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《确定二次函数的表达式》课件_图文

确定二次函数的表达式

用待定系数法求二次函数的解析式
一、一般式:y=ax? +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)

求二次函数 y=ax2+bx+c的解析式,关键是求出待定系数 a, b, c的值。

由已知条件(如二次函数图像上三个点的坐标)列出关于a,b,

c的方程组,并求出a,b,c,就可以写出二次函数的解析式。

例1 已知:抛物线y=ax2+bx+c过点(2,1)、(1,-2 ) (0,5)三点,求抛物线的解析式
解:由题意可得:




4a+2b+c=1 a+b+c=-2 c=5



解之得: a=5 b=-12 c=5 所以抛物线的解析式是:y=5x2-12x+5.



已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、 (1,4)、(2,7)三点,求这个函数的表达式?
解: 设所求的二次函数为

a-b+c=10 a+b+c=4 由条件得: 4a+2b+c=7 解方程得: a=2, b=-3, c=5 所以所求二次函数是:y=2x2-3x+5

y=ax2+bx+c

y

o

x

二、顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数a≠0).

1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的 坐标时,通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k.
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2. 特别地,当抛物线的顶点为原点是, h=0,k=0, 可 设函数的解析式为y=ax2. 3. 当抛物线的对称轴为 y轴时, h=0, 可设函数的解析 式为y=ax2+k. 4. 当抛物线的顶点在 x 轴上时, k=0 ,可设函数的解 析式为y=a(x-h)2.

1.已知抛物线的顶点为(-1,-3),与y轴 交点为(0,-5),求该抛物线的解析式?
解: 因为已知抛物线的顶点为(-1,-3) 所以设所求的二次函数解析式为:y=a(x+1)2-3 又点( 0,-5 )在抛物线上 o

y
x

a-3=-5,

解得a= -2

故所求的抛物线解析式为 y=-2(x+1)2-3 即:y=-2x2-4x-5

2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大 值4,试确定这个二次函数的解析式。

解法1:(利用一般式) 设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3 -b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4 解方程组得: a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为:y= -7x2+42x-59

解法2:(利用顶点式) ∵ 当x=3时,有最大值4∴ 顶点坐标为(3,4) 设二次函数解析式为:y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点(4,- 3) ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3

∴ a= -7
∴ 二次函数的解析式为:

y= -7(x-3)2+4

3.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5), B(5,0) 两点,它的对称轴为直线 x=3 ,求这个二次函数 的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点 ∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k 解得:a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5

小结: 已知顶点坐标(h,k)或对称轴方程x=h时优先选用

三、交点式y=a(x-x1)(x-x2).(a、x1、x2为常数a≠0)
?

当抛物线与 x轴有两个交点为(x1,0 ),(x2,0) 时,二次函数 y=ax2+bx+c可 以 转 化 为 交 点 式 y=a(x-x1)(x-x2). 因 此 当 抛 物 线 与 x 轴 有 两 个 交 点 为 ( x1,0 ) ,(x2,0) 时,可设函数的解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) ,在把另一个点 的坐标代入其中,即可解得a,求出抛物线的解析式。

? 交点式y=a(x-x1)(x-x2). x1和x2分别是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,这两个交点关于抛物线 x1 ? x 2 x ? 的对称轴对称,则直线 就是抛物线的 2 对称轴.

1:已知二次函数与x 轴的交点坐标为(-1,0), (1,0),点(0,1)在图像上,求其解析式。 解:设所求的解析式为 ∵抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)、(1,0)




又∵点(0,1)在图像上,
∴ ∴ a = -1 ∴ 即:

2:已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三 点,求二次函数的表达式。 解:(交点式) ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为 :y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 ∴ 函数的表达式为: y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3

知道抛物线与x轴的两个交点的坐 标,选用交点式比较简便

其它解法:(一般式)

设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0) ∴ a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 ① ② ③

解得: a= -1
b=2

(顶点式)

解:
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) , ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为: y=a(x-1)2+4

∵ 抛物线过点(-1, 0)
∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为: y= -(x-1)2+4

3 已知二次函数的图象在x轴上截得的线段 长是4,且当x=1,函数有最小值-4,求这个 二次函数的解析式. X=1 解:设图象与x轴的交点坐标为 (x 1 ,0),(x 2 ,0),由题意,得: ?x1 ? x 2 ?
? 1 ? 2 ? ?x ? x ? 4 1 ? 2

设y ? a( x ? 3)(x ? 1)

x 1 ? ?1 ? ?x 2 ? 3

(-1, 0)

(3, 0)

把(1,-4)代入上式得:-4=a(1-3)(1+1) 解得:a=1 ∴y=x2-2x-3

四、用平移式求二次函数的解析式、 1.将抛物线 向左平移4个单位, 再向下平移3个单位,求平移后所得抛物线的解 析式。
解法:将二次函数的解析式
转化为顶点式得: (1)、由 向左平移4个单位得: (左加右减)

(2)、再将

向下平移3个单位得
(上加下减)

即:所求的解析式为

一、 求二次函数的解析式的一般步骤:
一设、二列、三解、四还原.

二、二次函数常用的几种解析式的确定 1、一般式
已知抛物线上三点的坐标,通常选择一般式。

2、顶点式
已知抛物线上顶点坐标(对称轴或最值),通常选择顶点式。

3、交点式
已知抛物线与x轴的交点坐标,选择交点式。

4、平移式
将抛物线平移,函数解析式中发生变化的只有顶点坐 标, 可将原函数先化为顶点式,再根据“左加右减,上 加下减”的法则,即可得出所求新函数的解析式。

y=ax2 (a≠0) y=ax2+k (a≠0) y=a(x-h)2 (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0) y=ax 2+bx+c (a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
2

顶点式

二次函数关系:

一般式 交点式

条件:若抛物线 y ? ax ? bx ? c 与X轴交于两点( x1 ,0)( x 2 ,0)

三、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法:

待定系数法、配方法、数形结合等。

2、求二次函数解析式的 常用思想:
转化思想 : 解方程或方程组

3、二次函数解析式的最终形式:

无论采用哪一种解析式求解, 最后结果最好化为一般式。

活学活用 加深理解
1.某抛物线是将抛物线y=ax2 向右平移一个单位长度,再向上 平移一个单位长度得到的,且抛物线过点(3,-3),求该 抛物线表达式。 顶点坐标(1,1)设 y=a(x-1)2+1 2.已知二次函数的对称轴是直线x=1,图像上最低点P的纵坐 标为-8,图像还过点(-2,10),求此函数的表达式。 顶点坐标(1,-8)设y=a(x-1)2-8 3.已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4,且当x=1时, 函数有最小值-4,求此表达式。 顶点坐标(1,-4)设y=a(x-1)2-4 4.某抛物线与x轴两交点的横坐标为2,6,且函数的最大值为 2,求函数的表达式。 顶点坐标(4,2)设y=a(x-4)2+2

2、已知二次函数的图像过原点,当x=1时,y有最小值为 -1,求其解析式。 解:设二次函数的解析式为
∵ x = 1, y= -1 , ∴顶点(1,-1)。 ∴ 又(0,0)在抛物线上, ∴ ∴ a =1 ∴ 即:

练习
1.已知抛物线的顶点为(-1,-3),与x轴 交点为(0,-5)求抛物线的解析式?
解: 设 y=a(x+1)2-3 -5=a-3 a=-2 ( 0,-5 )
y x o

y=-2(x+1)2-3
y=-2(x2 + 2x + 1)-3 即:y=-2x2—4x-5

3.已知抛物线与X轴交于A(-1,0),B(1,0) 并经过点M(0,1),求抛物线的解析式? 解:因为抛物线与x轴的交点为A(-1,0),B(1,0) , 所以设所求的二次函数为
∴ a(0+1)(0-1)=1

y=a(x+1)(x-1)

又∵ 点M( 0,1 )在抛物线上 解得: a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x+1)(x-1) 即:y=-x2+1

做一做
选择最优解法,求下列二次函数解析式: 1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、(-1,-1)、(2,-2),设 抛物线解析式为__________. 2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ,且经过点(1,4) ,设抛 物线解析式为____________. 3、已知二次函数有最大值6,且经过点(2,3),(-4,5), 设抛物线解析式为_________. 4、已知抛物线的对称轴是直线x=-2,且经过点(1,3), (5,6),设抛物线解析式为________.

5、已知抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(1,0),且经过

题组训练
1、已知二次函数的最大值是2,图象顶点 在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,6),求二次函数的解析式. 2、已知抛物线的顶点坐标为,与轴交于点, 求这条抛物线的解析式。 3、已知抛物线过A(-2,0)、B(1, 0)、C(0,2)三点。求这条抛物线的解 析式。

4、根据下列条件,求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点;
(2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ; (3)、图象经过(-1,0), (3,0) ,(0, 3)。

〔议一议〕

通过上述问题的解决,您能体会 (待定系数法) 到求二次函数表达式采用的一般 你能否总结出上述解题的一般步骤? 方法是什么?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系;

2.设抛物线的表达式;
3.写出相关点的坐标;

4.列方程(或方程组);
5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;


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