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2011级数学分析第1学期第1次测验2011-10


数学分析(Ⅰ)测验
题 号 满 分 得 分 一、填空题 (每小题 3 分,共 12 分) 一 12 二 12 三 12 四 10 五 36 六 10

2011.10.23
七 8 总 分 100

班级_______学号________姓名_______成绩___

1. 给出[0,1]到[0,1]的函数,使得它是双射,并且在[0,1]的任一子区间上都不是 单调函数: .

2. “数列{xn } 不满足 Cauchy 收敛准则”的肯定叙述为: . 3. “ 函数 f ( x) 当 x → ∞ 不是无穷大量”的肯定叙述为:
.

4. 设 xn =

1 nπ ,则 inf{xn } = + cos n+1 2

, sup{xn } =

.

二、单项选择题 (每小题 3 分,共 12 分) 5. 下列语句可以作为 lim x n = a 的等价定义的语句有
n →∞

…… (

)

(I) ?ε > 0, ?N ∈ Ν, ?n > N :| x n ? a |< Mε(M > 0) . (II) ?ε > 0, ?N ∈ Ν , ?n > N :| x n ? a |< ε 3 .
(III) ?ε (0 < ε < 1), ?N ∈ Ν , ?n > N :| x n ? a |< ε . (IV) ?ε > 0, ?N ∈ Ν , ?n > N : x n ? a < ε . (A)1 句 (B)2 句. (C)3 句. (D)4 句.

6. 考虑下列语句
ο

…… (

)

I.
II.

设 lim f ( x) = A ,若 ?δ > 0, 使得 ?x ∈ U (a, δ ) ,有 f ( x) > 0 ,则 A ≥ 0
x→a

设 lim f ( x) = A ,若 A ≥ 0 ,则 ?δ > 0, 使得 ?x ∈ U (a, δ ) ,都有 f ( x) ≥ 0 .
x→a

ο

(A) I 正确 II 不正确. (C) I 和 II 均正确.
n →∞

(B) I 不正确 II 正确. (D) I 和 II 均不正确.

7. 若 lim x n = a ,且 x n > 0, ?n ∈ Ν . 则下列结论错误的是:

…… (

)

共 6 页,第 1 页

(A) lim
n →∞

x n +1 = 1. xn

(B) lim | x n |=| a | .
n →∞

(C) lim

x1 + x 2 + ? + x n =a. n →∞ n
n →∞

(D) lim n x1 x 2 ? x n = a .

8. 当 x → 0 时, x 2 等价的无穷小量是; 与
(A) e2 x
2

…… (
(D) ln( x 2 + x + 1) .

)

+ x3

?1;

(B) cos x 2 ? 1 ;

(C) 1 + 2 x 2 ? 1 ;

三、 (每小题 6 分,共 12 分)判断下列命题是否正确。正确的请简单说明,错误 的请给出反例。 9. 若 {x n } 的任一子列均为无界数列,则 {x n } 必为无穷大量.

10. 若函数 f (x) 在 x = x 0 处左右极限均存在,则 f (x) 在 x = x 0 处的极限存在.

四、(本题共 10 分)

共 6 页,第 2 页

11.用“ ε ? δ ”定义验证: lim
x →3

x ?1 1 = . x +1 2

五、计算下列极限 (每小题 9 分,共 36 分)
12. lim
x→0

1? cos x . ln(1+ 3x 2 )

2 ? x2 ?x 13. lim ? cos x ? ? . x→0 2? ?

1

共 6 页,第 3 页

14. 设 a > 0 ,计算 lim n
n→∞

(

n

a ?1 .

)

15. 设 k > 1 常数, lim a n = a . 计算 lim
n →∞

k n an + k n?1an?1 +?+ a0 kn

n→∞

.

六、(本题共 10 分)
16. 设 x1 = 2, xn +1 =

1 (n ∈ N) ,证明:数列 { xn } 收敛,并求极限值. 2 + xn
共 6 页,第 4 页

七、(本题共 8 分) 17. 设数列 { xn } 满足 2 xn ≤ xn ?1 + xn +1,?n ≥ 2 . 证明:

共 6 页,第 5 页

(1) 若 x2 > x1 ,则数列 { xn } 是无界数列. (2) 若数列 { xn } 是有界数列,则 lim( xn ? xn ?1 ) = 0 .
n →∞

共 6 页,第 6 页


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