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2015步步高理科数学选修4-2


选修 4-2

矩阵与变换

1.乘法规则 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵? [a11 a12]?

?b11?的乘法规则: ? ?b21?

?b11?=______________________________. ? ?b21?

?a11 a12?与列向量?x0?的乘法规则: (2)二阶矩阵? ? ? ? ?a21 a22? ?y0? ?a11 a12??x0?=________________________. ? ?? ? ?a21 a22??y0?
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵,其乘法法则如下:? =?

?a11 a12??b11 b12? ?? ? ?a21 a22??b21 b22?

?a11×b11+a12×b21 a11×b12+a12×b22? ? ?a21×b11+a22×b21 a21×b12+a22×b22?

(4)两个二阶矩阵的乘法满足________律,但不满足________律和________律. 即(AB)C=A(BC),AB≠BA, 由 AB=AC 不一定能推出 B=C. 一般地, 两个矩阵只有当前一个矩阵的________与后一个矩阵的________相等时才能进行乘 法运算. 2.常见的平面变换 (1)恒等变换:如?

?1 0?; ? ?0 1?

?1 0? (2)伸压变换:如? 1?; ?0 ? ? 2?
0? ?1 (3)反射变换:如? ?; ?0 -1? (4)旋转变换:如? (5)投影变换:如?

?cos θ -sin θ? ?,其中 θ 为旋转角度; ?sin θ cos θ? ?1 0?,?1 0?; ? ? ? ?0 0? ?1 0?

(6)切变变换:如?

?1 k?(k∈R,且 k≠0). ? ?0 1?

3.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A、 B, 若有 AB=BA=E, 则称 A 是____________, B 称为 A 的____________; (2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩阵,且(AB) 1=B 1A 1.
- - -

4.特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ,存在一个非零向量 α,使 Aα=λα,那么 λ 称为 A 的一个____________,而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个________________. 5.特征多项式 设 A=?

?a b?是一个二阶矩阵,λ∈R,把行列式 f(λ)=?λ-a ? ? ?c d ? ?-c

-b? λ-d?

?=________________,

称为 A 的特征多项式.

1.在切变变换 M=?

? 1 0? ?作用下,直线 y=2x-1 变为________. ?-2 1?

x2 y2 2.将椭圆 + =1 绕原点顺时针旋转 45° 后得到新的曲线方程为________________. 3 4 3.在?

?1 0?对应的线性变换作用下,圆(x+1)2+(y+1)2=1 变为________________. ? ?1 0? ?1 3??-1 1?=________. ?? ? ?2 4?? 0 4?

4.计算:?

?0 -1? 5.矩阵? ?的逆矩阵是________. ?1 0?

题型一 求变换矩阵 例1 已知变换 S 把平面上的点 A(3,0),B(2,1)分别变换为点 A′(0,3),B′(1,-1),试求

变换 S 对应的矩阵 T.

思维升华 知道变换前后的坐标,求变换对应的矩阵,通常用待定系数法求解. 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0, -2).

(1)求矩阵 M; (2)设直线 l 在变换作用下得到了直线 m:x-y=4,求 l 的方程.

题型二 求逆矩阵 例2 求矩阵 A=?

?2 3?的逆矩阵. ? ?1 2?

思维升华 求逆矩阵的方法: (1)待定系数法 设 A 是一个二阶可逆矩阵? (2)公式法

?a b?,AB=BA=E ; ? 2 ?c d ?
d ?|A | =? -c ? |A| -b |A|

|A|=?

?a

?=ad-bc≠0,有 A-1 ?c d ?

b?

? ?. a |A| ?

(2013· 江苏)已知矩阵 A=?

?-1 0? ?1 2?,求矩阵 A-1B. ?,B=? ? ?0 6? ? 0 2?

题型三 特征值与特征向量 例3 已知矩阵 M=?

? 3 -1? ?,求 M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量. 3? ? -1

思维升华 已知 A=? (1)令 f(λ)=?

?a b?,求特征值和特征向量,其步骤: ? ?c d ?

?λ-a -b? ?=(λ-a)(λ-d)-bc=0,求出特征值 λ; ? -c λ-d ?

? ??λ-a?x-by=0, (2)列方程组? ?-cx+?λ-d?y=0; ?

(3)赋值法求特征向量,一般取 x=1 或者 y=1,写出相应的向量.

?1? 已知二阶矩阵 A 有特征值 λ1=1 及对应的一个特征向量 e1=? ?和特征值 λ2=2 ?1? ?1? 及对应的一个特征向量 e2=? ?,试求矩阵 A. ?0?

用坐标转移的思想求曲线在变换 作用下的新方程

典例:(10 分)二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0, -2). (1)求矩阵 M; (2)设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m:x-y=4,求 l 的方程. 思维启迪 (1)变换前后的坐标均已知,因此可以设出矩阵,用待定系数法求解. (2)知道直线 l 在变换 T 作用下的直线 m,求原直线,可用坐标转移法. 规范解答 解 (1)设 M=?

?a b?,则?a b?? 1 ?=?-1?, ? ? ?? ? ? ? ?c d ? ?c d?? -1? ?-1?

?a b??-2?=? 0?,[2 分] ? ?? ? ? ? ?c d?? 1? ?-2?
? ? ?a-b=-1 ?-2a+b=0 所以? ,且? , ?c-d=-1 ?-2c+d=-2 ? ?

a=1 ? ?b=2 解得? c=3 ? ?d=4 (2)因为?

,所以 M=?

?1 2?.[5 分] ? ?3 4?

?x′? ?1 2??x? ?x+2y ? ?=? ?? ?=? ? ?y′? ?3 4??y? ?3x+4y?

且 m:x′-y′=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4, 即 x+y+2=0,∴直线 l 的方程是 x+y+2=0.[10 分] 温馨提醒 (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题,题目难度属中

档题.(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法.(3)本题的易错点 是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误.

方法与技巧

1.二阶矩阵与平面列向量乘法:?

?a c ??x?=?ax+cy?,这是所有变换的基础. ?? ? ? ? ?b d??y? ?bx+dy?

2.证明两个矩阵互为逆矩阵时,切记从两个方向进行,即 AB=E2=BA.
? ?a1x+b1y=c1, ? a1 3.二元一次方程组? 相应的矩阵方程为 AX=B,其中 A=? ? a2 ? ?a2x+b2y=c2

b1? b2?

?为系数矩

?x? ?c1? 阵,X 为未知数向量? ?,B=? ?为常数向量. ?y? ?c2?
4.若某一向量在矩阵变换作用下的象与原象共线,则称这个向量是属于该变换矩阵的特征 向量,相应共线系数为属于该特征向量的特征值. 失误与防范 1.矩阵的乘法不满足交换律,即在矩阵乘法的运算中,一般不能随意将 AB 写成 BA. 2.矩阵乘法满足结合律,即(AB)C=A(BC). 3.矩阵的乘法不满足消去律,即对于二阶矩阵 A、B、C,当 A≠0,且 AB=AC 时,不一 定有 B=C.

A 组 专项基础训练

1.(2013· 江苏)已知矩阵 A=?

?-1 0? ?1 2?,求矩阵 A-1B. ?,B=? ? ?0 6? ? 0 2?

2.(2012· 江苏)已知矩阵 A 的逆矩阵 A

-1

?-4 =? 1 ? 2

1

? ,求矩阵 A 的特征值. 1? - ? 2

3 4

3.在直角坐标系中,△OAB 的顶点坐标 O(0,0),A(2,0),B(1, 2),求△OAB 在矩阵 MN 0? ?1 的作用下变换所得到的图形的面积,其中矩阵 M=? ?,N= ?0 -1?

?1 ? ?0

? ?. 2 2?
2 2

4.已知矩阵 A=?

?1 0?,B=?0 2?. ? ? ? ?1 1? ?3 2?

(1)求满足条件 AM=B 的矩阵 M; (2)矩阵 M 对应的变换将曲线 C:x2+y2=1 变换为曲线 C′,求曲线 C′的方程.

5.已知矩阵 P=?

?0 2?,Q=?0 1?,若矩阵 PQ 对应的变换把直线 l :x-y+4=0 变为直 ? ? ? 1 ?a 0? ?b 0?

线 l2:x+y+4=0,求实数 a、b 的值.

6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1).设 k 为非零实数,矩阵 k 0? ?0 1? M=? ?0 1?,N=?1 0?,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到的点分别为 A1、B1、 C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 的面积的 2 倍,求 k 的值.

B 组 专项能力提升 1.设数列{an},{bn}满足 an+1=2an+3bn,bn+1=2bn,且满足? M.

?an+4? ?an? ?=M? ?,求二阶矩阵 ?bn? ?bn+4?

2. (2012· 福建)设曲线 2x2+2xy+y2=1 在矩阵 A=? 为 x2+y2=1. (1)求实数 a,b 的值; (2)求 A2 的逆矩阵.

?a 0?(a>0)对应的变换作用下得到的曲线 ? ?b 1?

3.已知矩阵 A=?

?1 -1? ?,其中 a∈R,若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到点 P′(0,-3). ?a 1?

(1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 A 的特征值及特征向量.

4.已知矩阵 M=?

?2 a?的两个特征值分别为 λ =-1 和 λ =4. ? 1 2 ?2 b?

(1)求实数 a,b 的值; (2)求直线 x-2y-3=0 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的象的方程.

答案
要点梳理

?a11×x0+a12×y0? 1.(1)[a11× b11+a12× b21] (2)? ? ?a21×x0+a22×y0?
(4)结合 交换 消去 列数 行数 3.(1)可逆的 逆矩阵 4.特征值 特征向量 5.λ2-(a+d)λ+ad-bc 夯基释疑 1.y=-1 2.7x2+7y2+2xy-24=0 3.y=x(-2≤x≤0) 4.? 题型分类· 深度剖析 例1 解 设 T=?

?-1 13? ? 0 1? ? 5.? ? ?-1 0? ?-2 18?

?a c ?, ? ?b d?
c ??3?

?3? ?x′? ?a 则 T:? ?→? ?=? ?0? ?y′? ?b
? ?a=0, 解得? ?b=1; ?

?3a? ?0? ?? ?=? ?=? ?, d??0? ?3b? ?3?

?2? ?x′? ?a T:? ?→? ?=? ?1? ?y′? ?b

c ??2? ?2a+c ? ? 1? ?? ?=? ?=? ?, d??1? ?2b+d? ?-1?

? 1? ?c=1, ?0 解得? 综上可知,T=? ?. ?1 -3? ?d=-3, ?

跟踪训练 1 解 (1)设 M=? 则有?

?a b?, ? ?c d ?

?a b?? 1?=?-1?,?a b??-2?=? 0?, ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?c d ??-1? ?-1? ?c d?? 1? ?-2?
a=1 ? ?b=2 ,解得? c=3 ? ?d=4

?a-b=-1 ?-2a+b=0 ? ? 所以? ,且? ?c-d=-1 ?-2c+d=-2 ? ?



所以 M=? (2)因为?

?1 2?. ? ?3 4?

?x′? ?1 2??x? ?x+2y ? ?=? ?? ?=? ? ?y′? ?3 4??y? ?3x+4y?

且 m:x′-y′=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4, 整理得 x+y+2=0,所以直线 l 的方程为 x+y+2=0. 例2 则由? 解 设逆矩阵为 A 1=?


?a b?, ? ?c d ?

?2 3??a b?=?1 0?, ?? ? ? ? ?1 2??c d ? ?0 1?
a=2, ? ?b=-3, 解得? c=-1, ? ?d=2.

2a+3c=1, ? ?2b+3d=0, 得? a+2c=0, ? ?b+2d=1. 所以 A 1=?


? 2 -3? ?. 2? ?-1 ?a b?, ? ?c d ?

跟踪训练 2 解 设矩阵 A 的逆矩阵为? 则?

?-1 0??a b? ?1 0? ?-a -b? ?1 0? ?? ?=? ?,即? ?=? ?, ? 0 2??c d ? ?0 1? ? 2c 2d? ?0 1?

1 故 a=-1,b=0,c=0,d= , 2

?-1 0? ? 从而 A 的逆矩阵为 A =? ? 0 1 ?, 2 ? ?
-1

?-1 0? 1 2 ?=?-1 -2?. ?? 所以 A B=? ? ? ? 1 ? 0 ??0 6? ? ? 0 3? 2 ? ?
-1

例3

解 由?

?λ-3 ? 1

1? ?=(λ-3)2-1=0, λ-3?

解得 λ1=2,λ2=4.

?x? 设矩阵 M 的特征向量为? ?. ?y?
?-x+y=0 ? ?x? ?x? 当 λ1=2 时,由 M? ?=2? ?可得? , ?y? ?y? ? ?x-y=0

?1? 可见,α1=? ?是 M 的属于 λ1=2 的特征向量. ?1?
?x+y=0 ? ?x? ?x? 当 λ2=4 时,由 M? ?=4? ?可得? , ?y? ?y? ? ?x+y=0

可见,α2=?

? 1? ?是 M 的属于 λ2=4 的特征向量. ?-1?

跟踪训练 3 解 设矩阵 A=?

?a b?,这里 a,b,c,d∈R, ? ?c d ?

?1? 因为? ?是矩阵 A 的属于 λ1=1 的特征向量, ?1?
则有?

?1-a -b??1? ?0? ?? ?=? ?,① ? -c 1-d ??1? ?0?

?2-a -b??1? ?0? ?1? 又因为? ?是矩阵 A 的属于 λ2=2 的特征向量,则有? ?? ?=? ?,② ?0? ? -c 2-d ??0? ?0?
1-a-b=0, ? ?-c+1-d=0, 根据①②,则有? 2-a=0, ? ?-c=0,

?2 从而 a=2,b=-1,c=0,d=1,因此 A=? ?0
练出高分 A组

-1? ?. 1?

?a 1.解 设矩阵 A 的逆矩阵为? ?c
则? 即?

b? ?, d? 0? ?, 1?

?-1 ? 0 ?-a ? 2c

0??a

?? 2??c

b? ?1 ?=? d ? ?0 0? ?, 1?

-b? ?1 ?=? 2d? ?0

1 故 a=-1,b=0,c=0,d= , 2

?-1 从而 A 的逆矩阵为 A =? ? 0 ?
-1

0? 1?, 2?

?

? -1 所以 A B=? ? 0 ?
-1 -

??1 1?? ?0 2?
3 4

0?

?-1 ?=? 6? ? 0
2?
- -

-2? 3 ?

?.

2.解 因为 A 1A=E2,所以 A=(A 1) 1.

因为 A

-1

?-4 =? 1 ? 2

1

? ,所以 A=(A 1? - ? 2

-1 -1

) =?

?2 3?, ? ?2 1?

于是矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=?

?λ-2 -3? 2 ?=λ -3λ-4. ? -2 λ-1?

令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4.

3.解

?1 MN=? ?0 ? ? ?

? ?1 ?,? 2 - ? ?0 2
2 2

2 2 ?0? ?0? ? ?=? ?, 2 ?0? ?0? - 2 2 2 ?1

? ? ?

?1 ? ?0

2 1 2 ?2? ?2? ? ? =? ? , 2 ?0? ?0? - 0 2

? ? ?

? ?? 2 ? - ? 2

? ? 2? ?=? ?. 2? ?-1?

可知 O,A,B 三点在矩阵 MN 作用下变换所得的点分别为 O′(0,0),A′(2,0),B′(2,- 1).可知△O′A′B′的面积为 1. 4.解 (1)设 M=? AM=?

?a b?, ? ?c d ?

b? ?0 2? ?1 0??a b?=? a ?? ? ? ?=? ?, ?1 1??c d? ?a+c b+d? ?3 2?

a=0, ? ?a+c=3, 得? b=2, ? ?b+d=2,

∴a=0,b=2,c=3,d=0.∴M=?

?0 2?. ? ?3 0?

(2)设曲线 C 上任意一点 P(x,y)在矩阵 M 对应的变换作用下变为点 P′(x′,y′),

?x? ?0 则 M? ?=? ?y? ?3

2??x? ?2y? ?x′? ?? ?=? ?=? ?, 0??y? ?3x? ?y′? , ?y=x′ 2 ? y′ ?x= 3 ,

? ?2y=x′, ∴? 即 ?3x=y′, ?

x′ y′ 代入曲线 C:x2+y2=1,得( )2+( )2=1. 2 3 x2 y2 ∴曲线 C′的方程是 + =1. 4 9 5.解 因为 PQ=? 所以?

?0 2??0 1?=?2b 0?, ?? ? ? ? ?a 0??b 0? ?0 a?

?x′? ?2b 0??x? ?2bx? ?=? ?? ?=? ?, ?y′? ?0 a??y? ?ay ?

在直线 l1:x-y+4=0 上任取一点(x,y), 则点(2bx,ay)在直线 l2:x+y+4=0 上, a=-1 ? ? 即 2bx+ay+4=0,所以? 1 . b= ? ? 2

k 0 ??0 6.解 由题设得 MN=? ?0 1??1

1? ?0 k? 0?=?1 0?.

0 k??0? ?0? ?0 k??-2? ? 0 ? 由? ?1 0??0?=?0?,?1 0?? 0 ?=?-2?,

?0 k??-2?=? k ?, ?1 0?? 1 ? ?-2?
可知 A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2). 计算得△ABC 的面积是 1,△A1B1C1 的面积是|k|, 由题设知|k|=2×1=2, 所以 k 的值为-2 或 2. B组 1.解 依题设有? 令 A=? A2=?

?an+1? ?2 3??an? ? =? ?? ?, ?bn+1? ?0 2??bn?

?2 3?,则 M=A4, ? ?0 2?

?2 3??2 3?=?4 12?. ?? ? ? ? ?0 2??0 2? ?0 4? ?4 12??4 12?=?16 96?. ?? ? ? ? ?0 4??0 4? ? 0 16?

M=A4=(A2)2=? 2.解

(1)设曲线 2x2+2xy+y2=1 上任意点 P(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用下的象是

P′(x′,y′). 由?
? ?x′=ax, ?x′? ?a 0??x? ? ax ? ?=? ?? ?=? ?,得? ?y′=bx+y. ?y′? ?b 1??y? ?bx+y? ?

又点 P′(x′,y′)在 x2+y2=1 上,所以 x′2+y′2=1, 即 a2x2+(bx+y)2=1, 整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.
2 2 ? ? ? ?a +b =2, ?a=1, ?a=-1, ? 依题意得 解得? 或? ?2b=2, ? ? ? ?b=1, ?b=1.

? ?a=1, 因为 a>0,所以? ?b=1. ?

(2)由(1)知,A=? A2=?

?1 0?, ? ?1 1?

?1 0??1 0?=?1 0?. ?? ? ? ? ?1 1??1 1? ?2 1?


所以|A2|=1,(A2) 1=?

0? ?1 ?. ?-2 1?

?1 3.解 (1)由题意得? ?a

-1??1?

? 0? ?? ?=? ?, 1??1? ?-3?

所以 a+1=-3,所以 a=-4. (2)由(1)知 A=? 令 f(λ)=?

? 1 -1? ?, 1? ? -4

1? ?λ-1 ?=(λ-1)2-4=0. ? 4 λ-1?

解得 A 的特征值为 λ=-1 或 3.
?-2x+y=0 ? ?1? 当 λ=-1 时,由? 得矩阵 A 的属于特征值-1 的一个特征向量为? ?, ?2? ?4x-2y=0 ?

当 λ=3 时,由?

? ?2x+y=0 ? ?4x+2y=0

得矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为?

? 1? ?. ?-2?

4.解 (1)矩阵 M=?

?2 a?的特征多项式为 f(λ)=?λ-2 -a?, ? ? ? ?2 b? ? -2 λ-b?

∴f(λ)=(λ-2)(λ-b)-2a=λ2-(b+2)λ+2b-2a, 由已知得 λ1=-1,λ2=4 为 f(λ)=0 的两根,
? ? ?-1+4=b+2, ?a=3, ∴? 解得? ?-1×4=2b-2a, ?b=1. ? ?

(2)由(1)知 M=?

?2 3?. ? ?2 1?

设直线 x-2y-3=0 上任意一点(x,y)在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的象是(x′,y′), 由?

?x′? ?2 3??x? ?2x+3y? ?=? ?? ?=? ?, ?y′? ?2 1??y? ? 2x+y?
3y′ , ?x=-x′+ 4 ? x′-y′ ?y= 2 ,

? ?2x+3y=x′, 得? 解得 ?2x+y=y′, ?

-x′+3y′ x′-y′ 代入 x-2y-3=0 得 -2× -3=0, 4 2 即 5x′-7y′+12=0, 于是点(x′,y′)必在直线 5x-7y+12=0 上. 由(x,y)的任意性可知,直线 x-2y-3=0 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的象的方程为 5x-7y+12=0.


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