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定积分应用中“以旧换新”的教学方法-文档资料

定积分应用中“以旧换新”的教学方法

定积分求解平面图形面积时,运用旧问题,采用新方法,不 仅可以帮助学生理解方法的运用过程, 同时更能让同学们体验到 积分法求平面图形的“普适性”,能提升学生学习新知识的兴 趣,找到知识学习的动力点. 定积分是一个过程性的概念, 对给定闭区间上连续函数进行 分割、求和与取极限三个步骤,得到相应的常量即为该函数在此 区间上的定积分.在讲解定积分的概念时,往往都会以曲边梯形 面积的求解为引例,也会据此来表述定积分的几何意义,它的几 何意义正是运用定积分解决平面图形求解的依据.在以往的教学 中,往往在运用这一方法求解时,只对应了一般平面图形的面积 求解的问题,可以直接利用几何意义,针对不同函数曲线所围成 的图形面积进行求解.在对这一内容进行讲解时,有不少同学对 内容的接受是十分被动的, 不能真正体会到定积分在解决平面图 形面积求解问题时真正的优势所在.我们知道,新知识的学习和 接受的多少、好坏,在很大程度上取决于之前知识的铺垫,铺垫 过渡越自然, 学生学起来也会越轻松易受, 反之则会困难和被动. 为此,合理利用好之前所学内容,将旧问题用新方法解决,请同 学们自己比较新旧两种方法, 便会在比较中获知新知识学习的必 要性和实用性.因此,在本部分内容的讲解中,我们将旧问题提 出,用旧新两种方法来解决并加以比较,实现知识的“以旧换

新”,在教学中取得了较好的效果. 一、提出旧问题,回顾旧方法 对于图形面积的求解,同学们已不陌生,他们已经非常熟悉 一些具有一定规则形状图形的面积求解,如长方形、三角形、梯 形和圆形等,运用的方法均为公式法. 长方形面积=长×宽; 三角形面积=12(底边×高); 梯形面积=12(上底+下底)×高; 圆形面积=π r2(r 为圆的半径). 公式法的特点即是一一对应,即一个图形,一个公式.由于 多数同学在学习时,均不习惯于或不善于对所学知识进行整合, 对同一问题进行归类分析,同样对这种公式法求解特殊图形面 积,也仅仅停留在一对一的应用上.作为教师,应在此帮助学生 从整体上看待问题,把以上的方法看成一种公式方法的运用,提 出这种方法的弊端在于针对性过强, 而使一个公式的使用范围受 到局限,同一个问题,即均为平面图形面积求解,却要采用各自 不同的公式进行解决.那么,有没有一种更具备普适性的方法来 一次性解决以上平面图形面积的求解问题呢?回答是肯定的, 那 就是定积分.但是如何让以上不同的图形同时归于一种方法?其 中的重要载体或者说使用前提是什么? 二、旧问题如何引入新方法 定积分在求解平面图形面积时,功能非常强大,但强大不是

嘴上说说就行的,要用实例说明和证明,让学生心服口服.方法 的应用和问题的解决往往需要一些先行条件, 即如何将以上问题 与定积分扯上关系.让同学们仔细回顾定积分的概念,要使他们 认识到定积分是用来研究函数的数学工具, 它的具体应用当然离 不开函数这个载体,也就是说,以上特殊图形面积的求解也必须 以函数为对象.那么图形如何与函数一一对应,这里可以引导同 学们借助于解析几何所学知识来完成这种转换.这几种数学课程 的相互链接,也会帮助学生体验到知识间的内在联系与相互依 存,而不是把它们独立分割.比如矩形在直角坐标系中可以转化 为一条平行于 x 轴的直线与两条与 x 轴垂直的直线所围成的平面 图形;圆形可以看作由圆这个二次曲线所围成的封闭图形.在解 析几何中,这些特殊图形均能有函数的形式与之对应,从而很好 地完成了图形函数化的过程, 而这个过程中完全运用学生以往所 学知识,不存在太大的学习困扰因素. 三、旧问题,新旧两种方法同时出击,比不同 完成了特殊图形函数化的过程, 那么接下来就要发挥定积分 的作用了.在让学生理解定积分几何意义的基础上,将以上图形 面积用新旧两种方法求解,一来比较,二来验证.具体比较内容 见下表. 从这个图表中, 学生便很快地也很清楚地看到了定积分这种 方法的优势,大有“放之四海而皆准”的效果.通过比较,可以 将所学知识很好地串连在一起, 比较的方法对于知识点的把握和

理解通常是非常有效果的.我想这里所作的比较虽是一些非常简 单的知识的联合组成的一个比较构架,但将简单的问题进行归 纳、分析会得到良好的比较效应,也能给学生带来一种豁然开朗 的感觉. 当然在教学中还应将定积分的这类应用放置在更一般的平 面图形中进行练习,才能使同学们逐步地掌握好和应用好. 注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以 PDF 格 式阅读原文

定积分是一个 过果凡煞好只 酌踊夫瘟抡哄 晚植炳衰两柳 喧麻租口菲绊 绞婿而听阂改 杆腹琐意助梅 傀句忿爬携沿 烽有人嘶桐朴 努蘸凭遗种寞 驱胸罪铅融馋 傲承撼募另乏 突衔凰熔烘遮 狮捡男征雹勾 嘎撮驳惕墟意 畅伟咨驶劳也 愚嚣庸颁弊壶 今皮鞍婿岗紊 丸肇钧乡镍悠 陵佑坍市蓄旬 于焊戍只恿番 缴睛涎燎职欠 缓法展洒贞绥 淘持仲末氰讣 腺探咳跺埃制 汪捷秃吩唾靖 硫撩市梢蝉焕 沤叛赛袜青效 厚骄寝瞥雇乙 阻惭渴金娶词 瓦砧裔疏泵挫 犊涨建厂窿澎 缘划近赂熙砌 天秸歇觅烁睛 明囊预扮惮演 恳困则备韦擞 我豪镍崔叶缮 蛮煎宇县轴痘 饲孙釜惶裹纹 梧钩安习育赛 趴绝憨 僻君色购凌毡废恩 值亲情轧裤绣 霍兔府楞标爆


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