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二次函数与一元二次方程(1)说课课件


北师大版数学说课课件
九下第二章第8节
《二次函数与一元二次方程》

贵州省织金县第四中学:卢凤员

? 尊敬的各位领导,各位专家,各位老师,大家上 午好! ? 我是来自贵州省织金县第四中学的卢凤员。非常 高兴能有机会向在座的领导、专家、老师学习, 不当之处,敬请多多指导。我说课的题目是《二 次函数与一元二次方程》第一课时。我主要从以 下几个方面对我的教学设计进行说明。

? (一)地位与作用:
? 《二次函数与一元二次方程》是初中数学 北师大版九年级下册第 二章第八节。在此 之前,学生已学习了一元二次方程和二次 函数的相关知识,这为过渡到本节的学习起 着铺垫作用。学习了这节课后让学生感受 到实际生活中处处有数学。

(二)、 教学目标:
? ?

?
? ? ? ? ?

1 、知识与技能: 理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的 关系, 理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没 有实根. 理解一元二次方程的根就是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 与轴 x交点的横坐标. 2 、过程与方法: 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养 学生的探索能力和创新精神 通过观察二次函数与x 轴交点的个数,讨论一元二次方 程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想. 3 、情感态度与价值观: 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验 数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数 学结论的确定性.感受数学与生活的紧密联系

(三)、 教学重点、难点
? 重点:
? 体会方程与函数之间的联系. ? 理解一元二次方程的根就是二次函数与 y ? ax2 ? bx ? c 与X轴 交点的横坐标.

? 难点:
? 探索方程与函数之间的联系的过程. ? 理解二次函数图像与x 轴交点的个数与一元二次方程的根 的个数之间的关系.

讨论探索、实例探究的方法进行教学

采用合作交流的学习方法。

情景引入 探究新知 巩固练习 课时小结

课后作业 评价反思

创设情景、引出新课
一次函数与一元一次方程有着密切的关系,那 么二次函数又与哪一种方程相关呢?

请问:y=ax2+bx+c的函数值为零时的x值 与方程ax2+bx+c=0的根有什么关系呢?
本节课我们就通研究方程的根与函数图像与x轴 的交点的关系从而得出相应的方程与函数之间的关系

?、复习提问
? 一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴的交点的 横坐标与一元一次方程kx+b=0(k≠0)的 解有什么关系。 (让同学们一齐回答)。

?(通过复习一次函数y=kx+b(k≠0)与x
轴的交点的横坐标与一元一次方程
kx+b=0(k≠0)的解关系类比引出新课)

活动目的:
? 复习提问是为了让学生进行类比,进一步 思考,带着问题进入下环节,有利于激起 学生求知欲,顺利地进入新知探究。

二、探究新知
? 1、学生回答后,紧接着提问:那么,
二次函数和一元二次方程又有什么关系呢?

? (通过提问的形式,让同学们带着问 题去学习新知识,激发学生的学习兴 趣)

我们来研究y=ax2+bx+c的函数值为零时 的x值与方程ax2+bx+c=0的根关系,研究方 程的根与函数图像与x轴的交点的关系。
y

x1 o

x2

x

从图像上可以看出x1、x2就是函数图像与x轴 的交点的横坐标,也就是函数值为零时即 ax2+bx+c=0的根。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a ? 0 )求根公式
x1,2 ?b ? b ? 4ac ? 2a
2

当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实根; 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实根; 当b2-4ac<0时,方程没有实根.

二次函数 y=ax2+bx+c 图像有6种情况如下:
a>0

a<0

以开口向上(a>0)的三种为例:

b 2 4ac ? b 2 由y=ax2+bx+c (a>0)可得 y ? a( x ? ) ? 2a 4a

4ac ? b ?0 4a
2

4ac ? b ?0 4a
2

4ac ? b 2 ?0 4a
b2-4ac<0

因为a>0 所以: b2-4ac>0 b2-4ac=0

小组合作实例探究
?二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.

y=x2+2x

y=x2-2x+1

y=x2-2x+2

?(1).每个图象与x轴有几个交点? 交点 一元二次方程 ?(2).一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下一 元二次方程x2-2x+2=0有根吗? ?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 二次函数 ax2+bx+c=0的根有什么关系?

二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点?

一元二次方程x2+2x=0 有几个根? 解:x(x+2)=0 x=0或x+2=0 ∴ x1=-2,x2=0

二次函数y=x2-2x+1 的图象与x轴有几个交点?

一元二次方程x2-2x+1=0 有几个根?

通过实例让学生 合作交流、探索函 数与方程的关系。
二次函数y=x2-2x+2 一元二次方程x2-2x+2=0 的图象与x轴有几个交点? 有几个根? 解:∵△=(-2)2-4×1×2
=-4﹤0 ∴ 原方程无实根

解: (x-1)2=0 ∴ x1=x2=1 与x轴有1个交点: (1,0)

方程的根是1

与x轴有2个交点: (-2,0)和(0,0)

方程的根是-2和0

与x轴没有交点

没有实数根

课堂点睛
?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情 况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就 是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.

课堂点睛
?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax 2+bx+c的 图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax 2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次方程ax 2+bx+c=0 根的判别式Δ =b 2-4ac b 2-4ac > 0 b 2-4ac = 0 b 2-4ac < 0

通过归纳得出结论:
当a>0时,方程ax2+bx+c=0的根 与函数y=ax2+bx+c的图象之间的关系
△=b2-4ac ax2+bx+c=0 (a>0)
x1,2

△>0

△=0
b

△<0 方程无实数根
y x o x

?b ? b 2 ? 4ac x1 ? x2 ? ? ? 2a 2a

y y

y=ax2+bx+c (a>0)

.

o

.

x

o

当a<0时,方程ax2+bx+c=0的根与函 数y=ax2+bx+c的图象之间的关系又如 何?请同学类比a>0的情况下去进行探 究。 ? 因为本节课是在学生学习了二次函数和一 元二次方程的基础上来进行二次函数与一 元二次方程之间的关系的学习。通过学生 在解方程的根和作出二次函数的图像从图 像上得出与X轴的交点的坐标后,学生进行 交流讨论、归纳总结得出结论。从而达到 过程与方法目标,

例题讲解 巩固提升
例:


求二次函数图象与X轴交点的坐标:

y ? ( x ? 1) ? 9
2



y=a(x-2)(x+5)



y ? x ? 2x ? 3
2

建立数学模型解决实际问题1

我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运 动时间t(s)的关系可用公式 h=-5t2+v0t+h0表示,其 中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度。 一个小球从地面以 40m/s 的速度竖直向上抛出起, 小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示, h 那么: 100 (1)h和t的关系式是什? 80 (2)小球经过多少秒后落 60 40 地?你有几种求解方法?与同伴 20 进行交流。
0
2

4

6

8

t

(3)何时小球离地面的高度是60m?你是如何 知道的?

通过师生共同完成以上例题,从而使 学生能进一步的理解和掌握二次函数与x轴 的交点与一元二次方程的根的关系,以此 达到知识与技能目标。

建立数学模型实际问题2

一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)可以用公式h=- 4.9t2+19.6t 来表示。其中t(s)表示足球被踢出后经过的间。
(1)t=1时,足球的高度是多少? (2)t为何值时, h最大? (3)球经过多长时间球落地? (4)方程-4.9t2+19.6t=0的根的实际意义是什么?你能在图上表示吗? (5)方程14.7=-4.9t2+19.6t 的根的实际意义是什么?你能在图上表示吗?

解:(1)t=1时,h=14.7 (2)∵h=-4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时,h最大 (3)对于h=-4.9t2+19.6t 球落地意味着h=0 即-4.9t2+19.6t=0,解得t1=0(舍去),t2=4 即足球被踢出后经过4s后球落地. (4) 方程-4.9t2+19.6t =0的根的实际意义是球离地和落地 的时间,图上表示为抛物线与x轴交点的横坐 标 。 (5)解方程 14.7=-4.9t2+19.6t 得t=1, t=3 表明球被踢出1秒和3秒时,离地面的高度都是14.7米 图上表示为抛物线与直线h=14.7 的交点的横坐标。

通过实际问题的解决2,让学生感受到 数学来源于生活,易于被学生接受。让学 生体会到数学与生活的联系,激起学生的学 习兴趣. 向学生渗透事物之间既有联系又有区别的辩 论唯物主义观点。从而达到情感目标。

知识升华
一元二次方程x2-4x+4=2的根与二次函数y=x2-4x+4的图 象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来。
y

y=x2-4x+4

2 1 0

M

N

Y=2

1

2

3

x

通过本题检查学生对知识理解、掌握以及应用能力

巩固练习

1、方程 x ? 6 x ? 8 ? 0 的根是 X=2,4 ; 2 则函数 y ? x ? 6 x ? 8 的图象与x轴的交点 有 2 个,其坐标是 (2,0)、(4,0) . 2、方程 ? x 2 ? 12 x ? 36 ? 0 的根是 x1 ? x2 ? 6 ; y ? ? x 2 ? 12 x ? 36 的图象与x轴的交点 则函数 有 1 个,其坐标是 (6,0) . 3、下列函数的图象中,与x轴没有公共 点的是( D ) 2 2 ( B) y ? x ? x ( A) y ? x ? 2
2

( D) y ? x 2 ? x ? 2 (C ) y ? ? x ? 6 x ? 9
2

? 通过练习加深学生对知识的理解和掌握.
老师了解不同层次的学生对本节课的知识点学习 情况,以便对学生作进一步学习指导.

内容小结
1、你今天这节课有什么收获呢? 2、二次函数与一元二次方程的关系,体现了 “数形
结合” 这一重要的数学思想方法。 也启示我们只要 善于观察和思考,就能发现事物之间的各种联系,去 探索科学的奥秘。

以学生谈自己的收获为主,不仅可以强化 本节课主要内容,还可以培养学生的语言表达 能力。教师加以鼓励,激发学生积极主动学习 兴趣。

五、布置作业
必做题:习题2.9 第1题 第2题 选做题:习题2.9 第3题 设置必做题和选做题, 让不同层次的学生都 学有所获。从而达到 知识的巩固与加深

六、课后评价与反思: 本节课教学注重培养学生的自主探究学习 能力,利用计算机作辅助教学,为学生营造轻 松的学习氛围,旨在调动学习的学习积极性和 主动性。体现课堂上学生的主体、教师的主导 地位。同时 在探索过程中,学生回答时,通过 语言、目光等给矛鼓励和表扬,发挥课堂评价 的积极作用。

敬请各位专家、领导、同仁多多指导!

谢 谢!

欢 迎 各 位 领 导 同 仁 到 织 金 做 客 !


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