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全国版2017版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课件理_图文

第六节
正弦定理和余弦定理

【知识梳理】
1.正弦定理

a b c _____________________, ? ? ? 2R sin A sin B sin C 其中R是△ABC的外接圆半径.

2.余弦定理

b ?c ?a a2=_____________,cosA=__________; b2+c2-2bccosA
2 2 2

2bc

b2=_____________,cosB=__________; a 2 ? c2 ? b2 a2+c2-2accosB 2ac c2=_____________,cosC=__________. a 2 ? b2 ? c2 a2+b2-2abcosC 2ab

3.勾股定理
在△ABC中,∠C=90°?________. a2+b2=c2

【特别提醒】 1.正弦定理的其他形式

(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
(2)

a b c sin A ? ,sin B ? ,sin C ? . (3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. 2R 2R 2R

2.解三角形时用到的平面几何知识 (1)A+B+C=π , A ? B C ? ? ? , 2 2 2

A?B C sin(A ? B) ? sin C,sin ? cos , 2 2 A?B C cos ? sin . 2 2

(2)两边之和大于第三边
a+b>c,a+c>b,c+b>a. 3.三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, c=bcosA+acosB.

【小题快练】 链接教材 练一练

1.(必修5P10习题1.1B组T2改编)在△ABC中,若sin2A+
sin2B<sin2C,则△ABC的形状是 A.锐角三角形 C.钝角三角形 ( )

B.直角三角形 D.不能确定

【解析】选C.由正弦定理,得 a ? sin A, b ? sin B, c ? sin C, 2R 2R 2R 代入得到a2+b2<c2,由余弦定理得cosC= a 2 ? b 2 ? c2 <0,

2ab 所以C为钝角,所以该三角形为钝角三角形.

2.(必修5P4练习T1(2)改编)在△ABC中,已知A=60°,
B=75°,c=20,则a= .

【解析】C=180°-(A+B)=180°-(60°+75°)=45°.
由正弦定理,得 答案:

csin A 20 ? sin 60? a? ? ? 10 6. sin C sin 45?

10 6

感悟考题

试一试

3.(2015·广东高考)设△ABC的内角A,B,C的对边分 别为a,b,c.若 则b=_____. 1 ? a ? 3,sin B ? ,C ? , 2 6

【解析】因为

1 ? sin B ? 且B ? (0, ?),所以B ? 2 6 5? ? ? 2? 或B ? ,又C ? ,所以B ? ,A ? ? ? B ? C ? , 6 6 6 3 a b 又a ? 3,由正弦定理得 ? , sin A sin B

3 b 即 ? , 解得b ? 1. 2? ? sin 1 sin 答案: 3 6

4.(2015·合肥模拟)已知在△ABC中,a2=b2+bc,acosB+ bcosA=c·sinC,则B= .

【解析】由于acosB+bcosA=c,所以c=c·sinC,
sinC=1.又0<C<π,所以C= . ? 由于a2=b2+bc及a2=b2+c2-2bc 2 ·cosA, 所以bc=c2-2bccosA,b=c-2bcosA,

由正弦定理得sinB=sinC-2sinB·cosA, 因为A+B= ? ,所以cosA=sinB, 2 所以2sin2B+sinB-1=0,

因为sinB>0,所以sinB=
答案:

,B=

? 6

1 2

? 6

.

考向一

正弦定理、余弦定理的简单应用

【典例1】(1)(2016·黄冈模拟)在△ABC中,内角A,B,C
的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA= a>b,则B=( )

1 2

b,且

? A. 6

? B. 3

2? C. 3

5? D. 6

(2)如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,
那么k的取值范围是 ( )

A.k=8

B.0<k≤12
D.0<k≤12或k=8

3 C.k≥12

3

【解题导引】(1)利用正弦定理,将边化为角,借助式子 的特点,利用和角公式与相关的诱导公式解决问题. (2)由正弦定理和三角函数的图象求解.

【规范解答】(1)选A.根据正弦定理,
设 a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC. 将它们代入asinBcosC+csinBcosA= 整理得sinAcosC+cosAsinC= 即sin(A+C)=

1 b, 2

1 , 2
1 , 2

又sin(A+C)=sin(π-B)=sinB,

所以sinB= 1

, 2 B必为锐角,所以B= 因为a>b,所以

? . 6

【一题多解】解答本题还有以下解法:
由asin Bcos C+csin Bcos A= 1 b, 2 得sin B(acos C+ccos A)= 1 b, 所以 2 1 1 bsin B ? b,sin B? , 因为a>b, 所以 B 必为锐角,所以 2 2

? B? . 6

(2)选D.由正弦定理得 因为

2 0 ? A ? ?, 3 或0<k≤12时有唯一的 k.

k 12 ? ,k ? 8 3sin A, sin A sin 60? 所以由图象可以知道当且仅当k=
8 3

【母题变式】
1.在本例(2)中,条件改为“△ABC中,∠ABC=60°,

AC=12,BC=k”,讨论k的取值范围对三角形解的个数的
影响.

k 12 ? ,k ? 8 3sin A, sin A sin 60? 画出函数 图象, y ? 8 3sin x
【解析】由

可知(1)当k=8 (2)当k>8

3 时三角形无解.

或0<k≤12时三角形有一解.

3 (3)当12<k<8 3

时三角形有两个解.

2.在本例(2)中,条件改为“△ABC中,∠ABC=60°,
AC=12,BC=14”,判断三角形解的情况. 【解析】由正弦定理得

14 12 7 3 ? ,sin A ? ? 1, 所以不存在满足条件的三角形 故三角形无解 . sin A , sin 60? 12

【规律方法】 1.利用正弦定理可以解决的两类问题

(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而 进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一 确定,会出现两解,一解和无解三种情况.

在△ABC中,已知a,b和A,解的个数见下表

A为钝角 A为直角 a>b 一解 一解 a=b 无解 无解
a<b 无解 无解

A为锐角 一解 一解 a>bsinA 两解 a=bsinA 一解 a<bsinA 无解

2.利用余弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两边及夹角,先求第三边,再求其余两个角. (2)已知三边,求三个内角.

易错提醒:(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或丢 解的错误,要根据条件和三角形的限制条件合理取舍. (2)求角时忽略角的范围而导致错误,需要根据大边对

大角,大角对大边的规则,画图帮助判断.

【变式训练】(2015·安徽高考)在△ABC中,AB= A=75°,B=45°,则AC= 【解析】由正弦定理可知: .

6

,

AB AC ? sin[180? ? (75? ? 45?)] sin 45?

6 AC ? :2 ? ? AC ? 2. 答案 sin 60? sin 45?

【加固训练】

1.(2016·长沙模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
a,b,c,已知b=2, 则△ABC的面积为( ? ? B ? ,C ? , 6 4 )

A.2 3 ? 2???????????B. 3 ? 1???????????C.2 3 ? 2???????????D. 3 ? 1

【解析】选B.因为 由正弦定理得 b

? ? 7? B ? ,C ? , 所以A ? . 6 4 12

? ? sin sin 6 4 所以三角形的面积为 1 1 7? bcsin A ? ? 2 ? 2 2sin . 2 2 12

?

c

,解得c ? 2 2.

7? ? ? 3 2 1 2 因为sin ? sin( ? ) ? ? ? ? 12 3 4 2 2 2 2 2 3 1 ? ( ? ), 2 2 2 1 2 3 1 所以 bcsin A ? 2 2 ? ( ? ) ? 3 ? 1. 2 2 2 2

2.(2016·阜阳模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别是 a,b,c,若B=2A,a=1,b= ,则c= ( ) D.1

3
A.2 B.2 C.

3

2

【解析】选B.由B=2A,则sinB=sin2A,
由正弦定理知 a b ? , sin A sin B

1 3 3 3 即 ? ? ? , sin A sin B sin 2A 2sin Acos A 3 ? ? 所以cos A ? ,所以A ? ,B ? 2A ? , 2 6 3 ? 所以c2=a2+b2=1+3=4,c=2. 所以C ? ? ? B ? A ? , 2

3.(2016·宿州模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边
分别是a,b,c.若a2+ab+b2-c2=0,则角C的大小是 【解析】a2+ab+b2-c2=0?cosC= 答案: .

a 2 ? b2 ? c2 1 2 ?? ?C? ? 2ab 2 3

2 ? 3

考向二

利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状

【典例2】(1)(2016·洛阳模拟)设△ABC的内角A,B,C

所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC
的形状为 ( ) B.锐角三角形 D.不确定

A.直角三角形 C.钝角三角形

(2)(2016·成都模拟)在△ABC中,a,b,c分别 为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+ (2c+b)sinC.

①求A的大小;
②若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.

【解题导引】(1)由正弦定理把边化为角,求出角A.

(2)①先由正弦定理把角化为边,再用余弦定理求角;
②用三角恒等变换公式求出B,C,判断三角形的形状.

【规范解答】(1)选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由
正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,

所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1,
所以A为直角,所以三角形ABC是直角三角形.

(2)①由已知,结合正弦定理, 得2a2=(2b+c)·b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,

又由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,
所以bc=-2bccosA,即cosA=,

1 由于A为三角形的内角,所以A= 2

.

2? 3

②对于已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC, 结合正弦定理, 有2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC, 即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=

又由sinB+sinC=1,
得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,

2? 3 sin ? , 3 4
2

所以sinB·sinC= 1 . 4 从而有sinB=sinC= 1 . 2 因为0<B<π,0<C<π,0<B+C<π, 所以B=C=

? , 所以△ABC 是等腰的钝角三角形 . 6

【易错警示】解答本例题(2)会出现以下错误: (1)求得cosA= 1 后,得A= 5? 或A= ? ,这是由于记错了 ? 2 6 3 特殊角的三角函数值而致误. (2)求得sin2A= 后,开方得sinA=〒 ,这是忽略了角 3 3 的范围和三角函数的符号而致误 . 2 4

【规律方法】 1.应用余弦定理判断三角形形状的方法

在△ABC中,c是最大的边,
若c2<a2+b2,则△ABC是锐角三角形;

若c2=a2+b2,则△ABC是直角三角形;
若c2>a2+b2,则△ABC是钝角三角形.

2.判断三角形形状的常用技巧

若已知条件中有边又有角,则
(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从

而判断三角形的形状.
(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判 断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π 这个结论.

【变式训练】(2016·蚌埠模拟)若△ABC的三个内角满 足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC ( A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 )

C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

【解析】选C.由sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13及正弦 定理得a∶b∶c=5∶11∶13. 由余弦定理得cosC=

5 ? 11 ? 13 2 ? 5 ?. 11 即△ABC一定是钝角三角形
2 2

2

<0,所以C为钝角,

【加固训练】

1.(2016·汕头模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为
a,b,c.若原点到直线xsinA+ysinB+sinC=0的距离大于1,

则此三角形形状为(
A.锐角三角形 C.钝角三角形

)
B.直角三角形 D.不能确定

【解析】选C.由已知,

sin C
2

sin 2 2 2 所以sin C>sin A+sin B.


A ? sin B
2

? 1,

a b c ? ? sin A sin B cosC= sin C 由余弦定理得

=2R,所以,c2>a2+b2. <0,

a 2 ? b2 ? c2 所以,C为钝角,三角形为钝角三角形 . 2ab

2.(2016·六安模拟)△ABC中,如果 那么△ABC是 A.直角三角形 ( )

a b c ? ? , tan A tan B tan C

B.等边三角形
C.等腰直角三角形

D.钝角三角形

a b c sin A ? ? 得 tan A tan B tan C tan A sin B sin C 整理得cosA=cosB=cosC,因为A,B,C为三 ? ? , tan B tan C 角形内角, 所以△ABC是等边三角形.
【解析】选B.由正弦定理及

3.(2016·青岛模拟)在△ABC中,若
则△ABC是 ( )

a b c ? ? , cos A cos B cos C

A.直角三角形
C.钝角三角形

B.等边三角形
D.等腰直角三角形

【解析】选B.利用正弦定理化简已知等式得:

sin A sin B sin C 即tanA=tanB=tanC,因为A,B,C为 ? ? , cos A cos B cos A=B=C, C 三角形内角 ,所以 则△ABC为等边三角形.

4.(2016·十堰模拟)给出下列命题: ①若tanAtanB>1,则△ABC一定是钝角三角形; ②若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC一定是直角三角形; ③若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC一定是等 边三角形. 以上正确命题的序号为 .

【解析】①tan(A+B)=-tanC= tan A ? tan B <0,tanC>0, 1 ? tan A?tan B 所以C为锐角,因为tanA·tanB>1,A,B为三角形内角, 则tanA>0,tanB>0,

所以A,B均为锐角,
所以△ABC不是钝角三角形,①错.

②由正弦定理,得a2+b2=c2, 所以一定为直角三角形,②对. ③由cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1可得

cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,
所以A=B=C,③对.

答案:②③

考向三

正弦定理、余弦定理的综合应用

【典例3】(1)(2015·北京高考)在△ABC中,a=4,b=5,
c=6,则

sin 2A (2)(2015·重庆高考 )设△ABC的内角A,B,C的对边分别 sin C
为a,b,c,且a=2,cosC=,3sinA=2sinB,则c= .

=

.

1 4

【解题导引】(1)利用二倍角公式展开sin2A,再利用正、

余弦定理角化边.
(2)首先根据正弦定理求出b的大小,再利用余弦定理可 求出c的值.

b2 ? c2 ? a 2 2a ? 2bc 【规范解答】(1) sin 2A ? 2sin Acos A ? sin C sin C c
a ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 4 ? ? 52 ? 6 2 ? 4 2 ? ? ? ? 1. 2 2 bc 5? 6 答案:1

(2)在△ABC中,因为3sinA=2sinB. 由正弦定理可知3a=2b,

因为a=2,所以b=3.由余弦定理可知
c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2〓2〓3〓 =16,

所以c=4.
答案:4

1 (? ) 4

【规律方法】与三角形的边长、角度等有关问题的求 解思路 (1)若求角,则先把已知条件中的边用正弦定理、余弦 定理转化为角的三角函数关系,再求解.

(2)若求边,则先把已知条件中的角用正弦定理、余弦
定理转化为边的关系,再求解.

【变式训练】1.(2016·武汉模拟)在△ABC中,内角A,

B,C所对应的边分别为a,b,c,若bsinAb2=ac,则

acosB=0,且

3

A.

2 2

a?c b B.

的值为

(

)

C.2

D.4

2

【解析】选C.△ABC中,由bsinA利用正弦定理得sinBsinA所以tanB= ,故B= .

3 sinAcosB=0,

acosB=0,

3

? 3 2 2 2 3 -2ac·cosB=a2+c2-ac, 由余弦定理得b =a +c
即b2=(a+c)2-3ac,

又b2=ac,所以4b2=(a+c)2,求得

=2.

a?c b

2.(2016·南阳模拟)设△ABC的内角A,B,C所对边的长

分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=(

)

? A. 3

3? B. 4

5? C. 6

2? D. 3

【解析】选D.因为3sinA=5sinB,

由正弦定理可得:3a=5b,所以a= 5b
又b+c=2a,可得c=2a-b=

3

.

7b , 不妨取b=3,则a=5,c=7, 3
所以cosC=

a 2 ? b2 ? c2 52 ? 32 ? 72 1 因为C∈(0,π),所以? C= ?? . 2ab 2? 5? 3 2 2? . 3

3.(2015·咸阳模拟)已知在锐角△ABC中,2asinB= b,b=2,c=3,AD是内角的平分线,则BD= .

3

【解析】由2asinB=

3

b及正弦定理得

2sin∠BAC·sinB=

sinB,所以sin∠BAC= 3 3 . 2 因为∠BAC为锐角,所以∠BAC= ? . 因为AD是内角平分线, 3
所以

BD AB c 3 ? ? ? . DC AC b 2

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC

=4+9-2〓2〓3〓 1
所以

2

? 7,

3 BC ? 7,BD ? 7. 答案: 5 3 7 5

【加固训练】

(2014·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分
别是a,b,c.已知b-c=



.

1 4

a,2sinB=3sinC,则cosA的值

【解析】因为2sinB=3sinC,所以2b=3c, 又b-c= 1 a,解得b= 3c ,a=2c. 4 2 所以cosA= b2 ? c2 ? a 2 1 ?? . 答案:2bc 4 1 4


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