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正弦定理、余弦定理的应用学生版

一、知识梳理
1.内角和定理: 在 ? ABC 中, A ? B ? C ?

? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cos C

面积公式:

S?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

在三角形中大边对大角,反之亦然. 2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

a b c ? ? ? 2R 形式一: sin A sin B sin C

(解三角形的重要工具)

形式二:

?a ? 2 R sin A ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

(边角转化的重要工具)

形式三: a : b : c ? sin A : sin B : sin C

sin A ?
形式四:

a b c ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

3.余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍.. 形式一: a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B (解三角形的重要工具)

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C
形式二:

cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 2bc a 2 ? c2 ? b2 2ac a 2 ? b2 ? c2 2ab

cos B ?

cos C ?

1

二、方法归纳
a b c ? ? (1)已知两角A、B与一边 a ,由A+B+C=π及 sin A sin B sin C ,可求出角C,再求 b 、

c.
(2)已知两边 b 、 c 与其夹角A,由 a = b + c -2 b c cosA,求出 a ,再由余弦定理,求出角
2 2 2

B、C. (3)已知三边 a 、 b 、 c ,由余弦定理可求出角A、B、C.

a b ? (4)已知两边 a 、 b 及其中一边的对角A,由正弦定理 sin A sin B ,求出另一边 b 的对角
a c a b ? ? B,由C=π-(A+B),求出 c ,再由 sin A sin C 求出C,而通过 sin A sin B 求B时,可
能出一解,两解或无解的情况,其判断方法,如下表: A>90° A=90° 一解 无解 a>bsinA A<90° 一解 一解 两解 一解 无解

a>b

一解 无解

a=b

a<b

无解

无解

a=bsinA a<bsinA

(见图示) .

a = b sinA 有一解
一解

b > a > b sinA 有两解

a ≥ b 有一解

a >b 有

2

三、课堂精讲例题
问题一:利用正弦定理解三角形 【例 1】在 ?ABC 中,若 b ? 5 , ?B ?

? 1 , sin A ? ,则 a ? 4 3

.

5 2 3

【例 2】在△ABC中,已知 a = 3 , b = 2 ,B=45°,求A、C和 c .

问题二:利用余弦定理解三角形 【例 3】设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a ? 1 , b ? 2 ,

cosC ?

1 . 4

(Ⅰ)求 ?ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos? A ? C ? 的值.

【例 4】 设 ?ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、b 、c ,且 3 b +3 c -3 a =4 2 b c .
2 2 2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

?

?

3

问题三:正弦定理余弦定理综合应用 【例 5】在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a , b ,c.已知

cos A-2cos C 2c-a . = cos B b

sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= , ? ABC 的周长为 5,求 b 的长。 4
(I)求

【例 6】在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且
2 2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b

问题四:三角恒等变形 【例 7】 设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求:

a (Ⅰ) c 的值; (Ⅱ)cotB +cot C 的值.

4

问题五:判断三角形形状 【例 8】在△ABC 中,在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,bcosA= a cosB, 试判断 ?ABC 三角形的形状.

cosA b 【例 9】. 在△ABC 中,在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,若cosB =a , 试判断 ?ABC 三角形的形状.

问题六:与其他知识综合 【例 10】已知向量 m ? (a ? c, b), n ? (a ? c, b ? a), 且m ? n ? 0 ,其中 A,B,C 是△ABC 的内角, a , b ,c 分别是角 A,B,C 的对边 . (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的取值范围.

5

问题 7:三角实际应用 【例11】要测量对岸A、B两点之间的距离,选取相距 3 km的C、D两点,并测得∠ACB=7 5°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A、B之间的距离.

【例 12】 .如图,甲船以每小时 30 2 海里 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处 时,乙船位于甲船的北偏西 105 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲 船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方 向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
? ?

6

8.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测 量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰 角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的 距离(计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
0 0 0

9 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知

AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,
于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。

7

课后自我检测 A
1.已知△ABC 中, cot A ? ? ( )



12 ,则 cos A ? 5

2.在 ?ABC 中。若 b ? 1 , c ? 3 , ?c ?

2? ,则 a= 3



3.已知 a , b , c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a =1, b = 3 , A+C=2B,则 sinC= .

3.在 ?ABC 中, a =15, b =10,A=60°,则 cos B = A -

2 2 3

B

2 2 6 C - D 3 3

6 3
o

4.某人朝正东方向走 x 千米后,向右转 150 并走 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米, 那么 x 的值为 A. 3 B. 2 3 C. 3 或 2 3
2 2 2

( D.3



5.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若( a + c -b )tanB= 3ac , 则角 B 的值为 A. ( B. )

? 6

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

6.已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数.

1 6

8

7.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ,且满足 b sin A ? 3a cos B . (I)求角 B 的值; (II)若 cos

A 2 5 ? , 求 sinC 的值. 2 5

8 在 ?ABC中, a , b , c 分别为内角 A, B , C 的对边,且 2 cos(B ? C ) ? 4 sin B sin C ? 1 . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 3 , sin

[来源:Zxxk.Com]

B 1 ? ,求 b . 2 3

[来源:学科网 ZXXK]

课后自我检测 B
(A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形.


( )

1.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC (B)一定是直角三角形.

(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

2.要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得塔 顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠ BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为
A





A.10 2 m C.20 3 m

B.20m D.40m
B C D

9

2 2 3.在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别是 a , b , c , 若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,

则 A= (A) 30
0

( (B) 60
0



(C) 120

0

(D) 150

0

4.在△ ABC 中,三个角 A, B, C 的对边边长分别为 a ? 3, b ? 4, c ? 6 ,则

bc cos A ? ca cos B ? ab cos C 的值为
5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

.

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

6.在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。

7. 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

10

8.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围.

1 c ? b. 2

【能力提高】 1.如图所示,在△ABC,已知 AB ? 求: (1)BC 的长度; (2) sin A 的值。

4 6 6 , cos B ? ,AC 边上的中线 BD ? 5 , 3 6

B C 的对边,且满足 b ? c ? a ? bc . 2.在 ?ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、、
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值.

11

3.已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边, 其中 A 为锐角, a ? 2 3, c ? 4 , 且 f ( A) ? 1 ,求 A, b 和 ?ABC 的面积 S . 【解析】

1 2

12


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