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福建省三明市2014届高三5月质量检查(数学文) Word版含答案


2014 年三明市普通高中毕业班质量检查

文 科 数 学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 6 页.满分 150 分.考试 时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内 作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的标准差 锥体体积公式

s?
?

? ? ? 1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x) ? … ? ( xn ? x)2 ] n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 i 是虚数单位,那么复数 (1 ? i)i 等于 A. ? 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. 1 ? i

2.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1} ,则 A A. {x | x ? 0} B. {x | 0 ? x ? 1}

B为
D. {x | x ? 2}

C. {x |1 ? x ? 2}

3.观察下列关于变量 x 和 y 的三个散点图,它们从左到右的对应关系依次是

A.正相关、负相关、不相关 C.负相关、正相关、不相关

B.负相关、不相关、正相关 D.正相关、不相关、负相关

4.命题: “ ?x ? 0 ,都有 x ? x ? 0 ”的否定是
2

A. ?x ? 0 ,都有 x ? x ? 0
2

B. ?x ? 0 ,都有 x ? x ? 0
2

C. ?x ? 0 ,使得 x ? x ? 0
2

D. ?x ? 0 ,使得 x ? x ? 0
2

5.函数 f ( x) = - x3 + 3x2 - 4 的单调递增区间是 A. (-

开始 输入 x

, 0)

B. (- 2 , 0) D. (2 , +

C. (0 , 2)

)

a ? sin x
,则该程序

6. 某程序框图如图所示,若输入 x ? 运行后输出的 a , b 值分别是 A. 0, C. 1,

?
2

b ? cos x

m?a


b ? a?


a?b

b?m

1 0

B. 1, D. 0,

1
0

输出 a , b

结束

7.直线 x + y = 0 与圆 ( x - 2)2 + y 2 = 4 相交所得线段的长度为

A.

2 2

B. 2 1 D. 2 2

C. 2

1
正视图

1
侧视图

8.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积是 A. 1 ? 2 B. 2

C.

2? 2 2

D.

3 2

俯视图

9.若 x, y 均为区间 (0,1) 的随机数,则 2 x ? y ? 0 的概率为 A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D.

3 4

10. 对于函数 f ( x ) 在定义域内的任意实数 x 及 x ? m (m ? 0) ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 及

f ( x ? m) ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 为“ Z 函数”.现给出下列四个函数:
? ? 1 ? x ( x ? 0), ?ln x ? x ? 0 ? , g ( x) ? ? h( x ) ? x ? ; v( x) ? cos x . u ( x) ? ? x ? ? ? ? ? x ( x ? 0); ?ln(? x ) ? x ? 0 ? ;
其中是“ Z 函数”的是

A. g ( x)

B. h( x)

C. u ( x)

D. v ( x )

11.在边长为2的等边 ?ABC 中, D 是 AB 的中点, E 为线段 AC 上一动点,则 EB ? ED 的 取值范围是 A. [

23 , 3] 16

B. [

23 , 2] 16

C. [ , 3]

3 2

D. [2,9]

12.设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,那么下列说法正确的是 A.若 f ' ? x

??0

,则 x 是函数 f ? x ? 的极值点
'

B. 若 x 是函数 f ? x ? 的极值点,则 f

?x ? ? 0

C. 若 x 是函数 f ? x ? 的极值点,则 f ' ? x ? 可能不存在 D.若 f
'

? x ? ? 0 无实根

,则函数 f ? x ? 必无极值点

第Ⅱ卷(非选择题
13.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? 3 ,则 S7 ? .

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置.

14. 已知椭圆的焦点是双曲线的顶点,双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点,若两曲线的离心率 分别为 e1 , e2 , 则 e1 ? e2 ? ______. 15. 已知 a ? 0, b ? 0, 若直线 l1 : x ? a y ? 1 ? 0 与直线 l 2 ( : a ? 1) x ? by ? 3 ? 0 互相垂直,
2 2

则 ab 的最小值是



16 .定义 Fn ( A , B) 表示所有满足 A

B ? ?a1, a2 , ???, an ? 的集合 A , B 组成的有序集合对

( A , B) 的个数.试探究 F1 ( A , B) , F2 ( A , B) , ??? ,并归纳推得 Fn ( A, B) =_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 某校为了解高一期末数学考试的情况,从高一的所有学生数学试卷中随机抽取 n 份试卷 进行成绩分析,得到数学成绩频率分布直方图(如图所示) ,其中成绩在 [50,60) 的学生人 数为 6. (Ⅰ)估计所抽取的数学成绩的众数; (Ⅱ) 用分层抽样的方法在成绩为 [80,90) 和 [90,100] 这两组中共抽取 5 个学生,并从这 5 个学生中任取 2 人进行点评,求分数在 频率/组距 0.030 0.024 0.018 0.016 0.012

[90,100] 恰有 1 人的概率.

18. (本小题满分 12 分)

50

60

70

80

90

100



将数列 ?an ? 按如图所示的规律排成一个三角形数表,并同时满足以下两个条件:①各 行的第一个数 a1 , a2 , a5 ,? 构成公差为 d 的等差数列;②从第二行起,每行各数按从左到右 的顺序都构成公比为 q 的等比数列.若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , a5 ? 3 . (Ⅰ)求 d , q 的值; (Ⅱ)求第 n 行各数的和 T .

a1

a 2 a3 a 4

a5 a6 a7 a8 a9
??

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC , PD ? AC 于点 D ,且

DC ? 2 AD ? 2 , E为PC上一点,PE : EC ? 1 : 2 ,
(Ⅰ)求证: DE // 平面PAB;

P E

PDB ? 平面ABC; (Ⅱ) 求证:平面
? (Ⅲ) 若 PD ? 2,AB ? 3 ,?ABC ? 60 ,

求三棱锥 P ? ABC 的体积.

A D B

C

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p > 0 )的准线与 x 轴交于点 M (- 1, 0) . (Ⅰ)求抛物线的方程,并写出焦点坐标; (Ⅱ) 是否存在过焦点的直线 AB (直线与抛物线交于点 A ,B ) , 使得三角形 MAB 的 面积 SDMAB = 4 2 ?若存在,请求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 设向量 a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 ) ,定义一种向量积 a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) . 已知向量 m ? (2 , ) , n ? ( ,0) ,点 P( x0 , y0 ) 为 y ? sin x 的图象上的动点,点 Q( x, y ) 为 2 3 . y ? f ( x) 的图象上的动点,且满足 OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点) (Ⅰ)请用 x0 表示 m ? OP ; (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的表达式并求它的周期; (Ⅲ)把函数 y ? f ( x) 图象上各点的横坐标缩小为原来的

1

?

1 倍(纵坐标不变) ,得到函 4
?
2 ] 内的零

数 y ? g ( x) 的图象.设函数 h( x) ? g ( x) ? t (t ? R ) ,试讨论函数 h( x) 在区间 [0 , 点个数. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? e)(ln x ? 1) (e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程;

(Ⅱ)若 m 是 f ( x ) 的一个极值点,且点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 满足条件:

ln( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? 2 .
(ⅰ)求 m 的值; (ⅱ)求证:点 A , B , P(m, f (m)) 是三个不同的点,且构成直角三角形.

2014 年三明市普通高中毕业班质量检查

文科数学试题参考解答及评分标准
一、选择题: 1.B 7.D 2.B 8.A 3.D 9.D 4.C 10.A 5.C 11.A 6.A 12.B

二、填空题: 13.21; 三、解答题: 17. 解: (Ⅰ) 由频率分布直方图可知: 样本的众数为 75. 3分 (Ⅱ)由频率分布直方图可得:第三组 [50,60) 的频率: 0.012 ?10 ? 0.12 , 所 以 , ??????????? 14.1; 15.2; 16. 3 .
n

n?6

?0 ????????????????????????4 分

? 第四组 [80,90) 的频数: 0.024 ?10 ? 50 ? 12 ;
第五组 [90,100] 的频数: 0.016 ?10 ? 50 ? 8 ; 用分层抽样的方法抽取 5 份得: 第四组 [80,90] 抽取: 7分 记抽到第四组 [80,90) 的三位同学为 A1 , A2 , A3 ,抽到第五组 [90,100] 的两位同学为

12 8 ? 5 ? 3 ;第五组 [90,100] 抽取: ? 5 ? 2 . 20 20

????

B1, B2
则从 5 个同学中任取 2 人的基本事件有: ( A 1, A 2 ),( A 1, A 3 ),( A 1, B 1 ),( A 1 , B2 ),( A 2, A 3 ),

( A2 , B1 ),( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( B1, B2 ) ,共 10 种.
其中分数在 [90,100] 恰有 1 人有:( A 1, B 1 ),( A 1 , B2 ),( A 2, B 1 ),( A 2 , B2 ),( A 3, B 1 ),( A 3 , B2 ) , 共 6 种.

? 所求概率:P ?
12 分

6 3 ? . 10 5

?????????????????????

18.解: (Ⅰ)依题意得 a5 ? a1 ? 2d ,? 3 ? 1 ? 2d ,

所 d ? 1. 又 所

以 ?????????????????2 分

a3 ? a2q ? (a1 ? d )q , q ? 2 ,


d, q











1, 2 .
(Ⅱ)记第 n 行第 1 个数为 A ,

?????????????6 分

由(1)可知: A ? a1 ? (n ?1)d ? n , 7分

??????

又根据此数表的排列规律可知:每行的总个数构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差 数列, 所 数, 以 第

n







( n? 2

个 1

)

????????????9 分

? 第 n 行各数为以 n 为首项, q ? 2 为公比的等比数列,
因 此 其 总 数 的 和

T ?

n(1 ? 22 n ?1 ) ? n 22 n ?1 ? n . 1? 2

??????????12 分

19.解: (Ⅰ)

PE AD ? ? 2 , ? DE / / PA ,??2 分 EC DC
P E

? DE ? 平面PAB, PA ? 平面PAB,
? DE // 平面PAB;
??????3 分

(Ⅱ)因为平面 PAC ? 平面 ABC , 且平面 PAC 平面 ABC ? AC ,

PD ? 平面 PAC , PD ? AC , 所以 PD ? 平面 ABC , ?????6 分
又 PD ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABC .????7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 PD ? 平面 ABC .

A D B

C

? 法一: ?ABC 中, AB ? 3, ?ABC ? 60 , AC ? 3 ,

AB AC 1 ? ,得 sin ?ACB ? , sin ?ACB sin ?ABC 2 ? ? 因为 AC ? AB ,所以 ?ACB ? ?ABC ,则 ?A C B ? ,因此 ?CAB ? , 6 2
由正弦定理 8分 △ ABC 的面积

????

S ?ABC ?

1 1 3 3 . AC ? AB ? ? 3 ? 3 ? 2 2 2

??????????10 分

所以三棱锥 P ? ABC 的体积

1 VP ? ABC ? ? S ?ABC ? PD ? 3 . 3

??????????12 分

? 法二: ?ABC 中, AB ? 3 , ?ABC ? 60 AC ? 3 ,由余弦定理得:

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos60? ,所以 AC 2 ? 3 AC ? 6 ? 0 ,
所以 . AC ? 2 3或AC ? ? 3(舍去) △ ABC 的面积 ?????????????8 分

S ?ABC ?

1 1 3 3 3 . ?????10 分 AB ? BC ? sin 60? ? ? 3 ? 2 3 ? ? 2 2 2 2

所以三棱锥 P ? ABC 的体积

1 VP ? ABC ? ? S ?ABC ? PD ? 3 . 3
20.解法一: (Ⅰ)由已知得: ? 焦点坐标为 F (1, 0) . 分

????????12 分

p ? ?1 ,从而抛物线方程为 y 2 ? 4x , 2
????????4

2 (Ⅱ)由题意,设 AB : x ? ty ? 1 ,并与 y ? 4 x 联立,

得到方程: y ? 4ty ? 4 ? 0 ,
2

???????????????????

6分 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4t , y1 ? y2 ? ?4 .???????7 分

SD MAB = SD MAF + SD MBS =

1 | MF | ? (| y1 | 2

| y2 |)
2 ( y1 + y2 ) 4 y1y2

| ∵ y1 ? y2 ? 0 ,∴ | y1 | + | y2 | = | y1- y2 =
9分 又 | MF |= 2 ,∴ SD MAB = 10 分 解得 t = 11 分

= 4 t 2 + 1 , ??

1 创2 4 t 2 + 1 = 4 2 ?????????????? 2
????????????????????????

1,

故直线 AB 的方程为: x ? ? y ? 1 .即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .???????

12 分 解法二: (Ⅰ) (同解法一) (Ⅱ)当 AB ? x 轴时, | AB |= 2 p = 4 , SD MAB = 不符合题意. 5分 故设 AB : y = k ( x - 1) ( k ? 0 ) ,并与 y 2 ? 4 x 联立, 得到方程:k 2 x2 - (2k 2 + 4) x + k 2 = 0 , 6分 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 则 x1 + x2 = 7分 ???????????

1 | MF | ?| AB | 2

1 创2 4 = 4 , 2

???????????????????????

2k 2 + 4 ,x1 x2 = 1 . k2

???????

|AB|=x1 + x2 + p =


4(k 2 + 1) , k2
直 线

M



AB









d=

| k ? ( 1) - 0 - k | k +1

2

=

2| k | k2 + 1



??????9 分

SD MAB =

1 | AB | ? d 2

1 4(k 2 + 1) 2 | k | 4 k2 + 1 = 4 2, 创 = 2 k2 |k| k2 + 1

????10 分 得

k=

解 1, 故 直 线

??????????????????????11 分

AB

的 方 程 为 : ???12 分

y ? ?( x ? 1 . ) 即

x ? y ?1 ? 0



x ? y ?1 ? 0 .

21. 解: (Ⅰ) m ? OP ? (2 x0 , 2分

1 1 y0 ) ? (2 x0 , sin x0 ) , 2 2

?????

(Ⅱ) OQ ? m ? OP ? n , 所 以

( x , y ) ? (2 x0 ,

1 ? ? 1 sin x ) ? ( , 0) ? (2 x ? , sin x ) ,????????4 分 2 3 3 2





? ? x ? 2 x0 ? , ? ? 3 ? 1 ? y ? sin x , 0 ? ? 2



? ? x? ? ?x ? 3 , ? 0 2 ? ? ?sin x0 ? 2 y,
所 以

????????????6 分

1 1 ? y ? f ( x) ? sin( x ? ) 2 2 6
????????????8 分













4? .

(Ⅲ) g ( x ) ? 又

1 ? ? ?? ?? ? ? sin( 2 x ? ) 在 ?0, ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减, 2 6 ?3 2? ? 3?

1 ? 1 ? 1 g (0) ? ? , g ( ) ? , g ( ) ? , 4 3 2 2 4

???????????10 分

当t ?

1 1 1 ? ?? 或 - ? t ? 时, 函数 h( x) 在区间 ?0, ? 内只有一个零点; 2 4 4 ? 2?

1 1 ? ?? 当 ? t ? 时, 函数 h( x) 在区间 ?0, ? 内有两个零点; 4 2 ? 2?
当t ? ? 或t ? 12 分 22. 解: (Ⅰ) f ?( x ) ? ln x ? 2分

1 4

1 ? ?? 时, 函数 h( x) 在区间 ?0, ? 内没有零点. 4 ? 2?

??????????

e , x

??????????????

f ?(1) ? ?e ,又 f (1) ? e ?1 ,
????????????????4 分

所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? (e ? 1) ? ?e( x ? 1) , 即

ex ? y ? 2e ? 1 ? 0 .
分 (Ⅱ) (ⅰ)对于 f ?( x ) ? ln x ?

??????????5

e ,定义域为 (0, + x

).

当 0 ? x ? e 时, ln x ? 1 , ?

e e ? ?1 ,∴ f ?( x) ? ln x ? ? 0 ; x x

当 x ? e 时, f ?( x) ? 1 ? 1 ? 0 ; 当 x ? e 时,ln x ? 1 ,? 8分 所以 f ( x ) 存在唯一的极值点 e ,∴ m ? e ,则点 P 为

e e ? ?1 , x) ? n l x ? ? 0 ∴ f ?( x x



??????

(e, 0) .

???????9 分

(ⅱ)若 x1 ? e ,则 ln x1 x2 ? ln x2 ? 1 , ln x1 ? ln x2 ? 2 ? ln x2 ? 2 , 与条件 ln x1 ? x2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 不符,从而得 x1 ? e . 同理可得 x2 ? e . 10 分 若 x1 ? x2 , 由n l x1 ?x2 ? n l x1 n l? x22 ? 从而得 此方程无实数解, ? (ln x1 )2 ? 2ln x1 ? 2 ? 0 , ??????????????????

x1 ? x2 .

?????????????????????11 分

由上可得点 A , B , P 两两不重合. 又 PA ? PB ? ( x1 ? e, f ( x1 )) ? ( x2 ? e, f ( x2 ))

? ( x1 ? e)( x2 ? e) ? ( x1 ? e)( x2 ? e)(ln x1 ?1)(ln x2 ?1) ? ( x1 ? e)( x2 ? e)(ln x1 ln x2 ? ln x1x2 ? 2)
?0 从而 PA ? PB ,点 A , B , P 可构成直角三角形.
14 分 ?????????


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