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2.1.2离散型随机变量的分布列


课题 教材 和学 情分 析

2.1.2 离散型随机变量的分布列

1. 教材分析:学生在高前面已学习了随机变量的有关知识,在此基础上 来学习本知识,学起来应该较容易。 2. 学情分析:172 班是理科重点班,基础稍好;174、178 班是理科平行 班,基础较差,大部分同学学习习惯不是很好,反应较慢。
●教学目标 (一)教学知识点 1.离散型随机变量的分布列、随机变量ξ 的取值范围及取这些值的概率、分布 列的两个基本性质. 2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概 率之和. 3.研究独立重复试验及相关的二项分布. (二)能力训练要求 1.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列. 2.能根据分布列求出某事件的概率. 3.培养学生的收集信息、分析问题和解决问题的实际应用能力. (三)德育渗透目标 通过离散型随机变量的分布列和独立重复试验及相关的二项分布列的学习, 使 学生了解社会、热爱人生、热爱生命、学会生存、学会审美、学会收集信息和处理 信息的能力, 培养学生爱国精神和为中华民族的伟大的复兴和崛起而发奋读书的意 识,培养学生刻苦钻研的坚强毅力的非智力因素,让他们树立自信心.

教学 目标 和教 学内 容

教学方法:主动建构式的教学方式——在教师的正确引导下,由学生已学过的有 教学 方法 和教 学手 段
关知识,如离散型随机变量ξ 的取值及所取的值对应的概率,让学生 积极主动地建构出离散型随机变量的分布列,由 n 次独立重复试验发 生 k 次的概率,主动建构二项分布这一重要的离散型随机变量的分布 列.

教学手段:多媒体课件 导 入 课件演示 设 计 教学 过程 新 课 设 计

Ⅰ.课题导入 同学们,上学期我们学习了概率知识,其中有这样的一个试验,(教师拿 出一枚硬币)抛掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率都是

1 (教师边说边演 2

示),上节课我们也讨论这个随机试验中的随机变量,我们可以规定正面向上

1

记为 0,反面向上记为 1,(板书 0,1 及概率

1 ,这时黑板上呈现 2

的形状 ) 这样我们把随机变量及相应的概率都一一列举出 来, 这就是我们今天这节课要学习的内容: 离散型随机变量的分布列(二)(板书 课题,左上角). Ⅱ.讲授新课 1.[师](教师放幻灯片 A),请同学们看这样的两个问题: 问题 1:抛掷一个骰子,得到的点数为ξ ,则ξ 的取值为 ,每一个ξ 所对应的概率是 .(用纸片遮住问题 2) [生](走到讲台上,边讲边写),ξ 的取值为 1,2,3,4,5,6(板书), 骰子各面向上的概率都是均等的,即等于

1 .于是就有任何一个随机变量的ξ 6

所对应的概率都是

1 . 6

点评: 这时学生就模仿老师讲课的姿势, 按刚才掷硬币正面向上所得概率 的表列一样写出:

写完后,学生高兴地回到座位上. [师]讲得很好,但上述表中有点问题,两行数字,哪一行是随机变量ξ 的值,哪一行是ξ 对应的概率的值呢? [生]你写在黑板上表格也是这样的,我是照着你的样子写的. [师]这是我的错误,向大家检讨,做事应严谨,要一丝不苟才行.(教师 实事求是的教学态度赢得广大学生的信任和高度的赞扬, 这时课堂上的气氛开 始活跃了,学生研究问题、探究问题的情绪高涨)我现在把这两张表格补齐(第 一行写上ξ ,第二行写上 P).现在我们再来看问题 2:连续抛掷两个,求所得 的两个骰子的点数之和ξ 的取值及各个ξ 对应的概率是什么? [生](站起来走到讲台上,拿起粉笔,边讲边写),由于骰子是均匀的, 每个面向上的概率都是相等的,即

1 ,而这两个骰子所得点数的取值是相互 6

独立的.抛一个骰子得到点数为 1,2,3,4,5,6.连续抛掷两个骰子,将以相 同的概率

1 得到以下 36 种结果之一:(板书如下) 36
2

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6); (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6); (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6); (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6); (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6); (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). 以上的(i,j)表示抛出的第一个骰子得 i 点,且第 2 个骰子得 j 点.设两个骰 子的点数之和为ξ ,则ξ 的取值及对应的概率如下表:

[生]刚才的 36 种情形可以不要一一列举出来,我们可以用数形结合思 想法,作出 ξ =i+j∈[2,12],ξ ∈N 在坐标系中的点.从这个图中 一目了然ξ 的取值情况, ξ 的取值就是 6×6 正方形中 的点(36 个点)求横坐标与纵坐标之和,由对称性,区 域关于直线 y=x 对称, 故只有 11 个值.然后再利用对称 性找出ξ 的每个值的概率,从图形中,这样点出现的 次数(关于 y=x 对称),如ξ =3 时,直线 y=x 两侧各有 一个点(1,2),(2,1),概率 P(ξ =3)=

2 ;又如ξ =4 时,直线 y=x 两侧各有一 36

个点(1,3),(3,1),但直线上还有一点(2,1),这样ξ =4 就对应着 3 个点,它所 对应的概率为

3 .余下以此类推得到上述同学列出的概率表格.这就是我的想 36

法,请老师和同学批评指正(这时班级同学给予掌声鼓励). [师]刚才两位同学的精彩表演,给我很大的启发,他们都是爱动脑筋, 勤于思考的学生,这也是我们班级很有特色的学风.同学们严密科学的论证、 实事求是的作风、谦虚务实的态度、敢于创新的勇气值得我们教师学习. (学生被我这番小结深深感动,对教师的敬佩油然而起,课堂气氛十分活 跃,打破师生之间的界限,这种融洽的、和谐的、民主的教学氛围是学生积极 主动建构新知识最佳的途径之一) [师]问题 1 和 2 中随机变量ξ 可能取的值,以及ξ 取这些值的概率,从 表中直观上可以看出这些.此表从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取 值的分布状况,称为随机变量ξ 的概率分布.如何给出定义呢? [生]就是把刚才两个问题中的具体数字抽象化就可以了. [师]你说说看,如何抽象呢?又怎样表述呢? [生]设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x1,x2, ? ,xn, ? , ξ 取每一个值 xn(n=1,2,3,?)的概率 P(ξ =xn)=pn,则称表

3

为随机变量ξ 的概率分布,简称为ξ 的分布列.(教师根据学生抽象概括的 语言进行总结,并板书分布列的定义) [师] 问题 1 和 2 的两个随机变量ξ 的概率分布表可以得出这个表格具有 什么性质呢?连同我开始讲的抛掷硬币正面向上的概率分布(教师边说边指向 黑板),从这三个问题中进行总结概括. [生]任何一个随机变量ξ 的概率 pn 都是大于或等于 0 的,即 p i≥ 0(i=1,2,3,?).(教师板书) [师]请同学们再观察表格对于ξ 所取的所有值 xi 而言,所有的概率 pi 满足什么关系呢? [生] 由 “硬币” 问题有: =1 ; 由

1 1 1 1 1 1 1 1 ? =1; 由问题 1 有: ? ? ? ? ? 2 2 6 6 6 6 6 6
问 题 2 有 :

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =1,于是我们 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
可以猜想:一般地应有 p1+p2+?+pn+?=1.但我没有办法证明这是正确的,还 是错误的.(该生也是走上讲台,指着三张表,进行总结概括,然后在 pi≥0,下 方写出猜想). [师]他的猜想是正确的.这样我们就得到了随机变量的分布列的两个重 要性质: (1)pi ≥ 0,i=1,2,3, ? ;(2)p1+p2+ ? +pn+ ? =1. 这两条性质都是由直觉猜想而得到 的,这种思想方法在科学领域中是十分重要的,不少科学的发明、发现都是依 靠直觉提出猜想和预见, 然后再通过大量的试验或科学论证, 才得到证实或否 定,这样才能推动科学技术的发展,所以我们在以后的学习中要大胆猜想、科 学地证明. (课堂反应:学生的脸上充满了喜悦的情绪,他们在议论着教师的总结) [师](打出幻灯片 B),现在请同学们看问题 3,并运用我们学过的知识 回答问题. [生](走向讲台,指着银幕说)连续抛掷 10 次,正面向上的次数ξ 取值 为 0, 1, 2, 3, ?, 10 共 11 个值.每一个ξ 对应的概率为 P(ξ =k)= C10 (
k

1 )k· (1 2



1 10-k k 1 n k ) = C10 · ( ) ,这是由 n 次独立重复试验发生 k 次的概率 Pn(k)= C n pk(1 2 2


-p)n k 而得到的.可以得下表:

4

[师]回答得很好,完全正确.对问题 3,我们推广到一般情况呢?(打出 问题 4) [生]在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在 n 次独立重 复试验中这个事件发生的次数ξ 是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发 生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 P(ξ =k)= C n pkqn k,其中 q=1-p,k=0,1,2,3,


k

?,n.于是得到随机变量ξ 的概率分布如下:

(学生边说边板书,列出上述表格) [师]由上述表格中各概率的表达式,我们能联想到什么呢? [生] 由 C n p0qn, C n p1qn 1,?, C n pkqn k,?,
- -

0

1

k

pnq0,我们联想到二项式定 Cn n


理(q+p)n 的展开式: C n p0qn+ C n p1qn 1+?+ C n pkqn k+?+ C n pnq0.它们分别是


0

1

k

n

这个展开式中的项. C n pkqn k 是展开式中的第 k+1 项(k=0,1,2,?,n)中的各个值.


k

[师]联想的正确.由于 C n pkqn k 恰好是二项展开式.


k

(q+p)n= C n p0qn+ C n p1qn 1+?+ C n pkqn k+?+ C n pnq0 中的第 k+1 项(这里 k
- -

0

1

k

n

可取 0,1,2,3,?,n)中的各个值,所以,称这样的随机变量ξ 服从二项 分布.记作ξ ~B(n,p),其中 n,p 为参数,并记 C n pkqn k=b(k;n,p).


k

例如:抛掷一个骰子,得到任一确定点数(比如 2 点)的概率都是

1 .重复 6

抛掷骰子 n 次,得到此确定点数的次数ξ 服从二项分布,ξ ~B(n,

1 ). 6

又如,重复抛掷一枚硬币 n 次,得到正面向上的次数ξ 服从二项分布,ξ
5

~B(n,

1 ).二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布. 2

2.课本例题 某一射手射击所得环数ξ 的分布列如下:

[师](分析)“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ =7” “ξ =8” “ξ =9” “ξ =10”的和,根据互斥事件的概率加法公式,可以求得此射手“射击 一次命中环数≥7”的概率. [生] ( 教师板书 ) 解:根据射手射击所得环数 ξ 的分布列,有 P( ξ =7)=0.09,P(ξ =8)=0.28, P( ξ =9)=0.29,P( ξ =10)=0.22, 所 求 的 概 率 为 P( ξ ≥ 7)=0.09+0.28+0.29+0.22=0.88. [师]若求此射手“射击一次命中环数≥6”的概率. [生]由上述问题知: P( ξ ≥ 7)=0.88, 所以 P( ξ ≥ 6)=P( ξ =6)+P( ξ ≥ 7)=0.06+0.88=0.94. [师]此射手“射击一次命中环数<4”的概率. [生]由对立事件的概率公式 P( A )=1-P(A),我们只要计算 P(ξ ≥4)的 概率.因为 P(ξ ≥4)=P(ξ =4)+P(ξ =5)+P(ξ ≥6)=0.02+0.04+0.94=1,∴“命中环数小于 4” 的概率为 1-1=0. [师]由此题可以看出:一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概 率等于它取这个范围内各个值的概率之和(教师板书). 3.精选例题 [例 1](2000 年高考题)某厂生产电子元件,其产品的次品率为 5%,现 从一批产品中,任意地连续取出 2 件,其中次品数ξ 的概率分布是

解:由题意“任意连续取出 2 件”可认为两次独立重复试验,则次品数ξ 服从二项分布.即ξ ~(2,0.05) ∴ξ =0 时,p1= C 2 0.952=0.9025 ξ =1 时,p2= C 2 0.95×0.05=0.095 ξ =2 时,p3= C 2 0.052=0.0025 则:ξ 的概率分布为
2 1 0

6

[例 2]一袋中装有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,现 从中随机取出 3 个球,以ξ 表示取出球的最大号码,求ξ 的分布列. 分析:随机取出 3 个球的最大号码ξ 所有可能取值为 3,4,5,6. “ξ =3”对应事件取出的 3 个球,编号为 1,2,3; “ξ =4”对应事件取 出的 3 个球中恰取到 4 号球和 1,2,3 号球中的 2 个; “ξ =5”对应事件取出 的 3 个球中恰取到 5 号球和 1,2,3,4 号球中的 2 个; “ξ =6”对应事件取 出的 3 个球中恰取到 6 号球及 1,2,3,4,5 号球中的 2 个,而要求其概率则 要利用等可能事件的概率公式和排列组合知识来求解,从而获得ξ 的分布列. 解:随机变量ξ 的取值为 3,4,5,6 从袋中随机地取 3 个球,包含的基本事件总数为 C 6 ,事件“ξ =3”包含 的基本事件总数为 C3 ,事件“ξ =4”包含的基本事件总数为 C1C 3 ;事件“ξ =5” 包含的基本事件总数为 C1C 4 ; 事件 “ξ =6” 包含的基本事件总数为 C1C 5 ; 从而有 P(ξ =3)=
1 2 1 2

3

3

1

2

C3 1 3 ? 3 C 6 20

2 C1 3 1C 3 ? P(ξ =4)= 3 C6 20 2 C1 3 1C 4 ? P(ξ =5)= 3 C6 10

P(ξ =6)=

2 C1 1 1C 5 ? 3 C6 2

∴随机变量ξ 的分布列为:

评析: 确定离散型随机变量ξ 的分布列的关键是要搞清ξ 取每一个值对应 的随机事件.进一步利用排列组合知识求出ξ 取每个值的概率. [例 3] 在一袋中装有一只红球和九只白球.每次从袋中任取一球, 取后放 回,直到取得红球为止,求取球次数ξ 的分布列. 分析:袋中虽然只有 10 个球,由于每次任取一球,取后又放回.因此应注 意如下几点.
7

(1)一次取球两个结果:取红球(A)或取白球( A ),且 P(A)=0.1 (2)取球次数ξ 可能取 1,2,?; (3)由于“取后放回”.因此,各次取球相互独立. 解:ξ 的所有可能取值为:1,2,?,n,?. 令 Ak 表示第 k 次取得红球,则由于各次取球相互独立,且取到红球的概 率为 p=0.1,于是得:P(ξ =1)=P(A1)=p=0.1 P(ξ =2)=P( A 1A2)=P( A 1)P(A2)=0.9×0.1. ?? P(ξ =k)=P( A 1 A 2? A k-1·Ak)=P( A 1)P( A 2)?P( A k-1)P(Ak) =(1-p)(1-p)?(1-p)p=0.9×0.9×?0.9×0.1=0.9k 1×0.1 因此,分布列为


评析:此例进一步抽象可表述为:在每次试验时,若事件 A 发生的概率 为 p, A 发生的概率为 q=1-p,则事件 A 首次发生的试验次数ξ 是一个随机 变量,它的取值为 1,2,?,n,?,其分布列为

这类分布称为几何分布. 这一模型具体化可表现在射击命中目标次数的讨论、 也可体现在产品次品 的抽查上,?教材中曾多次出现,你能化归为一类数学模型去认识它们吗? [例 4]某同学计算得一离散型随机变量ξ 的分布列如下:

试说明该同学的计算结果是否正确. 错解:以上计算结果正确. 错因: 由概率的性质可知, 任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个 性质: (1)pi≥0,i=1,2,?; (2)p1+p2+?=1(总概率为 1). 故只要有一条不满足,所得结果都不可能是任何离散型随机变量的分布 列.
8

解:因为 p1+p2+p3=P(ξ =-1)+P(ξ =0)+P(ξ =1)=

1 1 1 11 ? ? ? ? 1. 2 4 6 12

不满足总概率为 1 这一条件,因而该同学的计算结果是错误的. (一)课本 P8 练习第 4 题. (二)补充练习题 A.选择题 1.设随机变量ξ 的分布列为 P(ξ =i)=a(

1 i ) , i=1,2,3,则 a 的值为( 3
C.

)

A.1 答案:D 解析:P(ξ =1)=a·

B.

9 13

11 13

D.

27 13

1 1 1 , P(ξ =2)=a·( )2, P(ξ =3)=a·( )3, 3 3 3

由 P(ξ =1)+P(ξ =2)+P(ξ =3)=1, 知,a·(

1 1 1 )+a·( )2+a·( )3=1. 3 3 3

∴a=

27 .故本题应选 D. 13

2.设离散型随机变量ξ 的概率分布如下:

则 p 的值为( A.

) B.

1 2

1 6

C.

1 3

D.

1 4

答案:C 解析:∵P(ξ =1)=

1 1 1 , P(ξ =2)= , P(ξ =3)= , 3 6 6

P(ξ =1)+P(ξ =2)+P(ξ =3)+p=1,

9

∴p=1-

1 1 1 1 - - = . 6 3 6 3

故本题应选 C. 3.如果ξ 是一个离散型随机变量,那么下列命题中假命题是( ) A.ξ 取每一个可能值的概率是非负实数 B.ξ 取所有可能值的概率之和为 1 C.ξ 取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 D.ξ 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 答案:D 解析:离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个 值的概率之和. 4.已知随机变量ξ 服从二项分布,ξ ~B(6,

1 ),则 P(ξ =2)等于( 3
C.

)

A.

3 16

B.

4 243

13 243

D.

80 243
答案:D 解析:已知ξ ~B(6,

1 k - ), P(ξ =k)= C n pkqn k, 3

当ξ =2, n=6, p=

1 时有 3

P(ξ =2)= C 6 ( B.填空题

2

1 2 1 - 2 80 2 1 ) (1- )6 2= C 6 ( )2·( )4= . 3 3 3 3 243 1 ),则 P(ξ =3)= 3

5.已知随机变量ξ ~B(5,

.

答案:

40 243
3

解析:P(ξ =3)= C5 (

1 3 1 - 1 4 40 3 ) (1- )5 3= C5 × × = . 3 3 27 9 243

6.抛掷三个骰子,当至少有一个 5 点或一个 6 点出现时,就说这次试验成 功.则在 54 次试验中成功次数 n~ .

10

答案:B(54,

19 ) 27

解析:抛掷三个骰子,三个骰子都不出现 5 点和 6 点的概率是

4 4 4 7 ? ? ? , 6 6 6 27
∴至少有一个 5 点或 6 点的概率为1 ?

8 19 ? 27 27

∴n~B(54,

19 ). 27

7.设随机变量ξ 只能取 5,6,7,?,16 这十二个值,且取每个值的概率 均相同,则 P(ξ >8)=_____,P(6<ξ ≤14)=_____. 答案: 解 =16) ? 析

2 3


2 3
P( ξ >8)=P( ξ =9)+P( ξ =10)+ ? +P( ξ

1 1 1 8 2 ? ??? ? ? ; 12 ??12 ????12 ? 12 3
8个

P(6<ξ ≤14)=P(ξ =7)+P(ξ =8)+?+P(ξ =14)=

8 2 ? . 12 3

C.解答题 8.现有一大批种籽,其中优质良种占 30%,从中任取 8 粒,记ξ 为 8 粒中 的优质良种粒数,求ξ 的分布列. 解析:由于种籽批量很大,从中任取 8 粒可视为 8 次独立重复实验,服从 二项分布 B(8,0.3),其分布列为

9.设射手甲每次射击打中目标的概率是 0.8,现在连续射击 30 次,求击中 目标的次数ξ 的概率分布. 解析:ξ 的分布列为

11

学生 活动

做教材 45 页 1、2 题

学法 指 1.学法指导:学生新做教师引导式教学; 导 , 课 件 2. 课件设计:结合学生实际分层次设计 设计 1. 习题设计:当堂完成练习部分+新新学案;
课本 P8 习题 1.1 3、4、5、6、7 题. ●板书设计 离散型随机变量的分布列(二)

习题 设计 (课 内练 习、 课外 作 业) , 板书 设计

一、定义及性质 1.什么叫离散型随机变量的分布列 2.分布列的两个基本性质 (1)pi≥0 (2)p1+p2+?+pn+?=1 3.二项分布 定义:P(ξ =k)= C n pkqn k(q=1-p)


k

性质是什么? (1)二项式定理展开式中的各项 (2)各项都是非负数 二、例题分析 (一)课本例题 例1 例2 (二)精选例题 例1 例2 例3

例4

例5

课后 反思

12


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