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【全程复习方略】2014年数学理(福建用)配套课件:第十章 第七节离散型随机变量及其分布列_图文

第七节 离散型随机变量及其分布列

1.随机变量的有关概念 (1)随机变量: 变化而变化 的变量,常用字母X,Y,ξ ,η ,?表 随着试验结果___________ 示. (2)离散型随机变量: 一一列出 的随机变量. 所有取值可以_________

2.离散型随机变量的分布列的概念及性质 (1)概念: 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,?,xi,?,xn,X取 每一个值xi(i=1,2,?,n)的概率P(X=xi)=pi,则表 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

概率分布列 ,简称为X的分布列,有 称为离散型随机变量X的___________ P(X=xi)=pi,i=1,2,?,n 表示X的分布列. 时也用等式______________________ (2)性质:
pi ? 1 ? pi≥0(i=1,2,?,n) ;②___________. ①_________________ i ?1
n

3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布: 若随机变量X服从两点分布,即其分布列为 X P 0 1-p 1 p

P(X=1) 称为成功概率. 其中p=_______

(2)超几何分布:

在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事
n ?k Ck M C N ?M 件{X=k}发生的概率为P(X=k)=_______,k=0,1,2,?,m,其中 m= Cn N

min{M,n} 且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,如果随机变量X的分布列 _________,
具有下表形式
X P 0
n ?0 C0 M C N ?M n C N _______

1
n ?1 C1 C M N ?M n C N _______

?

m
n ?m Cm C M N ?M n C N _______

?

则称随机变量X服从超几何分布.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻

画的随机现象.(

)
)

(2)有些离散型随机变量的分布列可以使用公式表示.(

(3)离散型随机变量的概率分布列中,各个概率之和可以小于 1.( )

(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的.( )

(5)如果随机变量X的分布列由下表给出, X
P 则它服从两点分布.( )

2
0.3

5
0.7

【解析】(1)正确.离散型随机变量的分布列,是所有离散型随 机变量的概率分布情况,因此该说法是正确的 . (2)错误.有些离散型随机变量的概率可以用公式表示出来,但 分布列不能. (3)错误.由概率分布列的性质可知:在分布列中随机变量的概 率之和为1.

(4)正确.因为如果离散型随机变量的各个可能值表示的事件彼 此不互斥,则它们的概率之和将大于1,所以该说法是正确的. (5)错误.因为两点分布中随机变量的取值分别为0,1. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×

1.将一颗骰子掷两次,随机变量为( (A)第一次出现的点数 (C)两次出现点数之和

)

(B)第二次出现的点数 (D)两次出现相同点的种数

【解析】选C.A,B中出现的点数虽然是随机的,但它们取值所

反映的结果,都不是本题涉及试验的结果 .D中出现相同点数的
种数就是6种,不是变量.C整体反映两次投掷的结果,可以预

见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,共11种结
果,但每掷一次前,无法预见是11种中的哪一个,故是随机变

量,选C.

2.设随机变量X等可能取值1,2,3,?,n,若P(X<4)=0.3, 则( ) (B)n=4 (C)n=9 (D)n=10

(A)n=3

【解析】选D.P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=
1 1 1 3 + + = =0.3, ∴n=10. n n n n

3.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取 得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的 次数为ξ ,则表示“放回5个红球”事件的是( (A)ξ =4 (B)ξ =5 (C)ξ =6 )

(D)ξ ≤5

【解析】选C.由条件知“放回5个红球”事件对应的ξ为6.

4.设X是一个离散型随机变量,其分布列为: X P -1 0.5 0 1-2q 1 q2

则q等于(
(A)1

)
(B)1 ? 2
2

(C)1- 2
2

2 (D)1 + 2

【解析】选C.由分布列的性质得:
1 ? -2q ? 0, ?1 q ? , ? 2 ? 2 ? ?? ?q ? 0, 2 ?0.5+- ? 2 q = 1 ? . 1 2q+q = 1 ? ? 2 ?

? q=- 1

2 . 2

5.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题,比赛规 定:对于每一道题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答 正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是 甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能 取值是______.

【解析】甲获胜且获得最低分的情况是:甲抢到一道题并回答 错误,乙抢到两道题并且都回答错误,此时甲得- 1分,故X的 所有可能取值为-1,0,1,2,3. 答案:-1,0,1,2,3

考向 1

离散型随机变量分布列的性质

【典例1】(1)设随机变量X的概率分布如表所示: X 0 1
1 3

2
1 6

P

a

F(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)=(
1 ?A? 3 1 ? B? 6 1 ?C? 2 5 ?D? 6

)

(2)已知随机变量ξ 的分布列为 ξ P 求η = -2
1 12

-1
1 4

0
1 3

1
1 12

2
1 6

3
1 12

1 ξ 的分布列. 2

【思路点拨】(1)由概率分布的性质,可求出a的值,然后求出 F(x)的值. (2)根据η与ξ的对应关系求出η的值及相应概率.

【规范解答】(1)选D.∵ a+ + =, 1 ? a= . ∵x∈[1,2),∴F(x)=P(X≤x)= 1 +1 = 5 .
2 3 6

1 3

1 6

1 2

(2)由题意得,

ξ η

-2 -1

-1
? 1 2

0 0

1
1 2

2 1

3
3 2

所以η的分布列为

【互动探究】在本例题(2)中条件不变,求η =ξ 2的分布列. 【解析】η=ξ2对于ξ的不同取值-2,2及-1,1,η分别取相

同的值4与1,即η取4这个值的概率应是ξ取-2与2值的概率的
和,η取1这个值的概率也是ξ取-1与1值的概率的和,故η的

分布列为
η 0
1 3

1
1 3

4
1 4

9
1 12

P

【拓展提升】 1.分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用

这一点可以求相关事件的概率.

2.随机变量组合的分布列问题
(1)随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(a,b∈R)是随机变量. (2)求η=aξ+b的分布列可先求出相应随机变量的值,再根据 对应的概率写出分布列. 【提醒】求分布列中参数的值时应保证每个概率值均为非负数 .

【变式备选】已知某一随机变量X的概率分布如下,且E(X)= 6.3,则a的值为( X P ). 4 0.5 a 0.1 9 b

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8

【解析】选C.由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,∴b=

0.4.∵E(X)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3,
∴a=7.

考向 2

离散型随机变量的分布列

【典例2】(1)某射手射击所得环数X的分布列为: X P 4 5 6 7 8 9 10

0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(
(A)0.28 (B)0.88 (C)0.79 (D)0.51

)

(2)(2013·温州十校联考)一个均匀的正四面体的四个面上分 别标有1,2,3,4四个数字,现随机投掷两次,正四面体面朝下 的数字分别为x1,x2,记ξ =(x1-3)2+(x2-3)2. ①分别求出ξ 取得最大值和最小值时的概率; ②求ξ 的分布列.

【思路点拨】(1)首先弄清“射击一次命中环数大于7”所包含
的事件,然后依据概率分布求解. (2)首先弄清随机变量ξ的所有可能取值,然后求出ξ的分布 列.

【规范解答】(1)选C.P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =0.28+0.29+0.22=0.79. (2)①掷出点数x可能是1,2,3,4,则x-3分别得:-2,-1, 0,1.于是(x-3)2的所有取值分别为:0,1,4.因此ξ的所有取值

为:0,1,2,4,5,8.
当x1=1且x2=1时,ξ=(x1-3)2+(x2-3)2可取得最大值8,

P(ξ=8)= ? = ;
当x1=3且x2=3时,ξ=(x1-3)2+(x2-3)2可取得最小值0,

1 1 4 4

1 16

P(ξ=0)= ? = .

1 1 4 4

1 16

②由①知ξ的所有取值为:0,1,2,4,5,8.
1 P(ξ=0)=P(ξ=8)= ; 16

当ξ=1时,(x1,x2)的所有取值为(2,3),(4,3),(3,2),
4 1 (3,4).即P(ξ=1)= ? ; 16 4

当ξ=2时,(x1,x2)的所有取值为(2,2),(4,4),(4,2), (2,4).即P(ξ=2)= 4 ? 1 ;
16 4

当ξ=4时,(x1,x2)的所有取值为(1,3),(3,1). 即P(ξ=4)= 2 ? 1;
16 8

当ξ=5时,(x1,x2)的所有取值为(2,1),(1,4),(1,2),(4,1). 即P(ξ=5) ? 4 ? 1 .
16 4

所以ξ的分布列为: ξ P 0
1 16

1
1 4

2
1 4

4
1 8

5
1 4

8
1 16

【拓展提升】
1.分布列的表示方法

分布列有三种表示形式,即表格、等式和图象 .在分布列的表
格表示中,结构为2行n+1列,第1行表示随机变量的取值,第2

行是对应的变量的概率.

2.求随机变量的分布列的三个步骤 (1)找:找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i=1,2,?,n),并

确定ξ=xi的意义.
(2)求:借助概率的有关知识求出随机变量ξ取每一个值的概

率P(ξ=xi)=pi(i=1,2,?,n).
(3)列:列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性

质.

【变式训练】盒中装有8个乒乓球,其中6个新的,2个旧的, 从盒中任取2个来用,用完后放回盒中,此时盒中旧球个数ξ 是一个随机变量,请填写以下ξ 的分布列. ξ 2 3 4

P

【解析】“ξ=2”表示用完放回后盒中只有2个旧球,所以在 取球时已经将原来2个旧球全部取出,
C2 1 ? P ? ?=2 ?= 2 = . 2 C8 28

“ξ=3”表明原来2个旧球只取1个,
1 C1 3 6C2 ? P ? ?=3?= 2 = . C8 7

“ξ=4”表明原来2个旧球1个也不取.
2 C6 15 ? P ? ?=4 ?= 2 = . C8 28

∴ξ的分布列为:

ξ P

2
1 28

3
3 7

4
15 28

考向 3

超几何分布的概率问题

【典例3】(1)(2013·天水模拟)从4名男生和2名女生中任选3 人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是 ______. (2)从一批含有13件正品,2件次品的产品中,不放回任取3件, 求取得次品数为ξ 的分布列.

【思路点拨】(1)先找出随机变量的所有可能取值,再求概率,
求概率时注意判断其概率模型.

(2)先弄清随机变量的取值,再判断随机变量服从什么分布 .

【规范解答】(1)设所选女生人数为X,则X服从超几何分布, 其中N=6,M=2,n=3,则
3 2 C0 C1 4 2C4 2C4 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= 3 + 3 = . C6 C6 5 4 答案: 5

(2)本题是超几何分布,可利用超几何分布的概率公式求解 . 设随机变量ξ表示取出次品的件数,则ξ服从超几何分布,其 中N=15,M=2,n=3.ξ可能的取值为0,1,2.相应的概率依次 为
3 2 C0 C1 22 12 2 C13 2 C13 P ? ?=0 ?= 3 = ,P ? ?= 1?= 3 = , C15 35 C15 35 1 C2 C 1 P ? ?=2 ?= 2 3 13 = . C15 35

所以ξ的分布列为

ξ
P

0
22 35

1
12 35

2
1 35

【拓展提升】 1.超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题. (2)随机变量为抽到的某类个体的个数 . 2.超几何分布的应用 超几何分布是一个重要分布,其理论基础是古典概型,主要应 用于抽查产品,摸不同类别的小球等概率模型 .

【变式训练】某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括
x位女学生,3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中

学担任第三批顶岗实习教师.每一位学生被选派的机会是相同
的.

(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为 3,试求出n与x
5

的值.

(2)记X为选派的2位学生中女学生的人数,写出X的分布列.

【解析】(1)从n位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗
n ? n- 1? 实习教师的总结果数为 C2 2位学生中恰有1位女学生 , n= 2
1 的结果数为 C1 C 3? ? 3. n-3 3=? n-

1 n-3? ? 3 3 ? C1 n-3 C3 = = ,化简得n2-11n+30=0,解 依题意可得 2 n ? n- 1? 5 Cn 2 得n =5,n =6.

1

2

当n=5时,x=5-3=2;当n=6时,x=6-3=3,

故所求的值为 ?

?n=5, ?n=6, 或? ? x=2 ? x=3.

(2)当 ? ?

n=5,

? x=2 0 2 C 3 3 生,这时 P ? X=0 ?= 2 C = , 2 C5 10
1 C1 C 3 2 3 P ? X=1?= 2 = , C5 5

时,X可能的取值为0,1,2.X=0表示只选派2位男

X=1表示选派1位男生与1位女生,这时

X=2表示选派2位女生,这时
C2 1 P ? X=2 ?= 2 = . 2 C5 10

X的分布列为: X P
? x=3

0
3 10

1
3 5

2
1 10

n=6, 当? 时,X可能的取值为0,1,2.X=0表示只选派2位男生, ?
2 0 C 3 这时 P ? X=0 ?= C3 = 1 , 2 C6 5

X=1表示选派1位男生与1位女生,
1 1 C 这时 P ? X=1?= 3C3 = 3, 2 C6 5

2 0 C 1 3 X=2表示选派2位女生,这时 P ? X=2 ?= 3 C = . 2 C6 5

X的分布列为: X P 0
1 5

1
3 5

2
1 5

【满分指导】离散型随机变量分布列的规范解答 【典例】(13分)(2012·大纲版全国卷改编)乒乓球比赛规则规 定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对 方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲 先发球.

(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1∶2的概率. (2)ξ 表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ 的分布列.

【思路点拨】
已知条件
比赛规则

条件分析
双方各发两次球,胜得1分,发球方胜 的概率为0.6.属于独立事件的概率求解 问题 包含两种情况: 第一种:第1次和第2次两次发球,甲共 得1分,第3次发球时甲未得分 第二种:第1次和第2次两次发球,甲共 得0分,第3次发球时甲得1分 ξ可能的取值为0,1,2,3

开始第4次发球时, 甲、乙的比分为1∶2

ξ表示开始第4次发 球时乙的得分

【规范解答】记Ai表示事件:第1次和第2次两次发球,甲共得
i分,i=0,1,2. A表示事件:第3次发球,甲得1分 B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1∶2.

(1)B=A0·A+A1·A, ??????????????2分 P(A)=0.4, P(A0)=0.42=0.16, P(A1)=2×0.6×0.4=0.48. ???????????4分
P ? B ? ? P(A 0 A ? A1 A) ①

? P(A 0 A) ? P(A1 A) ? P(A 0 ) P ? A ? ? P(A1 ) P(A)

=0.16×0.4+0.48×(1-0.4)

=0.352. ???????????????????6分

(2)P(A2)=0.62=0.36.

ξ可能的取值为0,1,2,3.②???????????7分
P(ξ=0)=P(A2·A)

=P(A2)·P(A)=0.36×0.4=0.144.
P(ξ=2)=P(B)=0.352,
P(? ? 3) ? P(A0 A)③

=P(A0)·P( A )=0.16×0.6=0.096.

??????9分

P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3)④
=1-0.144-0.352-0.096

=0.408.
ξ的分布列为 ξ P

?????????????????11分

0 0.144

1 0.408

2 0.352

3 0.096

???????????????????????? 13分

【失分警示】(下文①②③④见规范解答过程)

1.(2013·泰安模拟)若P(ξ ≤x2)=1-β ,P(ξ ≥x1)=1-α , 其中x1<x2,则P(x1≤ξ ≤x2)等于( (A)(1-α )(1-β ) (C)1-α (1-β ) )

(B)1-(α +β ) (D)1-β (1-α )

【解析】选B.由分布列性质可有: P(x1≤ξ≤x2)=P(ξ≤x2)+P(ξ≥x1)-1=(1-β)+(1-α)

-1=1-(α+β).

2.(2013·天津模拟)若随机变量X的概率分布如表,则表中a的
值为( X P ) 1 0.2 2 0.3 3 0.3 4 a

(A)1

(B)0.8

(C)0.3

(D)0.2

【解析】选D.由离散型随机变量的分布列的性质知

0.2+0.3+0.3+a=1,a=0.2,验证符合概率的范围,故选D.

3.(2013·成都模拟)一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为

二,两次分裂为四,如此继续分裂有限次,而随机终止.设分
裂n次终止的概率是
1 (n=1,2,3,?),记X为原物体在分裂终 n 2

止后所生成的子块数目,则P(X<10)=(
7 8 3 (C) 8

)

(A)

(B)

5 8

(D)以上均不对

【解析】选A.依题意分裂n次终止的概率是

1 (n=1,2,3,?), n 2

∴原物体在分裂终止后所生成的子块数目 X的分布列为:P(X)=
1 (n=1,2,3,?), n 2

∴P(X<10)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=8)= 1 ? 1 ? 1 ? 7 . 故选A.
2 4 8 8

4.(2013·泉州模拟)口袋中有n(n∈N*)个白球,3个红球,依 次从口袋中任取1个球,如果取到红球,那么继续取球,且取 出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数
7 为X.若P(X=2)= , 求: 30

(1)n的值. (2)X的分布列.

C1 C1 7 7 3 【解析】(1)由P(X=2)= 知 1 ? 1 n = , 30 C n+3 Cn+2 30

∴90n=7(n+2)(n+3). ∴n=7或 n ? 6 (舍),故n=7.
7

(2)由题意知X可取1,2,3,4,
C1 7 P ? X=1?= 17 ? , C10 10
1 C1 C 7 3 7 P ? X=2 ?= 1 1 ? , C10 C9 30 1 1 C1 7 3C 2 C 7 P ? X=3?= 1 1 1 ? , C10 C9 C8 120 1 1 1 C1 1 3C 2 C1C 7 P ? X=4 ?= 1 1 1 1 ? . C10 C9 C8C7 120

∴X的分布列为 X P 1
7 10

2
7 30

3
7 120

4
1 120

1.由于电脑故障,使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以 “x,y”代替),其表如下: X P 1 0.20 2 0.10 3 0.x5 4 0.10 5 0.1y 6 0.20

则x,y分别为________.
【解析】由于0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1,得

0.x5+0.1y=0.40,于是x,y分别为2,5.
答案:2,5

2.某电视台的一个智力游戏节目中,有一道将中国四大名著
《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们

的作者连线的题目,每本名著只能与一名作者连线,每名作者
也只能与一本名著连线,每连对一个得2分,连错得-1分,某

观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中,其他不知道随意连
线,将他的得分记作ξ .

(1)求该观众得分ξ 为负数的概率.
(2)求ξ 的分布列.

【解析】(1)当该观众只连对《三国演义》,其他全部连错时,
得分为负数,此时ξ=-1, 故得分为负数的概率为 P ? ? ? ?1? ? 23 ? 1 .
A3 3

(2)ξ的可能取值为-1,2,8.
P ? ? ? 2? ? 3 1 ? , 3 A3 2

ξ的分布列为: ξ

1 1 P ? ? ? 8? ? 3 ? . A3 6

-1
1 3

2
1 2

8
1 6

P


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