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2014揭阳一模数学(理科)参考答案(揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考)

揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考 数学(理科)参考答案

一、选择题:DCBD DCCB 解析:5.由三视图知,此组合体为一个长为4,宽为3,高为1的长方体、中心去除一个半径 为1的圆柱,故其体积为 3 ? 4 ?1 ? ? ?12 ?1 ? 12 ? ?

? ? x 2 , ( x ? 2) ? 6.由框图知,x 与 y 的函数关系为 y ? ?2 x ? 3, (2 ? x ? 5) ,由 y ? x 得 ?1 ? .( x ? 5) ?x
若 x ? 2 ,则 x 2 ? x ? x ? 0 或 x ? 1 ,若 2 ? x ? 5 ,则 2 x ? 3 ? x ? x ? 3 ,若 x ? 5 ,显

1 然 ? x ,故满足题意的 x 值有0,1,3,故选 C. x
7.如图示,点 P 在半圆 C 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 上,过圆心 C 作直线的垂线,垂足为 A,则 | PQ |min ?| CA | ?2 ? 5 ? 2 ,故选 C.

y x-2y-6=0 x A

o

C

8.由 P( A) 的定义可知①、④正确,又若 A ? B ? ?, 则 P( A) ? P( B) ? {?} ,设 n( A) ? n, 则 n( P( A)) ? 2 , 所以②错误,⑤正确,故选 B。
n

二、填空题:9. 3 ;10.15、0.0175;11.

2 3 1 ? ;12.-3;13. ;14. (1,3); 15. . 3 2 6

解析: 10.由直方图可知, 这100辆机动车中属非正常行驶的有 (0.0025+0.005) ? 20 ?100=15 (辆) ,x 的值= [1 ? (0.0025 ? 0.0050 ? 0.0100 ? 0.0150) ? 20] ? 20 ? 0.0175 . 11.由 (3a ? 2b) ? a 得 (3a ? 2b) ? a ? 3 | a |2 ?2a ? b ? 0

?

?

?

?

? ?

?

? ?

? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? 3 3 ? 3 ? ? ? ?? a, b ?? . ? a ? b ? | a |2 ? ?| a | ? | b | cos ? a, b ? , cos ? a, b ?? 2 6 2 2 2 3
12. 设 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d , 由 a1a2 ? ?2 得 a1 (a1 ? d ) ? ?2 ? d ? ?

2 ? a1 , 则 a1

4 a3 ? a1 ?2 d ? ? ( a1

?a , 因 a1 ? 0, 故 1)

4 4 4 ? a1 ? 2 ? a1 ? 4 , 当 且 仅 当 ? a1 , 即 a1 a1 a1

a1 ? 2 “=”成立,这时 a3 取得最大值,由 a1 ? 2 得 a2 ? ?1 ,所以 d ? ?3 。
13.如右图,使 | x ? 5 | ? | y ? 3 |? 4 是图中阴影部分,故所求的概率
1

1 ( 1+4) ?3 S阴影 4 ? 2 ? 1 P? = = 60 60 2
14.把直线 l 的参数方程化为普通方程得 2 x ? y ? 5 ,把曲线 C 的参数方程化为普通方程得

? y ? 1 ? 2 x 2 ( ?1 ? x ? 1) 解得交点坐标为(1,3) 【或将 y ? 1 ? 2 x (?1 ? x ? 1) ,由方程组 ? ?2 x ? y ? 5
2

曲 线 C 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 得 y ? 1 ? 2 x (?1 ? x ? 1) 后 将 ?
2

? x ? 1? t 代入解得 ? y ? 3 ? 2t

】 t ? 0 ,进而得点坐标为(1,3) 15 . ? DE 为 OB 的 中 垂 线 且 OD=OB , ? ?OBD 为 等 边 三 角 形 , ?COD ? 600 ,

OD ?

2 3 4 3 2 3 2 3 , BC ? OC ? OB ? ? ? . 3 3 3 3

三.解答题: 16.解: (1)由 sin x ? 0, 解得 x ? k? ( k ? Z ) , 所以函数 f ( x ) 的定义域为 { x | x ? k? ( k ? Z )} ------------------------2分

? f ( x) ?
4分

sin 2 x ? ? ? ? 2sin x ? 2cos x ? 2sin x ? 2 2(sin cos x ? cos sin x) ? 2 2 sin( ? x). --sin x 4 4 4

? f ( x ) 的最小正周期 T ?

2? ? 2? -----------------------------------6分 1

(2)解法1:由 f (? ) ? 2 ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2cos ? sin ? ? 0, ---------------------8分

?? ?[0, ? ] 且 sin ? ? 0 ,?? ?
∴ f (? ?

?
2

. ------------------------------------10分

? ? 5? ) ? 2 2 sin( ? ? ? ) ? 2 2 sin ? 2. ------------------------------------12分 12 4 12 6

?

解法2:由 f (? ) ? 2, ? ?[0, ? ], 得 sin ? ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? sin ? , 代入 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? (1 ? sin ? ) ? 1 ? 2sin ? (sin ? ? 1) ? 0 ,-----8分
2 2

? sin ? ? 0
∴ f (? ?

∴ sin ? ? 1,又?? ? [0, ? ] ,?? ?

?
2

. ---------------------------------10分

?
12

? ? 5? ) ? 2 2 sin( ? ? ? ) ? 2 2 sin ? 2. ------------------------------------12分 4 12 6

17.解:设 Ai 表示事件“此人于2月 i 日到达该市”( i =1,2,…,12).

2

依题意知, P ( Ai ) ?

1 ,且 Ai ? Aj ? ?(i ? j ) .---------------------------------------2分 12

(1)设 B 为事件“此人到达当日空气质量重度污染”,则 B ? A1 ? A2 ? A3 ? A7 ? A12 , 所以 P( B) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A7 ? A12 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A7 ) ? P( A12 ) ? 即此人到达当日空气质量重度污染的概率为

5 . 12

5 .--------------------------------------5分 12

(2)由题意可知, ? 的所有可能取值为0,1,2,3且------------------------------------6分

P( ? =0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)= P( ? =2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =

3 1 ? ,-------------------7分 12 4

2 1 ? ,-------------------------------8分 12 6 2 1 P( ? =3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) = ? ,-------------------------------9分 12 6 1 1 1 5 P( ? =1)=1-P( ? =0)-P( ? =2)-P( ? =3)= 1 ? ? ? ? ,--------------10分 4 6 6 12 5 (或 P( ? =1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)= ) 12
所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 4

5 12

1 6

1 6

-----------------------------------------------------------------11分

故 ? 的期望 E? ? 0 ?

1 5 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .-------------------------------12分 4 12 6 6 4

S

18. (1)将侧面 SAB 绕侧棱 SA 旋转到与侧面 SAD 在同一平面内,如右图示, 则当 B、P、H 三点共线时, PB ? PH 取最小值,这时, PB ? PH 的 最小值即线段 BH 的长,--------------------------------------------1分
P H

设 ?HAD ? ? ,则 ?BAH ? ? ? ? , 在 Rt ?AHD 中,∵ AH ?

B

A

D

SA ? AD 2 AH 2 ? ? ,∴ cos ? ? ,--------------------2分 SD AD 5 5

在三角形 BAH 中,有余弦定理得:

BH 2 ? AB 2 ? AH 2 ? 2 AB ? AH cos(? ? ? ) ? 1 ?

4 2 2 17 ? 2? ? (? )? 5 5 5 5

3

∴ ( PB ? PH ) min ? BH ?

85 .------------------------------------------------------------4分 5

(2)证明:∵SA⊥底面 ABCD,∴SA⊥BC,又 AB⊥BC, ∴BC⊥平面 SAB,又 EA ? 平面 SAB,∴EA⊥BC,-------------------------------6分 又∵AE⊥SB,∴AE⊥平面 SBC ,-------------------------------------------------------7分 又 EK ? 平面 SBC,∴EA⊥EK, -------------------------------------------------------8分 同理 AH⊥KH,∴E、H 在以 AK 为直径的圆上---------------------------------------9分 (3)方法一:如图,以 A 为原点,分别以 AB、AD、AS 所在的直线为 x、y、z 轴,建立空间 直角坐标系如右图示,----------------------------------------------------------------------------10分 则 S(0,0,2) ,C(1,1,0) ,由(1)可得 AE⊥SC,AH⊥SC,∴SC⊥平面 AEKH,

??? ? SC ? ( 1 ,1 , ? 2 ) 为平面 AEKH 的一个法向量,-------------------11分

??? ? AS ? ( 0 , 0 , 2 ) 为平面 ABCDF 的一个法向量,-------------------12分
设平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的平面角为 ? , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AS ? SC | 4 6 ----------------13分 则 cos ? ?| cos ? AS ? SC ?|? ??? ? ??? ? ? ? . 3 | AS | ? | SC | 2 6

∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值

6 ---14分 3

【方法二: 由 ?SAB ? ?SAD 可知 又∵ EH ? 面 AEKH,

SE SH ,故 EH / / BD , ? SB SD

BD ? 面 AEKH, ∴ BD / / 面 AEKH. ------------------------10分
设平面 AEKH ? 平面 ABCD=l,∵ BD / / 面 AEKH, ∴ l / / BD -------------------------------------------------------------11分 ∵BD⊥AC,∴ l ⊥AC, 又 BD⊥SA,∴BD⊥平面 SAC,又 AK ? 平面 SAC, ∴BD⊥AK, ∴ l ⊥AK, ∴ ?CAK 为平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的一个平面角,--------------13分

cos ?CAK ? cos ?CSA ?

2 6 ? 3 6

4

∴平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为

6 .------------------------14分】 3

2 2 19.解: (1)由 an ? (n2 ? n ? 1) an ? ( n2 ? n) ? 0 ,得 ? ? an ? (n ? n) ? ? (an ? 1) ? 0 . ---------2分

由于 ? an ? 是正项数列,所以 an ? n 2 ? n .---------------------------------3分 由 2Sn ? 1 ? bn 可得当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? 1 ? bn ?1 ,两式相减得 bn ? ?bn ?1 ,------------5 分 ∴数列 {bn } 是首项为1,公比 ?1 的等比数列,? bn ? (?1) n ?1. ----------------------------------7分 (2)∵ cn ?

(2n ? 1)bn 2n ? 1 ---------------------------------8分 ? (?1) n ?1 ? an n(n ? 1)

方法一:∴ c2 n ?1 ? c2 n ?

4n ? 1 4n ? 1 (4n ? 1)(2n ? 1) ? (4n ? 1)(2n ? 1) ? ? 2n(2n ? 1) 2n(2n ? 1) 2n(2n ? 1)(2n ? 1)

?

2 1 1 --------------------------------------------------------------11分 ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 ?T2 n ? (c1 ? c2 ) ? (c3 ? c4 ) ? ? ? (c2 n?1 ? c2 n ) ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 1 ? 1? ? 1. ---------------------------------------------------------------------------------------14分 2n ? 1
【方法二:∵ cn ?

(2n ? 1)bn 2n ? 1 1 1 ? (?1) n ?1 ? ? (?1) n ?1 ? ( ? ) -----------------11分 an n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 ?T2 n ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? c2 n?1 ? c2 n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? 1 2 2 3 3 4 4 5 ?( 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? 1? ? 1. ----------------------------------------------14分】 2n ? 1 2 n 2n 2n ? 1 2n ? 1

20.解:(1)依题意知:椭圆的长半轴长 a ? 2 ,则 A(2,0), 设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 -----------------------2分 4 b

由椭圆的对称性知|OC|=|OB| 又∵ AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC| ∴AC⊥BC,|OC|=|AC| ∴△AOC 为等腰直角三角形, ∴点 C 的坐标为(1,1),点 B 的坐标为(-1,-1) ,---------------------4分 将 C 的坐标(1,1)代入椭圆方程得 b2 ?

4 3

∴所求的椭圆 E 的方程为

x2 3 y 2 ? ? 1 ----------------------------------------------5分 4 4

(2)解法一:设在椭圆 E 上存在点 Q,使得 | QB |2 ? | QA|2 ? 2 ,设 Q( x0 , y0 ) ,则

5

| QB |2 ? | QA|2 ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ? ? x0 ? 2 ? ? y0 2 ? 6 x0 ? 2 y0 ? 2 ? 2.
2 2 2

即点 Q 在直线 3x ? y ? 2 ? 0 上,-----------------------------------------------------------7分 ∴点 Q 即直线 3x ? y ? 2 ? 0 与椭圆 E 的交点, ∵直线 3x ? y ? 2 ? 0 过点 (

2 2 ,0 ) ,而点椭圆 ( ,0 ) 在椭圆 E 的内部, 3 3

∴满足条件的点 Q 存在,且有两个.------------------------------------------------------9分 【解法二:设在椭圆 E 上存在点 Q,使得 | QB |2 ? | QA|2 ? 2 ,设 Q( x0 , y0 ) ,则

| QB |2 ? | QA|2 ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ? ? x0 ? 2 ? ? y0 2 ? 6 x0 ? 2 y0 ? 2 ? 2.
2 2 2

即 3x0 ? y0 ? 2 ? 0 ,--------①-------------------------------------------------7分
2 2 又∵点 Q 在椭圆 E 上,∴ x0 ? 3 y0 ? 4 ? 0 ,-----------------②
2 ? 9 x0 ? 2 ? 0 ,-----③ 由①式得 y0 ? 2 ? 3x0 代入②式并整理得: 7 x0

∵方程③的根判别式 ? ? 81 ? 56 ? 25 ? 0 , ∴方程③有两个不相等的实数根,即满足条件的点 Q 存在,且有两个.---------------9分】 (3)解法一:设点 P( x1 , y1 ) ,由 M、N 是 ? O 的切点知, OM ? MP,ON ? NP , ∴O、M、P、N 四点在同一圆上,------------------------------------------10分 且圆的直径为 OP,则圆心为 ( 其方程为 ( x ?

x1 y1 , ), 2 2

x1 2 y x 2 ? y12 ) ? ( y ? 1 )2 ? 1 ,------------------------------11分 2 2 4

即 x 2 ? y 2 ? x1 x ? y1 y ? 0 -----④ 即点 M、N 满足方程④,又点 M、N 都在 ? O 上, ∴M、N 坐标也满足方程 ? O : x 2 ? y 2 ? ⑤-④得直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0, 得 m ? ∴ x1 ? ∴(

4 ---------------⑤ 3

4 ,------------------------------12分 3

4 4 ,令 x ? 0 得 n ? ,----------------------------------13分 3 y1 3 x1

4 4 ,又点 P 在椭圆 E 上, , y1 ? 3m 3n

4 2 4 1 1 3 ) ? 3( )2 ? 4 ,即 2 ? 2 ? =定值.-----------------------------------14分 3m 3n 3m n 4
6

【解法二:设点 P( x1 , y1 ),M( x2 , y2 ),N( x3 , y3 ), 则 k PM ? ?

1 kOM

??

x2 ,----------10分 y2

直线 PM 的方程为 y ? y2 ? ?

x2 4 ( x ? x2 ), 化简得 x2 x ? y2 y ? , --------------④ y2 3

同理可得直线 PN 的方程为 x3 x ? y3 y ?

4 ,---------------⑤-------------------11分 3

4 ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 3 把 P 点的坐标代入④、⑤得 ? 4 ?x x ? y y ? 1 3 1 3 ? 3 ?
∴直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0, 得 m ? ∴ x1 ? ∴(

4 ,------------------------------------------------------12分 3

4 4 ,令 x ? 0 得 n ? ,--------------------------------------------13分 3 y1 3 x1

4 4 ,又点 P 在椭圆 E 上, , y1 ? 3m 3n

4 2 4 1 1 3 ) ? 3( )2 ? 4 ,即 2 ? 2 ? =定值.---------------------------------------------14分】 3m 3n 3m n 4 4 4 ,即证 ln x ? ? 2 ? 0 ,--------------------1分 x ?1 x ?1

21.(1)证明:要证 f ( x) ? 3 ? 令 m( x) ? ln x ?

1 4 ( x ? 1) 2 4 ? ? 0. ------------3分 ? 2, 则 m?( x) ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 x ?1

∴ m( x) 在 (1, ??) 单调递增,? m( x) ? m(1) ? 0 ,

4 4 成立.----------------------4分 ? 2 ? 0 ,即 f ( x) ? 3 ? x ?1 x ?1 x ?1 (2)解法一:由 f ( x) ? x 且 x ? (1, e) 可得 a ? , ---------------------------------------5分 ln x ? ln x ?
令 h( x ) ?

x ?1 , h?( x) ? ln x

ln x ? 1 ? (ln x) 2

1 x , ---------------------------------------------------------6分

由(1)知 ln x ? 1 ?

1 1 4 ( x ?1) 2 ? 1? ? ? ? 0, -----------------------------------8分 x x x ? 1 x ( x ? 1)

? h?( x) ? 0, 函数 h( x) 在 (1, e) 单调递增,当 x ? (1, e) 时, h( x) ? h(e) ? e ?1,

?a ? e ?1 .----------------------------------------------------------9分

7

【解法二:令 h( x) ? a ln x ? 1 ? x ,则 h '( x) ?

a a?x ,-------------------5分 ?1 ? x x

当 a ? e 时, h '( x) ? 0 ,函数 h( x ) 在 (1, e) 上是增函数,有 h( x) ? h(1) ? 0 ,------6分 当 1 ? a ? e 时,∵函数 h( x ) 在 (1, a ) 上递增,在 (a, e) 上递减, 对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,只需 h(e) ? 0 ,即 a ? e ? 1.---------------7分 当 a ? 1 时,函数 h( x ) 在 (1, e) 上递减,对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,只需 h(e) ? 0 , 而 h(e) ? a ? 1 ? e ? 0 ,不合题意,-----------------------------------------------------------8分 综上得对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立, a ? e ? 1.------------------------9分】 【解法三:由 f ( x) ? x 且 x ? (1, e) 可得 由于

1 ln x ? , ---------------5分 a x ?1

ln x 表示两点 A( x, ln x), B(1, 0) 的连线斜率,-----------------6分 x ?1 ln x 由图象可知 y ? 在 (1, e) 单调递减, x ?1 ln x ln e 1 故当 x ? (1, e) 时, ? ? , --------------------------------8分 x ?1 e ?1 e ?1 1 1 即 a ? e ? 1-------------------------------------------------9分】 ?0 ? ? a e ?1
(3)当 a ?
n ?1 i ?2

n ?1 1 1 1 时, f ( x) ? ln x ? 1. 则 ? f (i ) ? ln(n ? 1)!? n , 2 2 2 i ?2
n ?1 i ?2

要证

?

f (i) ? 2(n ? 1 ? n ? 1) ,即证 ? ln i ? 2n ? 4 ? 4 n ? 1 --------------------10分
4 ,又 n?2

由(1)可知 ln(n ? 1) ? 2 ?

n ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2 n ? 1 ? n ? 1 ? n ,?
∴ ln(n ? 1) ? 2 ?

4 4 ? , -------------11分 n?2 n ?1 ? n

4 ? 2 ? 4( n ? 1 ? n ), n ?1 ? n

∴ ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln(n ? 1) ? 2n ? 4[( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n )]

=2n ? 4 ? 4 n ? 1 ,-------------------------------------------13分


? f (i) ? 2(n ? 1 ?
i ?2

n ?1

n ? 1) 得证.------------------------------------------14分

8


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