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2013届高考数学(理)一轮复习教案:第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第1讲 函数及其表示(人教A版)

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2013 届高考数学(理)一轮复习教案:第二篇 函数与基 本初等函数Ⅰ 第1讲
【2013 年高考会这样考】 1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法. 2.考查分段函数的简单应用. 3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查. 【复习指导】 正确理解函数的概念是学好函数的关键,函数的概念比较抽象,应通过适量练习 弥补理解的缺陷,纠正理解上的错误.本讲复习还应掌握:(1)求函数的定义域 的方法;(2)求函数解析式的基本方法;(3)分段函数及其应用.

函数及其表示

基础梳理 1.函数的基本概念 (1)函数的定义:设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于 集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做定义域,与 x 的值对 应的 y 值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合 B 的子集. (3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等; 这是判断两函数相等的依据. 2.函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法. 3.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于 集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么
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就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.

一个方法 求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: ①若 y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得 a<q(x)<b 即可求出 y=f(q(x))的定 义域;②若 y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域. 两个防范 (1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. (2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性. 三个要素 函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系 所确定的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函 数是特殊的映射,映射 f:A→B 的三要素是两个集合 A、B 和对应关系 f. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( A.(0,+∞) C.(1,+∞) 解析 ∵3x+1>1, ∴f(x)=log2(3x+1)>log21=0. 答案 A 2.(2011· 江西)若 f(x)= 1 ,则 f(x)的定义域为( 1 log2?2x+1? ? 1 ? B.?-2,0? ? ? D.(0,+∞) ). B.[0,+∞) D.[1,+∞) ).

? 1 ? A.?-2,0? ? ? ? 1 ? C.?-2,+∞? ? ?

1 解析 由 log2(2x+1)>0,即 0<2x+1<1, 1 解得-2<x<0. 答案 A
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).

3.下列各对函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=lg x2,g(x)=2lg x x+1 B.f(x)=lg ,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1) x-1 C.f(u)= 1+u ,g(v)= 1-u 1+v 1-v

D.f(x)=( x)2,g(x)= x2 答案 C 4.(2010· 陕西)某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当 各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数) 可以表示为( ?x? A.y=?10? ? ? ?x+4? ? C.y=? ? 10 ? ). ?x+3? ? B.y=? ? 10 ? ?x+5? ? D.y=? ? 10 ?

解析 根据规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表,即余数分别为 7、8、9 时可增选一名代表.因此利用取整函 ?x+3? ?.故选 B. 数可表示为 y=? ? 10 ? 答案 B 5. 函数 y=f(x)的图象如图所示. 那么, f(x)的定义域是________; 值域是________; 其中只与 x 的一个值对应的 y 值的范围是________.

解析 任作直线 x=a,当 a 不在函数 y=f(x)定义域内时,直线 x=a 与函数 y= f(x)图象没有交点;当 a 在函数 y=f(x)定义域内时,直线 x=a 与函数 y=f(x)的图 象有且只有一个交点. 任作直线 y=b,当直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有交点,则 b 在函数 y=f(x) 的值域内;当直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象没有交点,则 b 不在函数 y=f(x)的
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值域内. 答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5]

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[1,2)∪(4,5]

考向一 【例 1】?求下列函数的定义域: (1)f(x)= (2)f(x)= |x-2|-1 ; log2?x-1? ln?x+1? . -x2-3x+4

求函数的定义域

[审题视点] 理解各代数式有意义的前提,列不等式解得.



?|x-2|-1≥0, (1)要使函数 f(x)有意义,必须且只须?x-1>0, ?x-1≠1.

解不等式组得 x≥3,因此函数 f(x)的定义域为[3,+∞). ?x+1>0, (2)要使函数有意义,必须且只须? 2 ?-x -3x+4>0, ?x>-1, 即? 解得:-1<x<1. ??x+4??x-1?<0, 因此 f(x)的定义域为(-1,1). 求函数定义域的主要依据是 (1)分式的分母不能为零;(2)偶次方根的被开方式其值非负;(3)对数式中真数大 于零,底数大于零且不等于 1.

? 1 1? 【训练 1】 (2012· 天津耀华中学月考)(1)已知 f(x)的定义域为?-2,2?,求函数 y ? ? 1? ? =f?x2-x-2?的定义域; ? ? (2)已知函数 f(3-2x)的定义域为[-1,2],求 f(x)的定义域. 1 解 (1)令 x2-x-2=t,
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? ? ?? 1 1? 知 f(t)的定义域为?t?-2 ≤t≤2?, ?? ? ? ?

1 1 1 ∴-2≤x2-x-2≤2,
2 ?x≤0或x≥1, ?x -x≥0, 整理得? 2 ??1- 5 1+ 5 ?x -x-1≤0 ≤x≤ 2 , ? 2

?1- 5 ? ? 1+ 5? ?∪? ?. ∴所求函数的定义域为? 2 ,0? ?1, 2 ? ? (2)用换元思想,令 3-2x=t, f(t)的定义域即为 f(x)的定义域, ∵t=3-2x(x∈[-1,2]),∴-1≤t≤5, 故 f(x)的定义域为[-1,5]. 考向二 求函数的解析式

?2 ? 【例 2】?(1)已知 f?x+1?=lg x,求 f(x); ? ? (2)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式. [审题视点] (1)用代换法求解;(2)构造方程组求解. 2 2 解 (1)令 t=x +1,则 x= , t-1 ∴f(t)=lg 2 2 ,即 f(x)=lg . t-1 x-1

(2)x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x 代 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得 2 1 f(x)=3lg(x+1)+3lg(1-x),x∈(-1,1). 求函数解析式的方法主要有:(1)代入法;(2)换元法;(3)待定系数法; (4)解函数方程等. 【训练 2】 (1)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,试求 f(x) 的表达式. 1 (2)已知 f(x)+2f(x )=2x+1,求 f(x).
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解 (1)由题意可设 f(x)=ax2+bx(a≠0),则 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1 ?2a+b=b+1, 1 1 ∴? 解得 a=2,b=2. ?a+b=1, 1 1 因此 f(x)=2x2+2x.

?f?x?+2f?1?=2x+1, ?x? ? ? ? (2)由已知得? 1 2 ? ? ?f?x?+2f?x?=x+1, ?? ?
4+x-2x2 得 f(x)= . 3x

?1? 消去 f?x?, ? ?

考向三

分段函数

1-x ?2 ,x≤1, 【例 3】?(2011· 辽宁)设函数 f(x)=? ?1-log2x,x>1,

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( A.[-1,2]

).

B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞)

[审题视点] 对于分段函数应分段求解,最后再求其并集. ?x≤1, ?x>1, 解析 f(x)≤2?? 1-x 或? ?0≤x≤1 或 x>1,故选 D. ?2 ≤2 ?1-log2x≤2 答案 D 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题,关键抓住在不 同的段内研究问题,如本例中,需分 x≤1 和 x>1 时分别解得 x 的范围,再求其 并集. ?2x+a,x<1, 【训练 3】 (2011· 江苏)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a) ?-x-2a,x≥1. =f(1+a),则 a 的值为________. 解析 分类讨论: (1)当 a>0 时,1-a<1,1+a>1. 这时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;
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f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.

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由 f(1-a)=f(1+a),得 2-a=-1-3a, 3 解得 a=-2, 不符合题意,舍去. (2)当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 这时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a, 由 f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a, 3 解得 a=-4. 3 综合(1),(2)知 a 的值为-4. 3 答案 -4

阅卷报告 1——忽视函数的定义域 【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区 间,必须先求出函数的定义域.如果是复合函数,应该根据复合函数单调性的判 断方法, 首先判断两个简单函数的单调性,根据同增异减的法则求解函数的单调 区间.由于思维定势的原因,考生容易忽视定义域,导致错误. 【防范措施】 研究函数的任何问题时, 把求函数的定义域放在首位, 即遵循“定 义域优先”的原则. 1 【示例】? 求函数 y=log3(x2-3x)的单调区间. 1 错因 忽视函数的定义域,把函数 y=log3t 的定义域误认为 R 导致出错. 实录 设 t=x2-3x. 3 ∵函数 t 的对称轴为直线 x=2,

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3? ? ?3 ? 故 t 在?-∞,2?上单调递减,在?2,+∞?上单调递增. ? ? ? ? 1 ∴函数 y=log3(x2-3x)的单调递增区间 3? ? ?3 ? 是?-∞,2?,单调递减区间是?2,+∞?. ? ? ? ? 正解 设 t=x2-3x, t>0, x<0 或 x>3,即函数的定义域为(-∞,0)∪(3, 由 得 +∞). 3 函数 t 的对称轴为直线 x=2, 故 t 在(-∞,0)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增. 1 1 而函数 y=log3t 为单调递减函数,由复合函数的单调性可知,函数 y=log3(x2- 3x)的单调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(3,+∞).

【试一试】 求函数 f(x)=log2(x2-2x-3)的单调区间. [尝试解答] 由 x2-2x-3>0,得 x<-1 或 x>3,

即函数的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞). 令 t=x2-2x-3,则其对称轴为 x=1,故 t 在(-∞,-1)上是减函数,在(3,+ ∞)上是增函数. 又 y=log2t 为单调增函数. 故函数 y=log2(x2-2x-3)的单调增区间为(3,+∞),单调减区间为(-∞, -1).

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