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甘肃省张掖市2015年高三4月诊断考试数学文试卷


张掖市高三年级 2015 年 4 月诊断考试 数学(文科)试卷
命题人:临泽一中 张自鹤 审题人:临泽一中 魏正清 终审人:山丹一中 钟丽娟

第 I 卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集是实数集 R, M ? {x|?2 ? x ? 2} , N ? {x| x ? 1} ,则 (CR M ) ? N ? ( A. {x| x ? ?2} 2.复数 z ? B. {x|?2 ? x ? 1} C. {x| x ? 1} D. {x|?2 ? x ? 1} ) D.第四象限 ) )

2?i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( 2?i
B.第二象限 C.第三象限

A.第一象限

3.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q ) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q ) 是假命题

4.某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的 函数是( ) A. f ( x) ? x 2 C. f ( x) ? e x B. f ( x) ? sin x D. f ( x) ?

1 x

? x ? y ? 3 ? 0, ? 5.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大 ? x ? 3, ?
值为( A.21 ) B.15 C.-3 D.-15 )

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( 6.已知实数 1, m,4 构成一个等比数列,则圆锥曲线 m
A.

2 2

B. 3

C.

2 或 3 2

D.

1 或3 2


7.某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积是( A. 4 B.

8 3 4 C. 2 D. 3 8. 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 边 的 长 分 别 为 a, b, c , 若
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b ? c ? 2a,3sin A ? 5sin B ,则角 C =(
A.

) C.

?
3

B.

3? 4
2

5? 6
2

D.

2? 3
)

9.直线 y ? 1 ? k ?x ? 3? 被圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 所截得的最短弦长等于( A.

3

B. 2 3

C.

2 2

D.

5

10.将函数 y ? sin( x ? 移

?
6

) 图像上各点的横坐标缩短到原来的

? 个单位,那么所得图像的一条对称轴方程为( ) 3 ? ? ? ? A. x ? ? B. x ? ? C. x ? D. x ? 2 4 8 4 2 y 2 ? 1的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 到 x 11.已知双曲线 x ? 2
轴的距离为( A. ) B.

1 倍(纵坐标不变) ,再向右平 2

4 3

5 3

C. 3

D.

2 3 3

?1 ? x ? 1, x ? 1 12.已知 f ( x) ? ? 4 函数则方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同的实根时, 实数 a 的取值 ? ?ln x, x > 1
范围是(注:e 为自然对数的底数) ( A. ? 0, ? ) C. ? 0, ? 4

? ?

1? e?

B. ? , ?

?1 1 ? ?4 e ?

? ?

1? ?

D. ?

?1 ? ,e? ?4 ?

第 II 卷(共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

3 ,则 cos 2? =______ 3

_____. .

14.在 ?ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB ? BC ? 1 ,则 BC ?
2

15.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若 线段 AB 的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为_________. 16.已知函数 f ( x) ? 2 且 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,其中 g ( x) 为奇函数, h( x) 为偶函数,若
x

不等式 2a ? g ( x) ? h(2 x) ? 0 对任意 x ? [1,2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是
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.

三、解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中 a3 ? 7 ,其前 n 项和 Sn ? pn2 ? 2n, n ? N * 。 (I)求 p 的值及 an ; (Ⅱ)在等比数列 ?bn ? 中, b3 ? a1 , b6 ? 4a10 ? 3 ,若等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . 求证:数列 ?Tn ? ? 为等比数列. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥中 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,

? ?

1? 6?

P

?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点.
(I)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ;

D

C
B

Q
A

(II )若平面 PAD ? 平面 ABCD , PA ? PD ? AD ? 2 ,点 M 在线段 PC 上, 且

PM ? 2 MC ,求四棱锥 P ? ABCD 与三棱锥 P ? QBM 的体积之比.
19.(本小题满分 12 分) 为了了解某学段 1000 名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干 学生的百米成绩,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将成绩按如 下方式分成五组:第一组[13,14) ;第二组[14,15) ; ??;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如右 图所示,已知图中从左到右的前 3 个组的频率之比为 3∶8∶19, 且第二组的频数为 8. (1)将频率当作概率,请估计该学段学生中百米成绩在[16,17) 内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数(精确到 0.01 秒) ; (2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率. 20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 6 6 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1, ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点(1, ). a b 3 3
(1)求椭圆 C 的方程;

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第3页 总4页

(2) 设与圆 O : x 2 ? y 2 ?

3 相切的直线 L 交椭圆于 A,B 两点, M 为圆 O 上的动点, 求 ?ABM 4
y

面积的最大值,及取得最大值时的直线 L 的方程.

A M O B x

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? 1)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
2 x

(Ⅰ)若曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 4e ,求切线方程; (Ⅱ)试求 f ( x ) 的单调区间并求出当 a > 0 时 f ( x ) 的极小值. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图: AB 是⊙ O 的直径, C 是弧 BD 的中点,

CE ? AB ,垂足为 E , BD 交 CE 于点 F .
(Ⅰ)求证: CF ? BF ; (Ⅱ)若 AD ? 4 ,⊙ O 的半径为 6,求 BC 的长. 23.(本小题满分 10 分) 《选修 4—4:参数方程选讲》 在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 , 已知

P 点的极坐标为 (4 3, ) , 曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 +4 3? sin ? ? 4 . 6
(1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程; (2)若 Q 为 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l : ?

?

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)距离的最大值. ? y ? ?2 ? 2t

24.(本小题满分 10 分) 《选修 4—5:不等式选讲》 已知函数 f ( x) ? x ? 1 (1) 若 f ( x) ? f ?1 ? x ? ? a 恒成立,求 a 的取值范围; (2)若 a ? 2b ? 8 ,求证: ? f (a ) ? ? ? f (b) ? ? 5 .
2 2

张掖市 2015 年高三第四次诊断考试文科数学试卷

第4页 总4页

张掖市高三年级 2015 年 4 月诊断考试 文科数学参考答案
一、选择题 题号 1 答案 A 2 D 3 C 4 B 14. 5 B 6 C 7 A 8 D 9 C 10 A 11 D 12 B

二、填空题: 13. ? 三、解答题

5 3

3

15. x ? ?1

16. ? _ , ?? ? ? 12 ?

? 17

?

17.解析: (I)由题意可得: a3 ? S3 ? S2 ? 5 p ? 2 ? 7

? p ? 1 ? a1 ? S1 ? 3 ? 2d ? a3 ? a1 ? 4 , ? 公差 d ? 2
由此可得:

---------------------- 3 分 ---------------------- 5 分 ----------------------6 分

an ? 2n ? 1

(Ⅱ)由题意可得: b3 ? b1q2 ? a1 ? 3, b6 ? b1q5 ? 4a10 ? 3 ? 81 联立方程组解得: q ? 3 , b1 ?

1 3

--------------------8 分

? 数列 ?bn ? 是以 b1 ?

1 为首项,3 为公比的等比数列。 3

1 (1 ? 3n ) 1 1 1 1 ? Tn ? 3 ? (3n ? 1) ? Tn ? ? ? 3n ? ? 3n ?1 ------------------10 分 6 6 2 1? 3 6 1 Tn ? 1 1 6 ?3 又因为 T1 ? ? , 1 6 2 Tn ?1 ? 6
1 1? ? ? ?Tn ? ? 是以 为首项,3 为公比的等比数列。 2 6? ?
18.解析: (Ⅰ)? PA ? PD , Q 为 AD 的中点, ----------------12 分

P

? PQ ? AD ,

-----------------------1 分

又? 底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , 设 AB ? 2a, 则 AQ ? a ,从而 BQ ? 3a

D

C
B

Q
A

? AQ2 ? BQ2 ? AB2 ----------------4 分
张掖市 2015 年高三第四次诊断考试文科数学试卷 第5页 总4页

? BQ ? AD

----------------------------5 分

又 PQ ? BQ ? Q ? AD ? 平面 PQB ,又 ? AD ? 平面 PAD ,

? 平面 PQB ? 平面 PAD ;

----------------------------6 分

(Ⅱ)过点 M 作 MH / / BC 交 PB 于点 H. --------------------------7 分

? 平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , PQ ? AD
? PQ ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,
P

? PA ? PD ? AD ? 2, ? PQ ? BQ ? 3
1 1 ?VP ? ABCD ? PQ ? S菱形ABCD = ? 3 ? 2 ? 3=2 --------8 分 3 3 A ? PQ ? BC ,又 BQ ? AD, AD / / BC
D

C
B

Q

? BQ ? BC ,又

QB ? QP ? Q ,

? BC ? 平面 PQB ,又 MH / / BC , PM ? 2 MC ,
? MH ? 平面PQB
? MH PM 2 4 ? ? , BC ? 2 , ? MH ? BC PC 3 3 1 1 4 2 ?V p ?QBM ? VM ? PQB ? ? ? 3 ? 3 ? ? 3 2 3 3
---------------------------12 分 --------------------------10 分

?VP? ABCD:Vp?QBM ? 31 :

19.解析: (1)设前 3 组的频率依次为 3x,8 x,19 x ,则由题意可得:

3x ? 8 ? 19 x ? 1 ? 0.32 ? 0.08 ? 0.6 ,由此得: x ? 0.02 ? 第二组的频率为 0.16
第二组的频数为 8, ? 抽取的学生总人数为

???????1 分 ???????2 分

8 ? 50 人 ???????3 分 0.16

由此可估计学生中百米成绩在[16,17)内的人数 ? 0.32 ? 50 ? 16 人。?????4 分 设所求中位数为 m 由前可知第一组、第二组、第三组的频率分别为 0.06、016、0.38 则 0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5,解得 m=15.74

答: 估计学生中百米成绩在[16,17)内的人数为 16 人;所有抽取学生的百米成绩的中 位数为 15.74 秒。
张掖市 2015 年高三第四次诊断考试文科数学试卷

???????6 分
第6页 总4页

(2)记“两个成绩的差的绝对值大于 1 秒”为事件 A. 由(1)可知从第一组抽取的人数 ? 0.02 ? 3 ? 50 ? 3 人,不妨记为 a,b.c 从第五组抽取的人数 ? 0.08 ? 50 ? 4 人,不妨记为 1,2,3,4, ?????9 分

则从第一、五组中随机取出两个成绩有:ab,ac.a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b3,c1,c2,c3, c4,12,13,14,23,24,34 这 21 种可能; 其中两个成绩的差的绝对值大于 1 秒的来自不同的组,共有 12 种。

? P (A)=

12 4 ? 21 7

? 两个成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率为

4 . 7

?????12 分

2 ?1 ? 2 ?1 2 ? ? a 3b 20.解析: (1)由题意可得: ? ?c ? 6 ——————————————2 分 ? 3 ?a

a 2 ? 3, b 2 ? 1, ?

x2 ? y 2 ? 1 ————————————4 分 3
x?? 3 3 , ( S?ABM ) max ? 2 2 ——————5 分
y

(2)①当 k 不存在时,

②当 k 存在时,设直线为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)

? x2 2 ? ? y ?1 , (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6km ? 3m2 ? 3 ? 0 3 ? ? y ? kx ? m ?
x1 ? x2 ? ?6km 3m2 ? 3 x x ? 1 2 1 ? 3k 2 , 1 ? 3k 2 ——————————7 分
—————————8 分

A M O B x

d ? r ? 4m2 ? 3(1 ? k 2 )

| AB |? 1 ? k

2

?6km 2 12(m2 ? 1) 1 ? 10k 2 ? 9k 4 4k 2 ( ) ? ? 3? ? 3 ? 1? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 6k 2 ? 9k 4 1 ? 6k 2 ? 9k 4
4 ? 2, (k ? ? 3 取“=”) 3

? 3 1?

1 ? 9k 2 ? 6 k2

———————10 分

3 x ?1 hmax ? 2r ? 3 , ( S?ABM )max ? 3, y ? ? 3
张掖市 2015 年高三第四次诊断考试文科数学试卷 第7页 总4页

3 3 < 3 ? ( S?ABM )max ? 3, y ? ? x ?1 2 3 , ————————————12 分

? 21.解析: (Ⅰ) f ( x) ? (2ax ? 1)e ? (ax ? x ?1)e ? [ax ? (2a ? 1) x]e ,???1 分
x 2 x 2 x

? f ' (1) ? (3a ? 1)e ? 4e
? f (1) ? e
? ?

解得: a ? 1 ???????2 分

切点坐标为 (1, e)

切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ???????4 分

即所求切线方程为: 4ex ? y ? 3e ? 0 (Ⅱ)(1)当 a = 0 时,?

f ( x) ? ( x ?1)e x , f ' ( x) ? xex

? 当 x > 0 时, f ' ( x) > 0 ;当 x < 0 时, f ' ( x) < 0
f ( x) 的递减区间为 (??, 0] ,递增区间为 (0, ??) .???????6 分
(2) 当 a > 0 时, f ' ( x) ? [ax2 ? (2a ? 1)]e x ? [ x(ax ? 2a ? 1)]e x 令 f ( x) ? 0,
'

解得: x ? 0, x ? ?

2a ? 1 <0 a

当x?? 当?

2a ? 1 或 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 a

2a ? 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 a
2a ? 1 ,0] a ,

? f ( x) 的单调递减区间为 [?

单调递增区间为 ( ??, ?

2a ? 1 ) , (0, ??) a

???????8 分 ???????9 分

?

f ( x) 的极小值 ? f(0) ? -1
(3)当 ①若 ?

a < 0 时,令 f ' ( x) ? 0,

解得: x ? 0, x ? ?

2a ? 1 a

1 2a ? 1 ? a ? 0 ,当 x ? 0 或 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ; 2 a 2a ? 1 时, f ?( x) ? 0 . a

当0 ? x ? ?

? f ( x) 的单调递减区间为 (??, 0) , (
单调递增区间为 [0,? ②若 a ? ?

2a ? 1 , ?? ) ; a
???????10 分

2a ? 1 ]. a

1 1 2 x , f ?( x) ? ? x e ? 0 , 2 2
???????11 分

? f ( x) 的单调递减区间为 (??,??) .
③若 a ? ?

2a ? 1 1 ,当 x ? ? 或 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 2 a
张掖市 2015 年高三第四次诊断考试文科数学试卷 第8页 总4页

当?

2a ? 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . a 2a ? 1 ) , (0, ??) ; a
???????12 分 ????1 分

? f ( x) 的单调递减区间为 (??, ?
单调递增区间为 [?

2a ? 1 ,0] . a

22. 解析: (Ⅰ)证法一:连结 CO 交 BD 于点 M,如图 ∵C 为弧 BD 的中点,∴OC⊥BD 又∵OC=OB,∴RtΔ CEO≌RtΔ BMO ∴∠OCE=∠OBM 又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC ∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF

???? ??????2 分 ???????????3 分 ??????????4 分 ????5 分 D F O E B C

证法二:延长 CE 交圆 O 于点 N,连结 BN,如图???1 分 ∵AB 是直径且 CN⊥AB 于点 E. ∴∠NCB=∠CNB??????????????2 分 又∵C 为弧 BD 的中点 ∴∠NCB=∠CBD 即∠FCB=∠CBF?????????????4 分 ∴CF=BF??????????????????????5 分 (Ⅱ)∵O,M 分别为 AB,BD 的中点 ∴ OM ? ∴∠CBD=∠CNB??3 分 A

N

1 AD ? 2, ? OE ? 2, EB ? 4 2

????????7 分

在 Rt△COE 中, CE ? OC 2 ? OE 2 ? 4 2 ?????????????9 分 ∴在 Rt△CEB 中, BC ? CE 2 ? BD2 ? 4 3 ????????????10 分 23. 解析:(1) x ? ? cos? ? 6, y ? ? sin ? ? 2 3 ,

? 点 P 的直角坐标为 (6, 2 3)

???????????????2 分

由 ? 2 +4 3? sin ? ? 4 得: x2 ? y 2 ? 4 3 y ? 4, 即 x2 ? ( y ? 2 3)2 ? 16

? 曲线 C 的普通方程为: x2 ? ( y ? 2 3)2 ? 16 ??????????????5 分
(2)由 l : ?

? x ? 3 ? 2t 可得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 5 ? 0 ? y ? ?2 ? 2t
张掖市 2015 年高三第四次诊断考试文科数学试卷

??????6 分
第9页 总4页

由曲线 C 的普通方程: x2 ? ( y ? 2 3)2 ? 16 可设点 Q (4cos? , 4sin ? ? 2 3)

? 则点 M 坐标为 (2cos ? ? 3, 2sin ? )

???????????????7 分

? 点 M 到直线 l 的距离 d ?
当 cos(? ?

2cos ? ? 3 ? 2sin ? ? 5 2

2 2 cos(? ? ) ? 2 4 ???8 分 ? 2

?

?
4

) =-1 时, d 取得最大值 2 ? 2
???????????????10 分

? 点 M 到直线 l 距离的最大值为 2 ? 2 。

24. 解析:(1) f ( x) ? f ?1 ? x ? ? x ? 1 ? ? x ? x ? 1 ? x ? 1 ????????3 分

? f ( x)min ? 1
? a ?1
(2) 证明: ? f (a ) ? ? ? f (b) ? ? (a ? 1) ? (b ? 1)
2 2 2 2

????????5 分

[(a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ] ? (12 ? 22 ) ? [( a ? 1) ?1 ? (b ? 1) ? 2]2 ? ( a ? 2b ? 3) 2 ? 25 ????9 分

? (a ?1)2 ? (b ?1)2 ? 5
?

? f (a)? ? ? f (b)?
2

2

? 5 ????????10 分

张掖市 2015 年高三第四次诊断考试文科数学试卷

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张掖市高三年级 2015 年 4 月诊断考试数学(文科)试卷第 I 卷 (选择题
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