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2014年广东省高考试题及2014年7月惠州市2015届高三第一次调研考试 理科数学试题及答案

广东省惠州市 2015 届高三第一次调研考试 数 学 (理科)

试卷类型:A

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求 . 1.复数 z ?

A. ?

1 2

i (其中 i 为虚数单位)的虚部是 ( 1? i 1 1 B. i C. 2 2



1 D. ? i 2


2.已知集合 A ? { y y ? x ? 1, x ? R} , B ? {x x ? 2} ,则下列结论正确的是(

C. A ? B ? B D. A ? B ? B 900、 1200 人,现用分层抽样的方法 3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、 A. ? 3 ? A B. 3 ? B
从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30
)
4 3 2 正视图 侧视图 3 俯视图 3

4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 ? (

B. 36 C. 54 D. 72 1 5 2 4 5.在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是( ) x A. 10 B. ? 10 C. ? 5 D. 20

A. 18

6.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于(



A. 30

B. 12

7.已知 x , y 都是区间 [0,

?
2

C. 24

D. 4

] 内任取的一个实数,则使得 y ? sin x 的取值的概率是(
C.



A.

4 ?2

B.

2

?
r

1 2

D.

2 ?2

8.已知向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a ? b 为 a 与 b 的“向量积”,且 a ? b 是一个向量,它的 长度 a ? b ? a b sin ? ,若 u ? (2,0) , u ? v ? (1, ? 3) ,则 u ? (u ? v) ? (

r r



A. 4 3

B.

3

C. 6

D. 2 3

二、填空题:本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. 函数 y ? log 3 (3 x ? 2) 的定义域是 .

10.以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 的双曲线方程是 11.用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数,共有____________个.

.

?x ? 0 ? 12.设变量 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 ?y ? 1 ?

.

13.函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ' ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的 解集为 .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得 分。 14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中, A,B 分别是直线 ? cos? ? ? sin ? ? 5 ? 0 和 圆 ? ? 2 sin ? 上的动点,则 A,B 两点之间距离的最小值是 15.(几何证明选讲选做题)如图所示, ?OAB 是等腰三角形, P 是底边 AB 延长 线上一点,且 PO ? 3 , PA ? PB ? 4 ,则腰长 OA = . A 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) B P . O

(2)求

x x ? 2 cos ? 0 . 2 2 (1)求 tan x 的值; cos2 x
已知 sin

2 cos( ? x) ? sin x 4
17. (本小题满分 12 分) 去年 2 月 29 日,我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 0 ? 50 为优秀,各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测,得 到每天的空气质量指数,从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为

?

的值.

?5,15? , ?15,25? , ? 25,35? , ?35,45? ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如
图. (1) 求 a 的值; (2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (注:设样本数据第 i 组的频率为 pi ,第 i 组区间的中点值为 xi ? i ? 1, 2,3, 据的平均值为 X ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ?

, n? ,则样本数

? xn pn .)

(3) 如果空气质量指数不超过 15 ,就认定空气质量为“特优等级”,则从这一年的监测数据中

随机抽取 3 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 频率 组距 0.032

a

0.020 0.018

O 18.(本小题满分 14 分)

5 15 25 35 45 空气质量指数

如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,平面 A 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,且 AA 1 ? AB ? 2 (1) 求证: AB ? BC ; (2) 若直线 AC 与平面 A 1 BC 所成的角为

? ,求锐二面角 A ? AC ? B 的大小。 1 6
A1 B1 C1

A B 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3,前 n 项和 S n ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设数列 ?

C

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2

?

1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都 ? an an?1 ?

成立?若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1) 的距离为 10 . 2 2 a b

(1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点( A、B 不是左右顶点),且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. y l

A

P x A2

F1 O B 21. (本小题满分 14 分) 已知关于 x 的函数 f ( x) ? ?

F2

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc , 其导函数为 f ?( x ) . 记函数 g ( x) ? f ?( x) 3

在区间 ? ?11 , ? 上的最大值为 M . (1) 如果函数 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 ,试确定 b、c 的值; 3

(2) 若 b ? 1,证明对任意的 c ,都有 M ? 2 ; (3) 若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值.

广东省惠州市 2015 届高三第一次调研考试 数 学 (理科) 答题卡
试卷类型:A

本答题卡共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 请用 2B 铅笔将对应题号的选项涂黑. 正确填涂方法: 1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题:本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9、 10、 11、 12、 13、

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分. 请先用 2B 铅笔将对应题号涂黑,并在括号内填上所选题号. 正确填涂方法: 14 15 ( )

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)

第 1 页(共 6 页)

17. (本小题满分 12 分)
频率 组距 0.032

a

0.020 0.018

O

5

15 25

35

45 空气质量指数

第 2 页(共 6 页)

18.(本小题满分 14 分)
A1 B1 C1

A B

C

第 3 页(共 6 页)

19.(本小题满分 14 分)

第 4 页(共 6 页)

20. (本小题满分 14 分)
y l A P x A2

F1 O B

F2

第 5 页(共 6 页)

21. (本小题满分 14 分)

第 6 页(共 6 页)

广东省惠州市 2015 届高三第一次调研考试 数学 (理科)参考答案与评分标准 一.选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 A 6 C 7 A 8 D

7. 【解析】此题为几何概型,事件 A 的度量为函数 y ? sin x 的图像在 [0, 图形的面积,即 S ?

?
2

] 内与 x 轴围成的

?

?

2 0

sin xdx ? 1 ,则事件 A 的概率为 P ?

s 1 4 ? ? 2 ,故选 A s? ? ? ? ? 2 2
3 ,得 2

8. 【解析】由题意 v ? u ? ( u ? v) ? (1, 3),则 u ? v ? (3, 3), cos ? u, u ? v ??

1 sin ? u ,u ? v ?? ,由定义知 2

u ? (u ? v) ? u u ? v sin ? u , u ? v ?? 2 ? 2 3 ?
二.填空题:9. ( ,?? ) 14. 2 2 ?1

1 ? 2 3 ,故选 D 2
11.12 12. 3 13. (?1, ??)

2 3

10. x ?
2

y2 ?1 3

15. 5

13. 【解析】设函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 4 ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? 2 ? 0 ,得函数 g ( x) 在 R 上为

? 1)? 2 ? ? ( 1) ? 4 ? 增函数,且 g (? 1) ? f (

0 f ( x) ? 2 x? 4时,有 g ( x ) ? 0 ,得 ,所以当

x ? ?1 ,故不等式 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 (?1, ??)
三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ sin

x x x ? 2 cos ? 0 ,则 cos ? 0 2 2 2 x ∴ tan ? 2 2 x 2 tan 2 ∴ tan x ? 2 x 1 ? tan 2 2? 2 4 ? ?? 2 1? 2 3

-------------------------1 分 ---------------------------2 分

----------------------------4 分

----------------------------5 分

(2) 原式 ?

cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 2? cos x ? sin x ? sin x 2 ? 2 ?

---------------------------7 分

?
?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) (cos x ? sin x)sin x

----------------------------9 分

cos x ? sin x sin x 1 ? tan x ? tan x 1 ? 4
17. (本小题满分 12 分)

------------------------------10 分 ------------------------------11 分 ------------------------------12 分

(1) 解:由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018? ?10 ? 1, 解得 a ? 0.03 . (2)解: 50 个样本中空气质量指数的平均值为

……………1 分 ……………2 分

X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6

……………3 分

由样本估计总体,可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 . …………4 分 (3)解:利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 5,15? 内为“特优等级”, 且指数达到“特优等级”的概率为 0.2 ,则 ?

? 1? B ? 3, ? . ? 5?

……………5 分

? 的取值为 0,1, 2,3 ,
64 48 ?4? 1?1? ? 4? , P ?? ? 1? ? C3 , P ?? ? 0 ? ? C ? ? ? ? ??? ? ? 125 ?5? ? 5 ? ? 5 ? 125
0 3 3 2

……………6 分

12 1 ? 1 ? ? 4? 3?1? , P ?? ? 3? ? C3 . ……………10 分 P ?? ? 2? ? C32 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5? 1 2 5 ? 5 ? 125
∴ ? 的分布列为:

2

3

?
P

0

1

2

3

64 125

48 125

12 125

1 125
……………11 分 ……………12 分

∴ E? ? 0 ?

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5

(或者 E? ? 3 ?

1 3 ? ) 5 5
……………1 分 ……………2 分 侧面 A 1 ABB 1 ? A 1 B ,…………3 分

18. (本小题满分 14 分)

D ,连接 AD , 解: (1)证明:如右图,取 A 1B 的中点
因 AA 1 ? AB ,则 AD ? A 1B 由平面 A 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,且平面 A 1BC 得 AD ? 平面A 1BC ,又 BC ? 平面 A 1BC , 所以 AD ? BC . …………………4 分 A1

C1 E B1

因为三棱柱 ABC —A1B1C1 是直三棱柱, 则 AA 1 ? 底面ABC , 所以 AA1 ? BC . 又 AA 1 D A

C B

AD=A ,从而 BC ? 侧面 A1 ABB1 ,
………………7 分

又 AB ? 侧面 A 1 ABB 1 ,故 AB ? BC .

(2)解法一:连接 CD ,由(1)可知 AD ? 平面A 1BC ,则 CD 是 AC 在 平面A 1 BC 内的射 影 ∴ ?ACD 即为直线 AC 与 平面A1BC 所成的角,则 ?ACD =

?
6

…………8 分

D 是 A1B 中点 在等腰直角 ?A1 AB 中, AA 1 ? AB ? 2 ,且点
∴ AD ?

1 ? ? A1 B ? 2 ,且 ?ADC = , ?ACD = ∴ AC ? 2 2 2 2 6

………………9 分

过点 A 作 AE ? AC 于点 E ,连 DE 由( 1 )知 AD ? 平面A 1 1 BC ,则 AD ? A 1 C ,且

AE


AD ? A ∴

? AED











A ? AC 1 ?B











…………………10 分

且直角 ?A1 AC 中: AE ? 又 AD= 2 , ?ADE =

A1 A AC 2 ? 2 2 2 6 ? ? AC 3 2 3 1

?
2



sin ?AED=

AD 2 3 ,且二面角 A ? AC ? ? 1 ? B 为锐二面角 AE 2 6 2 3

∴ ?AED =

?
3

,即二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为

? 3

…………………14 分

解法二(向量法) :由( 1 )知 AB ? BC 且 BB1 ? 底面ABC ,所以以点 B 为原点,以

BC、 BA 、 BB 1 所在直线分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 B ? xyz ,如图所示,
且设 BC ? a , 则 A0 ( , 2 , 0 ) , , B( 0 , 0 , , 0 ) C (a , 0 , 0 )

A1 (0, 2, 2)

BC ? (a,0,0) ,

BA1 ? ( 0 , 2 , , 2)

AC ? (a, ?2,0) ,

AA1 ? ( 0 , 0 , ……9 2) 分

设平面 A 1BC 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z ) 由 BC ? n1 ,

BA1 ? n1 得:
…………10 分

? xa ? 0 令 y ? 1 ,得 x ? 0, z ? ?1,则 n1 ? (0,1, ?1) ? ?2 y ? 2 z ? 0
设直线 AC 与 平面A1BC 所成的角为 ? ,则 ? ? 得 sin

?
6
………12 分

?
6

?

AC n1 AC n1

?

?2 4 ? a2

1 ? ,解得 a ? 2 ,即 AC ? (2, ?2,0) 2 2

又设平面 A 1 AC 的一个法向量为 n2 ,同理可得, n2 ? (1,1,0) 设锐二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为 ? ,则

cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

n1 n2 n1 n2

?

? ? 1 ,且 ? ? (0, ) ,得 ? ? 3 2 2
? 。 3
…………………14 分

∴ 锐二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为 19. (本小题满分 14 分) 解: (1) (解法一)∵ S n ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2 1 ∴ S n ?1 ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2
∴ an?1 ? Sn?1 ? Sn

1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
整理得 nan?1 ? (n ? 1)an ?1

…………………3 分

∴ (n ? 1)an ? 2 ? (n ? 2)an ?1 ? 1 两式相减得 (n ? 1)an?2 ? nan?1 ? (n ? 2)an?1 ? (n ? 1)an 即 (n ? 1)an?2 ? 2(n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an ? 0 ∴ an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ∴ 数列 ?an ? 是等差数列 且 a1 ? 3 ,得 a2 ? 5 ,则公差 d ? 2 ∴ an ? 2n ? 1 (解法二) ∵ Sn ? …………………8 分 …………………7 分 ………………5 分

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2 1 ∴ S n ?1 ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2
∴ an?1 ? Sn?1 ? Sn

1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
整理得 nan?1 ? (n ? 1)an ?1 等式两边同时除以 n(n ? 1) 得 即

…………………3 分

an?1 an 1 ? ? , n ? 1 n n(n ? 1)

…………………5 分

an ?1 an 1 1 1 ? ?? ? ? n ?1 n n(n ? 1) n ? 1 n
累加得

…………………6 分

an an an ?1 an ?1 an ? 2 a a a ? ? ? ? ? ? 2? 1? 1 n n n ?1 n ?1 n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? 3 n n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2 1 ? ?2 n
得 an ? 2n ? 1 (2) 由(1)知 an ? 2n ? 1 ………………8 分



1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

…………………10 分



Tn ?

1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? 2 3 5 5 7 1 1 1 ? ( ? ) 2 3 2n ? 3 1 ? 6

?

1 1 1 1 ? ? ? ) 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3

…………………12 分

则要使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立,只要 (Tn )max ? M ,所以只要 M ? ∴ 存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立,且 M 的最小值为 20. (本小题满分 14 分)

1 6

1 …………14 分 6
10

e? 解: (1) 由题:


c 1 ? ①左焦点 (-c,0) 到点 P(2,1) 的距离为: d= a 2

(2 + c) 2 + 1 2 =

…………………2 分 ………………3 分 ………………4 分 y l A

由①②可解得 c = 1 , a = 2 , b 2 = a 2-c 2 = 3. ∴所求椭圆 C 的方程为 x2 y2 + =1 . 4 3

P x

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y = kx + m 代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0. 4m 2-12 8km ∴x1 + x2 = - 2 ,x1x2 = , 4k + 3 4k 2 + 3 且 y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + m. → → ∵AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以 A2A ? A2B = 0. ………………6 分 B F1 O F2 A2

………………7 分

所以 (x1-2,y1)· (x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) (x2-2) + (kx1 + m) (kx2 + m) = (k 2 + 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m 2 + 4 4m 2-12 8km = (k 2 + 1)· 2 -(km-2)· 2 + m 2 + 4 = 0 . ………………10 分 4k + 3 4k + 3 2 整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0.∴m = - k 或 m = -2k 都满足 △ > 0.………………12 分 7 若 m = -2k 时,直线 l 为 y = kx-2k = k (x-2) ,恒过定点 A2(2,0),不合题意舍去…13 分 2 2 2 2 若 m = - k 时,直线 l 为 y = kx- k = k (x- ), 恒过定点 ( ,0) . ………14 分 7 7 7 7 21. (本小题满分 14 分)
2 解: (1) ∵ f ?( x) ? ? x ? 2bx ? c ,由 f ( x ) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 ,可得 3

? f ?(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ?b ? 1 ?b ? ?1 ? 或? 1 4 ,解得, ? ? f (1) ? ? ? b ? c ? bc ? ? ?c ? ?1 ?c ? 3 ? 3 3 ?

…………2 分

若 b ? 1 , c ? ?1 ,则 f ?( x) ? ? x2 ? 2x ?1 ? ?( x ?1)2 ? 0 ,此时函数 f ( x ) 没有极值;…3 分 若 b ? ?1 ,c ? 3 , 则 f ?(x) ??x 2? 2x ? 3?? ( x ?1 ) ( x ?1 ) 的变化情况如下表: ,此时当 x 变化时, f ( x ) , f ?( x )

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?3)

?3 0
极小值 ?12

(?3,1)

1

(1, ??)

?


?


0
极大值 ?

?
4 3


∴ 当 x ? 1 时, f ( x ) 有极大值 ?

4 ,故 b ? ?1 , c ? 3 即为所求。 3

………………4 分

2 2 2 (2)证法一: g ( x) ? f ?( x) ? ? x ? 2bx ? c ? ?( x ? b) ? b ? c

当 b ? 1时,函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外 ∴

f ?( x ) 在区间 [?1,1] 上的最值在两端点处取得,故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个
…………8 分

∴ 2 M ? g (1) ? g (?1) ? ?1 ? 2b ? c ? ?1 ? 2b ? c ? 4b ? 4 ,即 M ? 2

证法二(反证法) :因为 b ? 1,所以函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外, ∴

f ?( x ) 在区间 [?1,1] 上的最值在两端点处取得,故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个,

假设 M ? 2 ,则 ?

? ? g (?1) ? ?1 ? 2b ? c ? 2 ,将上述两式相加得: ? ? g (1) ? ?1 ? 2b ? c ? 2

………………6 分

4 ? ?1? 2b ? c ? ?1? 2b ? c ? 4b ? 4 ,得 4 ? 4 ,产生矛盾,
∴ M ?2
2 2 (3) g ( x ) ? f ?( x ) ? ?( x ? b) ? b ? c

…………………………8 分

(i)当 b ? 1时,由(2)可知 M ? 2 ;

………………9 分

( ii ) 当 b ? 1 时 , 函 数 y ? f ?( x) 的 对 称 轴 x ? b 位 于 区 间 [?1,1] 之 内 , 此 时

M ? max ?g (?1), g (1), g(b)? ,由 f ?(1) ? f ?(?1) ? 4b ,有 f ?(b) ? f ?(?1) ? (b ?1)2 ? 0

① 若 ?1 ? b ? 0 ,则 f ? ?1? ? f ?(?1) ? f ?(b) ,则 g (?1) ? max ?g (1), g (b)? , 于是 M ? max

? f ?(1) ,

f ?(b) ? ?

1 1 ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(1) ? f ?(b) ) 2 2
…………………………11 分

?

1 1 (b ? 1) 2 ? 2 2

② 若 0 ? b ? 1 , 则 f ? ? ?1? ? f ?( 1 )? f ? b (,)则 g ( 1 ? )

m?a g x?

于是 ( g1? b ), ( )

M ? max ? f ?(?1) , f ?(b) ? ?

1 1 1 1 ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2
……13 分

综上可知,对任意的 b 、 c 都有 M ? 而当 b ? 0 ,c ?

1 2

1 1 1 2 时, g ( x) ? ? x ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? ,故 M ? k 对任意 2 2 2 1 。 ………………………14 分 2

的 b 、 c 恒成立的 k 的最大值为

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)
试卷类型:B

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {?1, 0,1}, N ? {0,1, 2}, 则 M ? N ? A. {?1, 0,1} 答案: B 2.已知复数 Z 满足 (3 ? 4i) z ? 25, 则 Z= A. 3 ? 4 i 答案:A 提示 : z ? B. 3 ? 4i C. ?3 ? 4i D. ?3 ? 4i B. {?1, 0,1, 2} C. {?1, 0, 2} D. {0,1}

25 25(3 ? 4i) 25(3 ? 4i) = ? ? 3 ? 4i, 故选A. 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 25

? y?x ? 3.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1且z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 M 和 m, 则 M-m= ? y ? ?1 ?
A.8 B.7 C.6 D.5

答案: C 提示 : 画出可行域(略), 易知在点(2,1)与( ?1, ?1)处目标函数分别取得最大值M ? 3, 与最小值m ? ?3,? M ? m ? 6, 选 C.
4.若实数 k 满足 0 ? k ? 9, 则曲线 A .离心率相等

x2 y2 x2 y2 ? ? 1的 ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k
C. 实半轴长相等 D. 焦距相等

B. 虚半轴长相等

答案:D 提示: 0 ? k ? 9,? 9 ? k ? 0, 25 ? k ? 0, 从而两曲线均为双曲线, 又25 ? (9 ? k ) ? 34 ? k ? (25 ? k ) ? 9, 故两双曲线的焦距相等,选D.
5.已知向量 a ? ?1,0, ?1? , 则下列向量中与 a 成 60 ? 夹角的是 A. ( -1,1,0 ) B. ( 1,-1,0 ) C. ( 0,-1,1 ) D. ( -1,0,1)

答案 : B 提示 : 1 1 ? , 即这两向量的夹角余弦值为 , 从而夹角为600 ,? 选 B. 2 12 ? 02 ? (?1) 2 ? 12 ? (?1) 2 ? 02 2 (1, 0, ?1) ? (1, ?1, 0)

6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示,为了解该地区中小学生的近 视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人 数分别为

A. 200,20 C. 200,10

B. 100,20 D. 100,10

答案 : A 提示 : 样本容量为(3500 ? 4500 ? 2000) ? 2% ? 200, 抽取的高中生近视人数为:2000 ? 2% ? 50% ? 20,? 选 A.
7.若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 ? l3 , l3 ? l4 ,则下列结论一定正确 的是 A. l1 ? l4 答案: D 8.设集合 A= B. l1 / / l4 C. l1 , l4 既不垂直也不平行 D. l1 , l4 的位置关系不确定

?? x , x , x , x , x ? x ?{?1, 0,1}, i ? 1, 2,3, 4,5? ,那么集合 A 中满足条件
1 2 3 4 5 i

“ 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 3 ”的元素个数为 A.60 答案: D B.90 C.120 D.130

提示 : x1 ? x2 ? x3?

x4 ?

x 可取 1, 2 , 3 5
2 2 :1 C5 ? A? 2C 5

1 1 和为1的元素个数为 : C 和为2的元素个数为 2 C 5? 1 0 ; 1 3 1 和为3的元素个数为 : C C 2 C 5 ? C2 1 5 2 C? 4

40;

80. 8?0 1选 30, D.

故满足条件的元素总的个数为1 0? 4 ? 0

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为 .

答案:? ??, ?3?

? 2, ??? ? 2, ??? .
? 2 在点 (0,3) 处的切线方程为
.

提示 : 数轴上到1与 ? 2距离之和为5的数为 ? 3和2,故该不等式的解集为:? ?? , ?3?
10.曲线 y ? e
?5 x

答案 : 5 x ? y ? 3 ? 0 提示 : y ' ? ?5e?5 x ,? y '
x ?0

? ? 5,? 所求切线方程为y ? 3 ? ?5 x,即5 x ? y ? 3 ? 0 .
.

11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数, 则这七个数的中位数是 6 的概率为

1 6 提示 : 要使6为取出的7个数中的中位数, 则取出的数中必有3个不大于6, 答案 : 另外3个不小于6, 故所求概率为
3 C6 1 ? . 7 C10 6

12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? 2b ,



a ? b

.

答案 : 2 a 提示 : 解法一 :由射影定理知b cos C ? c cos B ? a, 从而a ? 2b,? ? 2 . b 解法二:由上弦定理得:sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin B, 即sin( B ? C ) ? 2sin B, a ? sin A ? 2sin B, 即a ? 2b,? ? 2 . b 2 2 2 a ? b ? c a2 ? c2 ? b2 解法三 :由余弦定理得 : b ? ? ? 2b, 即2a 2 ? 4ab, 2ab 2ac a ? a ? 2b, 即 ? 2 . b
13.若 等 比 数 列

?an ?

的 各 项 均 为 正 数 , 且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 , 则 .

ln a1 ? ln a2 ?
答案 : 5 0

? ln a20 ?

5 提示: a1 0 a 1 ? a, 1 ? 设 e 1 a 9 2 a 1a 0 ? 1 1,

? Sl n

a ? l 1n 2 0el ? n
5

a ?

2

?l n则 a,20 ? S l n a? 2 0l n a? 50.
2

19

? lna ,

1

? 2S ? 2 0 l n a 20 l an 1 a 20 ? 1 0a 1 ? 1

1 ? 0S 0? ,

(二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14.(坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin

? ? cos ? 和

以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, ? sin ? =1, 则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为__

答案 : (1,1) 提示 : C1即( ? sin ? ) 2 ? ? cos ? , 故其直角坐标方程为:y 2 ? x, C2的直角坐标方程为 : y ? 1,? C1与C2的交点的直角坐标为(1,1) .
15.(几何证明选讲选做题)如图 3,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则

?CDF的面积 =___ ?AEF的面积

答案 : 9 提示 : 显然?CDF ?AEF ,? ?CDF的面积 CD 2 EB ? AE 2 ?( ) ?( ) ? 9. ?AEF的面积 AE AE
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.

16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值;

?
4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? , 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) . 2 2 4 5? 5? ? 2? 3 3 2 解 : (1) f ( ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? ? 3. 12 12 4 3 2 2 3
(2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 4

?

? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin(?? ? ) 4 4 ? 3 (sin ? cos

?

?

? cos ? sin ) ? 3 (sin(?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 4 4 4 4 ? 3 ? 2 3 cos ? sin ? 6 cos ? ? 4 2 6 ? 10 ? cos ? ? , ? ? (0, ),? sin ? ? 4 2 4 3? 3? ? 10 30 ? f ( ? ? ) ? 3 sin( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 3 ? ? . 4 4 4 4 4
17、 (本小题满分 13 分) 随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位: 件) ,获得数据如下:

?

?

?

?

根据上述数据得到样本的频率分布表如下:

(1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在 区间(30,35]的概率.

解 : (1) n1 ? 7, n 2 ? 2, f 1?

7 2 ? 0.28, f ? ? 0.08 ; 2 25 25 (2) 频率分布直方图如下所示 :

(3)根据频率分布直方图, 可得工人们日加工零件数落在区间? 30,35? 的概率为0.2, 设日加工零件数落在区间? 30,35?的人数为随机变量? ,则? 故4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间? 30,35? 的概率为 :1 ? C40 (0.2)0 (0.8) 4 ? 1 ? 0.4096 ? 0.5904.
18.(本小题满分 13 分)如图 4,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC= 30 0 , AF⊥PC 于点 F,FE∥CD,交 PD 于点 E. (1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)求二面角 D-AF-E 的余弦值.
解 : (1)证明 : PD ? 平面ABCD, PD ? PCD, ? 平面PCD ? 平面ABCD, 平面PCD 平面ABCD ? CD, A D ? 平面ABCD, AD ? CD, ? AD ? 平面PCD, CF ? 平面PCD,? CF ? AD, 又AF ? PC ,? CF ? AF , AD, AF ? 平面ADF , AD AF ? A, ? CF ? 平面ADF . (2)解法一 : 过 E 作 EG/ / CF 交 DF 于 G, CF ? 平面ADF ,? EG ? 平面ADF , 过 G 作 GH ? AF 于 H, 连 EH, 则?EHG为二面角D ? AF ? E的平面角, 设 CD ? 2, ?DPC ? 300 , 1 ??CDF ? 300 , 从而CF = CD =1, 2 1 DE CF DE 2 3 3 CP ? 4, EF∥DC ,? ? ,即 = ,? DE ? , 还易求得EF= , DF ? 3, DP CP 2 2 2 3 2 3 3 ? DE ? EF 3 19 3 从而 EG ? ? 2 2 ? . 易得AE ? , AF ? 7, EF ? , DF 4 2 2 3 19 3 ? AE ? EF 3 19 3 19 2 3 2 6 3 ? EH ? ? 2 2? , 故HG ? ( ) ?( ) ? , AF 4 7 4 7 4 7 4 7 ? cos ?EHG ? GH 6 3 4 7 2 57 ? ? ? . EH 4 7 3 19 19

B(4,0.2),

解法二 : 分别以DP, DC , DA为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 设DC ? 2, 1 则A(0, 0, 2), C(0, 2, 0), P(2 3, 0, 0), 设CF ? ? CP, 则F (2 3? , 2 ? 2? , 0), DF ? CF , 可得? ? , 4 3 3 3 1 从而F ( , , 0) , 易得E ( , 0, 0), 取面 ADF的一个法向量为n1 ? CP ? ( 3, ?1, 0), 2 2 2 2 设面 AEF的一个法向量为n2 ? (x, y, z), 利用n2 ? AE ? 0, 且n2 ? AF ? 0, 得n2可以是(4, 0, 3), 从而所求二面角的余弦值为 n1 ? n2 4 3 2 57 ? ? . 19 | n1 | ?| n2 | 2 ? 19

19. (本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn , 满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n, n ? N * ,且

S3 ? 15 .

(1)求 a1 , a2 , a3 的值;

(2)求数列 ?an ? 的通项公式;

解 : (1) a1 ? S1 ? 2a2 ? 3 ?12 ? 4 ?1 ? 2a2 ? 7

① ②

a1 +a2 =S 2 ? 4a3 ? 3 ? 22 ? 4 ? 2 ? 4( S3 ? a1 ? a2 ) ? 20 ? 4(15 ? a1 ? a2 ) ? 20,? a1 +a2 ? 8 ?a1 ? 3 联立①, ②解得 ? ,? a3 ? S3 ? a1 ? a2 ? 15 ? 8 ? 7, ?a2 ? 5 综上a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7, (2) S n ? 2nan ?1 ? 3n 2 ? 4n ③ ? ④并整理得:an ?1 ? ③ ④ ?当n ? 2时, S n ?1 ? 2(n ? 1)an ? 3(n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) 2n ? 1 6n ? 1 an ? , 2n 2n 由(1)猜想an ? 2n ? 1,以下用数学归纳法证明 : (i )由(1)知, 当n ? 1时, a1 ? 3 ? 2 ?1 ? 1, 猜想成立; (ii )假设当n ? k时, 猜想成立, 即ak ? 2k ? 1, 则当n ? k ? 1时, ak ?1 ? 2k ? 1 6k ? 1 ak ? 2k 2k 2k ? 1 1 ? ? (2k ? 1) ? 3 ? 2k 2k 2 4k ? 1 1 ? ?3? 2k 2k ? 2k ? 3 ? 2(k ? 1) ? 1 这就是说n ? k ? 1时, 猜想也成立, 从而对一切n ? N ? , an ? 2n ? 1.
20.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5,0) ,离心率为 a 2 b2

5 .(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两 3
条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.
解 : (1)c ? 5, e ? c 5 5 ? ? ,? a ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 5 ? 4, a a 3 x2 y 2 ? 椭圆C的标准方程为: ? ? 1. 9 4 (2)若一切线垂直x轴, 则另一切线垂直于y轴, 则这样的点P共4个, 它们的坐标分别为(?3, ?2), (3, ?2). 若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为y ? y0 ? k ( x ? x0 ), x2 y 2 ? ? 1 中并整理得: 9 4 2 2 2 (9k ? 4) x ? 18k ( y0 ? kx0 ) x ? 9 ? ? ( y0 ? kx0 ) ? 4 ? ? ? 0, 依题意, ? ? 0, 即y ? k ( x ? x0 ) ? y0 , 将之代入椭圆方程
2 2 2 2 即:(18k ) 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 36 ? ?( y0 ? kx0 ) ? 4 ? ? (9k ? 4) ? 0, 即4( y0 ? kx0 ) ? 4(9 k ? 4) ? 0, y 2 ?4 ? ( x0 2 ? 9)k 2 ? 2 x0 y0 k ? y0 2 ? 4 ? 0, 两切线相互垂直,? k1k2 ? ?1, 即 : 02 ? ?1, x0 ? 9

? x0 2 ? y0 2 ? 13, 显然(?3, ?2), (3, ?2)这四点也满足以上方程, ?点P的轨迹方程为x 2 ? y 2 ? 13 .

21.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3
2 2

,其中 k ? ?2 ,

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D(用区间表示) ; (2)讨论 f ( x ) 在区间 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合(用区间表示).

2 2 解 : (1)( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2? 2 x ? k ) ? 3 ? 0, 则x ? 2 x ? k ? 1 ①或 x ? 2 x ? k ? ?3 ②

由①得 : x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 0, ?1 ? 4 ? 4(k ? 1) ? 4(2 ? k ) ? 0 ( k ? ?2), ? 方程x 2 ? 2 x ? k ? 1=0的解为 ? 1 ? 2 ? k , ?由x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 0得 : x ? ?1 ? 2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k , 由②得:x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0, 方程x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0的判别式? 2 ? 4 ? 4(k ? 3) ? 4(?2 ? k ) ? 0 ( k ? ?2), ? 该方程的解为 ? 1 ? ?2 ? k ,由x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0得 : ?1 ? ?2 ? k ? x ? ?1 ? ?2 ? k . k ? ?2,??1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? 2 ? k , ? D ? (??, ?1 ? 2 ? k )
2 2

(?1 ? ?2 ? k , ?1 ? ?2 ? k )
2

(?1 ? 2 ? k , ??).

(2)设u ? ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0, 1 ?3 2 则f ' ( x ) ? ? ? u 2 ? ? ? 2( x ? 2 x ? k ) ? (2 x ? 2) ? 2(2 x ? 2) ? ? 2 ? ?2u 2 ( x ? 1) ? ( x 2 ? 2 x ? k ? 1) (i )当x ? (??, ?1 ? 2 ? k )时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 1 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 ; (ii )当x ? (?1 ? ?2 ? k , ?1)时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? ?3 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 ; (iii )当x ? (?1, ?1 ? ?2 ? k )时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? ?3 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 ; (iv)当x ? (?1 ? 2 ? k , ??)时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 1 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 . 综上, f ( x)在D上的单调增区间为 : ( ??, ?1 ? 2 ? k ), ( ?1, ?1 ? ?2 ? k ) , f ( x)在D上的单调减区间为 : ( ?1 ? ?2 ? k , ?1), ( ?1 ? 2 ? k , ??) .
(3)设 g(x) ? ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3,由(1)知, 当 x ? D 时, g(x) ? 0; 又 g(1) ? (3 ? k) 2 ? 2(3 ? k ) ? 3 ? ( k ? 6)( k ? 2), 显然, 当k ? ?6时, g (1) ? 0, 从而不等式f ( x) ? f (1) ? g ( x) ? g (1), g ( x) ? g (1) ? [( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3] ? [(3 ? k) 2 ? 2(3 ? k ) ? 3] ? [( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? (3 ? k) 2 ] ? 2[( x 2 ? 2 x ? k ) ? (3 ? k )] ? ( x ? 3)( x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 2k ? 5), k ? ?6,??1 ? ?4 ? 2k ? ?1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?2 ? k ? ?3 ? 1 ? ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?4 ? 2k , (i )当x ? ?1 ? 2 ? k 时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0,? 欲使f ( x) ? f (1), 即g ( x) ? g (1), 亦即x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? 0, 即 ? 1 ? ?4 ? 2k ? x ? ?1 ? ?4 ? 2k ,??1 ? ?4 ? 2k ? x ? ?1 ? 2 ? k ; (ii ) ? 1 ? ?2 ? k ? x ? ?3时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0, x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? ( x 2 ? 2 x ? k ) ? (k ? 5) ? ?3 ? (k ? 5) ? 0, 此时g ( x) ? g (1), 即f ( x ) ? f (1); (iii) ? 3 ? x ? 1时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0, x 2 ? 2 x ? 2 k ? 5 ? ?3 ? ( k ? 5) ? 0,? g ( x) ? g (1), 不合题意; (iv)1 ? x ? ?1 ? ?2 ? k 时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0, x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? ?3 ? (k ? 5) ? 0,? g ( x) ? g (1), 合题意; (v) x ? ?1 ? 2 ? k 时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0,? 欲使g ( x) ? g (1), 则x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? 0, 即 ? 1 ? ?4 ? 2k ? x ? ?1 ? ?4 ? 2k , 从而 ? 1 ? 2 ? k ? x ? ?1 ? ?4 ? 2k . 综上所述, f ( x) ? f (1)的解集为: (?1 ? ?4 ? 2k , ?1 ? 2 ? k ) ? (?1 ? ?2 ? k , ?3) ? (1, ?1 ? ?2 ? k ) ? (?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?4 ? 2k ).
? 3


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