ( 2 , y 2 ) ,由题设知 2 2

(

y12 2 y2 y2 y2 2 ) ? y12 ? ( 2 ) 2 ? y 2 ? ( 1 ? 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 . 解得 2 2 2 2

2 y12 ? y2 ? 12,

所以 A(6,2 3), B(6,?2 3)或A(6,?2 3), B(6,2 3). 设圆心 C 的坐标为(r,0) ,则 r ?

2 ? 6 ? 4. 因此圆 C 的方程为 3

( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16.

4分

解法二:设 A、B 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), 由题设知
2 2 . x12 ? y12 ? x2 ? y2 2 2 2 又因为 y1 ? 2x1 , y2 ? 2x2 , 可得x12 ? 2x1 ? x2 ? 2 x2 , 即

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? 2) ? 0.
由 x1>0,x2>0,可知 x1=x2,故 A、B 两点关于 x 轴对称,所以圆心 C 在 x 轴上. 设 C 点的坐标为(r,0) ,则 A 点坐标为 ( r , 所以圆 C 的方程为

3 2

3 3 2 3 r ) ,于是有 ( r ) ? 2 ? r ,解得 r=4, 2 2 2

( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16.

4分

(Ⅱ)解:设∠ECF=2a,则

CE· CF ?| CE |穦 CF |穋 os2a ? 16cos2a ? 32cos2 a ? 16 .8 分
在 Rt△PCE 中, cos a ?

r 4 ? .由圆的几何性质得 | PC | | PC |
10 分

| PC | ≤ | MC | ?1 ? 7 ? 1 ? 8, | PC | ≥ | MC | ?1 ? 7 ? 1 ? 6,
所以

1 2 ≤ cos? ≤ ,由此可得 2 3

? 8 ≤ CE · CF ≤ ?

16 . 9 16 ,最小值为 ? 8 . 14 分 9

故 CE · CF 的最大值为 ? 34. (I) S ?

1 (2 x ? 2r ) 2 r 2 ? x 2 2

? 2( x ? r ) r 2 ? x 2 ,
其定义域为 x 0 ? x ? r

?

?
3 3 2 r 2

(II)梯形面积 S 的最大值为

【解析】解: (I)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O ? xy (如图) ,则点 C 的横坐标为 x .

点 C 的纵坐标 y 满足方程

x2 y 2 ? ? 1( y ≥ 0) , r 2 4r 2

解得 y ? 2 r 2 ? x 2 (0 ? x ? r )

S?

1 (2 x ? 2r ) 2 r 2 ? x 2 2

? 2( x ? r ) r 2 ? x 2 ,
其定义域为 x 0 ? x ? r . (II)记 f ( x) ? 4( x ? r ) (r ? x ), 0?x ?r,
2 2 2

?

?

则 f ?( x) ? 8( x ? r ) (r ? 2 x) .
2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 因为当 0 ? x ?

1 r. 2

r r 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? r 时, f ?( x) ? 0 ,所以 2 2

?1 ? f ? r ? 是 f ( x) 的最 ?2 ?

大值. 因此,当 x ?

1 r 时, S 也取得最大值,最大值为 2

?1 ? 3 3 2 f ? r? ? r . 2 ?2 ?

即梯形面积 S 的最大值为

3 3 2 r . 2

35. (Ⅰ) c ? a ? 2 ? 2(a ? 2) (Ⅱ )证明见解析 【解析】解: (Ⅰ)由题意知, A(a,2a ) . y D B O A a

G : y2 ? 2x

a?2



x

2 2 因为 OA ? t ,所以 a ? 2a ? t .

2 由于 t ? 0 ,故有 t ? a ? 2a . (1)

由点 B(0,t ),C (c, 0) 的坐标知, 直线 BC 的方程 为

x y ? ?1. c t

又因点 A 在直线 BC 上,故有

a 2a ? ? 1, c t

将(1)代入上式,得

a 2a ? ? 1, c a(a ? 2)

解得 c ? a ? 2 ? 2(a ? 2) . (Ⅱ)因为 D(a ? 2 ,2(a ? 2)) ,所以直线 CD 的斜率为

kCD ?

2(a ? 2) 2(a ? 2) 2(a ? 2) ? ? ? ?1 . a ? 2 ? c a ? 2 ? (a ? 2 ? 2(a ? 2)) ? 2(a ? 2)

所以直线 CD 的斜率为定值. 36. (Ⅰ)当 0 ? m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (? 1 ? m2 , 0) , ( 1 ? m2 , 0) ;

当 m ? 1时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (0, ? m2 ? 1) , (0,
m2 ? 1) .

y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2 【解析】本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭 圆的标准方程及其几何性质, 并能熟练运用代数方法解决几何问题, 对运算能力有较高要求。
(Ⅱ)存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ? (Ⅰ)如图 1,设 M ( x, y ) , A( x0 , y0 ) ,则由 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) , 可得 x ? x0 , | y |? m | y0 | ,所以 x0 ? x , | y0 |? 因为 A 点在单位圆上运动,所以 x0 2 ? y0 2 ? 1 . 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ? 因为 m ? (0, 1)
(1, ? ?) ,所以

1 | y |. m

① ②

y2 ? 1 (m ? 0, 且m ? 1) . m2

当 0 ? m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (? 1 ? m2 , 0) , ( 1 ? m2 , 0) ; 当 m ? 1时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (0, ? m2 ? 1) , (0,
m2 ? 1) .

(Ⅱ)解法 1:如图 2、3, ?k ? 0 ,设 P( x1 , kx1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? kx1 ) , N (0, kx1 ) , 直线 QN 的方程 为 y ? 2kx ? kx1 ,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得

(m2 ? 4k 2 ) x2 ? 4k 2 x1 x ? k 2 x12 ? m2 ? 0 .
依题意可知此方程的两根为 ? x1 , x 2 ,于是由韦达定理可得

? x1 ? x2 ? ?

4k 2 x1 m2 x ,即 x2 ? 2 1 2 . 2 2 m ? 4k m ? 4k
2km 2 x1 . m 2 ? 4k 2
[来源:Zxxk.Com]

因为点 H 在直线 QN 上,所以 y2 ? kx1 ? 2kx2 ?

于是 PQ ? (?2x1 , ? 2kx1 ) , PH ? ( x2 ? x1 , y2 ? kx1 ) ? (? 而 PQ ? PH 等价于 PQ ? PH ?
4(2 ? m 2 )k 2 x12 ? 0, m 2 ? 4k 2

4k 2 x1 2km 2 x1 , ). m 2 ? 4k 2 m 2 ? 4k 2

即 2 ? m 2 ? 0 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ?

y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2

y A M O x D
Q

y
N

y H
O

H
P
O
x

P
x
Q

N

图 1

图 2 (0 ? m ? 1)

图 3 (m ? 1)

解法 2:如图 2、3, ?x1 ? (0, 1) ,设 P( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? y1 ) , N (0, y1 ) ,
?m2 x 2 ? y 2 ? m 2 , ? 因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以 ? 2 1 2 1 2 两式相减可得 2 ? ?m x2 ? y2 ? m ,

m2 ( x12 ? x22 ) ? ( y12 ? y22 ) ? 0 .



依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合, 故 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 . 于是由③式可得

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?m2 . ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
又 Q , N , H 三点共线,所以 kQN ? kQH ,即 于是由④式可得 k PQ ? k PH



2 y1 y1 ? y2 . ? x1 x1 ? x2 y y ? y2 1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) m2 ? 1? 1 ? ? ?? . x1 x1 ? x2 2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 2
m2 ? ?1 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 2
[来源:Z_xx_k.Com]

而 PQ ? PH 等价于 kPQ ? kPH ? ?1 ,即 ?

故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ?

y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2


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