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切线长定理(共33张PPT)_图文

新课学习

切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切 点的半径
几何应用:

.

O

∵L是⊙O的切线 , ∴OA⊥L

L A

切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线. 1.经过半径的外端; 2.与半径垂直. OA是⊙O的半径 几何应用: OA⊥l于A

.

O

L
A

l是⊙O的切线.

过圆外一点可以引圆的几条切线?
A

O。

P

B

尺规作图:
过⊙O外一点作⊙O的切线
A

O O ·

P

B

比一比
在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长。
A

O
· B P

B

切线与切线长是一回事吗?它们有什么区别与联 系呢? 切线:不可以度量。切线长:可以度量。

A
1 2

O B

P

思考:已知⊙O切线PA、PB,A、B 为切点,把圆沿着直线OP对折,你能 发现什么?

证一证
请证明你所发现的结论。 PA = PB
∠OPA=∠OPB
O B P

A 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点 ∴OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论

∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB

切线长定理 从圆外一点引 圆的两条切线, 它们的切线长 相等。 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B A

O B PA = PB

P

∠OPA=∠OPB

反思:切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法

试一试
若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得 B 出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB
O
M

P

A 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB

∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB

若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又 能得出什么新的结论?并给出证明.

CA=CB


B P

C

O

A 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC ∠OPA=∠OPB

探究:PA、PB是⊙O的两条切
线,A、B为切点,直线OP交于 E ⊙O于点D、E,交AB于C。 (1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (2)写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC (3)写出图中所有相等的线段 O

A
C D B

P

OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE

例题1
已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是 A、B,Q为AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交 PA、PB于E、F点,已知PA=12CM,求△PEF的 周长。 易证EQ=EA, FQ=FB, PA=PB

E Q P

A O B F

∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm

∴周长为24cm

变式:如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B,并与圆O的切线分别相交于 C、D,已知PA=7cm, (1)求△PCD的周长. (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
A D P ·O E

C

B

例题2
例2、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 圆⊙O分别相切于点L、M、N、P, C 求证: AD+BC=AB+CD N 证明:由切线长定理得 ∴AL=AP,LB=MB,NC=MCD , M DN=DP O P ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP B A L 即 AB+CD=AD+BC

补充:圆的外切四边形的两组对边的和相等.

想一想
A

反思:在解决有关圆的 切线长问题时,往往需 要我们构建基本图形。

O



P B

(1)分别连结圆心和切点
(2)连结两切点 (3)连结圆心和圆外一点

例题3
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长.

解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF=AE,BD=BF,CE=CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE=z(cm) 则有 x+ y = 9 y+z=14 x+z=13 x= 4 解得 y=5 z=9

∴ AF=4(cm), BD=5(cm),

CE=9(cm).

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC= a,AC=b, AB=c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求: Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解:设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F, 连结OD、OE、OF则OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD 设AD= x , BE= y ,CE= r 则有
D O F

变式

x+r=b y+r=a x+ y= c

·
E B

解得 r=

a+ b- c C
2

设Rt△ABC的直角边为a、b,斜边为c,则Rt△ABC的

内切圆的半径 r=

a+ b- c
2

或r= a+b+c

ab

思考:如图,AB是⊙O的直径, AD、DC、BC是切线,点A、E、B 为切点,若BC=9,AD=4,求OE的长.
C

C
E D A O B

E D
A ·O

F
B

例题讲解
例1、已知:P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的 切线,A、B为切点,BC是直径。 求证:AC∥OP A C O
D

P

B

课堂小结
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它 们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B

∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等,角 相等,弧相等,垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。

练习.如图,△ABC中,∠C =90?,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F,且BD=12,AD=8, 求⊙O的半径r. A
D

O
B

F

E

C

思考

三角形的内切圆的有关计算

如图,△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l, 求△ABC的面积S. A

解:设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF, 则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC +S△AOC
1 l· r 2

D

F O

·
C

B 1 1 1 = 2 AB· OD+ 2 BC· OE+ 2 AC· OF


E

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S, 2S 则△ABC的内切圆的半径 r= a+ b + c

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4, ⊙O为 Rt△ABC的内切圆. (1)求Rt△ABC的内切圆的半径 . (2)若移动点O的位置,使⊙O保持与△ABC的边AC、 BC都相切,求⊙O的半径r的取值范围。

解:(1)设Rt△ABC的内切圆与三边相
切于D、E、F,连结OD、OE、OF则 OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 在Rt△ABC中,BC=3,AC=4, ∴AB=5 ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD

A

F D O

·
B

C E 由已知可得四边形ODCE为正方形,∴CD=CE=OD

设AD= x , BE= y ,CE= r x+r=4 则有 y+r=3 解得 r=1 ∴ Rt△ABC的内切圆的 半径为1。 x+ y= 5

(2)如图所示,设与BC、AC相切的最大圆与BC、 AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC A 为正方形。

∴OB=BC=3 ∴半径r的取值范围为0<r≤3
D O ·

几何问题代数化是 解决几何问题的一 种重要方法。

C

B

基础题:
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是正方形 ______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 22cm 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O 2cm 于P点,交AB、BC于E、F,则△BEF的周长是_____.

G E

F H

下课了!


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