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人教A版高中数学 高三一轮第一章第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(教案)


1.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等. (2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等. 2.全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 3.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p 或 q 的否定:非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q. 4.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词. (2)简单复合命题的真值表: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 綈p 假 假 真 真 綈q 假 真 假 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题 p 且 q 为假命题,则命题 p、q 都是假命题.( × )

(2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题.( √ ) (3)若命题 p、q 至少有一个是真命题,则 p 或 q 是真命题.( √ ) )

(4)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词.( × (5)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( √ ) (6)存在 x0∈M,p(x0)与任意 x∈M,綈 p(x)的真假性相反.( √ )

π π 1.设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y=cosx 的图像关于直线 x= 对称,则下列判断 2 2 正确的是( A.p 为真 C.p 且 q 为假 答案 C 2π π 解析 函数 y=sin2x 的最小正周期为 =π,故命题 p 为假命题;x= 不是 y=cosx 的对称轴,命题 q 为假 2 2 命题,故 p 且 q 为假.故选 C. 2.命题 p:任意 x∈R,sinx<1;命题 q:存在 x∈R,cosx≤-1,则下列结论是真命题的是( A.p 且 q C.p 或綈 q 答案 B 解析 ∵p 是假命题,q 是真命题, ∴綈 p 且 q 是真命题. 3.(2015· 浙江)命题“任意 n∈N+,f(n)∈N+且 f(n)≤n”的否定形式是( A.任意 n∈N+,f(n)?N+且 f(n)>n B.任意 n∈N+,f(n)?N+或 f(n)>n C.存在 n0∈N+,f(n0)?N+且 f(n0)>n0 D.存在 n0∈N+,f(n0)?N+或 f(n0)>n0 答案 D 解析 D. π? 4.(2015· 山东)若“任意 x∈? ?0,4?,tanx≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为________. 答案 1 写全称命题的否定时,要把量词,任意改为存在,并且否定结论,注意把 “且”改为“或”.故选 ) B.綈 p 且 q D.綈 p 且綈 q ) ) B.綈 q 为假 D.p 或 q 为真

π? π 解析 ∵函数 y=tanx 在? ?0,4?上是增函数,∴ymax=tan4=1.依题意,m≥ymax,即 m≥1.∴m 的最小值为 1. 5.(教材改编)给出下列命题: ①任意 x∈N,x3>x2; ②所有可以被 5 整除的整数,末位数字都是 0;
2 ③存在 x0∈R,x0 -x0+1≤0;

④存在一个四边形,它的对角线互相垂直. 则以上命题的否定中,真命题的序号为________. 答案 ①②③

题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1 是( 1-x (1)已知命题 p1:y=ln[(1-x)· (1+x)]为偶函数;命题 p2:y=ln 为奇函数,则下列命题是假命题的 1+x ) B.p1 或(綈 p2) D.p1 且(綈 p2)

A.p1 且 p2 C.p1 或 p2

(2)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命题①p 且 q;②p 或 q;③p 且(綈 q);④(綈 p)或 q 中,真命题是( A.①③ C.②③ 答案 解析 (1)D (2)C (1)对于命题 p1:令 f(x)=y=ln[(1-x)(1+x)],由(1-x)(1+x)>0 得-1<x<1,∴函数 f(x)的定义域为(- ) B.①④ D.②④

1,1),关于原点对称,∵f(-x)=ln[(1+x)(1-x)]=f(x),∴f(x)为偶函数,∴命题 p1 为真命题; 1-x 1+x 对于命题 p2: 令 g(x)=y=ln , 易知 g(x)的定义域为(-1,1), 关于原点对称, g(-x)=ln =-g(x), ∴g(x) 1+x 1-x 为奇函数,命题 p2 为真命题,故 p1 或(綈 p2)为假命题. (2)当 x>y 时,-x<-y,故命题 p 为真命题,从而綈 p 为假命题. 当 x>y 时,x2>y2 不一定成立,故命题 q 为假命题,从而綈 q 为真命题. 由真值表知:①p 且 q 为假命题;②p 或 q 为真命题;③p 且(綈 q)为真命题;④(綈 p)或 q 为假命题.故选 C. 思维升华 “p 或 q”“p 且 q”“綈 p”等形式命题真假的判断步骤:

(1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题 p、q 的真假; (3)确定“p 且 q”“p 或 q”“綈 p”等形式命题的真假. (1)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命 题为真命题的是( A.p 且 q C.(綈 p)且 q ) B.(綈 p)且(綈 q) D.p 且(綈 q)

b (2)若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>- },命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x-b)<0 的解集 a 是{x|a<x<b},则在命题“p 且 q”、“p 或 q”、“綈 p”、“綈 q”中,是真命题的有________. 答案 解析 (1)D (2)綈 p、綈 q (1)p 为真命题,q 为假命题,故綈 p 为假命题,綈 q 为真命题.从而 p 且 q 为假,(綈 p)且(綈 q)为假,

(綈 p)且 q 为假,p 且(綈 q)为真,故选 D. (2)依题意可知命题 p 和 q 都是假命题,所以“p 且 q”为假、“p 或 q”为假,“綈 p”为真、“綈 q”为真.

题型二 含有一个量词的命题

命题点 1 全称命题、特称命题的真假 例2 (1)下列命题中,为真命题的是( ) B.任意 x∈R,-1<sinx<1 D.存在 x0∈R,tanx0=2

A.任意 x∈R,x2>0 C.存在 x0∈R,2x0<0 (2)下列四个命题 1? ?1? p1:存在 x0∈(0,+∞),? ?2?x0<?3?x0; p2:存在 x0∈(0,1), log 1 x0 ? log 1 x0 ;
2 3

p3:任意 x∈(0,+∞), ( ) ? log 1 x ;
x 2

1 2

1 1 0, ?, ( ) x ? log 1 x . p4:任意 x∈? ? 3? 2
3

其中真命题是( A.p1,p3 C.p2,p3

) B.p1,p4 D.p2,p4

答案 解析 选 D.

(1)D (2)D (1)任意 x∈R,x2≥0,故 A 错;任意 x∈R,-1≤sinx≤1,故 B 错;任意 x∈R,2x>0,故 C 错,故

1?x ?1?x lgx (2)根据幂函数的性质,对任意 x∈(0,+∞),? ?2? >?3? ,故命题 p1 是假命题;由于 log 1 x ? log 1 x =-lg2-
2 3

lgx?lg2-lg3? lgx = ,故对任意 x∈(0,1), log 1 x ? log 1 x ,所以存在 x0∈(0,1), log 1 x0 ? log 1 x0 ,命题 lg2lg3 -lg3
2 3 2 3

1 x 1? ?1?x p2 是真命题;当 x∈? ?0,2?时,0<?2? <1, log 1 x ? 1 ,故 ( 2 ) ? log 1 x 不成立,命题 p3 是假命题;任意
2

2

1 x 1? ?1?x x∈? ?0,3?,0<?2? <1, log 1 x ? 1 ,故 ( ) ? log 1 x ,命题 p4 是真命题.
3

2

3

故 p2,p4 为真命题. 命题点 2 含一个量词的命题的否定 例3 (1)命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是( )

A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 (2)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:任意 x∈A,2x∈B,则綈 p 为:______. 答案 解析 (1)C (2)存在 x0∈A,2x0?B (1)利用特称命题的否定是全称命题求解,“存在实数 x,使 x>1”的否定是“对任意实数 x,都有

x≤1”.故选 C. (2)命题 p:任意 x∈A,2x∈B 是一个全称命题,其命题的否定应为特称命题. ∴綈 p:存在 x0∈A,2x0?B. 思维升华 (1)判定全称命题“任意 x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合 M 中的每一个元素 x,证明 p(x)成

立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个 x=x0,使 p(x0)成立. (2)对全(特)称命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词. ②对原命题的结论进行否定. (1)下列命题中的真命题是( 3 A.存在 x∈R,使得 sinx+cosx= 2 B.任意 x∈(0,+∞),ex>x+1 C.存在 x∈(-∞,0),2x<3x )

D.任意 x∈(0,π),sinx>cosx (2)(2015· 课标全国Ⅰ)设命题 p:存在 n∈N,n2>2n,则綈 p 为( A.任意 n∈N,n2>2n C.任意 n∈N,n2≤2n 答案 解析 (1)B (2)C π 3 (1)因为 sinx+cosx= 2sin(x+ )≤ 2< ,故 A 错误;当 x<0 时,y=2x 的图像在 y=3x 的图像上方, 4 2 )

B.存在 n∈N,n2≤2n D.存在 n∈N,n2=2n

π 故 C 错误;因为 x∈(0, )时有 sinx<cosx,故 D 错误.所以选 B. 4 (2)将命题 p 的量词“存在”改为“任意”,“n2>2n”改为“n2≤2n”.

题型三 由命题的真假求参数的取值范围 例 4 已知 p:存在 x∈R,mx2+1≤0,q:任意 x∈R,x2+mx+1>0,若 p 或 q 为假命题,则实数 m 的取 值范围为( A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2 答案 A 解析 依题意知 p,q 均为假命题,当 p 是假命题时,mx2+1>0 恒成立,则有 m≥0; 当 q 是真命题时,则有 Δ=m2-4<0,-2<m<2. 因此由 p,q 均为假命题得
? ?m≥0, ? 即 m≥2. ?m≤-2或m≥2, ?

) B.m≤-2 D.-2≤m≤2

引申探究 1.本例条件不变,若 p 且 q 为真,则实数 m 的取值范围为________. 答案 (-2,0)

解析 依题意,当 p 是真命题时,有 m<0; 当 q 是真命题时,有-2<m<2,
? ?m<0, 由? 可得-2<m<0. ?-2<m<2, ?

2.本例条件不变,若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,则实数 m 的取值范围为________________. 答案 (-∞,-2]∪[0,2)

解析 若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,则 p、q 一真一假.
?m<0, ? 当 p 真 q 假时? ? ?m≥2或m≤-2,

∴m≤-2;

? ?m≥0, 当 p 假 q 真时? ?-2<m<2, ?

∴0≤m<2.

∴m 的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2). 3.本例中的条件 q 变为:存在 x∈R,x2+mx+1<0,其他不变,则实数 m 的取值范围为________. 答案 [0,2] 解析 依题意,当 q 是真命题时,Δ=m2-4>0, ∴m>2 或 m<-2.
? ?m≥0, 由? 得 0≤m≤2, ?-2≤m≤2 ?

∴m 的取值范围是[0,2]. 思维升华 根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. (1)已知命题 p:“任意 x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“存在 x∈R,使 x2+2ax+2-a=0”, 若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.{a|a≤-2 或 a=1} B.{a|a≥1} C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2} D.{a|-2≤a≤1} 1 (2)已知命题“存在 x0∈R,使 2x2 0+(a-1)x0+ ≤0”是假命题,则实数 a 的取值范围是( 2 A.(-∞,-1) C.(-3,+∞) 答案 解析 (1)A (2)B (1)∵“p 且 q”为真命题,∴p、q 均为真命题, B.(-1,3) D.(-3,1) ) )

∴p:a≤1,q:a≤-2 或 a≥1, ∴a≤-2 或 a=1. 1 1 (2)依题意可知“任意 x∈R,2x2+(a-1)x+ >0”为真命题, 所以 Δ=(a-1)2-4×2× <0, 即(a+1)(a-3)<0, 2 2 解得-1<a<3.故选 B.

1.常用逻辑用语及其应用

一、命题的真假判断 典例 已知命题 p:存在 x∈R,x2+1<2x;命题 q:若 mx2-mx-1<0 恒成立,则-4<m<0,那么( A.“綈 p”是假命题 B.q 是真命题 C.“p 或 q”为假命题 D.“p 且 q”为真命题 解析 由于 x2-2x+1=(x-1)2≥0, 即 x2+1≥2x,所以 p 为假命题; 对于命题 q,当 m=0 时,有-1<0,恒成立, 所以命题 q 为假命题. 综上可知:綈 p 为真命题, p 且 q 为假命题,p 或 q 为假命题,故选 C. 答案 C 温馨提醒 判断与一元二次不等式有关命题的真假,首先要分清是要求解一元二次不等式,还是要求一元 )

二次不等式恒成立(有解、无解),然后再利用逻辑用语进行判断. 二、求参数的取值范围 典例 已知命题 p: “任意 x∈[0,1], a≥ex”; 命题 q: “存在 x∈R, 使得 x2+4x+a=0”.若命题“p 且 q” 是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析 若命题“p 且 q”是真命题, 那么命题 p, q 都是真命题.由任意 x∈[0,1], a≥ex, 得 a≥e; 由存在 x∈R, 使 x2+4x+a=0,知 Δ=16-4a≥0,a≤4,因此 e≤a≤4. 答案 [e,4] 温馨提醒 的范围. 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. (2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测: 甲:中国非第一名,也非第二名; 乙:中国非第一名,而是第三名;

丙:中国非第三名,而是第一名. 竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名. 解析 (1)由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去

过 A,C 城市,而乙“没去过 C 城市”,说明乙去过城市 A,由此可知,乙去过的城市为 A. (2)由上可知:甲、乙、丙均为“p 且 q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所 以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一 在一些逻辑问题中,当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时,应从语句的陈述中搞清含

温馨提醒

义,并根据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而解决问题.

[方法与技巧]

1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”时,要结合语句的含义理解. 2.要写一个命题的否定, 需先分清其是全称命题还是特称命题, 再对照否定结构去写, 并注意与否命题区别; 否定的规律是“改量词,否结论”. [失误与防范] 1.p 或 q 为真命题,只需 p、q 有一个为真即可;p 且 q 为真命题,必须 p、q 同时为真. 2.两种形式命题的否定 p 或 q 的否定:非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q. 3.命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p,则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定 其结论;“命题的否定”即“非 p”,只是否定命题 p 的结论.

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 1.已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( A.綈 p 或 q C.綈 p 且綈 q 答案 D 解析 不难判断命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,从而上述叙述中只有綈 p 或綈 q 为真命题. B.p 且 q D.綈 p 或綈 q )

2.已知命题 p,q,“綈 p 为真”是“p 且 q 为假”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 由“綈 p 为真”可得 p 为假,故 p 且 q 为假;反之不成立. 3.下列命题中的假命题是( A.存在 x∈R,sinx= 1 C.任意 x∈R,( )x>0 2 答案 A 解析 因为任意 x∈R,sinx≤1< 5 ,所以 A 是假命题;对于 B,存在 x=2,log2x=1;对于 C,根据指数 2 5 2 ) B.存在 x∈R,log2x=1 D.任意 x∈R,x2≥0

1 函数图像可知,任意 x∈R,( )x>0;对于 D,根据二次函数图像可知,任意 x∈R,x2≥0. 2 4.下列命题中的假命题是( A.任意 x∈R,2x 1>0


)

B.任意 x∈N+,(x-1)2>0 C.存在 x0∈R,lgx0<1 π? D.存在 x0∈R,tan? ?x0+4?=5 答案 B 解析 A 项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得 2x 1>0;B 项,∵x∈N+,∴当 x=1 时,(x-1)2=0


π 1 1 x0+ ? 与(x-1)2>0 矛盾;C 项,当 x0= 时,lg =-1<1;D 项,当 x∈R 时,tanx∈R,∴存在 x0∈R,tan? 4? ? 10 10 =5. 5.已知命题 p:若 a>1,则 ax>logax 恒成立;命题 q:在等差数列{an}中,m+n=p+q 是 an+am=ap+aq 的 充分不必要条件(m,n,p,q∈N+).则下面选项中真命题是( A.(綈 p)且(綈 q) C.p 或(綈 q) 答案 B 解析 当 a=1.1,x=2 时, ax=1.12=1.21,logax=log1.12>log1.11.21=2, 此时,ax<logax,故 p 为假命题. 命题 q,由等差数列的性质, B.(綈 p)或(綈 q) D.p 且 q )

当 m+n=p+q 时,an+am=ap+aq 成立, 当公差 d=0 时,由 am+an=ap+aq 不能推出 m+n=p+q 成立,故 q 是真命题. 故綈 p 是真命题,綈 q 是假命题, 所以 p 且 q 为假命题,p 或(綈 q)为假命题,(綈 p)且(綈 q)为假命题,(綈 p)或(綈 q)为真命题. 1 6.已知命题“存在 x∈R,使 2x2+(a-1)x+ ≤0”是假命题,则实数 a 的取值范围是( 2 A.(-1,3) C.[-1,3) 答案 A 1 解析 原命题的否定为任意 x∈R,2x2+(a-1)x+ >0,由题意知,其为真命题, 2 1 则 Δ=(a-1)2-4×2× <0, 2 则-2<a-1<2,则-1<a<3. 1 7.命题 p:存在 x0>0,x0+ =2,则綈 p 为( x0 1 A.任意 x>0,x+ =2 x 1 C.任意 x>0,x+ ≥2 x 答案 B 解析 “存在”的否定为“任意”,“=”的否定为“≠”.故选 B. 8.已知命题 p:存在 m∈R,m+1≤0,命题 q:任意 x∈R,x2+mx+1>0.若“p 且 q”为假命题,则实数 m 的取值范围是( ) ) 1 B.任意 x>0,x+ ≠2 x 1 D.存在 x>0,x+ ≠2 x B.(2,3) D.(-1,3] )

A.(-∞,-2]∪(-1,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,2] 答案 A 解析 若“p 且 q”为假命题,则 p,q 中至少有一个是假命题,若命题 p 为真命题,则 m≤-1,若 q 为真 命题,则 Δ=m2-4<0,∴-2<m<2,若命题 p 和命题 q 都是真命题,则-2<m≤-1,∴若“p 且 q”为假 命题,则 m≤-2 或 m>-1,故选 A. 9.命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是________________. 答案 任意 x∈R,x2+2x+5≠0 解析 否定为全称命题:“任意 x∈R,x2+2x+5≠0”. 10.若命题“存在 x0∈R,x2 0+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________________.

答案

(-∞,-1)∪(3,+∞)

2 解析 因为命题“存在 x0∈R,x2 0+(a-1)x0+1<0”等价于 x0+(a-1)x0+1=0 有两个不等的实根,所以 Δ

=(a-1)2-4>0,即 a2-2a-3>0,解得 a<-1 或 a>3. 1 11.已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q: >1,若“綈 q 且 p”为真,则 x 的取值范围是________. 3-x 答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)

x-2 解析 因为“綈 q 且 p”为真, 即 q 假 p 真, 而 q 为真命题时, <0, 得 2<x<3, 所以 q 假时有 x≥3 或 x≤2; x-3
?x>1或x<-3, ? p 为真命题时,由 x2+2x-3>0,解得 x>1 或 x<-3,由? 解得 x<-3 或 1<x≤2 或 x≥3, ? ?x≥3或x≤2,

所以 x 的取值范围是 x<-3 或 1<x≤2 或 x≥3. 12.下列结论: ①若命题 p:存在 x∈R,tanx=1;命题 q:任意 x∈R,x2-x+1>0.则命题“p 且(綈 q)”是假命题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; b ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为 ________. 答案 ①③ 解析 ①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题, 所以 p 且(綈 q)为假命题,故①正确; ②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确; ③正确,所以正确结论的序号为①③. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 13.已知命题 p:存在 x∈R,x-2>lgx,命题 q:任意 x∈R,x2>0,则( A.p 或 q 是假命题 B.p 且 q 是真命题 C.p 且(綈 q)是真命题 D.p 或(綈 q)是假命题 答案 C 解析 ∵x=10 时,x-2=8,lg10=1,x-2>lgx 成立,∴命题 p 为真命题,又 x2≥0,命题 q 为假命题, ∴p 且(綈 q)是真命题.

)

14.四个命题:①任意 x∈R,x2-3x+2>0 恒成立;②存在 x∈Q,x2=2;③存在 x∈R,x2+1=0;④任意 x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为( A.0 C.2 答案 A 解析 ∵x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0, ∴当 x>2 或 x<1 时,x2-3x+2>0 才成立, ∴①为假命题. 当且仅当 x=± 2时,x2=2,∴不存在 x∈Q,使得 x2=2,∴②为假命题. 对任意 x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题. 4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0, 即当 x=1 时,4x2=2x-1+3x2 成立, ∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题. 15.下列结论正确的是( ) ) B.1 D.4

A.若 p:存在 x∈R,x2+x+1<0,则綈 p:任意 x∈R,x2+x+1<0 B.若 p 或 q 为真命题,则 p 且 q 也为真命题 C.“函数 f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件 D.命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的否命题为真命题 答案 D 解析 ∵x2+x+1<0 的否定是 x2+x+1≥0,∴A 错;若 p 或 q 为真命题,则 p、q 中至少有一个为真,∴B 错;f(x)为奇函数,但 f(0)不一定有意义,∴C 错;命题“若 x2-3x+2=0 则 x=1”的否命题为“若 x2-3x -2≠0,则 x≠1”,是真命题,D 对. 16.已知命题 p:“任意 x∈R,存在 m∈R,4x-2x 1+m=0”,若命题綈 p 是假命题,则实数 m 的取值范围


是________. 答案 (-∞,1]

解析 若綈 p 是假命题,则 p 是真命题, 即关于 x 的方程 4x-2· 2x+m=0 有实数解, 由于 m=-(4x-2· 2x)=-(2x-1)2+1≤1,∴m≤1. 17.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根.则使 p 或 q 为真,p 且 q 为假的实数 m 的取值范围是________________________. 答案 (-∞,-2]∪[-1,3)

解析 设方程 x2+2mx+1=0 的两根分别为 x1,x2,

2 ? ?Δ1=4m -4>0, ? 由 得 m<-1, ?x1+x2=-2m>0, ?

所以命题 p 为真时,m<-1. 由方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根,可知 Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2<m<3,所以命题 q 为真时,-2<m<3. 由 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知命题 p,q 一真一假,
?m<-1, ? 当 p 真 q 假时,? 此时 m≤-2; ? ?m≥3或m≤-2, ? ?m≥-1, 当 p 假 q 真时,? 此时-1≤m<3, ?-2<m<3, ?

所以所求实数 m 的取值范围是 m≤-2 或-1≤m<3. 18.有下列命题: π? ? π? ①在函数 y=cos? ?x-4?cos?x+4?的图像中,相邻两个对称中心的距离为 π; x+3 ②函数 y= 的图像关于点(-1,1)对称; x-1 ③已知命题 p:对任意的 x∈R,都有 sinx≤1,则綈 p:存在 x0∈R,使得 sinx0>1; ④在△ABC 中,若 3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则角 C 等于 30° 或 150° . 其中的真命题是________. 答案 ③ π? ? π? 1 T π 解析 对于①,y=cos? ?x-4?cos?x+4?=2cos2x,相邻两个对称中心的距离为2=2,①错;对于②,函数 y = x+3 的图像关于点(1,1)对称,②错;对于③,根据全称命题的否定,③很明显是对的;对于④,由 3sinA x-1

1 π 5π +4cosB=6,4sinB+3cosA=1,两式平方后相加得 sin(A+B)= ,则 A+B= 或 ,而 3sinA+4cosB=6≤4 2 6 6 2 1 π +3sinA,故 sinA≥ > ,即 A> , 3 2 6 5π π ∴A+B= ,故 C= ,④错. 6 6


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