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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系充分条件与必要条件教师用书文


1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.四种命题及相互关系

2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p? q,则 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件; (2)如果 p? q,且 q?p,则 p 是 q 的充分不必要条件; (3)如果 p? q,且 q? p,则 p 是 q 的充要条件; (4)如果 q? p,且 p?q,则 p 是 q 的必要不充分条件; (5)如果 p?q,且 q?p,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件. 【知识拓展】 从集合角度理解充分条件与必要条件 若 p 以集合 A 的形式出现,q 以集合 B 的形式出现,即 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于 充分条件、必要条件又可以叙述为 (1)若 A? B,则 p 是 q 的充分条件; (2)若 A? B,则 p 是 q 的必要条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; (4)若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件; (5)若 A?B,则 p 是 q 的必要不充分条件; (6)若 A B 且 A?B,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x +2x-3<0”是命题.( × )
1
2

(2)命题“若 p,则 q”的否命题是“若 p,则綈 q”.( (3)若一个命题是真命题,则其逆否命题也是真命题.(

× ) √ )

(4)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.( √ ) (5)当 p 是 q 的充要条件时,也可说成 q 成立当且仅当 p 成立.( √ ) (6)若 p 是 q 的充分不必要条件,则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件.( √ )

1.下列命题为真命题的是________.(填序号) 1 1 ①若 = ,则 x=y;

x y

②若 x =1,则 x=1; ④若 x<y,则 x <y .
2 2

2

③若 x=y,则 x= y; 答案 ①

2.(教材改编)命题“若 x >y ,则 x>y”的逆否命题是________________________. 答案 若 x≤y,则 x ≤y
2 2

2

2

解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若 x >y ,则 x>y”的逆否命 题是“若 x≤y,则 x ≤y ”. 3.(教材改编)给出下列命题: ①命题“若 b -4ac<0,则方程 ax +bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; ②命题“如果△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; 3 3 ③命题“若 a>b>0,则 a> b>0”的逆否命题; ④命题“若 m>1,则不等式 mx -2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 答案 ①②③ 解析 ①命题“若 b -4ac<0,则方程 ax +bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题为:“若 b - 4ac≥0,则方程 ax +bx+c=0(a≠0)有实根”,根据一元二次方程根的判定知其为真命题. ②命题“如果△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题为:“如果△ABC 为等边三角形,那么 AB=BC=CA”,由等边三角形的定义可知其为真命题. 3 3 ③原命题“若 a>b>0,则 a> b>0”为真命题,由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知 其逆否命题为真命题. ④原命题的逆命题为:“若不等式 mx -2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R,则 m>1”,不妨取
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

m=2 验证,当 m=2 时,有 2x2-6x-1>0,Δ =(-6)2-4×2×(-1)>0,其解集不为 R,故
为假命题. 4.(2016· 北 京 改 编 ) 设 a , b 是 向 量 , 则 “|a| = |b|” 是 “|a + b| = |a - b|” 的
2

______________条件. 答案 既不充分又不必要 解析 若|a|=|b|成立,则以 a,b 为邻边构成的四边形为菱形,a+b,a-b 表示该菱形的 对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立;反之,若|a+b|= |a-b|成立,则以 a,b 为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所以|a|= |b|不一定成立,所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分又不必要条件. 5.(教材改编)下列命题: ①“x=2”是“x -4x+4=0”的必要不充分条件; ②“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充分必要条件; ③“sin α =sin β ”是“α =β ”的充要条件; ④“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件. 其中为真命题的是________.(填序号) 答案 ②④
2

题型一 命题及其关系 例 1 (2016·徐州一模)有下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题; ③“若 m≤1,则 x -2x+m=0 有实数解”的逆否命题; ④“若 A∩B=B,则 A? B”的逆否命题. 其中真命题为________.(填序号) 答案 ①②③ 解析 ①的逆命题:“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”是真命题;②的否命题:“面积不相等 的三角形不是全等三角形”是真命题;③的逆否命题:“若 x -2x+m=0 没有实数解,则
2 2

m>1”是真命题;④中原命题是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.
思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假, 逆命题与否命题同真同假”这一性质, 当一个命题直 接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. (1)命题“若 x>0,则 x >0”的否命题是__________.
3
2

(2)(2016·徐州模拟)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a +b +c ≥3”的否命题 是______________________________. 答案 (1)若 x≤0,则 x ≤0
2

2

2

2

(2)若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3

2

2

2

解析 (2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论,因此原命题的否命题为“若 a+b +c≠3,则 a +b +c <3”. 题型二 充分必要条件的判定 例 2 (1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线 l, m, 平面 α , m? α , 则“l⊥m”是“l⊥α ” 的 ____________ 条件 .( 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必 要”) (2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题: ①“a>b”是“3 >3 ”的充分不必要条件; ②“α >β ”是“cos α <cos β ”的必要不充分条件; ③“a=0”是“函数 f(x)=x +ax (x∈R)为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为________. 答案 (1)必要不充分 (2)③
3 2 2 2 2

a

b

解析 (1)根据直线与平面垂直的定义: 若直线与平面内的任意一条直线都垂直, 则称这条直 线与这个平面垂直 . 现在是直线与平面内给定的一条直线垂直,而不是任意一条,故由 “l⊥m”推不出“l⊥α ”,但是由定义知“l⊥α ”可推出“l⊥m”,故填必要不充分. (2)因为函数 y=3 在 R 上为增函数,所以“a>b”是“3 >3 ”的充要条件,故①错;由余弦 函数的性质可知“α >β ”是“cos α <cos β ”的既不充分又不必要条件,故②错;当 a=0 时,f(x)=x 是奇函数,当 f(x)是奇函数时,由 f(-1)=-f(1)得 a=0,所以③正确. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法:根据 p? q,q? p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字 母的范围的推断问题. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性, 把判断的命题转化为其逆否命题进行 判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. 1 (1)(2016·江苏扬州中学调研)函数 f(x)= x +a (x≠0),则“f(1)=1”是 3 -1 “函数 f(x)为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既 不充分又不必要”填写) (2)(2017·镇江质检)已知 p:关于 x 的不等式 x +2ax-a≤0 有解,q:a>0 或 a<-1,则 p 是 q 的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填 写)
2 3

x

a

b

4

答案 (1)充要 (2)必要不充分 解析 (1)f(x)= 1 1 1 +a (x≠0)为奇函数,则 f(-x)+f(x)=0,即 -x +a+ x +a 3 -1 3 -1 3 -1
x

1 1 1 =0,所以 a= ,此时 f(1)= + =1,反之也成立,因此填“充要”. 2 3-1 2 (2)关于 x 的不等式 x +2ax-a≤0 有解,则 4a +4a≥0? a≤-1 或 a≥0,从而 q? p,反之 不成立,故 p 是 q 的必要不充分条件. 题型三 充分必要条件的应用 例 3 已知 P={x|x -8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}.若 x∈P 是 x∈S 的必 要条件,求 m 的取值范围. 解 由 x -8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件,知 S? P. 1-m≤1+m, ? ?1-m≥-2, 则? ∴0≤m≤3. ? ?1+m≤10, ∴当 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件,即所求 m 的取值范围是[0,3]. 引申探究 1.若本例条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 解 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,
? ?1-m=-2, ∴? ?1+m=10, ?
2 2 2 2

方程组无解,

即不存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 2.本例条件不变,若 x∈綈 P 是 x∈綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解 由例题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,∴P? S 且 SD/? P. ∴[-2,10]?[1-m,1+m].
? ?1-m≤-2, ∴? ?1+m>10 ?

或?

? ?1-m<-2, ?1+m≥10. ?

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞). 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系, 然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式(或不等式组)求解.

5

(2)要注意区间端点值的检验. (2016·盐城期中)设集合 A={x|x +2x-3<0},集合 B={x||x+a|<1}. (1)若 a=3,求 A∪B; (2)设 p:x∈A,q:x∈B,若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解 (1)解不等式 x +2x-3<0, 得-3<x<1,故 A=(-3,1). 当 a=3 时,由|x+3|<1, 得-4<x<-2,故 B=(-4,-2), 所以 A∪B=(-4,1). (2)因为 p 是 q 成立的必要不充分条件,所以集合 B 是集合 A 的真子集. 又集合 A=(-3,1),B=(-a-1,-a+1),
? ?-a-1≥-3, 所以? ?-a+1<1 ? ? ?-a-1>-3, 或? ?-a+1≤1, ?
2 2

解得 0≤a≤2,即实数 a 的取值范围是 0≤a≤2.

1.等价转化思想在充要条件中的应用

典例 (1)已知 p,q 是两个命题,那么“p∧q 是真命题”是“綈 p 是假命题”的__________ 条件. (2)已知条件 p:x +2x-3>0;条件 q:x>a,且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,则 a 的 取值范围是________. 思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题,在解题 中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化. 解析 (1)因为“p∧q 是真命题”等价于“p,q 都为真命题”,且“綈 p 是假命题”等价于 “p 是真命题”,所以“p∧q 是真命题”是“綈 p 是假命题”的充分不必要条件. (2)由 x +2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,等价于 q 是 p 的充分不必要条件. 所以{x|x>a}?{x|x<-3 或 x>1}, 所以 a≥1. 答案 (1)充分不必要 (2)[1,+∞)
2 2

6

π 1.命题“若 α = ,则 tan α =1”的否命题是____________________. 4 π 答案 若 α ≠ ,则 tan α ≠1 4 2.(教材改编)命题“若 a>b,则 2 >2 -1”的否命题为________________. 答案 若 a≤b,则 2 ≤2 -1 解析 ∵“a>b”的否定是“a≤b”,“2 >2 -1”的否定是“2 ≤2 -1”,∴原命题的否命 题是“若 a≤b,则 2 ≤2 -1”. 3.已知命题 p:“正数 a 的平方不等于 0”,命题 q:“若 a 不是正数,则它的平方等于 0”, 则 q 是 p________命题.(填“逆”“否”“逆否”) 答案 否 解析 命题 p:“正数 a 的平方不等于 0”写成“若 a 是正数,则它的平方不等于 0”,从而
a b a b a b a b a b

q 是 p 的否命题.
4.(2015·重庆改编)“x>1”是“ log 1 (x+2)<0”的____________条件.
2

答案 充分不必要 解析 由 x>1? x+2>3? log 1 (x+2)<0, 故“x>1” log 1 (x+2)<0? x+2>1? x>-1,
2 2

是“ log 1 (x+2)<0”的充分不必要条件.
2

5.(2016·山东改编)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α ,β 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的______________条件. 答案 充分不必要 解析 若直线 a 和直线 b 相交,则平面 α 和平面 β 相交; 若平面 α 和平面 β 相交,那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交. 1 x 6.已知集合 A={x∈R| <2 <8},B={x∈R|-1<x<m+1},若 x∈B 成立的一个充分不必要条 2 件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是__________. 答案 (2,+∞) 1 x 解析 A={x∈R| <2 <8}={x|-1<x<3}, 2 ∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ∴A?B,∴m+1>3,即 m>2. 7.设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A? C,B? ?UC”是“A∩B=?”的________ 条件. 答案 充要

7

解析 由 Venn 图易知充分性成立.反之,A∩B=?时,由 Venn 图(如图)可知,存在 A=C,同 时满足 A? C,B? ?UC.

故“存在集合 C 使得 A? C,B? ?UC”是“A∩B=?”的充要条件.
?log2x,x>0, ? 8.函数 f(x)=? x ? ?-2 +a,x≤0

有且只有一个零点的充分不必要条件是________.(填序号) 1 ②0<a< 2 ④a≤0 或 a>1

①a<0 1 ③ <a<1 2 答案 ①

解析 因为函数 f(x)过点(1,0),所以函数 f(x)有且只有一个零点?函数 y=-2 +a(x≤0) 没有零点?函数 y=2 (x≤0)与直线 y=a 无公共点.由数形结合,可得 a≤0 或 a>1. 观察所给条件,根据集合间关系得{a|a<0}?{a|a≤0 或 a>1}. 9.(2016·无锡模拟)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的__________条件. 答案 充要 解析 设 f(x)=x|x|,
?x ,x≥0, ? 则 f(x)=? 2 ?-x ,x<0, ?
2

x

x

所以 f(x)是 R 上的增函数, 所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件. 10.有三个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“若 a>b,则 a >b ”的逆否命题; ③“若 x≤-3,则 x +x-6>0”的否命题. 其中真命题的序号为____________. 答案 ① 解析 命题①为“若 x, y 互为相反数, 则 x+y=0”是真命题; 因为命题“若 a>b, 则 a >b ” 是假命题,故命题②是假命题;命题③为“若 x>-3,则 x +x-6≤0”,因为 x +x-6≤0 ?-3≤x≤2,故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题. 11.给定两个命题 p、 q, 若綈 p 是 q 的必要不充分条件, 则 p 是綈 q 的________条件.(填“充 分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
2 2 2 2 2 2 2

8

答案 充分不必要 解析 ∵綈 p 是 q 的必要不充分条件, ∴q? 綈 p 但綈 p?q, 其逆否命题为 p? 綈 q 但綈 q?p, ∴p 是綈 q 的充分不必要条件. 12.若 x<m-1 或 x>m+1 是 x -2x-3>0 的必要不充分条件, 则实数 m 的取值范围是________. 答案 [0,2] 解析 由已知易得{x|x -2x-3>0}?{x|x<m-1 或 x>m+1}, 又{x|x -2x-3>0}={x|x<-1 或 x>3},
? ?-1≤m-1, ∴? ?m+1<3, ?
2 2 2

或?

? ?-1<m-1, ?m+1≤3, ?
2 *

∴0≤m≤2. 的取值范围是

13. 若 “ 数 列 an = n - 2λ n(n∈N ) 是 递 增 数 列 ” 为 假 命 题 , 则 λ ________________. 3 答案 [ ,+∞) 2

解析 若数列 an=n -2λ n(n∈N )是递增数列, 则有 an+1-an>0, 即 2n+1>2λ 对任意的 n∈N 3 都成立,于是可得 3>2λ ,即 λ < . 2 3 故所求 λ 的取值范围是[ ,+∞). 2 14.(2016·江苏扬州期中联考)以下四个命题中,真命题的个数是________. ①“若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1”的逆命题; ②存在正实数 a,b,使得 lg(a+b)=lg a+lg b; ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”; ④在△ABC 中,A<B 是 sin A<sin B 的充分不必要条件. 答案 2

2

*

*

解析 ①原命题的逆命题为:若 a,b 中至少有一个不小于 1,则 a+b≥2,而 a=2,b=-2 满足条件 a,b 中至少有一个不小于 1,但此时 a+b=0,故①是假命题;②根据对数的运算 性质,知当 a=b=2 时,lg(a+b)=lg a+lg b,故②是真命题;③“所有奇数都是素数” 的否定为“至少有一个奇数不是素数”,故③是真命题;④根据题意,结合边角的转换,以 及正弦定理,可知 A<B?a<b(a,b 为角 A,B 所对的边)?2Rsin A<2Rsin B(R 为△ABC 外接圆 的半径)?sin A<sin B,故可知 A<B 是 sin A<sin B 的充要条件,故④是假命题,∴真命题 个数是 2. 15.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=p +q(p≠0,且 p≠1).求证:数列{an}为等比数列的充要 条件为 q=-1. 证明 充分性:当 q=-1 时,a1=p-1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=p
n-1 n

(p-1),
9

当 n=1 时也成立. ∴an=p 又
n-1

(p-1),n∈N .

*

an+1 pn?p-1? = = p, an pn-1?p-1?

∴数列{an}为等比数列. 必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=p
n-1

(p-1).

∵p≠0,且 p≠1,{an}为等比数列,∴ = ∴

a2 an+1 =p. a1 an

p?p-1? =p,即 p-1=p+q,∴q=-1. p+q

综上所述,q=-1 是数列{an}为等比数列的充要条件.

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